Реферати українською » Физика » Елементи теорії уявлень


Реферат Елементи теорії уявлень

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Елементи теорії уявлень


1. Основи теорії уявлень. Різні уявлення хвильової функції (різні уявлення станів)

2. позначення Дірака

3. Перетворення операторів від однієї уявлення до іншого

 


Запровадження

До сформування нової фізичної теорії необхідноcформулировать систему постулатів, знайти математичний апарат, відповідний фізичному змісту аналізованих труднощів і встановити зв'язок фізичних фактів з математичним формалізмом.

Для формулюванняньютоновской механіки знадобилося розвиток диференціального і інтегрального обчислення. 1920-го столітті сталися серйозні зміни у уявленнях фізиків про математичних засадах їх науки. Закономірності мікросвіту кардинально відрізняються від законів макроскопічного світу, з якого ми є.

Одна з основних понять квантової механіки – поняття стануквантово-механической системи. Сенс цієї поняття на квантової і класичній фізиці різний. Зміст поняття стануквантово-механической системи буде з'ясовуватися поступово у процесі вивчення.

Щодо стані системи одержують у процесі виміру, тобто. при взаємодії квантової системи з макроскопічним приладом. Тому результати виміру характеризуються тими самими фізичними величинами, які використовуються у класичної макроскопічної фізиці. Фізичні величини в квантової механіці часто називають динамічними перемінними чинаблюдаемими. У квантової механіці фізичні величини мають іншу математичну природу, ніж у класичної, оскільки стануквантово-механической системи та динамічні перемінні "взаємопов'язані дуже дивним чином, який незбагненний з класичною погляду". [1,c31].

У квантової механіці вивчаються такі явища, які можна пояснити з допомогою відомих раніше понять. Адже наша мову – це "зліпок з повсякденного досвіду людини, він зможе вийти межі цього досвіду. Класична фізика таки обмежується розглядом явищ, які мають у своєму мові адекватний словеснийеквивалент".[1]

Під час вивчення явищ, що відбуваються на іншому структурному рівні організації матерії, допоможе приходить інше мову – математика. "Математика є знаряддя, спеціально пристосоване для оволодіння різного роду абстрактними поняттями і чи цьому плані її могутність безмежно". [1,c13]. "Проте, – вважає П. Дірак, – математика є лише знаряддя, і треба вміти володіти фізичними ідеями безвідносно до математичної формі". (Саме там). Вибір математичних методів, адекватних фізичної сутності завдання, максимально повне простежування аналогій між поняттями і чи методами математики фізики сприяє формуванню сучасного фізичного мислення. У той самий час освоєння абстрактних математичних об'єктів можливе лише за реалізації фізичними об'єктами.

Для описи квантових властивостей матерії можна використовувати різний математичний апарат. У1925г. ВернеромГейзенбергом було створено матрична механіка. У цьому року, але трохи пізніше, Еге.Шредингер створив хвилясту механіку. Він довів також, що обидві формулювання еквівалентні. Найбільш вишукана формулювання квантової механіки створена1930г англійськими фізиком П.Дираком. Саме це формулювання зараз найчастіше використовується. Усі формулювання квантової механіки еквівалентні, може бути перетворені один одного і приводять до однакових фізичним результатам.


1. Основи теорії уявлень. Різні уявлення хвильової функції (різні уявлення стану)

Стануквантово-механической системи характеризується хвильової функцією чи амплітудою ймовірності. Незалежні перемінні, функцією якої вона є, можуть бути різними. Наприклад,декартови координати системи

,

значення її імпульсу

 

тощо. п. Букви, які позначають незалежні перемінні, називають індексом уявлення. Індекс хвильової функції (у разі ) позначає набір значень фізичних величин чи керівники відповідних квантових чисел, які характеризують дане стан. Тому цей індекс зазвичай називають індексом стану.

Якщо хвильова функція залежить від координат, то опис стану з допомогою такий функції називаютькоординатним поданням. Наприклад, для вільної частки, що просувалася вздовж осі , вкоординатном поданні.

>Волновую функцію , що характеризує стан системи, розкласти до кількох за власними функцій оператора динамічної перемінної . Якщо це оператор має дискретний спектр власних значень, т. е.

, то

 

Коефіцієнти розкладання визначаються з висловлювання

 

(Тут, як і зараз, – твір диференціалів незалежних змінних). У § 2.4.2 був з'ясований фізичний суть цих коефіцієнтів: є можливість те, що може, описуваних -функцією, фізична величина, представлена оператором , має значення . Отже можна буде амплітуди ймовірності, якщо незалежної перемінної є величина . Сукупність амплітуд є хвильової функцією в - поданні. Цю сукупність можна як матриці з однією стовпцем

 

Якщо спектр власних значень оператора безперервний, то аналогічно маємо

Приклад 1. Записати скалярне твір двох функцій й у - поданні.

Компоненти й у - поданні знаходимо, розкладаючи цих функцій до кількох за власними функцій оператора :

, (>)

 (>)

 (>) (>V).

>Подставляем розкладання (>) і (>) в скалярне твір функцій:

.

Змінюючи місцями знаки підсумовування і інтегрування та враховуючиортонормированность власних функцій оператора отримуємо:

.

Щоб самому отримати такий вислів за правилом множення матриць, слід перемножитиматрицу-строку

 (V)

наматрицу-столбец (>):

Матриця (V)транспонирована стосовно матриці (>V) і його елементи комплексно пов'язані з елементами останньої. Така матриця називається пов'язану з і позначається . Отже, комплексно пов'язаною функції під знаком інтеграла відповідає сполучена матриця.

2. позначення Дірака

Проведено аналогія між власними функціямиермитових операторів іортами прямокутних координатних осей. Продовжимо її обговорення.

Вектор в - мірному просторі задається сукупністю , власне кажучи, комплексних величин, званих компонентами цього вектора

 

Аналогія між співвідношеннями і очевидна. Вислів визначає вектор через його проекції на осі координат в багатомірному просторі. Вислів є розкладанням -функції власним функцій деякого оператора. Системуортонормированних власних функцій , отже, можна як базис вбесконечномерном просторі, а величини – як компоненти -функції осях цього базису. Залежно від вибору базису (т. е. від вибору системи власних функцій, отже, від вибору уявлення) виходить та чи інша сукупність компонент .

Перехід від однієї уявлення до іншого геометрично означає перехід не від системи координат, освічених засадничими векторами (власними функціями) одного оператора до системи координат, освічених засадничими векторами (власними функціями) іншого оператора. Отже, квантове станмикрообъекта необов'язково має характеризуватися хвильової функцією у просторі.Квантовое стан не зводиться лише до якийсь сукупності амплітуд ймовірності

тощо. п. Кожна з цих сукупностей відбиває жодну зі сторін поняття квантового гніву й є одним із можливих його реалізацій. Аналогічно, вектор в - мірному евклідовому просторі то, можливо представлений сукупністю його проекцій у різних системах координат:

,

тощо. п. Тут – базисні вектори (орти), наприклад, в сферичної системі координат, – вдекартовой.

Ця аналогія привела П. Дірака до думки характеризувати стан системи вектором стану вбесконечномерномгильбертовом просторі. Вектор стану запропонував позначати символом . У дужки, поДираку, повинен поміщатися індекс стану, т. е. величина чи набір величин, які визначають стан системи. Наприклад, якщо система перебуває у стані з енергією , то записують чи . Цей вектор стану називаютькет-вектором. Він характеризує стан системи незалежно від вибору уявлення.Кет-вектору порівнюєтьсябра-вектор,обозначаемий дзеркально відбитій дужкою .Бра-вектор пов'язані зкет-вектором співвідношенням =+. Наприклад, якщо сукупність компоненткет-вектора представленій у вигляді матриці

=, то =+=.

Усередині дужки поміщається індекс уявлення. Наприклад, | означає, що використовується координатне уявлення.Скалярное твіркет ібра-векторов позначається повнимскобочним вираженням і становить число. Наприклад, хвилева функція в - поданні з допомогою скобок записується так: .Волновая функція вільної частки, що у стані певним значенням імпульсу вкоординатном поданні (час фіксоване):

,

Назва «бра» і «>кет» відповідають двом частинам англійського слова «>bracket» (дужка).

>Волновая функція (амплітуда ймовірності), як відомо, характеризує ймовірність результатів вимірів, проведених над системою.Скобочное вираз складено отже справа вказується початкова стан, а зліва – то яке переходить система виміру атмосферного явища, т. е. кінцеве. Отже,скобочная запис читається справа-наліво. Наприклад, є амплітуда ймовірності те, що система матиме координату , якщо вона може яке характеризується імпульсом .

>Уравнение власних значень в позначеннях П. Дірака можна записати як:

 

Тут власний вектор станів позначається тієї ж буквою, як і відповідне власне значення. Запишемо, користуючись цими позначками, вираз. Нехай вектор стану системи, а – базисна система векторів. Тоді

>=, де

Вектор стану системи – поняття більш абстрактне, ніж хвилева функція. Залежно від вибору незалежних змінних (уявлення) вектору стану можуть відповідати різні хвильові функції: вкоординатном поданні – , в імпульсному – , у енергетичному – тощо. Тобто. хвилева функція є проекція вектора стану на відповідний базисний вектор.

Одержимо в позначеннях Дірака умова повнотиортонормированного базису. Воно це часто буває корисним під час використання цього формалізму.

Нехай - одиничний оператор, який кожному вектору стану ставить за відповідність хоча б вектор:

Уявімо як розкладання поортонормированному базису (тобто. у системі власних векторів оператора ):

>Подставляем це розкладання в:

З огляду на довільності вектора отримуємо


Це співвідношення і є умовою повноти в позначеннях Дірака.

Приклад. Записати в позначеннях Дірака середнє фізичної величини представленої оператором , якщо вже стан системи характеризується вектором стану . (Спектр власних значень оператора вважати дискретним).

Середнє значення дискретної випадкової величини дорівнює сумі допомоги творів її можливих значень з їхньої ймовірності:

Тут - власні значення оператора , - його власні вектори і - хвилева функція системи в - поданні.Преобразуем вираз для середнього значення, користуючись властивістю скалярного твори

У цьому перетворення використано умова повноти

Отже, в позначеннях Дірака

квантовий уявлення хвильової стан


 

3. Перетворення операторів від однієї уявлення до іншого

Нехай оператор заданий вкоординатном поданні та переводить функцію до функцій :

Розкладемо функції й у ряд за власними функцій оператора . Спектр власних значень цього оператора для визначеності вважатимемо дискретним

:

Сукупність амплітуд є хвилева функція в -поданні, сукупність амплітуд - хвилева функція в -поданні.Подставим розкладання (3.3.2) і (3.3.3) в (3.3.1):

Помножимо ліву праву частини цієї рівності на іпроинтегрируем у всій області зміни незалежних змінних. Знаки підсумовування і інтегрування змінюємо місцями. Оскільки власні функціїортогональни інормировани, тобто.


, маємо

Вводячи позначення

отримуємо

Якщо спектр оператора безперервний, маємо аналогічно

Отже, з допомогою набору величин можна хвилясту функцію в - поданні, що є сукупністю амплітуд, перетворити на хвилясту функцію у тому поданні. Тому сукупність величин є оператором в - поданні. Його можна як матриці:

>Величини називають матричними елементами. У позначеннях Дірака

Отже, оператори квантової механіки можуть бути в матричної формі. Бо у квантової механіці застосовуються лишеермитови оператори, задовольняють умові, т про.

Такі матриці називаютьсамосопряженними чиермитовими.

Отже, кожної фізичної величині відповідає чимало, а безліч операторів. Вигляд оператора даної фізичної величини залежить від вибору незалежних змінних. Знаючи оператор фізичної величини щодо одного поданні, можна знайти їх у інших уявленнях. Наприклад, якщо відомий вид оператора в -поданні, то тут для отримання їх у матричної формі в -поданні треба скористатися власними функціями оператора в -поданні до відповідність до формулою (3.3.4). Властивості фізичної величини (>ермитовость її оператора, спектр власних значень, середнє тощо.) не залежить від вибору уявлення. (Аналогія з принципом відносності Ейнштейна: закони природиинвариантни (незмінні) під час переходу від однієїинерциальной системи звіту в іншу).

Приклад. Знайти матричні елементи оператора у його власному поданні.

І тут в (3.3.4) – власна функція оператора :


З допомогою цього рівняння перетворимо вираз для матричного елемента (3.3.4):

Оскільки власні функціїортогональни інормировани, отримуємо: . Отже, у своїй власній поданні будь-який оператор в матричної формі є діагональної матрицею, діагональні елементи якої рівні власним значенням цього оператора:

Отже, щоб знайти власні значення оператора, заданого у вигляді матриці, потрібно привести цю матрицю додиагональному виду.

Приклад. Записати середнє фізичної величини, представленої оператором , в матричної формі.

нехай у вираженні

хвильова функція і оператор задано вкоординатном поданні. Перейдемо до - уявленню. Скористаємося розкладанням (3.3.2) функції до кількох за власними функцій оператора . Підставляючи в вираз для середнього значення й змінюючи місцями знаки підсумовування і інтегрування, отримуємо

 

Сукупність є матриця з однією стовпцем. Сукупність - сполучена матриця з одного рядком. Тому (3.3.8) можна записати як твір відповідних матриць:

де - оператор в - поданні.

Питання для самоперевірки

 

1. Що називають індексом стану? індексом уявлення?

2. Як, знаючи хвилясту функцію системи щодо одного поданні, знайти їх у іншому поданні?

3. Як, знаючи вид оператора щодо одного поданні, знайти їх у іншому поданні?

4. Визначте поняття матричного елемента оператора.

5. Що таке матричні елементи оператора у його власному поданні?

6. Що таке вектор стану,кет-вектор,бра-вектор? Яка зв'язок між і ?

7. Яка зв'язок між вектором стану системи та її хвильової функцією?

8. Записати в позначеннях Дірака хвилясту функцію системи в - поданні та в - поданні, коли його вектор стану .

9. Змінюється чи середнє фізичної величини за переходу до іншому уявленню?

10. Записати в матричної формі (в - поданні) вираз для середнього значення величини, відповідної оператору .

Вправи

 

3.1 Знайти оператори координати і імпульсу в імпульсному поданні.

Рішення. Для простоти розглядаємо одномірне рух вздовж осі . Укоординатном поданні

, (див §2.7).

У імпульсному (тобто. у своїй власній) поданні . Знайдемо оператор координати.

Спосіб 1. Скористаємося тим, що середнє фізичної величини залежить від використовуваного уявлення:


 (I)

У лівої частини рівності все величини дано укоординатном поданні, у правій – в імпульсному. Зв'язок між хвилевими функціями вкоординатном і імпульсному уявленнях визначається співвідношенням

,

Де

 - власна функція оператора вкоординатном поданні. Тому

 (II)

>Подставляем цей вислів у ліві частина рівності (I):

 (III)

>Множитель вподинтегральном вираженні правій частині рівності знайдемо з співвідношення:


.

Отримуємо:

.

Користуючись цим співвідношенням, перетворимо праву частина рівності (III):

 (IV)

При інтегруванні по отримуємо

,

адже й . (Стан із неймовірно великим імпульсом неможливо.) Ураховуючи цей результат, перепишемо рівність (IV):

 (V)

Оскільки

 =

праву частина співвідношення (V) можна переписати як

Використовуючи властивість -функції (2.6.3) знаходимо інтеграл по :

З огляду на зроблені перетворення, переписуємо рівність (V):

Порівнюючи це вираженні з співвідношенням (I) отримуємо

Спосіб 2. У матричної формі оператор координати в імпульсному поданні є безкінечною безупинної матрицею з матричними елементами:


Тут - власна

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація