Реферати українською » Физика » Кінетичні рівняння Власова


Реферат Кінетичні рівняння Власова

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Дипломна робота

>Пояснительная записка

«>Кинетические рівняння Власова»

Студент групи Іванов І.І.

Керівник роботиПересечанский В.М.

Завідуючий кафедри "Математики"

>ПевневВ.Я.

2011


Стверджую

Завідувач кафедри

математики

>ПевневВ.Я.

"02" лютого 2011 р.

Завдання дипломну роботу

студентові Іванову Івану Івановичу курсу

1. Тема роботи: «>Кинетические рівняння Власова»

Затверджено наказом

2. Термін здачі студентом кінченої роботи

3. Зміст пояснювальній записки (перелік запитань, які підлягають розгляду): розглянути загальні поняття кінетичних рівнянь, розглянути, і вивести кінетичні рівняння Власова, вирішити описати одномірну модельну завдання для рівняння Власова

Дата видачі завдання

Керівник роботиПересечанский В.М.

Завдання до виконання прийняв


>Согласовано Стверджую

Керівник дипломної роботи Завідувач кафедри

>Пересечанский В.М.ПевневВ.Я.

2011 р. 2011 р.

Календарний план дипломної роботи

студента Іванова Івана Івановича

тема «>Кинетические рівняння Власова»

Зміст роботи Термін виконання (дата)

Позначка про виконання

(дата)

1. Вивчення літератури.

2. Аналіз обраної теми.

3. Обгрунтування актуальності теми.

4. Питання спеціального 1-го розділу

_-“- 2-го розділу

_-“- 3-го розділу

5. Усунення зауважень консультантів й керівника.

6. Оформлення пояснювальній записки.

7. Надання роботи з кафедру.

8. Надання роботи з рецензію.

9. Надання роботи ззащитивГЭК

25.02

10.03

15.03

29.03

05.05

20.05

30.05

11.06

12.06

23.06

30.06

Виконано.

Виконано.

Виконано.

Виконано.

Виконано.

Виконано.

Виконано.

Виконано.

Виконано.

Виконано.

Виконано.

Студент групи: Іванов І.І.

2011 р.


План

 

Перелік умовних скорочень і абревіатур

Запровадження

Глава 1Кинетические рівняння: засадничі поняття

1.1Кинетические рівняння типуБольцмана

1.2 Рівняння типу Власова

Глава 2УравнениеВласова-Максвелла,Власова-Эйнштейна іВласова-Пуассона

2.1 Зрушення щільності вздовж траєкторій динамічної системи

2.2 Рівняння геодезичних і еволюція функції розподілу наримановом різноманітті

2.3 Як поводиться мірариманова простору при перетвореннях

2.4 Висновок рівнянняВласова-Максвелла

2.5 Схема виведення рівнянняВласова-Эйнштейна

2.6 Система рівняньВласова-Пуассона для плазми і електронів

Глава 3Одномерная модельна мета рівняння Власова

3.1 Умови

3.2 Постановка завдання

3.3 Математична формалізація завдання

3.4 Алгоритм розкладання рішення системи з параметру

3.5 Оператори Власова порядку n

3.6 Загальна формула для поправки від поля порядку n

3.7 Класичне і релятивістське рішення рівняння Власова

Укладання

Список літератури


Перелік умовних скорочень і абревіатур

>ЭМП - Електромагнітне полі

 


Запровадження

>Кинетические рівняння описують еволюцію функції розподілуF(t,v.x) молекул чи інших об'єктів (електронів, іонів, зірок, галактик чи галактичних скупчень) за швидкостями v і простору x в останній момент часуt. Це означає, що кількість частинок в елементі фазового обсягуdvdx є F (>t, v, x)dvdx.

Найпростіше рівняння — рівняння руху:

                       (1.1)

Мета цієї дипломної роботи — розглянути, і проаналізувати основні кінетичні рівняння Власова, і підставі розглянути модельну одномірну завдання Коші для рівняння Власова.


Глава 1Кинетические рівняння: засадничі поняття

 

1.1Кинетические рівняння типуБольцмана

Першим вивченим кінетичним рівнянням було рівнянняБольцмана. Воно враховує процеси сутичок додаванням інтеграла сутичок в (1.1):

                        (1.2)

Інтеграл сутичокJ[F,F] — це квадратичний оператор, враховує парні зіткнення частинок.Уравнение (1.2) отримали Максвеллом іБольцманом висновкумаксвелловского розподілу за швидкостями, яку хіба що було використане до пояснень закону Менделєєва –Клапейрона, який коротко розглянутий далі.

>Максвелловское розподіл пов'язані з однією з перших успіхів рівнянняБольцмана (1.2) — доказом М - теореми.

Теорему стверджує, що функціонал

для рівнянняБольцмана зростає:dH/dt <= 0. Це був інтерпретованийБольцманом як доказ зростання ентропії (М є ентропія зі зворотним знаком), тобто. обгрунтування 2-го закону термодинаміки.

НерівністьН-теореми вірно який завжди. Умова рівності нулю швидкості зростання ентропії дастьмаксвелловское розподіл, томуН-теорема обгрунтовує якстационарностьмаксвелловского розподілу, а й прагнення нього, стійкість цього розподілу, і навіть 2-ї закон термодинаміки.

Проте рівнянняБольцмана писалося Максвеллом ще широких цілей. Програма Максвелла зводилася до того, щоб отримати рівняння суцільний середовища — типу рівняньНавье-Стокса — з рівнянняБольцмана і тим самим отримати коефіцієнти перенесення — в'язкості і теплопровідності — та його залежність відмежмолекулярного взаємодії. Йому це зробити для потенціалумежмолекулярного взаємодіїU(r) =r -4 (>максвелловские молекули), коли інтеграл сутичок сильно спрощується. Досягти аналогічних результатів й інших потенціалів зірвалася ніБольцману[1], ні Гільберту. але це зробилиЧепмсн іЭнског[2] з допомогою спеціальної схеми теорії обурень (методЧепмсна-Энскога). Ставки тут були високі; таке рішення давало б (і це надало: воно передбачилотермодиффузию) кількісні передбачення в молекулярно-кінетичної теорії, яка на той час піддавалася критиці (полеміку включилися як вчені, наприкладМах іАвенариус, а й політики, наприклад В.І. Ленін «Матеріалізм і емпіріокритицизм».Чепмсн іЭнског «трохи спізнилися»: визначення різними незалежними способами числаАвогадро з близькими відповідями переконало учених, і пристрасті вляглися.

Нині це рівняння з своїми наслідками працює у декількох напрямах. Одне — середні верстви атмосфери. Високі верстви добре описуються рівнянням руху (1.1) — газКнудсена чи вільний газ. Низькі верстви — рівняннямигазодинамики, які виводяться з рівнянняБольцмана.Сопряжение хоча на ЕОМ верхніх і низьких верств атмосфери — одне з актуальнихзадач[3] у зв'язку з літальними апаратами. Інше напрям — хімічна кінетика: моделювання сумішей. Із цим пов'язані дискретні моделі рівнянняБольцмана

Широко що використовуються наслідком рівнянняБольцмана є рівняння перенесення, яке описує розсіювання частинок на заданому тлі: це лінійне рівнянняБольцмана. Такі рівняння йдуть на описи перенесення нейтронів в ядерні реактори й переносу випромінювання у атмосфері, коли фотони розсіюються середовищем.

>Предельним випадком рівнянняБольцмана служить рівняння Ландау, коли найбільший внесок вносить сильнерассеянье вперед. Воно використовується для описи плазми.

Використовуються також квантові аналоги рівнянняБольцмана — рівнянняУлинга-Уленбека. Для цих рівнянь стаціонарнимираспределениями замістьмаксвелловского виявляються розподілуФерми-Дирака чи Бозе-Ейнштейна.

Отже, можна ієрархію рівнянь типуБольцмана як наступній схеми:

Схема 1

Лінії з питальними знаками означають, що відповідні рівняння ще, то, можливо, не виведені (наприклад, наближення Ландау для рівнянняУлинга-Уленбека).


1.2 Рівняння типу Власова

 

Якщо рівняння типуБольцмана описуютькороткодействующие взаємодії, то рівняння типу Власова описуютьдальнодействие.

Рівняння Власова чи рівняннясамосогласованного поля мають вигляд:

                         (2.1)

Тут силаf сама є функціонал від функції розподілу, а рівняння (2.1) має вигляд рівняння зсуву вздовж характеристик. Найпростіший вид залежності силиf від функції розподілу відповідає парному потенціалу взаємодіїК(х, у):

                             (2.2)

Такий вид взаємодії дає систему рівнянь Власова. Зазвичай говорять про системах рівнянь «Власова плюс ще когось» у тому, щоб розрізняти види взаємодій. Бувають рівнянняВласова-Пуассона,Власова-Максвелла,Власова-Эйнштейна іВласова--Янга--Миллса.

>УравнениеВласова-Пуассона буває два види — для гравітації й у плазми: в обох випадках (2.2) замінюється на рівняння Пуассона дією оператораЛапласа, за умови, що До (x, у) — фундаментальне рішення оператораЛапласа. Отже, До мережу потенціал одиничного заряду в тривимірному разі, нитки — в одномірному разі і в пласкості — в двовимірному.

Якщо гравітаційному разі, ми замінюємо взаємодія по Ньютону на взаємодія за Эйнштейном, то отримуємо рівнянняВласова-Эйнштейна.

Якщо у разі плазми ми замінюємоелектростатику наелектродинамику, то отримуємо рівнянняВласова-Максвелла. Якщо зберігається не заряд, а векторна величина (>изотопический заряд чи колір), то замість електромагнітних4-иотснциалов ми повинні його взяти матриці, й одержуємо рівнянняЯнга-Миллса. Такі рівняння дають прийняту нині теорію об'єднаного електрослабкої та образу сильної взаємодії. Отже, все рівняння чіпа Власова дають таку ієрархію:

Схема 2

Ця ієрархія дає приклади захоплюючих романів між математикою і різними частинами природознавства. Окремі глави цього роману будуть описані у подальшому. Будуть вивчені такі основні підстановки в рівняння Власова.

>Уравнение динаміки N тіл як наслідок рівняння Власова: підстановка як сумидельта-функций.Подстановка як з дитинства інтегралів віддельта-функций ілагранжеви координати. Приклади: осцилятори іантиосциллятори,експоненциальное розбігання, двігамильтонови структури.Эйлеро—Лагранжеви координати і гідродинамічна підстановка,N-слойная іконтинуум-слойная гідродинаміка. Приклади:расширяющаяся Всесвіт, перехльости та невидимі кордони гідродинамічного описи.

Енергетична підстановка, коли функція розподілу залежить від енергії. І тут рівняння (2.1) задовольняється, а (2.2) перетворюється на нелінійне рівняння для потенціалу. Це рівняння аналогічно рівнянням Бернуллі для рівнянняЭйлера. І рівняння типу Власова зі своєї долі аналогічні рівняннямЭйлера: їх окремі випадки почали з'являтися раніше, ніж було написані самі рівняння Власова. Причому у тієї ж самої енергетичної підстановці, котра виражає закон збереження енергії. У додатках що це плазмовий діод (діодЛенгмюра), рівнянняДебая для електролітів і рівнянняЛена-Эмдена в гравітації. У математиці таке рівняння ще раніше включилися було вивчено в геометрії і називається рівняннямЛиувилля. У двовимірному випадку він має величезну групу симетрії (>конформная група).


Глава 2УравнениеВласова-Максвелла,Власова-Эйнштейна іВласова-Пуассона

Другу главу диплома хотілося б присвятити безпосередньо висновку або/та в обгрунтуванню системи рівняньВласова-Максвелла. Цю систему рівнянь виписана А.А. Власовим вработах[4], і дуже використовується для описи плазми. РівнянняВласова—Эйнштейна обгрунтовуються аналогічно, і це лише коротко зупинюся ними. За назвою рівняньВласова-Максвелла різні дослідники розуміють різні рівняння. Найпопулярнішим є рівняння знерелятивистской залежністю швидкості від імпульсу для функції розподілу. Важливо зв'язати це рівняння з класичнимлагранжианом, щоб, з одного боку, надійно мати «правильне» рівняння, з другого — розуміти характер зроблених наближень. Далі, при виведення рівнянняВласова-Максвелла будеприведен найкоротший, певне, шлях, пов'язуючи злагранжианом електромагнетизму.Т.к. процес виведення рівнянняВласова-Максвелла є неоднозначним, та над цим подати допоміжні пункти. У 2.1 буде розглянуто як обгрунтовуються рівняння для функції розподілу частинок,сдвигаемих вздовж траєкторій довільній динамічної системихi =Xi(x). А далі вивчається рівнянняЭйлера-Лафанжа для випадку, коли дію є довжина, і навіть обгрунтовується вибір функції розподілу є у змінних x, р (>пространство-импульси).

2.1 Зрушення щільності вздовж траєкторій динамічної системи

Розглянемо довільну динамічну систему, тобто. систему нелінійних диференційних рівнянь вk-мерном просторі:


>хi =Xi(x), і =1,…,k (1.1)

Нехай ми розкидали частки з якоюсь початковій щільністюf(0, x), а часt ця щільність єf(t, x), тож кількість частинок у сфері G

Яка еволюціяf(t, x)?

Покажемо, що відповідне рівняння має вигляд (по повторюваним верхнім і нижнім індексам передбачається підсумовування):

                       (1.2)

Спосіб 1 . Метод -функцій.

Розглянемо функцію розподілу N частинок,сдвигающихся по траєкторіям цією системою:

де кожному за l функціяxi(t) задовольняє рівнянням (1.1). Тоді,дифференцируя за часом, отримуємо


З іншого боку, маємо

>Складивая отримані висловлювання, знаходимо, що рівняння (1.2) на таку функції задовольняються. При взяття дивергенції скористалися формулою

Для довільній функціїf рівність (1.2) виходить переходом до межі при апроксимації її сумою -функцій (у слабкій сенсі).

Спосіб 2 . Баланс частинок.

Швидкість зростання частинок у сфері G є

                           (1.3)

Це випливає з те, що на малому ділянці кордонуds кількістьвилетевших під часdt частинок єfdsdt(X,n), бо всівилетевшие частки замітають циліндр з повним правомds і стороною Xdt, тож заввишки (>X,п)dt. Знак мінус береться оскільки нормаль — зовнішня, і вважаютьсявилетевшие частки, тоді як зліва в (1.3) стоїть швидкість зростання кількості частинок у сфері G.Преобразуя у правій частині (1.3) інтеграл з поверхового в об'ємний за такою формулоюСтокса, ми матимемо рівняння (1.2),проинтегрированное областю G, а звідси з довільності G — і саме рівняння (1.2).

>Перепишем рівняння (1.2) як

                  (1.4)

ЯкщоdivX = 0, то ліва частина (1.4) — це повна похіднаf(t,x)пo часу.

Висновок.Уравнение для функції розподілу частинок,сдвигающихся вздовж траєкторій динамічної системи (1.1), має вигляд (1.2).

2.2 Рівняння геодезичних і еволюція функції розподілу наримановом різноманітті

 

Розглянемо метрикиgijdxidxj у просторіRn,xRn,gij(x)-n2 функцій. Це означає, що довжина кривою визначається за формулою:

                               (2.1)

а рівняння геодезичних виходить з принципу найменшого дії (принципу найменшої довжини). Якщо, більш загальне твердження, дію записується як P.S =dt, деL—лагранжиан, то рівнянняЭйлера-Лагранжа даються варіюванням з фіксованими кінцями траєкторій:


Отримуємо рівнянняЭйлсра-Лагранжа:

Що стосується геодезичних L = маємо

                  (2.2)

>Функционал довжини інваріантний щодо заміниt = для будь-який гладкою функції , і те властивість мають рівняння (2.2).

Цим властивістю іноді розпоряджаються те щоб максимально спростити рівняння.Виберем[5] як параметра довжину лінії (інтервал, свій час)s :ds =, після розподілу наds одержимо = 1, і рівняння (2.2) перетворюються на

                                           (2.3)

Останні збігаються з рівняннямиЭйлера-Лагранжа на дію злагранжианом


>Преобразуем їх до виду

            (2.4)

Тутgki — матриця, зворотнаgij а називаються символамиКристоффеля.

Запишемо рівняння (1.2) для функції розподілуf(х, v,s) простором і швидкостям (із довжиною .>s замість часу) для рівняння (2.4), як і показано у минулому параграфі:

                        (2.5)

Останній член у частині відповідає з того що система (2.4) має дивергенцію, відрізняється від нуля. Перехід добездивергентному виду можна здійснити двома шляхами.

Спосіб 1 . Перехід до зміннимкоордината-импульс ігамильтонов формалізм.

>Введем стандартним чиномимпульси.[6] Якщо L = (>gijxixj)/2 (цейлагранжиан дає самі рівняння руху, як і (2.1)), то імпульсиpi = =dL/dxi=gijxj , агамильтониан М =pivi — L = (>pipgij)/2. Тоді рівняння (2.3) набуваютьгамильтонов вид


Вправа

Показати, що з будь-якийгамильтоновой системи дивергенція дорівнює нулю.

Рішення

Отримуємо рівняння для функції розподілуf(s,х,р) по координатам і імпульсам (1.2) як

                     (2.6)

Его рівняння має вигляд

>df/ds + {М,f} = 0, де {М,f} — дужка Пуассона:

Спосіб 2. Перехід до інваріантної мері у просторікоординати-скорости.

Нехай g — визначник матриціgij. Замістьf в (2.5) введемо нову функцію розподілу

>F{x,v,s) =F(x,v,s)/g.


Вправа

Показати, що з нової функції розподілу рівняння еволюціїбездивергентно і має вигляд

Рішення

Скористаємося операцією диференціювання означника. У цьому друге складова в (2.5) перетвориться так:

У (a) використовується тотожність

Для нової функції розподілу число частинок записується як

Тому gdxdv є інваріантна міра: F не зростає, тобто. повна похідна від неї є нуль, і те що число частинок зберігається, то міра gdxdv зберігається теж.

Висновок. Як змінних у функції розподілу можна брати імпульси чи швидкості, а ролі часу — певний час чи інтервалs. Для простоти рівнянь брали інтервал, що у теорії відносності називається власнимвременем[7]. Можливість вибратиs як параметра означає синхронізацію власного часу різних частинок. З цією пов'язаний парадокс близнюків. Той їх, чий інтервал (свій час) менше, тобто. який «рухався більше», виявляється молодший. Тому використанняs хоча формально і, можливо, але утруднює інтерпретацію результатів.

2.3 Як поводиться мірариманова простору при перетвореннях

Нехай проведена заміна координатхк =f (). Як перетвориться у своїй метрика? Маємо:

Тому деJ — цеdet (>дxi/д), Звідси випливає, що оскількиdx = |>J|d, то = , тобто. —інваріант перетворень.

>Дифференцируя за найважливішим параметром, маємо , тожdV=|J|dv. Звідси випливає, що gdxdv = - інваріантна міра, де кожен ізсомножителей інваріантний при перетвореннях.

Висновок. Як змінних функції розподілу зручно брати імпульси. Як параметра візьмемо час, як змінних функції розподілу —t (час), x (просторова координата),р(импульси):f=f(t,x,p).


2.4 Висновок рівнянняВласова-Максвелла

Система рівняньВласова-Максвелла описує рух частинок у власній електромагнітному полі. Стартуємо зі звичайного дії для електромагнітногополя[8], діїВласова-Максвелла чиЛоренца (по повторюваним верхнім і нижнім індексам йде підсумовування):

                                    (4.1)

деSр означає дію частинок (>particles),Sf — дію полів (>fields),Sp-f — діючастиц-полей (>particles-fields).

Тут а означає сорт частинок,отличаемий щодо

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація