Реферати українською » Авиация и космонавтика » Стаціонарні "одномірні" руху однієї частинки


Реферат Стаціонарні "одномірні" руху однієї частинки

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Стаціонарні «одномірні» руху однієї частки.

 

3.1.Одномерное поступальний спрямування замкненому просторі. Потенційний “ящик”.

Аналіз поступального руху однієї частки у замкненому просторі належить до найпростіших прикладів систематичного застосування квантової механіки до вирішення важливих хімічних і фізичних проблем. У тому числітермодинамические властивості ідеального газу, спектроскопія електронних переходів у пов'язаних органічних барвників, електронні властивості кристалів та інших.

Розглянемо таку модель, звану потенційним “ящиком”.

 

3.1.1. Уявімо, що у обмеженому інтервалі 0<x<l  рухається частка з безліччюm, вона може виїхати за межі інтервалу тому, що у його кордонах потенційна енергія стрибкоподібно зростає до нескінченно великого значення. Це умова еквівалентно з того що інтервал обмежений ідеально що відбивають стінками. Оскільки потенційна енергія частки всередині інтервалу0L кінцева і, отже, незрівнянно менше, ніж висота стінок, можна покласти її рівної нулю. Отже, математична завдання то, можливо оформлена оскільки показано на рис. 2 і записане формулами (3.1) і (3.2):

 

3.1.2.Составим рівняння Шредінгера для частки в “ящику”. Оскільки на інтервалі (>0,L)U(x)=0, то складігамильтониана залишається тільки оператор кінетичній енергії:

                             (3.3)

а рівняння Шредінгера набуває вигляду:

                               (3.4)

Зберемо все постійні у правій частині рівності і введемо позначення:

,                                                   (3.5)

тобто. замінимо енергію пропорційної їй величиною, відрізнялася від енергії лише постійним множником, й одержимо рівняння відомої форми:

,                                                 (3.6)

 

3.1.3. Це диференціальний однорідне лінійне рівняння 2-го порядку з їх постійним коефіцієнтом, що відразу зручно уявити, як квадрат деякого параметраk, тобто.

.                                          (3.7)

Приватні вирішення цього рівняння мають вигляд експонент з комплексними показниками читригонометрических функцій:

,                                                 (3.8)

а загальне – їх лінійних комбінацій:

,               (3.9)

де .                              (3.10)

 

3.1.4. Загальне рішення рівняння ще перестав бути хвильової функцією. А, щоб таке перетворення відбулося, необхідно перевірити сумісність отриманого рішення з усіма вимогами, що висуваються до хвильової функції, і навести їх у відповідність до ними:

вимозі нерозривність задовольняють обидвітригонометрические складові і несе спільний рішення – також;

вимозі кінцівки рішення теж задовольняє, оскільки він неспроможна перевищувати величину (>А+В) не може менше, ніж –(>А+В). Це з тим, що функції  >sin(x ) і  >cos(x)  змінюються не більше –1 до 1;

однозначності рішення (3.9) немає, доки визначено точку відліку. Тому введемо граничні умови, саме:

,                                               (3.11)

,                                               (3.12)

Ці умови означають, що хвилева функція зникає межах інтервалу, поза якого система має не існує. З рівнянь (3.9) і (3.11) слід, що

.             (3.13)

Отже, прийнятне рішення набуде вигляду:

.

 

3.1.5. З другого межового умови (3.12) отримуємо слідство:

.                                      (3.15)

Умова (3.15) автоматично веде до дискретності наборів енергетичних рівнів (3.17) і станів (3.18):

,                                 (3.16)

.                                  (3.17)

>Волновая функція має дійсний вид

 .                                    (3.18)

Остаточна процедура –нормировка хвильової функції зводиться розрахуватися відповідного масштабного множника – її амплітуди У:

.              (3.19)

>Рассчитаем значення інтервалу, використовуючитригонометрическуюподста-новку  і заміну перемінної :

Звідси. , і нормовані хвильові функції станів частки в ">яшике" набувають вид

.                 (3.20)

У формулах (3.17) і (3.18) введена нумерація станів ісоответствую-щих енергетичних рівнів. Номер n називається квантовим числом даного гніву й рівня, і хвилева функція набуває номер, тобто. .

 

3.1.7. Розглянемо властивості рівнів і хвильових функцій частки водно-мерном “ящику”. Приймемо за одиницю енергіївепичину ; у разі рівні, відповідальні формулі (3.17), рівні , і можна зобразити таблицею. Відкладаючи величини Є на вертикальної шкалою, побудуємо енергетичну діаграму (>рис3(а))

 

3.1.8. Крапки на інтервалі , у яких хвильова функція має нульові значення, називаються вузлами. На рис. 3(6) видно, що кількість вузлів на одиницю менше номери стану n. Область значень хвильової функції між сусідніми вузлами називається >пучностью. Кількістьпучностей одно номера стану.Пучности охоплюють чи позитивні, чи негативні значення хвильової функції.

 

3.1.9. Споруджуючи > в квадрат, отримуємо функцію щільності ймовірності,еоторая може мати нульові значення, але з має негативних. Ця функція представлена на рис. 3 (в).

 

3.1.10.Волновие функціїортогональни, тобто. для будь-який пари різних функцій з квантовими числами  і  звертається до нуль наступний інтеграл:

.         (3.21)

Особливо наочна запис в бра- ікет-символах:

.                                  (3.22)

Це властивість є дуже загальним, і його можна надати сенсвзаимо-исключения станів.

3.2.Одномерное обертання. Плоський ротатор

 

3.2.1.Вращение у площині класичних макроскопічних тіл при постійної дистанції центру мас від осі обертання найзручніше описувати в полярних координатах, і цього достатньо лише однієї перемінної – кута >. У разі замість наведеної маси > використовується момент інерції , є постійної величиною. З математичної погляду ми маємо справу і системи, яка має однієї ступенем свободи, і тому така рух вважається одномірною. Таку систему назвемо пласким жорстким ротатором.

У мікросвіті неможливопредставигь собі точне подобу плоского обертання, оскільки неможливо жорстко фіксувати обертання будь-якої заздалегідь обраної площиною. Спричинено це з'ясуємо трохи згодом. Проте, ця модель передає найважливіші риси стаціонарного обертання у багатьохмикросистемах, де є на будь-яким фізичним міркувань виділити жодну з осей обертання, рух навколо якої вже має ознаками плоскогоротатора.

 

3.2.2.Составим рівняння Шредінгера для плоскогоротатора, використовуючи полярну систему координат, де перемінної координатою є кут >, а відстань від осі обертанняфиксированно: >r=>const. Формули оператора моменту імпульсу (2.11) і оператора кінетичній енергії (2.16) уявімо в полярних координатах. При обертанні навколо однієї осі досить провадити лише відповідну компоненту повного моменту.Направим вісь вздовждекартовой координати >z і розглядати компоненту L>zопреатора моменту вздовж цієї осі (2.14). Заміна координат є звичною процедурою, і тому продемонструємо в цьому прикладі. Для заміни необхідні формули, які виражаютьдекартови перемінні через полярні, і навпаки:

Для перетворення оператора  необхідно оператори приватних похідних  і  також висловити в полярних координатах:

,

.

Звернемо увагу читача на стандартне правило: оскількирас-сматривается перетворення операторів, то формули похідних, мають кінцеве функціональне вираз , ,  і , передують символів операторів , . При інший послідовності ми б не оператори, і деякі функції, які мають сенсу. Знаходимо необхідну сукупність приватних похідних:

,

,

,

.

Звідси отримуємо:

,

.

Відповідні підстановки в формулу (2.14) дають:

      (3.23)

Результат (3.23) залежить від радіальної перемінної. Нас просту формулу, дуже важливу для подальших додатків:

.                                             (3.24)

Оператор кінетичної - енергії вільного одномірного обертання набуде вигляду:

.                                         (3.25)

Символ приватної похідною далі замінили символ повної похідною через одномірного характеру завдання.

Якщо обертання вільно, то потенційна енергія дорівнює нулю попри всі значеннях >, тобто.     .

У разі рівняння Шредінгера набуде вигляду:

.                                         (3.26)

Об'єднуючи у частині все постійні, отримуємо:

,                                  (3.27)

де                                                                                      (3.28)

Знову домовилися до рівнянню, добре знайомого виду, аналогічного (3.6). Відмінність рішень рівнянь (3.6) і (3.27) полягає у виборі граничних умов, накладених хвильові функції, але ці виявляється істотним.

 

3.2.3. Приватні рішення виберемо як комплексних експонент

,                                       (3.29)

По фізичним міркувань можна хвильової функції надати вигляду лише однієї з приватних рішень. Це з властивостями моменту імпульсу в стаціонарному обертальному русі, які ми розглянемо у межах відповідногооператорного рівняння

, тобто.

,                        (3.30)

звідки слід, що власна хвилева функція оператора має вигляд:

.                                  (3.31)

Функції (3.29) і (3.31) збігаються за умови, що

                                       чи    

Фізичний сенс знака проекції L>z пов'язані з орієнтацією вектора  вздовж або проти осі обертання, але це, своєю чергою, залежить від напрямку обертання плоскогоротатора.

Отже, як хвильових функцій зручні приватні рішення рівняння Шредінгера виду (3.29), мають ясний фізичний сенс функцій стану з певною орієнтацією обертання. Далі займемосядоводкой отриманих рішень до хвильових функційвращательних станів. Ці рішення явно задовольняють властивостями кінцівки і нерозривність, але що мають властивістю однозначності, і навіть потребують й унормировке.Нормировочний коефіцієнт А легко виходить з рівностей:

  (3.32)

 

3.2.4.Обратимcя до з'ясування природи параметра >m з урахуванням властивості однозначності, яке у цьому, що значення хвильової функції > відповідає аргументу >, збігається з значенням функції, аргумент якої зрушать на повний обіг та дорівнює , тобто.:

.                                   (3.33)

Кількість наступних поворотів необмежено, і тож цілком досить умови (3.33). Це означає:

,

звідки слід, що , тобто. одержимо систему рівнянь

                          (3.34)

Вимоги (3.34) виконуються лише за цілочислових значеннях параметра >m,пробегающих з інтервалом 1 все значення, включаючи 0:

,                          (3.35)

і комплексні нормовані хвильові функції плоскогоротатораприобре-тают вид: .                       (3.36)


3.2.5. Через війну виявляється, що енергія обертанняквантована, рівні, зумовлені формулою (3.30) можна пронумерувати, тобто.:

.          (3.37)

Стану, відмінні тільки знайома  >m, тобто. напрямом обертання, мають рівної енергією. За винятком нульового рівня () решті рівням відповідає дві стану, це, що з рівнів двічі >вирожден.Вирождениевращательних рівнів плоскогоротатора є наслідком; рівноправності двох напрямів обертання навколо осі. Беручи за одиницю шкали енергії

 

3.2.6. Обговоримо хвильові функції, навіщо скористаємося прийомом, який має далекосяглі наслідки. Він пов'язані з переходом від комплексної форми хвильових функцій, компактній, але з яка має графічної наочністю, яка надзвичайно важлива й бажана для хімічних додатків, функцій речовинного виду. Це досягається з урахуванням принципусуперпозиции шляхом складання лінійних комбінацій комплексних експонент з значенням модуля , тобто. замість хвильових функцій виду  при  використовуватимемо функції виду

.                                     (3.38)

Відповідно до теоремі про рішеннях диференційних рівнянь, такий перехід скажімо, і лінійні комбінації описують стану, які належать тим самим рівням енергії, та заодно втрачається визначеність в орієнтації обертання щодо обраної осі. Так часто трапляється за квантової механіці: домагаючись наочності описання будь-якого властивості, неминуче втрачають у інших.

Оскільки  і фізично рівноправні функції, між іншим , і складемо лінійні комбінації виду

,

.

>Преобразуя  по формуламЭйлера (1.2) і (1.3), отримуємо

;       .             (3.39)

>Множитель  знаходимо з умовинормировки (2.2):

           і       ,

що дозволяє: . Нагадуємо, що  (3.40) вже не потребує подібному перетворення.

>Волновие функції стануодночастичной системи прийнято називатиорбиталями. Надалі ми широко використовувати цей термін.

 

3.2.7 Отримані справжніорбитали графічно зображуються на пласких полярних діаграмах, де чисельна значення функції відкладається нарадиус-векторе, вихідному з полюси з точки > до стандартно орієнтованомукоординатному променю .

>Орбиталь основного стану >0 маючи постійне значення, незави-сящее від кута, і її графік – це окружність з радіусом  (>Рис.5а).

>Орбитали, належать першому порушеною рівню  і  – цекосинусоида і синусоїда. Їх графіки – дві вісімки, мають області позитивних і негативних значень. Нульове значенняорбитали, тобто. її вузол, посідає полюс. Через нього перпендикулярно осіорбитали вздовж координатного променя проходить вузлова є пряма лінія. Вона симетрично відокремлює друг від друга області позитивних і негативних значеньорбитали, що утворюють пелюстки.

У випадку уорбитали з квантовим числом |>m| є |>m| вузлових ліній, їхнім виокремленням

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Нові надходження

Замовлення реферату

Реклама

Навігація