Реферати українською » Физкультура и спорт » До теорії польоту лижника під час стрибків з трампліна


Реферат До теорії польоту лижника під час стрибків з трампліна

Кандидат педагогічних наук, доцент Н.А. Багин, Ю.І. Волошин, доктор фізико-математичних наук, доцент В.П. Євтєєв, Великолукский державна інституція фізичної культури

Після розгону і виконаного відштовхування від столу відриву результат стрибка з трампліна визначиться польотом лижника повітря під впливом тяжкості і аеродинамічних сил.

Розгляд польоту у спортивній літературі [2, 4] часто носить несуворе, якісний характер, заснований головним чином результатах експерименту, і аналізу світових рекордів. У даний роботі отримані прості формули, дозволяють тренеру кількісно проаналізувати залежність довжини стрибка від початковій швидкості польоту, кута вильоту зі столу відриву, геометрії трампліна, аеродинамічних якостей польоту і швидкості вітру.

Выберем початок координат край столу відриву і спрямуємо горизонтальну вісь Х вздовж трампліна, а вісь Y вертикально вгору.

Випишемо рівняння руху центру ваги лижника в координатної формі:

Vx= -(KxVx/V+KyVy/V) (V+U0Vx/V)2, (1)

Vy= -g-(KxVy/V+KyVx/V) (V+U0Vx/V)2, (2)

де Vx, Vy - проекції швидкості польоту на координатні осі, V - абсолютна величина швидкості, U0 - алгебраїчна швидкість горизонтального вітру, позитивна при зустрічному вітрі і негативна при побіжному.

Kx=? rCxS/m, Ky=? rCyS/m - аеродинамічні числа, мають розмірність, зворотний довжині, r - щільність повітря; Сx - коефіцієнт лобового опору; Cy - коефіцієнт піднімальної сили; P.S - фронтальна площа лижника з лижами; m - маса лижника з лижами. Точкою є такі похідні за часом.

Рівняння (1) і (2) нелинейные. Спростити їх науковий аналіз й одержати наближені рішення зручно переходом функцій комплексного змінного. Раніше цю прийом успішно застосовувався однією з авторів до систем нелінійних рівнянь небесної механіки [3]. Він дає змогу звести систему двох рівнянь одного. Для цього він введемо в розгляд комплексну швидкість польоту (КСП): W=Vx+iVy, (3)

де і - мнима одиниця і комплексне аэродинамическое число K=Kx+iKy. (4)

Умножая рівняння (2) на мниму одиницю і складаючи з цим рівнянням, одержимо з урахуванням (3) і (4) такі рівняння для КСП:

W=-ig-K(V+U0(W+W)/2V)2W/V, (5)

де рисою згори є такі комплексно-сопряженные величини.

Політ лижника складається з злету на її вершину траєкторії і спуску з неї. Розглянемо їх поетапно. Запишемо рівняння (5) як:

W=-ig-K(V+U0cosj)2W/V. (6)

Протягом часу злету, вимірюваного кількома десятими часткою секунди, швидкість польоту змінюється мало, а полярний кут змінюється від кута вильоту j0 на кілька градусів нанівець на вершині траєкторії. Тому ми зробимо великий помилки, якщо замінимо в (6) швидкість V початковій швидкістю V0 і далі усредним отриманий коефіцієнт перед W по інтервалу зміни полярного кута. Тоді рівняння (6) перетворюється на диференціальний лінійне рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами:

W=-ig-KC0W, (7)

де C0=V0+2U0sinj 0/j0+U02(1+sin2j0/2j0/2V0.

Рішення рівняння (7) має вигляд:

W=W0exp(-KC0t)-ig(1-exp(KC0t))/KC0. (8)

Протягом усього злету KxC0t<<1, тому, разлага показові функції до кількох і обмежуючись першими двома членами розкладання, одержимо з (8) таке спрощене вираз для КСП:

W=W0(1-KC0t)-igt. (9)

Виділимо в (9) справжню і мниму частини. Через війну матимемо:

Vx = V0cosj0 - axt, (10)

Vy = V0sinj0 - (g-ay)t, (11)

ax = (Kx cosj0 + Ky sinj0)C0V0, (12)

ay = (Kycosj0 - Kxsinj0)C0V0, (13)

У наближенні (10), (11) руху центру ваги лижника вздовж координатних осей равнозамедленные. Аэродинамические прискорення даються формулами (12), (13).

Час злету ta на її вершину визначиться з умови Vy=0

ta = V0 sinj0 / (g-ay). (14)

Інтегруючи функції (10) і (11), знайдемо координати вершини траєкторії:

xa = V0 cosj0 ta - ?axta2, (15)

ya = V0 sinj0 ta - ?(g-ay)ta2. (16)

Розглянемо тепер спуск лижника з вершини траєкторії. Початкова швидкість спуску дорівнює:

Va = V0 cosj0 - axta. (17)

Потім швидкість наростає від швидкості (17) до швидкості Vg вільного планування під час польоту з великих трамплінів. Определим цю швидкість. При вільному польоті аеродинамічні сили та тяжкість взаємно врівноважуються і КСП перестає залежати від часу.

Уравнение (5) набирає вигляду:

- ig - KP02Wg / Vg = 0, (18)

де P0 = Vg + U0(Wg +Wg) / 2Vg. (19)

Додаймо рівність (18) з комплексно-сопряженным рівністю

ig - KP02 Wg / Wg = 0.

Через війну одержимо:

KWg + KWg = 0.

Помноживши на KWg, знаходимо |K|2 Wg2 + K2Vg2 = 0,

Wg = -ikVg / |K|. (20)

Подстановка (20) в (18) дає Р02 = g/ |K|.

Вибір протилежного знака у формулі (20) призведе до негативному значенням Р02, що організувати неможливо. Отже,

P0 = (g/|K|)?. (21)

Подставив (20) і (21) в (19), одержимо для швидкості планування таке вираз:

Vg = (g/|K|)? - (Kg/|K|)U0. (22)

При зустрічному вітрі швидкість вільного польоту (22) зменшується, а при попутнім - збільшується. Якщо вітру немає, відповідно до (21)

Vg = P0.

Линеаризуем рівняння (5), підставивши в вираз для коефіцієнта перед W швидкості вільного польоту (23) і (22). Тоді воно набуде вигляду:

W = -ig - KbW, (23)

де

b = P02/Vg = g/|K|Vg. (24)

Рішення рівняння (23):

W = Vaexp(-KbT) - ig(1-exp(-KbT))/Kb, (25)

де

T = t - ta, (26)

має тим важливим властивістю, що з T, стримящемся до нескінченності, воно асимптотически прагне швидкості вільного польоту (20). Справді, при T, стримящемся до нескінченності, показові функції йдуть до нуля і відповідно до (24):

W = -ig/Kb = -iKg|K| Vg/|K|2g = Wg.

При T = 0 з формули (25) слід початкова швидкість спуску Va. Тому ми вважаємо, що функція (25) досить добре аппроксимирует КСП протягом усього польоту. Інтегруючи (25), одержимо в параметричної формі таку апроксимацію комплексної траєкторії спуску (КТС): Z = Za + Va(1 - exp(-KbT))/Kb - ig(T- (1 - exp(-KbT))/Kb)/Kb. (27)

При стрибках з великих трамплінів KxbT ~1. Тому розкладемо показові функції до кількох і обмежимося не двома, як вище, а чотири члени розкладання. Тоді простіша апроксимація КТС має вигляд

Z = Za + Va(t - ?KbT2 + 1/8(Kb)2T3) - ig(? T2 - 1/8KbT3). (28)

Виділивши в (28) справжню і мниму частини, одержимо апроксимацію траєкторії спуску в параметричної формі:

X = Xa + VaT - ЅKxbVaT2 + 1/8(Kybg + (Kx2 - Ky2)b2Va)T3, (29)

Y = Ya - 1/8(g - KybVa)T2 + 1/8(Kxbg - 2KxKyb2Va)T3. (30)

При приземленні лижника траєкторія польоту перетинається з площиною

Y + H + (X - N) tg? = 0 (31)

доріжки приземлення [5], де М - глибина опускання траєкторії розрахункового стрибка; N - проекція траєкторії розрахункового стрибка на подовжню вісь гори приземлення, ? - кут нахилу доріжки приземлення. Подставив (29) і (30) в (31), з кубічного рівняння

Tc3 - BTc2 + CTc - D = 0, (32)

де B = 3(g + (Kxtg? - Ky)bVa)/A, (33)

A = (Kx + Kytg?)bg - (2KxKy - (Kx2 - Ky2)tg?)b2Va, (34)

З = bVatg? /A, (35)

D = 6n/A, (36)

n = (N - Xa)tg? - H - Ya, (37)

оцінимо час спуску tc.

Подстановкой Tc = Q + B/3 (38)

рівняння (32) наводиться до виду Q3+ PQ-q= 0, (39)

де P = B2/3 + З, (40)

q = 2B3/27 - BC/3 + D. (41)

Рішення кубічного рівняння (39) перебувають розслідування щодо формулі:

Q = ((q2/4 + P3/27)? + q/2)1/8 - ((q2/4 + P3/27)? - q/2)1/8. (42)

Подставив потім час спуску, розрахований по формулам (33-42), в висловлювання (29) і (30), визначимо координати місця приземлення лижника XL, YL і довжину стрибка

L = (XL2 + YL2)?. (43)

Наприклад, при загальноприйнятої позі (руки тому) у польоті лижника масою m=70 кг, коли Cx = 0,72, Cy = 0,61, r = 1,23 кг/м3, P.S = 0,62 м2, Kx = 3,92Ч10-3 м-1, Ky = 3,32Ч10-3 м-1,

j0 = 60, V0 = 30 м/с.

Відповідно до (12-17) ta = 0,441C, Va = 28,16 м/с, Xa = 12,8 м, Ya = 0,7 м.

За відсутності ветpа b=43,7 м. Для трампліна з параметрами Н=56 м, N=102 м, H/N=0,55, L=116 м.

По формулам (29-43) одержимо Tc = 5,43c, XL = 137,6 м, YL = -76,1 м, L = 157 м.

Результат виявився кілька завищеним. Його можна уточнити, якщо виходити із точнішою апроксимації траєкторії спуску, яка випливає з КТС (27) при виділенні дійсною і мнимої частин:

X = Xa + (KygT + f1Se(T) - f2Ce(T)/|K}2b, (44)

Y = Ya - (KxgT - f1Ce(T) - f2Se(T)/|K|2b, (45)

де f1= (Kx2 - Ky2)g/|K|2b + KyVa,f2 = 2KxKyg/|K|2b - KxVa, (46)

Se(T) = exp(-KxbT)sinKybT, Ce(T) = 1 - exp(-KxbT)cosKybT. (47)

Після підстановки наведених вище вихідних даних в формули (44-47) і часу спуску Tc = 5,43C, знайденого з кубічного рівняння (32), знаходимо XL = 127,4 м, YL = -71,7 м, L = 146 м. Кубическая апроксимація (29), (30) спуску, даючи завищену довжину стрибка, майже змінює розрахункового параметра стрибка H/N HL/NL=0,553. Саме тому її треба покласти основою розрахунку часу спуску. У цьому можна уникнути рішення (42) рівняння (39), оскільки |Q|3 <<1. Тому |Q|~ q/p. (48)

У наведеному вище прикладі P = 182,7 C2, q = -36,3C3,

B = 17,04C.

Відповідно до (42) Q = -0,23C, а, по формулі (47) Q = -0,20C. З рівності (38) Tc =5,46C. Помилка дорівнює 0,55%. Кубічну апроксимацію можна помітно поліпшити з допомогою найпростіших аппроксимантов Паде [1], записати X = Xa - ?KxbVaT2/(1 + fx T) + Va T, (49)

Y = Ya - ?(g - KybVa) T2/(1 + fy T), (50)

fx = 1/3(Kyg + (Kx2 + (Kx2 - Ky2bVa)/KxVa, (51)

fy = 1/3(Kxbg - 2KxKyb2Va)/(g - KybVa). (52)

Перші дві члена розкладання в статечні ряди функцій (49) і (50) даают кубічну апроксимацію, інші належним чином враховують невраховані раніше члени розкладання вищих ступенів t. У нашій прикладу розрахунок по формулам (49-52), (43) дає:

XL = 122,6 м, YL = -76,7 м, L = 144,6 м.

Останній результат практично збігаються з довжиною стрибка, розрахованої з більш точним формулам (44-47).

З наведеної вище теорії, справедливою незалежно від вітрі, напрошується висновок, що довжини стрибків із трамплінів збільшуються зі зростанням початковій швидкості, аеродинамічного якості польоту, кутів вильоту і нахилу доріжки приземлення і тенденції зниження лобового опору. Легко кількісно проаналізувати вплив цих факторів на довжину стрибка з допомогою звичайного мікрокалькулятора.

Список літератури

1. Апресян Л.А. Аппроксиманты Паде. Изв. вузів. Радиофизика, 1979, т. 22, № 6, з. 653-674.

2. Грозин Е.А. Стрибки на лижах з трампліна. - М.: ФиС, 1971.

3. Євтєєв В.П. Періодичні рішення пласкою еліптичної завдання трьох тіл. - Космічні дослідження, 1988, т. 26, вип. 5, з. 785-787.

4. Стрибки на лижах з трампліна. Під ред. Г.Р. Ниренберга. - М.: ФиС, 1964, з. 140-152.

5. Спортивні споруди /Під ред. Ю.О. Гагина. - М.: ФиС, 1976, з. 162-167.

Схожі реферати:

Навігація