Реферати українською » Физика » Алгоритм Кеннета-Джексона для опису фазових перетвореності у бінарніх сплавах. Опис діфузії


Реферат Алгоритм Кеннета-Джексона для опису фазових перетвореності у бінарніх сплавах. Опис діфузії

>МІНІСТЕРСТВООСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

>ЧЕРКАСЬКИЙНАЦІОНАЛЬНИЙУНІВЕРСИТЕТ

>ІМЕНІ БОГДАНАХМЕЛЬНИЦЬКОГО

АЛГОРИТМКЕННЕТА-ДЖЕКСОНА ДЛЯОПИСУФАЗОВИХПЕРЕТВОРЕНЬ УБІНАРНИХСПЛАВАХ.ОПИСДИФУЗІЇ

>Галузь знань 0402фізико-математичні науки

>Напрямпідготовки 6.040203Фізика

>Курсова робота

студентки 4 курсу факультетуФМ таКІС

>денноїформинавчання

>Науковийкерівник – кандидатфіз.-мат. наук

доценткафедрифізики

Ковальчук А.О

>ЧЕРКАСИ-2010р.


>ЗМІСТ

 

>ВСТУП

>РОЗДІЛ 1.ПОНЯТТЯ ПРОФАЗОВІПЕРЕХОДИ

>РОЗДІЛ 2.ДИФУЗІЯ УСПЛАВАХ

2.1Поняттядифузії

2.2Механізмидифузії

2.3Переміщенняатомів навеликівідстані

2.4Кореляційниймножник

2.5 перший законФіка

2.6Взаємнадифузія.ЕфектКіркендаля

>РОЗДІЛ 3. АЛГОРИТМКЕННЕТА-ДЖЕКСОНА ДЛЯОПИСУФАЗОВИХПЕРЕТВОРЕНЬ УБІНАРНИХСПЛАВАХ

3.1 Модель

3.2ВільнаенергіяГіббса для твердогорозчину      

3.3Фазовадіаграма регулярногорозчину

3.4Енергіяплощини

3.5Стрибкоподібнийінтерфейс в1D

3.6Малоамплітуднісинусоїдальнізбурення в1D

>РОЗДІЛ 4.ХІМІЧНІПОТЕНЦІАЛИ

4.1Хімічніпотенціали в1D

4.2Хімічніпотенціали в2D

4.3Хімічніпотенціали в 3D

>РОЗДІЛ 5.РІЗНИЦЕВІРІВНЯННЯ ДЛЯДИФУЗІЇ

5.1Дифузійні потокибазовані, наактивностях

5.2Різницевірівняння длядифузії в1D

5.3Рівння вкінцевихрізницях длядифузії в2D

5.4Різницевірівняння длядифузії в 3D

5.5Безрозмірний годину

>ВИСНОВОК

СПИСОКВИКОРИСТАНИХДЖЕРЕЛ


>ВСТУП

>Актуальністьдослідження. Уданійроботірозглядаєтьсяновий алгоритм дляописуфазовихперетворень убінарних сплавах, деописуєтьсядифузіясплавів ймоделюється у2Dвимірі.

>Цейспосібдозволяєпрослідкуватизмінудифузії прирізних температурах,концентраціях, йзаданихрізнихенергетичнихпотенціалах.Тобто,цейспосібдужезручновикористовувати примоделюванні.

Мета й заподіяннядослідження.Описатидифузіюсплавів йзастосуватитеоретичнівикладки дляданого алгоритму.

>Об’єктдослідження.Бінарнісплави под годину фазовогорозподілу.

Предметдослідження.Дифузійніпроцеси вбінарних сплавах.

>Методидослідження.Моделювання усередовищіпрограмування Delphi задопомогою алгоритмуКеннета-Джексона.Опрацюваннятеоретичногоматеріалу.

>Практичнезначенняодержанихрезультатів.Процесидифузії,прослідковані уданійроботі, щовідбуваються убінарних сплавах под годину фазовогорозпадувідіграютьвирішальну роль убагатьохновітніхтехнологіях. Напрактиціданізнанняможутьвикористовуватися уметалургії,металообробці,створеннінапівпровідникових таінтегральних схем,захиснихпокрить, тонкихплівок.


>РОЗДІЛ 1ПОНЯТТЯ ПРОФАЗОВІПЕРЕХОДИ

>Фазовийперехід (>фазовеперетворення) втермодинаміці –цеперехідречовини ізоднієїтермодинамічноїфази віншу призмінізовнішніх умів. З точкизору рухусистеми пофазовійдіаграмі призмініїїінтенсивнихпараметрів (>температури,тиску йт.т.),фазовийперехідвідбувається, коли системаперетинаєлінію, щорозділяєдвіфази. Ос-кількирізнітермодинамічніфазиописуютьсярізнимирівняннямистанів, тозавжди можназнайти величину, котрастрибкоподібнозмінюється прифазовомупереході.

Ос-кількиподіл натермодинамічніфази – болеедетальнакласифікаціястанів, ніжкласифікація заагрегатними країнамиречовини, то й далеко некоженфазовийперехідсупроводжуєтьсязміноюагрегатного стану.Проте,будь-яка змінуагрегатного стануєфазовим переходом.

>Найчастішерозглядаютьсяфазові переходь призмінітемператури, але й присталомутиску (як правило один атмосферу).Саме тому частовживаютьтерміни «точка» (а чи нелінія) фазового переходу, температураплавлення й т.д.Звісно,фазовийперехідможевідбуватися й призмінітиску, й присталійтемпературі йтиску, але й призмініконцентраціїкомпонентів (>наприклад,появакристалівсолі врозчині, щодосягнувнасичення).

>Розрізняютьфазові переходь двохродів.

Прифазовомупереході Першого родустрибкоподібнозмінюютьсяосновні,початковіекстенсивніпараметри:питомийоб’єм,кількістьнакопиченоївнутрішньоїенергії,концентраціїкомпонентів.Підкреслимо:мається наувазістрибкоподібнізміницих величин призмінітемператури,тиску, а чи нестрибкоподібнізміни вчасі.

>Найпоширенішіприкладифазовихпереходів Першого роду:

-плавлення йкристалізація;

-випаровування йконденсація;

-сублімація тадесублімація.

Прифазовомупереході іншого родугустина йвнутрішняенергія незмінюються, томунеозброєним окомтакийфазовийперехідможе бутинепомітним. Однак,стрибкоподібнихзмінзазнаютьпохідні потемпературі татиску:теплоємність,коефіцієнт тепловогорозширення й т.д.

>Фазові переходь іншого родувідбуваються в тихийвипадках, колизмінюєтьсясиметріябудовиречовини (>симетріяможеповністюзникнути чипонизитися).Опис фазового переходу іншого роду якнаслідокзмінисиметріїдається втеорії Ландау. Утеперішній годинуприйнято говорити не прозмінусиметрії, а пропояву вточці переходу параметру порядку,рівного нулю вменшвпорядкованійфазі й щозмінюється від нуля (вточці переходу) доненульовихзначень в болеевпорядкованійфазі.

>Найбільшпоширеніприкладифазовихпереходів іншого роду:

-перехідсистеми черезкритичну точку;

-перехідпарамагнетик-феромагнетик чипарамагнетик-антиферомагнетик (параметр порядку –намагніченість);

-перехідметалів йсплавів до лавнадпровідності (параметр порядку –густинанадпровідногоконденсату);

-перехідрідкогогелію внадтекучий стан (параметр порядку –густинанадтекучоїкомпоненти);

-перехідаморфнихматеріалів всклоподібний стан;

-впорядкуваннясплавів.

>Сучаснафізикадосліджуєтакожсистеми, щоволодіютьфазовими переходамитретього чивищого роду.

>Останнім годиною широкогопоширеннянабулопоняття квантового фазового переходу,тобто фазового переходу, щокерується некласичнимитепловимифлуктуаціями, аквантовими, котрііснуютьнавіть при абсолютномунулі температур, декласичнийфазовийперехід неможереалізуватисявнаслідоктеоремиНернста.


 

>РОЗДІЛ 2ДИФУЗІЯ УСПЛАВАХ

 

2.1Поняттядифузії

>Розглянемоявищаміграціїатомів втвердихтілах таперебудовуструктуритвердихтілзізміноютемператури,концентрацій таіншихпараметрів.Ціпроцесивідіграютьвирішальну роль уметалургії,металообробці,створеннінапівпровідникових танапівпровіднихматеріалів,інтегральних схем,захиснихпокрить, тонкихплівок.

>Термодинамікавідповідає на два запитання –чому даний процесвідбувається , йчимвінмуситьзавершитися.

>Кінетикавизначає якшвидко якщопротікати процес, й котріпроміжністадіївін пройдо.Самекінетика йвивчаєявищедифузії.

>Воно було бвідкрито втвердихтілах РобертомАустеном у 1896році, коливінспостерігаввзаємнудифузіюміж золотом йсвинцем. Заостанні сто роківуявлення продифузіюзначнозбагатилися, але йщедалекі відзавершення.

>Дифузія –це процесперерозподілуконцентраційатомів упросторі шляхомхаотичної,тобто,тепловоїміграції. Причиндифузії із точкизорутепловоїтермодинамікиможе бутидві –ентропійна (>завжди) таенергетична (>іноді).Ентропійна причина –це збільшення хаосу (й йогоміри –ентропії) приперемішуванніатоміврізного сорту.Енергетична причинасприяєутворенню сплаву, коливигідніше бутипоруч атомамрізного сорту, тадифузійномурозпаду, коливигідніше бутипоручодносортним атомам.

2.2Механізмидифузії

Великащільністьрозташуванняатомів утвердихтілах та особливо їхніперіодична структураробить запитання проспосібміграціїнетривіальним. Проблема полягає в бодифузіявідбуваютьсянайчастішезізбереженнямдальнього порядку,зокрема,періодичностігратки.

>Тобтоміграціюатомів відеальнихкристалах можнауявити якобмінміжвузламигратки.Такийобмінможевідбуватисяквантованим способом (>тунельнийефект), дляякого немаєможливості йпотребислідкувати затраєкторіями.Якщоатомидостатньомасивні,щоб можна було бзнехтувати їхніхвильовимивластивостями, топринципіобмінможливийкласичним способом яккорельованоповертання паріатомівнавколоспільного центру.Зрозуміло, що натаку процедурупотрібнадоситьзначна ватомних масштабахвтратаенергії. Тому природазнаходитьзначноефективнішімеханізми,такі, яквакансійний,міжвузільний тамеханізмвитіснення.

Дляреалізаціївакансійногомеханізмупотрібнанаявністьвакансій.Міграціявакансійвідбувається шляхом переходу внезайнятийвузол одного ізсусідніхатомів.Відповідно атомможездійснитидифузійний стрибок заумови, щопоруч із нимопинитьсявакансія. Ос-кількивакансіїдоситьрухливі, то тут для забезпеченняперемішування намакрорівні притемпературі,близькій дотемпературиплавлення,достатньооднієївакансії накількатисячатомів.

>Міжвузільниймеханізм –це переходь атома із одногоміжвузілля вінше. Для такого переходумігруючому атомапотрібно «>протиснутися» через ворота,утворенісусідніми атомами. (рис. 2.2.1), томуміжвузьльниймеханізмхарактерний дляводню,вуглецю таінших легкихелементів.

>Рис.2.2.1 «>Протиск» атома через ворота,утворенісусідніми

Уміжвузілліможутьзнаходитися йважкідомішковіатоми чивласніатоми,отримані замеханізмом Френкеля чиімплантованіззовні. При цьому смердотізначнодеформуютьрешіткунавколо собі,розсовуючисусідів. Тому длявласнихатомів болееімовірниймеханізмвитіснення,тобто дефектулегшевитіснитинайближчогосусіда уміжвузілля й статі на йогомісце, ніжпротискуватися через ворота усусіднєміжвузілля. За такиммеханізмоммігруєміжвузільний дефект, але й накожномукроцівінреалізуєтьсярізними атомами, навідміну від одного і саме йогомігруючого атома уміжвузільномумеханізмі. Укожномуактівитісненнярізницяміж атомом увузлі та дефектомдещоумовна,оскількирешіткадеформована йсамепоняттявузластаєнеоднозначним.Остаточно можнавизначитимеханізмдифузії вданомувузлі, коли дефектперейде унаступнеміжвузілля, аатомирелаксують дорівноважнихположень.

Рух атома, щомежує ізвакансією,аналогічнийпроцесудифузії поміжвузіллях. Атомразів за секунду «>ударяється» пробар’єр.Відносначастка години, протягомякого атоммаєенергію,достатня дляподолання цогобар’єру,рівна , де -висотабор’єру. Алі вцейрозрахунок виненввійтидодатковий чинник,якийвраховує, щовакансія, Яка наближається довтомаіснує вданомувузлірешіткилишемалийпроміжок години.Вонавизначається як , де -енергіяутвореннявакансії.

Частотастрибків атома якщорівна

Де Z –кількістьрівноціннихсусідніхвузлів.

Частота ж сильнозалежить відтемператури. Для такихметалів, якмідь,срібло,залізо,обидвіенергії йрівніприблизно 1еВ. Тому дляцихметалі частотанабагатоменшачастотистрибків притиповійдифузії поміжвузілля (заоднакових умів).

>Крімописанихмеханізмівдифузіїіснує багатоінших –краудіонний,релаксаційний (>локальнеплавлення),кільцевий таінші.

2.3Переміщенняатомів навеликівідстані

>Розрахуємозміщення атома после того, яквінзробивпевнукількістьстрибків.Всістрибкимаютьоднаковудовжину (смердотірівніміжатомнійвідстані) йвідбуваються врешітці ізвисокимстепенемсиметрії. Аліприпустимо, що рух атома врізнихможливихкристалографічнихнапрямкаххаотичний.Атомиможутьперескакувати вперед, тому, вгору й донизу. Томуніколи не можнапередбачити, якоїрезультуючутраєкторіюздійснить атом послепевноїкількостістрибків. Зпевноюточністю можнавизначитилишезміщення,усереднене побагатьохдифундуючи атомах.

>Найпростішевиконатитакийрозрахунок длявипадку рухуатомів лише в одномувимірі (>вздовжпрямої).Припустимо, що впочатковий момент години атомзнаходиться вточці 0.Тодівінвиконуєпослідовністрибкидовжиноюdкожен. (рис. 2.3.1).

>Рис.2.3.1Координати новихрозміщеньатомів дляодновимірниххаотичнихстрибків

>Напрямок шкірногострибкахаотичний;він незалежить відбудь-якихпопередніхподій.Результуючавідстань Х, якої пройдо атом после nстрибків,рівнаалгебраїчнійсумі всіх окремихстрибків:

,

де -довжина Першогострибка, -довжинаn-гострибка.Відстань Хвідповідаєдобуткудовжинистрибкаd напевниймножник, причомуцявідстаньможе бутидодатною,від’ємною йрівною нулю. Направдусередня величина Х послебагатьохатомнихстрибків вточностірівна нулю,хочадіапазонзміни Хлежить вмежах від +>nd до –>nd. Цесереднєєалгебраїчним, й ті що вонрівна нулю говорити, щододатнійнапрямокстрибків немаєпереваг надвід’ємним. Алііснують йтакісереднізначення, котрі нерівні нулю. До нихвідносяться,середнєквадратичне, якуєміроюзагальноївідстані,пройденої атомом відпочатковогоположення.

>Середнєзначення (>позначається ) якщорівне

Цеспіввідношеннязручнішезаписати увигляді

>Тобтоцеозначає, щопотрібна великакількістьстрибків,щобзначення Х малідостатню величину.

>Запишемоцерівняння віншійформі.Кількістьстрибків nвиразимо, якдобутокстрибківf й годиниt,необхідного дляздійснення nатомнихстрибків

 (*)

>Параметрзалежить відвластивостейматеріалу й відтемператури.

У1Dкоефіцієнтдифузії Dвизначається як


>Підставивши у формулу (*)цезначенняотримаємо

 (**)

>Середньоквадратичнавідстань, якої проходитидуфундуючий атом,змінюєтьсяпропорційнокореню квадратному з години.Коефіцієнт уведень урівняння длякоефіцієнтудифузії у тому,щобузгодити його ізрівнянням (**).

>Зазвичайатомироблятьстрибки в всіхтрьохнапрямках. Тому можнарозрахуватисередньоквадратичнерадіальнезміщення

 вбудь-якому напрямі відпочаткової точки

>Тоді

,

деf – частота, ізякою атомзмінюєсвійнапрям врешітці. У цих завданняхцікавимєрезультуючедифузійнепереміщеннявідноснопевноїкоординати,хоча атомздійснюєстрибки й віншихнапрямках. Заумовамисиметріїрівне

 (***)

Тому «>трьохвимірний»коефіцієнтдифузіївизначається так

>Щобвстановити залежністькоефіцієнтадифузії відтемпературивикористаємовираз длячастоти. Длякубічнихкристалівотримаємо:

>Усіпараметри передекспонентоюзазвичайоб’єднують до одногокоефіцієнт , асумарнуенергіюпозначаютьQ:

Величина -частотний чинник, аQ –енергіяактивації.

>Опишемодифузію ансамблюнезалежнихчастинок, котрірозподілені впросторі ізпочатковоюконцентрацією .Концентраціюцихчастинок удовільний момент годиниt можнавиразити черезнаступнийінтеграл

Легкопереконатися, щорозподілпідкоряється такому жрівнянню, як йімовірністьпереходів

Це йєрівняннядифузії –другий законФіка,запропонований нею в 1855році.

2.4Кореляційниймножник

Легкийдомішковий атомдифундує поміжвузіллях чивакансіярухається повузлах некорельовано,тобтокоженнаступнийкрок незалежить відпопереднього. Длядифузії, як ми ужезнаємо, завакасійниммеханізмом не все так. Атомможездійснити стрибок, але йвідразу после стрибкавін «>пам’ятає», щопозадуньогоєвакансія йнайімовірнішим для атома якщо стрибок тому. Отже

,

де

Длявипадку N > > 1 можнапоказати, що величинаf від N незалежить.

Величинаf утакійінтерпретаціїназиваєтьсякореляційниммножником, йє свого родукоефіцієнтомкорисної діїатомнихскачків.

Длякристалу ізкубічноюсиметрієювін якщорівний

де - кутміжнапрямами двохпослідовнихскачків атома.

>Кореляційниймножникдужеважливий вдифузіїсплавів, особливосильновпоядкованих. Тут хаотичнаміграціястаєнастількиневигідною (>руйнує порядок), щокореляційниймножник длямеханізмускачків упершукоординаційну сферупрямує нанівець.

2.5 перший законФіка

>Розглянемодифузію завакансійниммеханізмомміченихатомів сорту А* в чистомукристалі, щоскладається ізатомів того ж сорту.Нехай дляконкретностікристалмаєГЦК-структуру, аградієнтконцентраціїстворений у напрямку <100> (>вздовж ребра кубастороною а).Міжплощиннавідстаньd для цого напрямідорівнюєа/2.Виберемоуявнуплощину ізкоординатою xпосерединіміждвомасусіднімиатомнимиплощинами із координатамиx-d/2,x+d/2.Нехай -атомніконцентрації (>частки)міченихатомів увідповіднихплощинах. Стрибкиміченихатоміввідбуваються шляхомобміну ізвакансіями,концентрація які (а означати,імовірністьпояви усусідньомувузлі)вважаєтьсяпостійною .

>Густину потокуміченихатомів черезплощину xзнаходимо якрізницючастотискачків у двохнапрямках ізурахуваннямкореляції

Тут -кількістьміченихатомів уплощині ,

4 –кількістьможливихнапрямківскачків черезплощину x ізданоговузла;

 –імовірність матірвакансію усусідньомувузлі;

 – частотаскачківвакансії;

1/12 –імовірністьобмінувакансії ізданим атомом (12 –кількістьсусідніхвузлів);

>f -кореляційниймножник.

>Розкладаючи до кількох Тейлора йнехтуючивищими порядкамималості, маємо

,

де h= -довжинаелементарного стрибка (>відстань донайближчогосусіда) вГЦК-решітці. Таким чиномотримаємо закондифузії (Першого законуФіка) ізкоефіцієнтомдифузії

>фазовийдифузійнийбінарний сплав


 

2.6Взаємнадифузія.ЕфектКіркендаля

У 1947році був провадженьдослід, що показавшиіснуваннязв’язкуміждифузійнимипроцесами танеоборотноюдеформацієютвердихтіл.Відпалювавсязразокрозчину цинку врешітціміді. Награницяхмідь--латунь ізобохбоківдифузійноюзваркою булизафіксованіінертнімаркери –дротинки із тугоплавкогоматеріалу (>молібден, вольфрам),дифузійноювзаємодією які ізміддю й цинком притемпературівідпалюваннязнехтували. Привідпалюванні,крімвзаємопроникненняматеріалів тазгладжуваннямконцентраційнихпрофілів, бувпоміченийзсувмаркерів в бік-латуні запараболічним законом . Тутпотрібноврахувати:

1)імовірністьобмінувакансії із атомамирізного сортурізна, томукомпоненти сплавумаютьрізнурухливість (>парціальнийкоефіцієнтдифузії);

2)різнарухливістькомпонентів приводити довиникнення потокувакансій в бік болеерухливого компоненту ізнаступнимрозбираннямвакансіямиатомнихплощин йвідповіднимзсувомрешітки.

Усистемівідліку,пов’язаній ізкристалічноюрешіткою

Улабораторнійсистемівідліку потокиповинні бутирівними завеличиною тапротилежні занапрямком

>Звідсишвидкістьтечіїрешітки

Таким чином,швидкістьтечіїрешіткивизначаєтьсярізницеюрухливостейкомпонентів таградієнтомконцентрації, а потоки влабораторнійсистемівідлікумаютьвигляд Першого законуФіка ізкоефіцієнтомдифузії ,хоча, на самом делевзаємнадифузіяє результатомнакладаннятечіїрешітки надифузійнуміграцію.


 

>РОЗДІЛ 3. АЛГОРИТМКЕННЕТА-ДЖЕКСОНА ДЛЯОПИСУФАЗОВИХПЕРЕТВОРЕНЬ УБІНАРНИХСПЛАВАХ

3.1 Модель

>Розглядається системабінарного сплавуА+В внаближеніймоделірегулярнихрозчинів,тобто:

а)взаємодіяатоміврозраховується внаближенніпершоїкоординаційноїсфери;

б)взаємодіяміж атомамиописуєтьсяпотенціаламипарноївзаємодії (>>AA,>AB, й>BB), котрі незалежать відконцентрації татемператури;

в)ентропія регулярногорозчинувважається лишеконфігураційною,тобтоописуєтьсялише тієї хаос, щопов’язаний ізрозміщенняматоміврізного сорту повузлахрешітки, й невраховується хаос,пов’язаний ізколиваннямиатомів (>вібраційнаентропія).

 >Прагненнятермодинамічних систем довстановленнярівноваги за складомкількіснохарактеризуєтьсявеличиною, котраназиваєтьсяхімічнимпотенціалом.Хімічніпотенціаликомпонентів сплавуобчислюються задопомогоювільноїенергіїГібса (>потенціалуГібса), якої можнарозуміти якповнухімічнуенергіюсистеми.Хімічніпотенціализумовлюютьпідтриманняпотоківречовини (>дифузійнихпотоків), котріобчислюються задопомогоюактивностей.Активністькомпонентіврозчину –цеефективнаконцентраціякомпонентів ізврахуваннямрізнихвзаємодійміж нимирозчині,тобто ізврахуваннямвідхиленняповедінкисистеми відмоделіідеальногорозчину.Різницевірівняннядифузійнихпотоківописують процесдифузії. Через ті, щодифузійні потокизалежать відхімічнихпотенціалівсусідніхвузлів, котрі на свійчергузалежать відатомівсусідніх перед тим, ми практичноотримуєморізницевірівняння четвертого порядку. Для температур таконцентрацій котрі сильновідрізняються віддвофазноїобластіцірівнянняперетворюються настандартнірівняннядифузії.

3.2ВільнаенергіяГіббса для твердогорозчину

Ми припустили, щовраховуєтьсявзаємодіяатомівлише ізпершоїкоординаційноїсфери, йвзаємодіяміж атомамиописуєтьсяпотенціаламипарноївзаємодіїміж атомамивідповіднихсортів увузлахрешітки (>>AA,>AB, й>BB).Використовуючи>AA,>AB, й>BB, миможемовизначитиенергіюзмішування, котратакожвідома як параметр регулярногорозчину (>)

                                                                       (1)

де Z –цекоординаційне число,тобтокількістьатомів,найближчих доданого атома вкристалі. Длябудь-якогорозподілуатомів вбінарномусплавіпотенціалипарнихвзаємодійнайближчихсусідів можнавизначити через Х(імовірність парі типуА-Взнаходитись у двохсусідніхвузлах), тодіNZX –кількість пар АВ всуміші із Nатомів.Тоді вільнаенергіяГібсабінарного сплавудорівнює:

 (2)

NA й NB -кількістьатомів двохвидів, йN=NA+NB . першийдоданок –енергіяідеального сплаву (>енергетичнийдоданок),другий –ентропіязмішування, йостанній –додатковаенергіянеідеального сплаву. Церівняннясправедливе длябудь-якихконфігураційатомів. Длярегулярнихрозчинів,припущено що А й Уатомирандомнорозподілені, тоді Х,якийзалежить відрозподілуатомів,дорівнює ЗAЗB, де ЗА=NA/N, й ЗB=NB/N.

Дляідеальногорозчину,=0, чи (>>AA+>>BB)/2=AB.

Для>0,формування пар АА й ВРзнижуєзагальнуенергію, так що сплавпрямує дофазирозпаду,атоми Акластеруються разом, аатоми Утежкластеруються разом.

Для<0,формування пар АВзменшуєзагальнуенергію, так що сплавупорядковується. Це такапорада для контролю заутворенням структур.

3.3Фазовадіаграма регулярногорозчину

>Припущено, що в регулярномурозчиніатомирандомнорозподілені, так щоХ=С(1-С), деС=СУ , ЗА=>1-С.Гранична фазадорівнює

                                                                    (3)

>Критична точка приС=1/2 йТ=ТЗ, тодіkBTЗ=/2.

Дляфазирозділу,границяспінодальноїобластідорівнює

>C(1-C)= (4)

>Фазовадіаграма регулярногорозчинузображена нарис.3.3.1.

>Впорядкуваннявідбувається длявід’ємних величин.Концентраціїатомів сорту А та Удорівнюють ЗА, ЗУ,відповідно, чи З та1-С, тоді

>Х=(С2+(>1-С)2)/2

>Рис.3.3.1Фазовадіаграма для регулярногорозчину

3.4Енергіяплощини

У цьомупідрозділіаналізуютьсяатомніплощини, щорозташовані паралельно. Миприпускаємо, щоатомирандомнорозподілені вкожнійплощині, й щосередняконцентраціязмінюється відплощини доплощини.Розташуваннякожноїплощинивизначаєтьсяоднієюпросторовоюзмінною,z.

як показано врівнянні (2), вільнаенергіяможе бутиоціненаякщоZX (>кількість пар АВ на атом)відоме.ТодіХробитьвнесокенергії увільнуенергіюГібса, як показано врівнянні (2).

>Кожен атоммає Zнайближчихсусідів, й миприпускаємо, що із них –найближчісусіди ізверхньоїплощини, й –найближчісусіди ізнижньоїплощини, тоді (Z -2) –найближчісусіди вційсамійплощині.С(z) –концентраціяатомів сорту У вплощині приz , й 1 -С(z) -концентраціяатомів сорту А.Тодізагальнакількість пар АВ длявузлівплощиниzдорівнюєкількості пар АВ ізіншихвузлів вційсамійплощині, плюскількість пар АВміжконцентрацієюатомів А типу вплощиніz йконцентрацією Уатомів вплощиніz+d йz-d, плюскількість пар АВміжконцентрацієюатомів У сорту вплощиніz йконцентрації Наплощиніz+d йz-d.

 (5)

>Зведенняподібнихдоданків

 (6)

>Тоді

першийдоданок врівнянні (7)теперєкількістюзв’язків АВ врівномірномурандомномусплаві. Іншийдоданок – поправка длякількостізв’язків АВякщо структура нерівномірна.

3.5Стрибкоподібнийінтерфейс в1D

Дляступінчатоїзміниконцентрації складу, приякійконцентрації двохсуміжнихплощинрізні, але йконцентраціїрівномірнівздовжцихплощин, усівіддалені відінтерфейсуплощинимаютьоб’ємнувільнуенергію.Позначаючиконцентраціїобохбоківінтерфейсу З1 й З2,кількість пар АВплощинибіляінтерфейсудорівнює:

Дляповерхні 1площиниінтерфейсу

                    (8)

Дляповерхні 2площиниінтерфейсу

                    (9)

>Додаємо (8) та (9)

                              (10)

першийдоданок –кількість пар АВ,якщо два шарибіляінтерфейсу булиоб’ємними,другий – поправкавідповідно доінтерфейсу.Подібнийвираз буввиведенийБеккеромякий назвавшидругийдоданоквільноюенергієюодиниціповерхнірозділу фаз (>міжфазовийнатяг).

Дляальтернативнихшарів двохрізнихконцентрацій,розділенихстрибкоподібнимінтерфейсам, як нарис.3.5.1, деінтерфейси наn/2атомнихвідстанях один від одного, тоді=nd,повнаенергія на атом одногоперіоду nатомівдорівнює

                                                                    (11)

>Використовуючи З0=(З12)/2, й З1 – З2= >C,цеперетворюється в

                                      (12)

>Ця формавикористовуваласяХіллертом.Вінвстановив, що вон був справедливалише колиінтерфейси були добророзвинені напізнішихстадіяхспінодальногорозпаду. Іншийдоданок схожий на «>градієнтенергії» уявлень Каном йХілліардом.

3.6Малоамплітуднісинусоїдальнізбурення в1D

>Вільнаенергіямалоамплітудногосинусоїдальногозбуренняможе бутиоцінена зарівнянням (7) длярозподілу компонентструктури увигляді:

                                                                       (13)

>Рис.3.5.1Послідовністьстрибкоподібнихінтерфейсів

>Підставляючице врівняння (7),отримаємо

                    (14)

>Зводячиподібнідоданки, йвикористовуючи

 >cos(k(z+d))+cos(k(zd))=2cos(kz)cos(kd),рівняння (14) викличевигляд:

                                                                    (15)

>Інтегрування поz,цеперетворить в

                                       (16)

>Повна вільнаенергіяотриманапідставляннямрівняння (16) врівняння (2)

                  (17)

>Використовуючинаближенняcos(kd)1k2d2/2церівняннястаєідентичним докоефіцієнтаградієнтаенергії До,виведеного Каном йХілліардом длясинусоїдальнихзбурень всталомурозчині

 (18)


 

>РОЗДІЛ 4ХІМІЧНІПОТЕНЦІАЛИ

 

4.1Хімічніпотенціали в1D

>Підставляючирівняння (6) врівняння (2), тавиражаючивільнуенергію черезкількістьатомівкожномушарі, миотримаємо для куліz

 (19)

деW=/Z, NA(>z)+NB(>z)=N(z) й

>Відповідніхімічніпотенціали

(20)

(21)

Прирозрахункаххімічнихпотенціалів,необхідновключитизмінуенергіїсусідніхшаріввідповідно дозмінконцентрації куліz.

>Відмітимо, що

 (22)

>Хімічніпотенціалиможуть бутизаписані як

 (23)

                                                          (24)

4.2Хімічніпотенціали в2D

>Вільнаенергіяатомівквадратноїрешітки в2Dдорівнює

>Відповідніхімічніпотенціалидорівнюють

(26)

де

(28)

>єсумоюконцентраційсусідніхатомівх,у.

4.3Хімічніпотенціали в 3D

>Вільнаенергіяатомівпростоїкубічноїрешітки вдорівнює

                                                                    (29)

>Зауважимо, щоостаннійдоданок вобохрівняннях (25) й (29)може бутиперетворений вдоданокдругоїпохідної,відніманнямZWNC(1C). Цедасть стандарту форму длявільноїенергії твердогорозчину плюсдоданокдругоїпохідної длязмінконцентрацій.Відповідніхімічніпотенціали в 3D

де


>РОЗДІЛ 5РІЗНИЦЕВІРІВНЯННЯ ДЛЯДИФУЗІЇ

 

5.1Дифузійні потоки,базовані наактивностях

>Потікатомів ізвузлаJі >дорівнюєчастоті,помноженій накоефіцієнтБольцмана, щоміститьрізницюміжхімічнимпотенціалом чистого компонента (>j* ) тадійснимзначеннямхімічногопотенціалуj-го компонента (>j ).

>Pj=exp((jj0)/kT) -активність j компонент. Р0 –звичайнобереться якдебаївська частота, йвідхилення відцієїчастотизосереджуються вентропії таенергіїактивованого стану.j0 >міститьдоданки>jj вхімічнихпотенціалах, котрівключені вj , >щобдаватиенергіюактивації длядифузії. ДляідеальногорозчинуPjj йотжерівняння (33)зменшує донормальноїконцентраціїпотік щорухається.Результуючапотоків ввузолвиражаєтьсярізницеюміжповним потоком ізвузлів до всіхїїсусідів, йповним потоком ввузол відсусідів.

як видно ізрівняння (33),активністьPзбільшуєтьсязізниженнямтемператури. Цеозначає, що дляпостійної, якої мивикористаємо врозрахунках, потокизбільшуються ізпониженнямтемператури. Однак,беручи доувагитемпературну залежність, потокизменшуютьсязізниженнямтемператури, так щорезультуючаенергіяактивації длядифузії якщоменшою, ніжце було ботримано ізвимірів далеких відкритичної точки.

>Якщо система має неперебуває врівновазі, потоки двохвидів,JA йJB будутьвідрізнятися,оскількихімічнийпотенціал для шкірного із двохвидів накожнійділянцірізний. Так якшвидкість, ізякою атом Аміняєтьсямісцем із атомом B винна бути такою ж, якшвидкістьзмінимісця атома B із атомом Боєоднаковою дляобохтипів.

>Даркенрозробиврівняння длядифузії, де потоки двохвидіврізні черезвведеннявакансій вякостітретьоїкомпоненти.Дифузійні потокизалежать відактивностей, тарезультуючадифузія бувотримана шляхомусередненнякоефіцієнтівактивності.Дифузіявпливає наградієнтиконцентрацій, й тому процесдифузіїописуєтьсястандартнимидиференціальнимирівняннями іншого порядку.Усередненнякоефіцієнтівактивності, якце було бзробленоДаркеном, непризводить доправильноїструктури фаз, аусередненняпотоківпризводить.Даркен нерозглянувможливістьвід’ємноїефективноїдифузії, щоможепризвести дорозпаду.

5.2Різницевірівняння длядифузії в1D

>Різницевірівняння длядифузії в1D будутьзаписані взвичайномувигляді, але й ізвикористаннямусередненняпотоків двохвидів.Потікатомів У напрямі,протилежному потокуатомів B, тому потокипросумованізізбереженням знака потокуатомів А.

деD=d2>/6,d -міжплощиннийінтервал, й

Тут D -єдифузія водиницяхдовжина2/годину,d -міжплощиннийінтервал, аt - збільшення годиниміжітераціями. Хочаструктури тутописаніодномірноюзмінною,ця модельєтривимірною, ізплощиннимизміннимиструктури щоописаніоднієюзмінною. А,щобзробитирезультати1D
>співрозмірними із 3D результатами мивирішиливключитистрибки уплощині встрибокшвидкості, й,отже,стрибокшвидкості в чиякому одному напрямідорівнює 1/6 відзагальноїшвидкостістрибка.

>Рівняння такого бути неможуть бутивирішеніаналітично, але й смердотіможуть бути легкообчисленічисельно.

5.3Рівння вкінцевихрізницях длядифузії в2D

як й для1Dрізницеверівняння длядифузіїможе бутизаписане взвичайнійформівикористовуючиусереднення двохпотоків.

де

5.4Різницевірівняння длядифузії в 3D

як й для1D й2D,різницеверівняння длядифузіїможе бутизаписане взвичайнійформі ізвикористанняусереднення двохпотоків

де

(40)

Колі параметр регулярногорозчину, =WZ,дорівнює нулю,цідиференціальнірівняннязводяться достандартнихрівняньдифузії.

5.5Безрозмірний годину

>Безрозмірний годину,,дорівнює

>Рис.3.Логарифмзростанняамплітудисинусоїдальногозбурення вчасі

Для окремихвипадків,множення наd2/D якщоперетворювати вреальний годину.


>ВИСНОВОК

Уданійроботі ми описали процесдифузій у сплавах.Застосувалинашітеоретичнізнання прирозгляді алгоритмуКеннета-Джексона таспробували практично йоговикористати.

>Найближчісусіднівзаємодії вроботіінтерпретувалися вновірівняння, котріописуютьдифузійніпроцеси под годинуфазовихперетворень йвпорядкувань.Дифузійні потокивиникають відхімічнихрухливостей, щодаютьхімічніпотенціали.Цірезультатизнаходяться учетвертійпохіднійрівняння вкінцевихрізницях, щоописує рухатомів под годинуфазовихперетворень йвпорядкувань.Результатицихрівняньвикористовують дляописуочікуванихзмін вмікроструктурах, що частозображалися лише намалюнках. Уметастабільномурегіоніміжспінодальною йфазовоюмежеюіснуютьдоситьвеликіфлуктуації, щогенеруютьфазовіперетворення у процесівутворення ядра. Уєдиномуфазовомурегіоні за межамидвофазного поляєкритичнезниженняшвидкості. Далеко відкритичної ділянки,вирівнюваннястаютьстандартнимидифузійнимирівняннями, де процессупроводжується лишеентропією.Чисельнірозрахункиописуютьтимчасовізміни вмікроструктурахпротягомспінодальногорозпаду йвпорядкування.Спостерігалосяпоширеннянестійкості успінодальнихрегіонах, й їхньогошвидкості буливизначені.Під годинускладнішихперетвореньміжатомними сортамиочікується зміну лишепевних деталей, а чи неістотноїцифри їхніповедінки.

>Очікується, що методможе бутизастосований добагатьохситуацій, деєвзаємодіяміжоб’ємнимиелементами.Рівнянняможутьописуватистрибкоподібнудифузію,також йвпорядкування, йможутьвирішуватизадачі Стефана длязростурозпаду.

 


СПИСОКВИКОРИСТАНИХДЖЕРЕЛ

1.Kenneth A.Jackson .>Diffusionduringphaseseparation Journal ofNonCrystallineSolids 365. – 2010. –pg. 1109-1130.

2.Уерт Ч., Томсон Р. Фізика твердого тіла Переклад з англійськоїПахамова О.С. – М.: Видавництво «Світ», 1969. – 560 з.

3. Гусак А.М., В. Г. Гриценко,Т.В.Запорожець.Статистичнафізика –основніположення тамоделі. –>Черкаси:ЧДУ,1998. –>288с.

4.Киттель Ч. Введення ЄІАС у фізику твердого тіла. – М.: Наука, 1978. – 793 з.

5.Сивухин Д.В. Загальний курс фізики. Том 2:Термодинамики і молекулярна фізика. – М.: Наука, 1975. – 554 з.

6.РумерЮ.Б.,РивкинМ.Ш. Термодинаміка. Статистична фізика йКинетика. – М.: Наука, 1977. – 553 з.


Схожі реферати:

Навігація