Реферати українською » Физика » Деякі рівняння математичної фізики в частинних похідних


Реферат Деякі рівняння математичної фізики в частинних похідних

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Федеральне агентство за освітою

>ГОУ "Ульяновський державний педагогічний університет ім. І. М. Ульянова"

Кафедра математичного аналізу

"Деякі рівняння математичної фізики у приватних похідних"

Ульянівськ, 2008 р.


Зміст

Запровадження

Глава 1. Рівняння гіперболічного типу

1.1 Завдання, що призводять до рівнянням гіперболічного типу

1.2Уравнение коливань струни

1.3 Метод поділу змінних.Уравнение вільних коливань струни

1.4 Рішення рівнянь

Глава 2. Рівнянняпараболического типу

2.1Уравнение поширення тепла в стрижні

2.2 Рішення завдань

Укладання

Література


Запровадження

Вивченням диференційних рівнянь у приватних похідних займається математична фізика. Основи теорії цих рівнянь вперше викладені у знаменитому ">Интегральном обчисленні" Л.Эйлера.

Класичні рівняння математичної фізики є лінійними. Особливість лінійних рівнянь у тому, що й U і V – два рішення, то функціяaU +bV за будь-яких постійних a і b знову розв'язує. Ця обставина дозволяє побудувати рішення лінійного диференціального рівняння з фіксованого набору його елементарних прийняття рішень та спрощує теорію цих рівнянь.

Сучасна загальна теорія диференційних рівнянь займається переважно лінійними рівняннями і спеціальних класів нелінійних рівнянь. Основний метод рішення нелінійних диференційних рівнянь у приватних похідних виступає чисельна інтегрування.

Коло питань математичної фізики тісно пов'язані з вивченням різних фізичних процесів. Сюди відносяться явища, студійовані в гідродинаміці, теорії пружності, електродинаміки тощо. Виникаючі у своїй математичні завдання є багато загальних елементів і вони становлять предмет математичної фізики.

Постановка завдань математичної фізики, будучи тісно що з вивченням фізичних проблем, має специфічних рис. Приміром, початкова й кінцева стадії процесу носять якісно різний характері і вимагають застосування різних математичних методів.

Коло питань, які стосуються математичної фізиці, надзвичайно широкий. У цьому роботі розглядаються завдання математичної фізики, що призводять до рівнянням із приватними похідними.

Розташування матеріалу відповідає основним типам рівнянь. Вивчення кожного типу рівнянь починається з найпростіших фізичних завдань, що призводять до рівнянням аналізованого типу.


Глава 1. Рівняння гіперболічного типу

 

1.1 Завдання, що призводять до рівнянням гіперболічного типу

Рівняння із приватними похідними 2-го порядку гіперболічного типу найчастіше зустрічаються в фізичних завданнях, що з процесами коливань. Найпростіше рівняння гіперболічного типу

називається хвилевим рівнянням. До дослідженню цього рівняння наводить розгляд процесів поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стрижня, електричних коливань в дроті, крутильних коливань валу, коливань газу тощо.

1.2Уравнение коливань струни

У математичної фізиці під струною розуміють гнучку, пружну нитку.Напряжения, що у струні будь-якої миті часу, спрямовані дотично до її профілю. Нехай струна довжини в початковий момент спрямована по відтинку осіОx від 0 до . Припустимо, що кінці струни закріплені в точках . Якщоструну відхилити від неї початкового становища, і потім надати сама собі чи, не відхиляючи струни, надати в початковий час точкам деяку швидкість, чи відхилитиструну і додати її точкам деяку швидкість, то точки струни здійснюватимуть руху – кажуть, що струна почне коливатися. Завдання залежить від визначенні форми струни будь-якої миті часу й визначенні закони руху кожної точки струни залежно від часу.

Будемо розглядати малі відхилення точок струни від початкового становища. Через це можна припустити, що рух точок струни відбувається перпендикулярно осіOx й у площині. У цьому припущенні процес коливання струни описується однієї функцією , що дає величину переміщення точки струни забсциссой x в останній моментt.

>Рис. 1.1.

Оскільки ми розглядаємо малі відхилення струни у площині , то будемо припускати, що довжина елемента струни дорівнює її проекції на вісьOx, тобто. Також будемо припускати, що натяг переважають у всіх точках струни однакове; позначимо його через Т.

Розглянемо елемент струни .

>Рис. 1.2.


На кінцях цього елемента, по дотичним до струні, діють сили Т. Нехайкасательние утворюють з віссюOx кути . Тоді проекція на вісьOu сил, діючих на елемент , дорівнюватиме . Оскільки кут малий, можна покласти , і ми не матимемо:

(тут застосували теоремуЛагранжа для вираження, який стоїть у квадратних дужках).

Щоб самому отримати рівняння руху, потрібно зовнішні сили, докладені до елементу, прирівняти силі інерції. Нехай - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде . Прискорення елемента одно . Отже, за принципомДаламбера матимемо:

.

>Сокращая на і позначаючи , отримуємо рівняння руху

.(1)

Це і хвилеве рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо.Искомая функція має відповідати ще граничним умовам, що вказував, що робиться кінцях струни , і початкових умов, що описує стан струни в початковий момент (>t = 0). Сукупність граничних і початкових умов називається крайовими умовами.

Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при нерухомі. Тоді незалежно відt повинні виконуватися рівності:

(2’)

(2’’)

Ці рівності є граничними умовами нашій завдання.

У початковий моментt = 0 струна має певну форму, що її їй додали. Нехай цій формі визначається функцієюf (x). Отже, має бути

(3’)

Далі, в початковий момент мусить бути задана швидкість кожній точці струни, що визначається функцією . Отже, має бути

(3’’)

Умови (3’) і (3’’) є початковими умовами.

Зауваження. Зокрема, може або . Якщо і , то струна перебуватиме у спокої, отже, .

 

1.3 Метод поділу змінних.Уравнение вільних коливань струни

Метод поділу змінних чи метод Фур'є, одна із найпоширеніших методів рішення рівнянь із приватними похідними. Переказ цього ми проведемо для завдання про коливаннях струни, закріпленої на кінцях. Отже, шукатимемо рішення рівняння

що задовольнить однорідним граничним умовам

  (9)

і початкових умов

(10)

>Уравнение (1) лінійно і однорідний, тому сума приватних рішень є також вирішенням цього рівняння. Маючи досить багато приватних рішень, можна спробувати з допомогою підсумовування його з деякими коефіцієнтами знайти дані рішення.

Поставимо основну допоміжну завдання: знайти рішення рівняння

нерівний тотожний нулю, що задовольнить однорідним граничним умовам

(11)

іпредставимое як твори

  (12)

де X (x) – функція лише змінного x, T (>t) – функція лише змінногоt.

Підставляючи ймовірний форму рішення (12) в рівняння (1), одержимо:

чи, після розподілу наXT,

(13)


Щоб функція (12) була рішенням рівняння (1), рівність (13) має задовольнятися тотожний, т. е. 0 ‹ x ‹ ,t › 0. Права частина рівності (13) є функцією лише змінногоt, а ліва – лише x. Фіксуючи, наприклад, деяке значення x та міняючиt (навпаки), одержимо, що права і ліва частини рівності (13) за зміни своїх аргументів зберігають постійне значення

(14)

де – стала, яку задля зручності наступних викладок беремо зі знаком мінус, щось припускаючи у своїй про її знаку.

З співвідношення (14) отримуємо звичайні диференціальні рівняння визначення функцій X (x) і T (>t)

(15)

(16)

Граничні умови (11) дають:

Звідси випливає, що функція X (x) має відповідати додаткових умов:

>X(0) = X() = 0, (17)


Оскільки інакше ми мали б

тоді як завдання відшукати нетривіального рішення. Для функції T (>t) в основний допоміжної завданню жодних умов немає.

Отже, у зв'язку з перебуванням функції X (x) ми дійшли найпростішої завданню свої значеннях: знайти значення параметра , у яких існують нетривіальні виконання завдання:

(18)

і навіть знайти рішення. Такі значення параметра називаються власними значеннями, а відповідні їм нетривіальні рішення – власними функціями завдання (18).Сформулированную в такий спосіб завдання часто називають завданням Штурму –Лиувилля.

Розглянемо окремо випадки, коли параметр негативний, нульовий чи позитивний.

1. При ‹ 0 завдання має нетривіальних рішень. Справді, спільне рішення рівняння (15) має вигляд

Граничні умови дають:


Х (0) = С1 +С2 = 0;

т. е.

Однак у аналізованому разі – справді помітні й позитивно, отже . Тому

С1 =0,С2 = 0

і, отже,

Х (>х)0.

2. При = 0 також фактично немає нетривіальних рішень. Справді, у разі рішення рівняння (15) має вигляд

Х (x) =С1х +С2.

Граничні умови дають:

т. е. С1 = 0 іС2 = 0 і, отже,


Х (>х)0.

3. При › 0 спільне рішення рівняння то, можливо записано як

Граничні умови дають:

ЯкщоХ(х) не одно тотожний нулю, тоD20, тому

(19)

Або

де n- будь-яке ціла кількість. Отже, нетривіальні виконання завдання (18) можливі лише за значеннях

Цим власним значенням відповідають власні функції


деDn – довільна стала.

Отже, лише за значеннях , рівних

  (20)

існують нетривіальні виконання завдання (11)

  (21)

зумовлені з точністю до довільного множника, який ми поклали рівним одиниці. Цим самим значенням n відповідають рішення рівняння (9)

  (22)

деAn іBn – довільні постійні.

Повертаючись до завданню (1), (9), (10), укладаємо, що функції

  (23)

є приватними рішеннями рівняння (1), задовольняючими граничним умовам (11) іпредставимими як твори (12) двох функцій, одній із яких залежить від x, інша – відt. Ці рішення можуть задовольнити початкових умов (10) нашої вихідної завдання лише окремі випадки початкових функційj(x) іy(x).

Звернімося до вирішення завдання (1), (9), (10) у випадку. З огляду на лінійності і однорідності рівняння (1) сума приватних рішень

  (24)

також задовольняє цьому рівнянню і граничним умовам (9). Початкові умови дозволяють визначитиAn іBn.Потребуем, щоб функція (24) задовольняла умовам (10)

(25)

З теорії рядів Фур'є відомо, що довільнакусочно-непреривная ікусочно-дифференцируемая функціяf(x), задана між тим , розкладається до кількох Фур'є

  (26)

де

  (27)


Якщо функціямиj(x) іy(x) задовольняють умовам розкладання до кількох Фур'є, то

(28)

(29)

Порівняння цих рядів з формулами (25) показує, що з виконання початкових умов треба покласти

  (30)

ніж повністю визначається функція (24), дає рішення досліджуваної завдання.

Отже, ми довели, що кілька (24), де коефіцієнтиAn іBn визначено за такою формулою (30), якщо він допускає дворазовепочленное диференціювання, представляє функцію u (x,t), що є рішенням рівняння (1) і задовольняє граничним і початкових умов (9) і (10).

Зауваження. Вирішуючи розглянуту завдання для хвильового рівняння іншим методом, можна довести, що кілька (24) представляє рішення у тому разі, що він передбачаєпочленного диференціювання. У цьому функція мусить бути двічідифференцируемой, а - одного разудифференцируемой.


 

1.4 Рішення рівнянь

1. Знайти рішення рівняння:

, якщо , .

Рішення:

Оскільки , а , то

,

де . Отже, , чи .

2. Знайти форму струни, обумовленою рівнянням в останній момент , якщо

3.  , .

Рішення:

Маємо

,

тобто.

, чи .


Якщо , то , тобто. струна паралельна осі абсцис.

4.Струна, закріплена на кінцях і , має у початковий момент форму параболи .

5. Визначити усунення точок струни від осі абсцис, якщо початкові швидкості відсутні.

Рішення:

Тут , . Знаходимо коефіцієнти низки, визначального рішення рівняння коливання струни:

; .

Для перебування коефіцієнта двічі інтегруємо частинами:

, , , ;

,

тобто.

 

, , , ;

 =

.

Підставляючи висловлювання для й одержимо:

.

Якщо , то , і якщо , то ; тому остаточно маємо

 

Нехай початкові відхилення струни, закріплене у точках і , рівні нулю, а початкова швидкість виражається формулою

 

Визначити форму струни нічого для будь-якого моменту часуt.

Рішення:

Тут , а інтервалі , і "поза цього інтервалу.

Отже, ;

 

 


Звідси

 

Або

 

 


Глава 2. Рівнянняпараболического типу

 

2.1Уравнение поширення тепла в стрижні

Розглянемо однорідний стрижень довжини . Будемо припускати, що бічна поверхню стрижнятеплонепроницаема і що в всіх точках поперечного перерізу стрижня температура однакова.Изучим процес поширення тепла в стрижні.

>Расположим вісь Ой отже один кінець стрижня буде збігатися з точкою x = 0, а інший – до точки x = .

>Рис. 2.1.

Нехай u (x,t) – температура всечении стрижня забсциссой x в останній моментt.Опитним шляхом встановлено, що швидкість поширення тепла, т. е. кількість тепла, викликаного через перетин забсциссой x за одиницю часу, визначається за формулою

(1)

де P.S – площа перерізу аналізованого стрижня,k – коефіцієнт теплопровідності.

Розглянемо елемент стрижня, укладений міжсечениями забсциссамих1 іх2 (>х2 –х1 = x). Кількість тепла, котрий пройшов перетин забсциссойх1 під часt, дорівнюватиме


 (2)

той самий забсциссойх2:

 (3)

ПритікQ1 -Q2 в елемент стрижня під часt дорівнюватиме:

 (4)

Цей приплив тепла під часtзатратился для підвищення температури елемента стрижня на величину u:

Або

 (5)

де з – теплоємність речовини стрижня, – щільність речовини стрижня (>xS – маса елемента стрижня).

>Приравнивая висловлювання (4) і (5) однієї й тієї ж кількості тепла , одержимо:


(6)

 

Це і рівняння поширення тепла (рівняння теплопровідності) в однорідному стрижні.

Щоб рішення рівняння (6) був цілком визначено, функція u (x,t) має відповідати крайовим умовам, відповідним фізичним умовам завдання.Краевие умови на вирішення рівняння (6) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званої першої крайової завданню для , такі:

u (x, 0) =(x), (7)

u (0,t) =1(t), (8)

u (,t) =2(t). (9)

Фізичне умова (7) (початкова умова) відповідає з того що в різних перетинах стрижня задана температура, рівна(x). Умови (8) і (9) (граничні умови) відповідають з того що на кінцях стрижня при x = 0 і за x = підтримується температура, рівна1(t) і2(t) відповідно.

>Доказивается, що рівняння (6) має єдине рішення, у області , що задовольнить умовам (7) – (9).


 

2.2 Рішення завдань

1. Завдання:

Вирішити рівняння

.

Рішення.Составим і вирішимо систему рівнянь характеристик

>Уравнение дає перший інтеграл .Преобразуем три дробу , використовуючи правило роботи із рівними дробами:

.

Звідси одержимо другий перший інтеграл

.

Візьмемо таке рівняння , підставимо і тоді рівняння, одержимо


.

Вирішимо отримане лінійне рівняння:

.

Одержимо третій перший інтеграл

.

2. Завдання

Знайти спільне рішення рівняння

.

Рішення:Составим і вирішимо систему рівнянь характеристик

Перший інтеграл дорівнює . Функція виду , де - довільнадифференцируемая функція, є спільною рішенням рівняння.

3. Завдання

Вирішити рівняння

.

Рішення.Составим систему рівнянь характеристик

.

Першу пару дробів дає перший інтеграл

>Подставим на другу пару дробів, одержимо

.

Інтегруючи останнє рівняння, одержимо другий перший інтеграл

.

Загальне рішення має вигляд


.

4. Завдання

Рішення завдання Коші

.

Рішення. Знайдемо два перших інтеграла.Составим систему

 гіперболічний коливання диференціальний теплопровідність інтеграл

Звідси одержимо перший інтеграл .

Вирішуючи рівняння за умови, що , одержимо другий перший інтеграл

>Подставим удвічі перших інтеграла:


Виключаючи з цього пари рівностей, одержимо зв'язок між першими інтегралами . Підставляючи замість і перші інтеграли, одержимо вирішення завдання Коші:

5. Завдання

Вирішити завдання Коші , .

Рішення. Знайдемо перші

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація