Реферати українською » Физика » Велике канонічне розподіл Гіббса


Реферат Велике канонічне розподіл Гіббса

Лекція: Велике канонічне розподіл Гіббса.

 

План:

1. Функція розподілу системи, обмеженою уявлюваними стінками.

2. Великий канонічний формалізм.

3.Термодинамическая інтерпретація розподілів Гіббса.

1.Розглянемо побудова термодинамічної формалізму, що з виділеннямтермодинамической системи з допомогою уявних стінок (). Попри те що, вже саме визначення хімічного потенціалу є досить складним завданням (їх кількість безпосередньо не вимірюється, а обчислюється з урахуванням непрямих вимірів, причому, досить складною чином), відмови від точної фіксації числа частинок істотно спрощує розгляд низки завдань.

      Вочевидь, що розглянута раніше фіксація числа частинок N з точністю до 1 прим. носить ідеалізований характері і за рахунком представляє формальний прийом, який полегшує аналіз. Тоді як як як енергія, а й число частинок виявляються розмиті про числу частинок близько середнього значення . Як багато і для розкиду , розкид захоплює порівняно велика кількість частинок ().

      Вважаючи далі, що систему виділено з допомогою уявних стінок і кількість N може бути включено до змінних стану системи, скористаємося пов'язаною до величиною – хімічним потенціалом . Оскільки величина внутрішньої енергії також залежить від кількості частинок її треба замінити на величину (див. тему №3)

      ТодіII-е початок термодинаміки дляквазистатических процесів, має вид:

   (>7.1а)

перетвориться до виду:

      (>7.1б)

      Знайдемо функцію розподілу помикроскопическим станамтермодинамической системи. Вочевидь, цю функцію має відповідати ряду вимог:

1. Розподіл має визначати ймовірність знайти систему може із наперед заданими значеннями N і n. Тут N – число частинок у системі (з точністю до 1 штуки), - набір квантових чисел, визначальних мікроскопічне стан системи N тіл.

2. Бажано, щоб у ролі макроскопічних змінних, що описують стантермодинамической системи, використовувалися величини ().

3. Отримане розподіл має бути зосередженим близько значення за кількістю частинок N і майже значення по енергії.

     Сформулированное вимога дозволяє вживати закономірності і припущення, призначені основоюмикроканонического і канонічного розподілів.

      Вочевидь, величина при фіксованому представляє середнє мікроскопічних характеристик . Тоді, враховуючи сформульовану вище аксіому проравновероятностимикросостояний, відповідних заданомумакросостоянию, вираз задля розподілення помикроскопическим станам , можна записати, за аналогією змикроскопическим розподілом Гіббса (5.12):

.      (7.2)

Тут - зосереджена близько нуляквазикронекоровская функція (), -нормировочная сума (аналог статистичного ваги):

      (7.3)

Як відомо, основнаасимптотика статистичного ваги Р при залежить від вибору типу стінок, обмежують термодинамічну систему. Тобто вона залежить від вибору набору макроскопічних параметрів : (), (), () тощо., фіксують рівноважний стан системи. Тоді введена величина пов'язана з неї за суті є статистичним вагою Р і енергією P.S >термодинамической системи

      З огляду на (6.8), що становить явне вираз функції , перепишемо (7.2) як:

При записи (7.4) було використане вираз (3.21) для термодинамічної потенціалу “омега” .

      Знайдемо вираз длянормировочной суми , підставляючи в (7.3) вираз (6.8) для функції :

Оскільки, відповідно до (5.11)

одержимо:

      (7.5)

Для подальшого аналізу розкладемо ентропію в статечної ряд за співвідношенням кількості частинок N від середнього термодинамічної значення , обмежуючись членами другого порядку. У цьому врахуємо: (див.ф-лу (3.28)). Тоді одержимо:

Підставляючи отриманого результату в (7.5), знаходимо:

З огляду на велика кількість частинок N і, положиста , перейдемо від підсумовування у тому вираженні доинтегралу. Отримуємо:

      (7.6)

>Вичислим інтеграл в отриманому рівність:

Підставляючи отриманого результату в (7.6), отримуємо:

Тоді вираховуючи на обох частинах останнього рівності межа при і відкидаючи у правій частинісомножители, ростучі повільніше, ніж , отримуємо:

      (7.6)

Підставляючи (7.6) в (7.4), знаходимо:

     (7.7)

Вислів (7.7) одержало назву великого канонічного розподілу Гіббса. Включаючи у собі канонічне розподіл (6.15) як окреме питання, цей розподіл також має розподіл за кількістю частинок. Якщо , то (7.7) набирає вигляду (6.15).

      Нормировочная сума:

(7.8)

отримав назву великий статистичної суми. Ця величина пов'язані з термодинамічним потенціалом у вигляді співвідношення:

      (7.9)

      За необхідності, використовуючи апарат макроскопічної термодинаміки можна здійснити в (7.8) перехід решти змінним. Покажемо, що у прикладі переходу від () і (). З (7.1) слід:

 чи товариства тощо.

Отримані рівності можна яктермодинамические рівняння щодо хімічного потенціалу, розв'язанням яких буде вираз . А враховуючи (3.21): , можна виключити зміну , висловлюючи його вигляді . Тоді для ентропії і статистичного ваги, можна записати:

      (7.10)

Так проводиться перерахунок та інших змінних гніву й параметрівтермодинамической системи.

      Як і розглянутий раніше канонічному розподілі, для великого канонічного розподілу можна показати, що надзвичайно зосередженим розподілом як за кількістю частинок N, і по енергії Є.

      Скористаємося аналогією з виконаним попередній темі розрахунком ширини канонічного розподілу по енергії. Тоді ширина розподілу по N розраховується з урахуванням дисперсії і штучним виявляється рівної

      (7.11)

Тут - макроскопічні усереднення концентрації частинок.

      Тоді для відносної флуктуації числа частинок, отримуємо:

      (7.12)

Отже, допустимі великим канонічним розподілом стану із кількістю частинок N зосереджено вузькому інтервалі значень поблизу точки .Ширина цього інтервалу граничному статистичному разі котиться до нуля згідно із законом . Нескладно отримати й вид розподілу за кількістю частинок. Виконуючи таку ж послідовність дій, що у попередньої темі щоб одержати розподілу по енергії , дійшли наступному розподілу:

      (7.13)

Легко бачити, що (7.13) з математичної погляду представляє розподіл Гаусса з математичним очікуванням ідисперсией .

      З іншого боку, велике математичне розподіл можна використовувати визначення дисперсії енергії . Використовуючи співвідношення , проводячи безпосередні обчисленні та враховуючи (6.19), у результаті одержимо:

      (7.14)

2.>Введений у питанні великий канонічний формалізм Гіббса є замкнутий апарат рівноважної статистичної механіки.

      Запишемо алгоритм проведення конкретних розрахунків із використанням великого канонічного розподілу:

1.Ищется рішення рівняння Шредінгера кожному за значення N не більше :

      (7.15)

2. Здійснюється обчислення у головній по V (чи з )асимптотике великий кінетичною суми:

      (7.16)

Знаючи явний вид висловлювання (7.16), може бути враховано термодинамічний потенціал “омега” і всітермодинамические характеристики системи:

       тощо.

Зауважимо, що цетермодинамические характеристики задаються в змінних ().

      З іншого боку, то, можливо знайдено велике канонічне розподіл

Це розподіл дозволяє розрахувати середні значення будь-яких динамічних величин, дисперсії флуктуації (при фіксованих ) тощо.

      У разі потреби, яка, зазвичай, виникає, виробляється перерахунок отриманих результатів від змінних () до змінним (), який натермодинамическом рівні.Уравнение

дозволяється щодо .

      Це дозволяє вилучити з результатів, здобутих у пункті 2. Наприклад,

Зауважимо, що процедуру перерахунку успіхів у інших змінних можна і за обчисленні статистичних сум.

3.Підіб'ємо підсумок отриманих результатів відповідно до у різний спосіб виділеннятермодинамической системи із оточення. Тобто фактично наведемо загальну структуру рівноважної статистичної механіки, яка нами було побудовано, стосовно різним способам термодинамічної описи систем багатьох частинок:

1) Система задиабатическими стінками. І тут фіксуються параметри (). Функція розподілу Wn, визначальна структуру змішаного стану, виражається з допомогоюмикроканонического розподілу Гіббса:

,

а аналітичний вагу

пов'язані з макроскопічної характеристикою – ентропія:

,

що є термодинамічним потенціалом для змінних стану ().

      Це уявлення має переважнообщетеоретический інтерес, оскільки у його основі чітко видно основні постулати та обмеження. За підсумками яких здійснюється побудова статистичної механіки.

2) Система в термостаті, - стан задається параметрами (). Функція розподілу Wn задається канонічним розподілом Гіббса:

Статистична сума

пов'язані з макроскопічним параметром – вільної енергією

,

що є термодинамічним потенціалом в змінних ().

3) Система, виділена з допомогою уявних стінок. Узятий спосіб описи дуже зручний і дуже використовується, особливо у статистичної механіці класичних систем. І тут фіксованими виявляються параметри (), а число частинок N виявляєтьсямикроскопическим параметром. І тут функція розподілу запроваджується з допомогою великого канонічного розподілу Гіббса:

Для обраного засобу опису зв'язку змакроскопическими характеристиками системи здійснюється з допомогою великий статистичної суми:

Відповідним термодинамічним потенціалом є потенціал :

,

який є термодинамічним потенціалом системі з уявлюваними стінками.

      Такий спосіб описи також широко використовується. Найбільш зручним виявилося використання цього способу в квантової статистичної механіці. Відносне незручність великого канонічного формалізму пов'язані з часто виникає необхідністю перерахунку результатів до зручнішим параметрами ().

4) Система під поршнем. І тут фіксуються параметри (), а обсяг V розглядається як мікроскопічного параметра. Тоді функція розподілу ,задающая структуру змішаного стану, має вигляд:

Тут - “>гибсовская” статистична сума, рівна:

пов'язана з термодинамічним потенціалом Гіббса:

,

що характеризує систему, задану в змінних ().

     Такий підхід також виявляється зручним під час розгляду деяких приватних завдань.

      У разі потреби стантермодинамической системи то, можливо описано і з допомогою іншого набору параметрів. Тоді слід запровадити відповідні функції і розподілу і статистичні суми, зв'язавши воно з відповідним термодинамічним потенціалом. Вибір конкретного засобу опису важить на оцінку, однак може істотно спростити чи ускладнити процес дослідженнятермодинамической системи. Це стосується як до точним, і до наближеним методам.


Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Будова атомів металів
    «>Будова >атомів >металів» >Серед >безлічі >матеріалів, >здавна >відомих >людині й широко
  • Реферат на тему: Напередодні нової фізики
    НАПЕРЕДОДНІ НОВОЇ ФІЗИКИ Захарченко Валентин Олексійович Вже кілька десятиріч спостерігається,
  • Реферат на тему: Ватметрі нізької частоти
    >Міністерство >освіти та науки України >Вінницький >національний >технічний >університет >Інститут
  • Реферат на тему: Введення в аксіоматику квантової механіки
    Введення ЄІАС у аксіоматику квантової механіки Походження операторів динамічних величин  
  • Реферат на тему: Великі вчені
    року міністерство освіти Республіки >Башкортостан МОУ >СОШ №1 з. >Аскино      

Навігація