Реферати українською » Физика » Варіаційні принципи механіки


Реферат Варіаційні принципи механіки

Рівненський державний гуманітарний університет

Кафедра фізики

Курсова робота на задану тему:

Виконав:
студент V курсу фізико -
технологічного факультету
групи ФТТ-51
Громов Микола Володимирович
Науковий керівник:
доц. Сідлецький Валентин Олександрович

Рівне–2000

Зміст

Зміст 2

Вступ 3

Розділ І. Загальна характеристика принципів механіки 5

Розділ ІІ. Варіаційні принципи механіки 12

Висновки 30

Література. 31


Вступ

Варіаційні принципи класичної механіки є основними, вихідними положеннями аналітичної механіки, математично виражені у формі варіаційних співвідношень, із які як логічні наслідки витікають диференціальні рівняння руху, а також усі положення й закони механіки. Варіаційні принципи відрізняються один від одного як за формою й способами варіювання, то й загальністю, однак кожен із них, у межах його застосування, утворює єдину основу й мов бі синтезує всю механіку відповідних матеріальних систем. Іншими словами, тієї чи інший варіаційний принцип класичної механіки потенційно включає у собі весь зміст цієї області науки й об’єднує усі її положення в єдине формулювання.

Варіаційні принципи динаміки є, по суті, основними й доти ж найзагальнішими законами руху матеріальних систем. Класична механіка базується на законах Ньютона, встановлених для вільних матеріальних точок, й аксіомах зв’язків. Справедливість варіаційних принципів доводитися, виходячи із цих законів та аксіом. Під час перебування чергу, будь-який варіаційний принцип можна прийняти за аксіому й із неї логічно вивести закони механіки.

Варіаційні принципи класичної механіки виявились застосовними не дуже до дискретних матеріальних систем, але й і до систем із розподіленими параметрами, до суцільних середовищ. Вони відіграють важливу роль теорії поля була в математичній фізиці. З варіаційними принципами тісно пов’язані оптико-механічна аналогія, теорія канонічних перетворень, теорія груп Лі й закони збереження. Варіаційні принципи володіють великою евристичною цінністю; смердоті поширюються і на інші області фізики, зокрема на теорію відносності й на квантову та хвильову механіку, де важливу роль відіграють принципи найменшої дії й пов’язаний із ними лагранжів та гамільтонів математичний формалізм.

У 1744 p. Мопертюї1 сформулював без доведення один варіа ційний принцип й застосував його в механіці і оптиці2. Утому ж самому році Л. Ейлер давши доведення цого інтегрального варіаційного принципу для випадку руху матеріальної точки в центральному силовому полі. Ж. Лагранж поширив цей принцип на широкий клас механічних рухів матеріальних систем, а Якобі3 в 1842 p. поглибив теорію цого принципу. У сучасній літературі розглядуваний інтегральний варіаційний принцип відомий под назвою принципу Ейлера—Лагранжа.

У першій половині XIX ст. був відкритий новий інтегральний варіаційний принцип, який тепер справедливо називають принципом Остроградського—Гамільтона. Першу важливу працю із теорії цого принципу виконав М. У. Остроградський у 1829 p. й опублікував у 1831 p. Дальший крок вперед зробив У. Гамільтон у 1834 p.; він довів цей принцип для руху хутра нічної системи в консервативному силовому полі. Цікаво, що відправним пунктом відповідних досліджень Гамільтона в механіці були його відкриття в галузі оптики. Виявилось, що існує глибокий зв'язок між законами механіки і законами оптики; цей зв'язок був використаний у ХХ ст. для побудови так званої хвильової механіки. У более загальній формі принцип Остроградського—Гамільтона4 в 1848 p. довів М. У. Остроградський. Перейдемо до розгляду допоміжних зрозуміти, необходимых для розуміння викладу варіаційних принципів.

Розділ І. Загальна характеристика принципів механіки

Принцип механіки — це аксіоматичне твердження, із якого як логічний наслідок випливає зміст механіки як науки.

У
сі принципи механіки поділяються на неваріаційні й варіаційні. І тих і інші, у свою чергу, підрозділяються на диференціальні і інтегральні принципи (див. схему).

Неваріаційний принцип визначає властивості, що властиві всім рухам чи в даний момент години (диференціальний неваріаційний принцип) чи на скінченому проміжку години (інтегральний неваріаційний принцип).

Прикладом диференціального неваріаційного принципу є основний закон динаміки (другий закон Ньютона)

(а)

Прикладом інтегрального неваріаційного принципу є закон збереження енергії

М* = h. (b)

Класична механіка, є логічним наслідком принципу (а). Німецький навчань Р. Гельмгольц (1821—1894) заклав основи механіки, що випливають з принципу (b).

Усі варіаційні принципи механіки дають відповідь на запитання: чим відрізняється дійсний рух системи від інших рухів, що допускаються зв'язками, накладеними на систему?

Кінематично можливий рух системи, що допускається накладеними на неї зв'язками, називається рухом порівняння.

Варіаційний принцип указує характеристику дійсного руху системи, віднесену чи до даного моменту години, чи до кінцевого інтервалу години. У першому випадку він називаєтьсядиференціальним, у іншому —інтегральним варіаційним принципом.

Варіаційні принципи механіки визначають найбільш загальні закономірності механічних рухів й тому знаходять широке застосування в сучасній механіці й фізиці.

Принципи, що викладаються в цій роботі є логічними наслідками принципу (а). Тут смердоті наведені як універсальні методи розв’язування визначених завдань динаміки й статики, хоча кожний із них можна розглядати як аксіоматичне твердження, із якого логічно випливає зміст механіки при тихий обмеженнях, при які справедливий тієї чи інший принцип.

1.1. Дійсний й уявні рухи для вільної матеріальної точки.

Нехай вільна матеріальна точка із масою т рухається под дією сили, що має силову функціюU (x, у, z, t). Проекції сили на осі координат дорівнюють:

Координати точки змінюються за певними законами:

x=x(f), y=y(t), z==z(t). (1)

Нехай рухома точка в останній момент t0 пройшла через положення А в просторі, а інший моментt1 >t0—через положення У (рис. 1). Умовимось називати момент t0 й положення А почат ковими, а момент t1 й положенняВ—кінцевими. Рівняння (1) изначають рух точки т, який відбувається в дійсності, тобто за законами природи. Цей рух точки називатимемодійсним її рухом.


Рис. 1

разом із дійсним рухом вільної матеріальної точки розглядатимемо нескінченну множину уявних її рухів, котрі повинні задо вольняти такі умови:

  1. кожний уявний рух по чинається одночасно із дійсним рухом у момент t0 й закінчується також одночасно із дійсним рухом у момент t1;

  2. кожний уявний рух починається із положення А, що є початковим для дійсного руху, й закінчується в положенніУ, яку є кінцевим для дійсного руху.

Положення й швидкість точки в будь-якому із уявних рухів нехай відрізняються, відповідно, від положення й швидко сті точки в її дійсному русі нескінченно мало - в кожний момент години.

Визначені переліченими вище ознаками уявні рухи є лише кінематично можливими, тоді як дійсний рух точки від бувається на самом деле под дією сил заданого силовим полем.

Отже, поряд із дійсним рухом вільної матеріальної точки, який відбувається між положеннями А й У за проміжок години (t0, t1), розглядатимемо нескінченно близькі до дійсного можли ві її рухи, котрі усі відбуваються між тими самими положеннямиА та У, між якими відбувається дійсний рух, й за тієї самий проміжок години(t0, t1).

Порівнювані із дійсним рухом уявні рухи вільної точки можна задати аналітичне так. Виберемо три довільні однозначні неперервні й диференційовані функції години

Схожі реферати:

Навігація