Реферати українською » Физика » Поняття стану квантово-механічної системи. Принцип суперпозиції


Реферат Поняття стану квантово-механічної системи. Принцип суперпозиції

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Зміст:

Запровадження

I. Поняття стануквантово-механической системи. Принципсуперпозиции.

1.1 Опис станівквантовомеханической системи.Волновая функція (амплітуда ймовірності).

1.2 Принципсуперпозиции станів.

1.3 Поняттягильбертова простору.

II. Оператори квантової механіки.

2.1 Оператори динамічних змінних.

2.2Алгебраические дії з операторами.

2.3 Власні функції і власні значення операторів.

2.4 Властивості власних значень і власних функційермитових операторів.

2.5 Оператори з безперервним спектром власних значень.

2.6Дельта-функция Дірака.

2.7 Оператори координати і імпульсу.

2.8 Співвідношення невизначеності.

Література


I. Поняття стануквантовомеханической системи. Принципсуперпозиций станів

1.1 Опис станівквантовомеханической системи.Волновая функція (амплітуда ймовірності)

Маючи гіпотезу деБройля у тому, що зона вільної частинки відповідає монохроматична хвиля, і навіть на численні експериментальні факти, які свідчать про наявності й культурному сенсі хвильових властивостей у частинок речовини, формулюємо1-ий постулат квантової механіки:

Станквантовомеханической системи визначається -функцією (власне кажучи, комплексної), що називається хвильової функцією чи амплітудою ймовірності.

-функція може залежати від просторових координатквантовомеханической системи та часу. Для однієї частки вдекартових координатах у разі маємо

>Квадрат модуля -функції

є можливість знайти частку у точці з координатами в останній момент часу . Ставлячи координати і час можна визначити значення -функції, отже, і щільність ймовірності локалізації частки у цьому чи іншому місці простору. Отже,квантовомеханическое опис стану системи пов'язано одночасно з всім простором. Можливість знайти частку в елементі обсягу (тобто. можливість, що її координати укладено не більше від до , від до , від до ) визначається вираженням

 (1.1.1)

Припустимо для простоти, що хвилева функція залежить від координати . Тоді середня значення цієї координати в останній момент часу визначається вираженням

. (1.1.2)

Для довільній функції

 (>1.1.2а)

Інтегрування проходить за всієї галузі змін незалежної перемінної.

Хоча термін "хвилева функція" використовується часто-густо, -функція може мати нічого спільного з функцією, яка описує хвилю у сенсі. Вона необов'язково повинна залежати від просторових координат, а може бути функцією інших динамічних змінних, наприклад, імпульсу, енергії тощо. Наприклад, є можливість те, що в останній момент часуквантовомеханическая система має імпульс . Тому -функцію краще називати амплітудою ймовірності. З допомогою -функції можна знайти розподілу ймовірностей для результатів виміру над системою.

Оскільки квадрат модуля -функції є щільність ймовірності відповідного значення динамічної перемінної в момент часу, вона (-функція) повинно бути однозначним, безупинної і кінцевої. Сукупність перелічених вимог називають стандартними умовами.

>Проинтегрировав ліву праву частина висловлювання (1.1.1) у всій області зміни незалежних змінних отримуємо:

, (1.1.3)

оскільки – щільність ймовірності локалізації частинок у цій точці, й частка обов'язково десь перебуває. Це співвідношення називається умовоюнормировки -функції (на одиницю). Оскільки незалежними перемінними може бути як координати, а й інші фізичні величини у випадку маємо

, (1.1.4)

де – твір диференціалів незалежних змінних. Наприклад, якщо -функція залежить від імпульсу частки, то .

Умованормировки накладає на -функцію вимогаквадратичнойинтегрируемости:

 (1.1.5)

Це означає що -функція повинна швидко убувати при прагненні незалежних змінних (наприклад, координат) до нескінченності. Бувають ситуації, коли -функція перестав бутиквадратичноинтегрируемой. У разі застосовуються інші способинормировки, доцільні з фізичною погляду. Для такихквантовомеханических систем втрачає сенс щільності ймовірності, але, можливо інтерпретована як величина пропорційна їй.

1.2 Принципсуперпозиции станів

Досвід свідчить, що можливими станамиквантовомеханической системи будь-якої миті часу існує певна зв'язок.Виражают її математично як співвідношень між відповідними –функціями і називають принципомсуперпозиции.

Якщоквантовомеханическая система може перебуває у стані , у якому фізична величина має значення або у стані , у якому той самий величина має значення , вона може міститися і може , якого за вимірі величини отримують або , або .

Це твердження узагальнюється будь-яку число різних станів:

, (1.2.1)

де постійні є, власне кажучи, комплексними числами. Отже, може величина є невизначеної.

Припустимо, що стану однакові: . Це означає, що фізична величина у тих станах має одну і також значення . З принципусуперпозиции слід:

Отже, виміру атмосферного явища величини може ми матимемо значення . Це означає, що гніву й однакові. Отже, -функцію можна множити на довільне комплексне число і навіть станквантовомеханической системи не змінюється. Це постійне число вибирають в такий спосіб, щоб виконувалося умованормировки хвильової функції. Тому його зазвичай називаютьнормировочним коефіцієнтом чи постійноїнормировки.

>Суперпозиция часто є у класичній фізиці. (Наприклад, суперпозиція класичних хвиль,напряженностей електричного поля тощо.) З погляду математики класична і квантовасуперпозиции аналогічні. Тому іноді використовують аналогію квантових систем з класичними (коливні струни, мембрани тощо.). Ці класичні системи також описуються лінійними рівняннями і, отже, підпорядковуються принципусуперпозиции. «Важливо пам'ятати, проте, що суперпозиція, що зустрічається в квантової механіці, істотно відрізняється відсуперпозиции, трапляється у будь-якій класичної теорії» [>1,с31]. Наприклад, внаслідоксуперпозиции двох класичних хвиль з'являється нову хвилю з новими властивостями (наприклад, нової амплітудою).Суперпозиция ж двох квантових станів, у яких деяка фізична величина має значення (у першому) і (у другому), не призводить до появи стану з новими значенням . При вимірі цієї величини всуперпозиционном стані матимемо або , або . Результат конкретного виміру передбачити не можна. І лише знайти можливість чи іншого результату.Неопределенность результатів виміру – принципова різниця квантовоїсуперпозиции від класичної. «Проміжний характер стану, освіченого внаслідоксуперпозиции, виявляється у тому, що можливість чи іншого результату виміру буде проміжної між відповідними імовірностями для вихідних станів, а чи не у цьому, що сама результат буде проміжним між відповідними результатами для вихідних станів» [>1,с.30]

1.3 Поняттягильбертова простору.

З принципусуперпозиции слід, що рівняння квантової механіки повинні прагнути бути лінійними. Справді, якщо є рішенням такого рівняння, то також має бути свідченням його рішенням.

З принципусуперпозиции слід також, що стану системи в квантової механіці повинні описуватися такими математичними величинами, які можна складати, множити на комплексні числа і навіть отримувати величини такої ж типу.

Отже, величини, що характеризують станквантовомеханической системи, вважатимуться елементами деякого лінійного функціонального простору. Що таке за простір? Раніше ми показали, що -функції є, зазвичай,квадратично-интегрируемими, тобто. такими, що

(Тут – твір диференціалів незалежних змінних від яких -функція. Інтегрування проходить за й усієї області зміни цих змінних). Отже, кожної -функції можна зіставити число


 (1.3.1)

Ця кількість називається нормою функції.

Існує аналогія між й абсолютною величиною речовинного чи комплексного числа. З допомогою абсолютної величини виробляється вимір відстаней на числової осі

Аналогічно поняття норми дає можливість безліч елементів (функцій) розглядати, як деякі «простір», де також робити виміру. Відстань між елементами й числом

Отже, безліч функцій, характеризуючих станквантовомеханической системи, утворюють метричне простір. Воно називається простором Гільберта. У цьому вся просторі можна визначити скалярне твір функцій:

. (1.3.2)

Якщо скалярне твір одно нулю:


то функції і вважаєортогональними. Норма визначається через скалярне твір функції саму він:

.

Властивості скалярного твори:

 (>1.3.3а)

 (>1.3.3б)

, лише коли (>1.3.3в)

З співвідношення (>1.3.3а) слід, що скалярне твір комплексної функції саму він речовинно:

Зазначені властивості -функції аналогічні властивостями векторів в евклідовому просторі. Цю аналогію розглянемо докладніше щодо операторів квантової механіки.

Отже, безліч станівквантовомеханической системи то, можливо представлено як простір Гільберта.

>Гильбертово простір є чимало елементів (у разі – функцій, характеризуючих стан квантової системи), у якому визначено операції складання, множення на число і скалярне твір з зазначеними вище властивостями (1.3.3).


Питання для самоперевірки

1. Сформулювати перший постулат квантової механіки.

2. Яка зв'язок між -функцією системи та ймовірністю результатів виміру фізичних величин у цьому стані?

3. Сформулювати принципсуперпозиции станів.

4. Пояснити, ніжквантовомеханическая суперпозиція відрізняється від класичної?

5. Охарактеризуйте поняття "простір Гільберта".

Вправи

1.1. Частка локалізована у сфері на осі та її описується функцією . Знайти коефіцієнтнормировки.

1.2. Стан частки, локалізованої на осі в інтервалі описується функцією . Знайти можливість прямої її виявлення у сфері .

1.3. Стан частки в момент часу описується хвильової функцією , що є суперпозицію хвиль деБройля з амплітудами мало несхожими хвилевими числами в інтервалі . Визначити розподіл щільності ймовірності місцезнаходження частинки й розмір області їх локалізації.

1.4. У час часу хвильова функція частки має вигляд , що й – постійні. Визначитинормировочний коефіцієнт , зобразити приблизний вид залежність від і науковотехнологічна галузь локалізації частки.

Вказівка. Розподіл ймовірностей, описуване щільністю виду

називається нормальним чигауссовским, – середнє випадкової величини, – її дисперсія.

1.5. Частка локалізована на осі з економіки та неї описується функцією

Обчислити середнє її координати ідисперсию .


2. Оператори квантової механіки

2.1 Оператори динамічних змінних

Функція є рецепт, дозволяє у цій числу x знайти інше число . Так само оператор – рецепт, дозволяє по заданої функції знайти іншу функцію . Оператор визначено на деякому безлічі функцій, якщо зазначено дію, з допомогою якого кожної функції безлічі порівнюється інша функція: . (Оператор будемо позначати буквою зі “капелюшком”).

Приклади:

1. Якщо функція виходить з з допомогою операції диференціювання, це можна записати так:

,

де - оператор, діючий на функцію .

2. У фізиці часто використовують операторЛапласа:

.

3. Оператор множення на незалежну зміну x:

.

Фізика оперуєнаблюдаемими процесами, явищами, об'єктами. Спостереження, виміру завжди пов'язані з взаємодією досліджуваного об'єкта з чимось зовнішнім (оточенням, приладом, спостерігачем). Це взаємодія завжди супроводжується обуренням досліджуваного об'єкта. У класичній фізиці передбачалося, що це обурення можна зробити все як завгодно малим і це знехтувати. Проте існування кванта дії означає, що є межа дрібниці обурення, яким для мікрооб'єктів знехтувати не можна. Вимірювання в квантової механіці – взаємодіямакроприбора з мікроскопічної системою – істотно змінює стан останньої. Фізичною процедурі виміру перетворилася на математичному формалізмі теорії відповідає оператор, діючий на -функцію, що характеризує стан системи. Вимірювання змінює стан системи, оператор змінює -функцію, що характеризує стан.

Наступне твердження вважається однією з постулатів квантової механіки:

кожної фізичної величині в квантової механіці відповідає оператор . Він визначається в такий спосіб, щоб середнє цієї величини може виражалося співвідношенням

                                (2.1.1)

чискобочной формі

                                     (>2.1.1а)

Тутq – набір незалежних змінних, від яких -функція, – твір диференціалів цих змінних. Інтегрування проходить за всій області зміни незалежних змінних. Оператори динамічних змінних позначають тими самими літерами, як і відповідні фізичні величини, але з “капелюшком” з них. Наприклад, оператор координати , оператор імпульсу , оператор енергії тощо.

Щоб не порушувався принципсуперпозиции, оператори динамічних змінних в квантової механіці мали бути зацікавленими обов'язково лінійними. Застосування оператора досуперпозиции функцій це має рівнятисясуперпозиции результатів дії цього оператора до кожної з функцій і . Оператор називається лінійним, коли він задовольняє умовам:

,

де з – довільна стала. Ці умови можна поєднати

.

Типові приклади лінійних операторів: множення на незалежну зміну , диференціювання по x .

Оператори динамічних змінних повинні прагнути бути обов'язковосамосопряженними (>ермитовими). Це випливає з вимоги, щоб обчислювані у процесі дослідів фізичні величини виражалися дійсними числами. Отже, середнє фізичної величини, представленої оператором , також має бути дійсним числом, тобто.

.

Використовуючи співвідношення (2.1.1) запишемо це рівність в інтегральної формі

                              (2.1.2)

чи з допомогою скобок

                  (>2.1.2а)

Оператори, котрим виконується це співвідношення, вважаютьсясамосопряженними (>ермитовими). Дамо загальне визначення такого оператора.

Кожному оператору можна навести у відповідність інші: комплексно що вимагає ним ,транспонированний , у поєднанні .

Оператор є комплексносопряженним з оператором , якщо виконується співвідношення: .

Оператори і називаютьтранспонированними друг з одним, якщо виконується співвідношення

                     (2.1.3)

чискобочной формі

. (>2.1.3а)

Оператор називаютьсопряженним оператору . Отже, для довільній пари функцій й операторів і має місце співвідношення

                          (2.1.4)

чи інтегральної формі

. (>2.1.4а)

>Самосопряженним називається оператор, коли він дорівнює своємусопряженному: =.

З співвідношення (2.1.4) слід, що зсамосопряженного оператора та довільної пари функцій це має виконуватися рівність:

                           (2.1.5)

чи

                  (>2.1.5а)

Приклад. Знайти оператор, що вимагає . Чи є цей операторсамосопряженним?

>Подставим оператор у ліві частина рівності (>2.1.4а) іпроинтегрируем отриманий інтеграл частинами:


.

Оскільки , маємо

.

Порівнюючи це співвідношення з (>2.1.4а), отримуємо . У разі , тому оператор - не єсамосопряженним.

2.2Алгебраические дії з операторами

Маючи розпорядженні кілька простих операторів можна з них складніші.

Сумою операторів і називають оператор , що визначається так:

.

Символічно це записується так:

.

Наприклад,

Твором операторів і називати оператор , що визначається так:

,

причому на функцію спочатку діємо найближчим до неї оператором, і потім на отриманого результату – наступним,

.

Символічно твір операторів записується як .

Наприклад, .Подействуем твором цих операторів на функцію :

.

Якщо дію однієї й тієї ж оператора повторюється n якщо це записується як ступеня цього оператора:

.

Наприклад,

.

Твір операторів залежить від порядку множників. Наприклад, якщо , то Але . Вочевидь, у цьому разі . Отже, оператори, власне кажучи, єнекоммутативними (>неперестоновочними). Якщо , то оператори називаютькомутирующими. І тут . Вислів називають комутатором.

2.3 Власні функції і власні значення оператора

Унаслідок оператора на функцію часом буває те ж саме функція, помножена на певна кількість а:

 (2.3.1)

Наприклад,

.

Якщо має місце рівняння (2.3.1) і функції задовольняють стандартних умов (кінцівку, безперервність, однозначність), то називають власної функцією оператора , а число – її ж значенням, відповідним даної власної функції . Співвідношення (2.3.1) називають рівнянням власних значень оператора. Сукупність чисел , у яких це рівняння має рішення, що задовольнить стандартних умов, називають спектром власних значень оператора. Спектр власних значень може бути як дискретним, і безперервним безліччю. Якщо спектр власних значень дискретний, то власні функції і власні значення нумерують:

, n = 1, 2, 3,…

Кількість n називають квантовим.

Іноді одному й тому власному значенням відповідає кілька власних функцій. У разі кажуть, що власний значення євирожденним. Кількість різних функцій, що належать одному й тому власному значенням, називають кратністю виродження.

Перейдемо до фізичного інтерпретації розглянутих вище математичних понять. Відхилення фізичної величини A від

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Схожі реферати:

Нові надходження

Замовлення реферату

Реклама

Навігація