Реферати українською » Физика » В.Б. Кирьянов. Завдання рівноваг


Реферат В.Б. Кирьянов. Завдання рівноваг

Страница 1 из 2 | Следующая страница

В.Б.Кирьянов


ЗАВДАННЯ РАВНОВЕСИЯ


Лекції по математичним методам мікроекономіки


Кафедра вищої математики. С.ПбУЭФ, 1996


ЕКОНОМІЧНЕ ЗАПРОВАДЖЕННЯ


Глава перша. ЗАВДАННЯ РАВНОВЕСНОГО УПРАВЛІННЯ


. . . за своєю природі математичні методи

що неспроможні додаватися безпосередньо відповідає дійсності,

лише до математичним моделям тієї чи іншої кола явищ.


Л.В.Канторович і А.Б.Горстко [ , c.6].


СОДЕРЖАНИЕ ПЕРШОЇ ГЛАВИ

2

1.1. Завдання витрат

1. Класифікація завдань.

2. Векторные позначення.

3. Табличное уявлення.

4. Количественная частину завдання витрат.

7

1.2. Цінова частину завдання витрат

1. Поцінування виробів.

2. Цінові умови рівноваги.

3. Равновесные ціни виробів.

4. Правила двоїстого відповідності.

5. Транспонирование.

11

1.3. Завдання випуску

1. Табличное уявлення.

2. Количественная частину завдання випуску.

3. Цінова частину завдання випуску.

4. Каноническая пара завдань.

16

1.4. Завдання рівноваги

Фізичне зміст завдання рівноваги.


1.5. Історія Комсомольця та література


1.1. Завдання витрат

1.Классификация завдань. Почнемо вивчення завдання рівноваги з простих економічних прикладів.

Розглядаючи масове виробництво якихось звичайних виробів, наприклад - будівництво житлових будинків (виробництво автомобілів, комп'ютерів, і т.п.),- побачимо: таке інше справа виявляється що складається з двох взаємозалежних виробництв: виробництва будівельних матеріалів (автомобільних агрегатів, мікросхем та інші.) та власне будівництва (складального виробництва). У цьому, виробництво будівельних матеріалів представляє собою процес розкладання складного природного сировини до кількох простих виробів, наприклад: круглого лісу у дошки стандартних розмірів,- і навпаки: будівельне виробництво є процес складання з простих будівельних матеріалів різних складних будівель. Нам тут важливо, що у розвиненому народному господарстві обидві ці виробництва - і довільний лісопилка, і якась будівельна артіль - діють в різних ринках: у разі - над ринком пиломатеріалів і ринку будівельних послуг,- і є, власне кажучи, незалежними друг від друга. У термінах народохозяйственной моделі "затра ты-выпуск" Леонтьєва (см.1.5.1) завдання розкладання сировини єзавданням витрат, а завдання складання виробів - завданням випуску.

З іншого боку: всякий управляючий промисловим виробництвом, незалежно від цього, діє він у переробної чи складальної областях промисловості, бере участь у зовнішній ринкової діяльності двояким чином: як і споживач, купує сировину для свого виробництва, як і виробник, котрий продає вироблені їм вироби. Купівля сировини становить його витрати, а продаж виробів - дохід. Через це, завдання розумного управління промисловим підприємством виявляється йому складається з двох завдань:завдання мінімізації витрат і водночас, - завдання максимізації доходів того самого промислового виробництва. Така пара завдань називаєтьсявзаємно двоїстої.

У результаті, безліч завдань наукового виробничого управління утворюється із завдань чотирьох видів: з завдання розкладання сировини й завдання складання виробів, кожна з яких, своєю чергою, розпадається в пару прямий і взагалі двоїстої подзадач:



пряма подзадача;

Завдання витрат:



двоїста подзадача.




пряма і

Завдання випуску:



двоїста подзадачи.


Їх точної модельної постановці і присвячена першою главою наших лекцій.


2.Векторные позначення. І промислове сировину, і вироби потім із нього єтоварами, як і всякі товари описуються парою взаємозалежних величин: кількістю q (від quantity) і ціною p (від price). Тому опис виробництва як зміни сировини в вироби оперує двома їх пов'язаними парами: кількостями та ціни сировини, і кількостями та ціни виробів. Для зручності розрізнення цих величин такі, які належать до сировинним чи первинним товарам, ми постачати першим значком “1”, а які стосуються виробленим чи вторинним товарам - значком “2”, наприклад: q 1 і p1, q 2 і p2 .

З використаннямm видів сировини для n видів виробів:m, n = 1, 2, ј, як його кількості, і ціни стають многокомпонентными чи векторными величинами. У матричному обчисленні подають одностолбцовыми чи однострочными матрицями, розрізнення яких пов'язане з несимметричностью закону матричного множення за правилом “рядок на стовпець”. Нам буде зручно перші значки кількісним векторах приписувати зверху і їх складові q 11 , ј, q 1m і q 21 , ј, q 2n в матричному поданні нотувати у вигляді одностолбцовых m ґ 1 і n ґ 1 матриць відповідно:



q 1 =

q 11

ј

q 1m


; q 2 =

q 21

ј

q 2n


;


інші ж перші значки ціновим векторах ми приписувати знизу: p1 іp2 , та його складові p1 1 , ј, p1 m і p2 1 , ј, p2 n нотувати у вигляді однострочных 1 ґ ті 1 ґ n матриць:

р1 = ( p1 1 ј p1 m ) ; р2 = ( p2 1 ј p2 n).


Вони мають одні й самі просторові розмірності кількісний і ціновий вектори однієї й тієї ж наборів товарів ми називативзаимно-двойст венними векторами. Вони мають те властивістю, що й матричне твір за правилом “рядок на стовпець”, наприклад:



p1 q 1 = ( p1 1 ј p1 m)


q 11

ј

q 1m


= p1 1 q 11 + ј + p1 m q 1m є б p1 , q 1 з,


дає одноклеточную 1 ґ 1 матрицю чи “скаляр” (число)б p1 , q 1 з - суму покомпонентных творів перемножаемых векторів, звану їх скалярним твором чи, коротко,сверткой цих векторів.

Протягом наших лекцій сторочные латинські літери з цими двома значками будуть позначати одномірні величини чичисла, самі літери з однією значком - відповіднівектори, а літери без значків - матриці чиоператори. Причому завжди нижній значок матричних складових буде нумеруватирядки, а верхній - стовпчики.

3.Табличное уявлення. Завдання витрат представляє собою завдання переробкиm взаємозамінних видів “складного” сировини в n видів “простих” виробів. У лінійному її технологія задається nґ m таблицею неотрицательных чисел a1 1, ј, an m :

al k [кількість l-виробів / на одиницю k-сировини] й 0 ;


l = 1, ј , n; k = 1, ј , m; m, n = 1, 2, ј ,


складових матрицю випуску a. У цілому нині, разом із двома парами векторів q 1 і p1 , і q 2 і p2 всіх своїх товарів, завдання витрат описуєтьсяmґn+2(m+n) величинами і, природно представляється наступного табличном вигляді:



q 11 ј q 1m


p2 1

ј

p2 n

a1 1 ј a1 m

ј ј ј

an1 ј an m

q 21

ј

q 2n


p11 ј p1 m



Будь-яке виробництво, чи це розкладання сировини чи складання виробів, є перетворенням сировини в вироби як щодо їх кількостей, і цін:



q 1; p1

a

®


q 2; p2 ,


- і тому з 2m+2n його кількісних і цінових величин одна їх половина визначає іншу. Так було в завданню витрат нам задається ринковий попит на випущені вироби (план їх виробництва) як неотрицательноговектора попиту виробів q2 з n складовими:

q 2l [кількість. l-изделий] й 0; l = 1, ј , n,


а додатковий йому вектор q 1 попиту споживане сировину підлягає визначенню за умов заданих цін - неотрицательного вектора закупівельних цін сировини p1 з m складовими

p1 k [рублі / за одиницю k-сырья]й 0; k = 1, ј , m.


Заданные постійні завдання називаються, також, її параметрами, а шукані невідомі - перемінними. Для отличения параметрів завдання від неї змінних ми постачати параметри додатковим значком - ноликом “ ° “ згори.


4.Количественная частину завдання витрат. Пропозиція виробів. У безпосередній частини завдання витрат, відносно заданих цін p1 на споживане сировину шукається найменш видаткове значення його вектора попитуq 1 . Через це пряма частину завдання виробничого управління називається, також, її кількісної частиною.

Випускаючиal k одиницьl-виробів із кожної затрачиваемой одиниці k-сировини, з q 11 , ј , q 1m одиниць сировини всіх m видів виготовляютьq 21 , ј , q 2n :


q 21 = a 1 1 q 11 + ј + a 1 m q 1m ;

ј

q 2n = a n 1 q 11 + ј + a n m q 1m ,


одиниць виробів кожного виду. Кількості запропонованих виробів кожного виду видаються лінійними функціями q 2l = q 2l (q 1):


q 2l = q 2l (q 1) = б a l , q 1 з ; l = 1, ј , n ,


кількостей затрачуваного сировини як скалярних творів бa l , q 1з m-мірного столбцового вектора q 1 витрат сировини з m-розміреними рядковими векторами a1 , ј , a n матриці витрат a:

a1 = ( a1 1 ј a 1 m ) ,

ј

an = ( an 1 ј a n m )


- векторами випуску виробів кожного виду з усього асортименту споживаного сировини.

У звичайних матричних позначеннях набір лінійних функцій q 2l = q 2l (q 1) утворює n-мірний столбцовый вектор пропозиції виробів q 2. Матричное уявлення отриманих балансових співвідношень:



q 2 =

a1 1 ј a1 m

ј ј ј

an1 ј an m


q 11

ј

q 1m


= a q1


описує здійснюваний mґn матрицею випускуa лінійне перетворення m кількостей споживаного сировини всіх видів в n кількості виготовлених із нього виробів.


5.Множество допустимих планів. Допустимыми є такі закупівлі сировини q 1, у яких пропозицію виготовлених із нього виробівq 2 задовольняє заданому ними попитуq 2:



q 2 = a q 1 й q 2 ,


чи: пропозицію задовольняє попит.



Отримані обмеження:


a 1 1 q 11 + ј + a 1 m q 1m й q 21 ;

ј

a n 1 q 11 + ј + a n m q 1m й q 2n ,


прямі чи кількісними необхідними умовами рівноваги. Їх рішення називаються безліччю допустимих планів завдання.

Як побачимо пізніше (див. ), безліч рішень отриманої системи нерівностей, власне кажучи, неоднозначно, допускаючи будь-яке ненегативненадвиробництво виробів Dq 2 :

Dq 2 є q 2 - q 2 й 0 .


6.Равновесное споживання сировини. Недоліки даного виробництва, тобто сто имость придбаних по заданим закупівельних цінами p1 1 , ј , p1m потребных кількостей q 11 , ј , q 1m всіх видів сировини, утворює їх лінійну функцію L(q 1):


L(q 1) = p1 1 q 11 + ј + p1m q 1m = б p1 , q 1з ,


звану функцією вартості, і навіть цільової функцією аналізованої завдання. Количественная частину завдання рівноважного управління полягає у знаходженні на області допустимих планів закупівель сировини план закупівель q 1 найменшої вартостіL(q 1):



q 1 : б p1 , q 1з = min б p1 , q 1з

q1 | a q 1 й q 2 .



Минимизирующее функцію вартості завдання дозволене значення шуканого вектора q 1 називається його равновесным значенням чи, ще, оптимальним планом завдання, а отримана завдання - завданням рівноважного (чи, що таке саме - оптимального) виробничого управління. У випадку вимога мінімізації вартості забезпечує одиничність її вирішення.


1.2. Цінова частину завдання витрат

1.Оценивание виробів. У разі того самого виробництва:



q 11 ј q 1m


p2 1

ј

p2 n

a1 1 ј a1 m

ј ј ј

an1 ј an m

q 21

ј

q 2n


p11 ј p1 m



- разом з речовиною сировини на випущені потім із нього вироби переноситься та її вартість будівництва і виникає двоїста завдання оцінки сировини цінами виготовлених із нього виробів, звана, також, цінової частиною завдання витрат.

Справді, виготовлення з одиниці сировини виду k: k=1, ј , m, al k штук виробів кожного виду l: l=1, ј , n, за цінами p2 l кожне повідомляє сировини вартостіp1 k:


p1 1 = p2 1 a1 1 + ј + p2 n an 1 = б p2 , b 1з ;

. . .

p1 m = p2 1 a1 m + ј + p2 n an m = б p2 , b mз.


як лінійних функцій

p1 k = p1 k (p2) = б p2 , b kз


цін виготовлених із них виробів, разом їхнім виокремленням m-мірний рядкові вектор цінності сировини p1. Коэффициентными векторами цих лінійних функцій служать стовпчики b1 , ј , bm тієї ж самої матриці витрат a:



b 1 =


a1 1

ј

an 1


; . . . , b m =

a1 m

ј

an m


- вектори випуску асортименту виробів з сировини кожного виду.

Отримані цінові балансові співвідношення:



p1 = ( p1 1 ј p1 1)


a1 1 ј a1 m

ј ј ј

an1 ј an m


= p 2 a,


є лінійним перетворенням p 2 a= p 1 цін випущених виробів на виробничі цінності споживаного сировини, двоїстим що здійснюється тієї ж матрицею випуску виробівa кількісному лінійному перетвореннюq 2 = a q 1 , сировини в вироби.


2.Ценовые умови рівноваги.У разі вільного доступу як виробників, і споживачів товарів до сировини і технологіям, продаж підготовленого заздалегідь вироби його виробником стає можливим лише за умов те, що придбання готового вироби споживачем виявляється йому не дорожче його самостійного виготовлення. Через це припустимими є такі продажні ціни p2 випущених виробів, у яких виробничі цінності p1= p1(p2) сировини становить його закупівельних цін p1 :



p1 = p2 a Ј p1 .



Отримані умови продажів є роздвоєними чи ціновими необхідними умовами рівноваги. Вони також висловлюють той наш споживчий досвід, відповідно до яким товари виробництва за інших рівних умов часто мають здатність купуватися то охочіше, що нижчою ціна.

Безліч рішень цінових обмежень називається безліччю допустимих цін.


3.Равновесные ціни виробів.Доход виробництва, даваемый вартістю які й за цінами p2 1, ј , p2 n необхідних кількостей q 21 ,ј , q 2n випущених виробів утворює лінійну функціюLdual(p2) цих цін:


Ldual(p2) = p2 1 q 21 + ј + p2 n q 2n = б p2 , q 2з,


звану функцією вартості цінової частини завдання. Як і кожен дохід він прагне бути максимизированным своїм одержувачем, і з на цій причині двоїста частину завдання управління полягає у знаходженні на безлічі допустимих цін виробів найбільш дохідних значень p2 :



p2 : б p2 , q 2з = max б p2 , q 2з

p2 Ѕ p2 a Ј p1



.


Максимизирующие функцію вартості завдання допустимі ціни виробів називаються їх равновесными цінами, а сама завдання - двоїстої чи цінової частиною завдання рівноважного управління.


4.Правила двоїстого відповідності. Отже, одній й тієї завдання витрат:



q 1



p2

a

q 2

,


p1



ми маємо її пряму і двоїсту частини:


q 1 : min бp1 , q 1з при a q 1 й q 2

і

p2 : max

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація