Реферати українською » » Метод кінцевих елементів


Реферат Метод кінцевих елементів

Основні становища методу кінцевих елементів і суперэлементов

Метод кінцевих елементів (МКЭ) займає виняткове місце у теорії розрахунку конструкцій, яке узагальнення – метод суперэлементов – дозволяє природним чином запровадити й описати идеею ієрархічно побудованих складних систем.

Розглянемо пласку раму каркаса промислового будинку, стійки якої жорстко защемлены у фундаменті, а ригели жорстко прикріплено до стойкам. Ограничим розгляд випадком, коли на раму діють лише вузлова навантаження. Пронумеруем вузли – точки перетину осей стрижнів друг з одним і “землею”. У кожному вузлі і рами її у можуть діяти зосереджені сили Fx, Fy і момент М, задані у певній глобальної системі координат, що з рамою.

Введем в розгляд вектор {Fi} узагальнених сил, діючих на раму в вузлі і

                              (1)

Сукупність зовнішніх впливів протягом усього раму характеризуватиметься вектором {F}:

                                (2)

Де N-число вузлів рами. Размерность цього вектора 3хN (доки враховуємо факт прикріплення деяких вузлів до “землі”). Під впливом зовнішніх сил {F} стрижні рами отримують деформації, а вузли перемістяться. Після переміщення вузлів рами будемо описувати у глобальній системі координат. Пересування {di} кожного вузла характеризується трьома числами – лінійними переміщеннями dxi, dyi і кутом повороту jі,  можуть бути компонентами вектора узагальнених переміщень вузла dі:

                            (3)

А переміщення всієї рами вектором d:

                             (4)

Тут, як і від, не враховуються умови закріплення стійкий рами та вузлів.

Напряженно-деформированное стан кожного стрижня зручніше характеризировать в локальної системі координат, що з ним. Вісь x’ цією системою координат спрямуємо від “початку” q стрижня для її “кінцю” r (поняття “початок” і ‘кінець” умовні і потрібні лише тим, аби поставити позитивне напрям на осі x’), вісь у’ – у площині рами, а вісь z’ – перпендикулярно площині. Позитивні напрями осей y’ і z’ виберемо те щоб вони утворювали з x' праву систему координат.

Проведемо у кожному стрижні рами по 2 поперечних перерізу з відривом, нескінченно близьких до вузлам – кінців стрижнів q і r. У кожному з отриманих рішень на загальному разі діють три зусилля N, Q, M, докладені до вузлу. Введем вектор узагальнених зусиль у сечении з’ стрижня m:

                                (5)

І вектор зусиль {fm}, що характеризує напружене перетин стрижня m через вектори зусиль у його кінцевих стрижнях q і r (“початку ” і “кінці”)

                                 (6)

(штрих означає, що компоненти {fm’} враховано в локальної системі координат).

Вектор {fm’} повністю характеризує напряженно-деформированное стан стрижня, якщо до його внутрішнім точкам не прикладені зовнішні впливи і відомі жесткостные характеристики стрижня. Зрозуміло шість компонент вектора {fm’} пов'язані між собою рівняннями рівноваги стрижня як жорсткого тіла, але це рівняння вочевидь далі не використовуються.

Напряженно-деформированное стан тієї самої стрижня характеризується і вектором узагальнених переміщень кінців стрижня q і r, що будується з відповідних компонент вектора, див. вираз (4):

                             (7)

Зазначимо, що за такого запровадження вектора узагальнених переміщень стрижня його напружено деформоване стан залежить тільки від значень {dm}, а й від способів прикріплення стрижня m до вузлам q і до та її жорсткості.

Наприклад, якби кінець q ригеля приєднався до стійці шарнірно, то зусилля М в сечении q було б одно нулю, незалежно від значень компонент {dm}.

Компоненти вектора {fm’} заданны в локальної системі відліку, а компоненти вектора {dm} – у глобальній. Для встановлення векторів {fm’} і {dm} в найпростішому вигляді запишемо компоненти {dm} також у локальної системі відліку, що з аналізованим стрижнем. Означимо матрицю перетворення координат

                           (8)

через [L]:

             (9)

Тоді, наприклад, компоненти  вектора  в локальної системі координат запишуться як

                          (10)

Аналогічно компоненти вектора у глобальній системі відліку пов'язані з компонентами , співвідношенням

                            (11)

Векторы узагальнених зусиль і переміщень для стрижня, виражені в локальної та глобальної системах відліку, пов'язані співвідношенням

,                    (12)

де матриця [

Схожі реферати:

Навігація