Реферати українською » Информатика, программирование » Градієнтний метод першого порядку


Реферат Градієнтний метод першого порядку

Страница 1 из 4 | Следующая страница

Зміст

Запровадження

>Градиентние методи оптимізації

>Градиентний метод першого порядку

Алгоритмградиентного методу

Математичне опис системи та значення змінних

Побудова математичну модель

Алгоритм реалізації виконання завдання побудови динамічної моделі

>Апробирование машинної програми

Результати роботи програми

Висновок

Список літератури

>Листинг програми


Запровадження

На етапі науково-технічного прогресу надзвичайно зростає роль коштів, дозволяють раціонально використовувати ресурси, виділені на вирішення народногосподарських завдань. Кібернетика пропонує такі величезні кошти, як дослідження операцій, теорія систем, математичне моделювання, теорія експерименту, обчислювальної техніки та інших.

Частина методів варта збільшення ефективності наукового експерименту усім стадіях розробки, дослідження, проектування й експлуатації виробництв. Єдність теорії та практики експерименту що з обчислювальної технікою утворюють комплекс автоматизованого експерименту, готовий до підвищення продуктивності наукової праці.

Об'єкти, у яких проводяться експерименти, відрізняються передусім що перебігають у яких процесами. Об'єкт, у якому здійснюється запланований експеримент, характеризується неодмінною умовою — все вхідні перемінні, чи чинники, x1, x2, ..., xn мали бути зацікавленими керованими. Цього вимагає сама постановка умов побудови динамічної моделі, які передбачають активне втручання у хід експерименту. Такий об'єкт технології називають об'єктом дослідження.

Необхідними і достатніми передумовою визначення будь-якій галузі знань як науки служить наявність: предмета дослідження, методу дослідження та кошти на реалізацію цього. Для кібернетики як науки предметом дослідження є системи будь-який природи і їхнє керованість, методом дослідження - математичне моделювання, стратегією дослідження - системний аналіз, а засобом дослідження - обчислювальні машини.

Кібернетика включає у собі такі поняття, як системи, інформація, збереження і переробка інформації, управління системами і оптимізація систем. У цьому кібернетика широко користується методом математичного моделювання і намагається для отримання конкретних результатів, дозволяють аналізувати і синтезувати студійовані системи, прогнозувати їх оптимальне поведінку і виявляти канали і алгоритми управління.

Методи кібернетики як дозволяють створювати оптимально функціонуючий процес чи систему, але вказують шляху вибору й порядку використання оптимального режиму, і навіть оптимального управління процесом, чи системою.

Поняття «системи» дає можливість здійснити математичну формалізацію досліджуваних об'єктів, що забезпечує глибоке насичення їх суть і отримання широких узагальнень і кількісних закономірностей.

Будь-яка система складається з взаємозалежних і взаємодіючих між собою й довкіллям частин 17-ї та у сенсі є замкнутий ціле (інакше її було б назвати системою).

Система - це дуже складний об'єкт, що можна розчленувати (провести декомпозицію) на складові елементи, чи підсистеми. Ці елементи інформаційно пов'язані один з одним і з довкіллям об'єкта. Сукупність зв'язків утворює структуру системи. Система має алгоритм функціонування, направлений замінити досягнення певної виховної мети.

Системний аналіз - це стратегія вивчення складних систем. Як методу дослідження, у ньому використовується математичне моделювання, а основним принципом є декомпозиція складної системи більш прості підсистеми. І тут математична модель системи будуватися по блоковому принципу: загальна модель підрозділяється на блоки, яких можна дати порівняно прості математичні описи. Треба мати у вигляді, що це підсистеми взаємодіють між собою, становлячи загальну єдину математичну модель.

У основі стратегії системного аналізу лежать такі загальних положень:

1. Чітке формулювання мети дослідження;

2. Постановка завдання з реалізації цієї і визначення критерію ефективності виконання завдання;

3. Розробка розгорнутого плану дослідження із зазначенням основних етапів і сучасних напрямів вирішення завдань;

4. Пропорційно - просування з усього комплексу взаємозалежних етапів і потенційно можливих напрямів;

5. Організація послідовних наближень і повторних циклів досліджень на окремих етапах;

6. Принцип низхідній ієрархії аналізу та висхідній ієрархії синтезу у вирішенні складових приватних завдань тощо.

Системний аналіз організує наші знання об'єкт в такий спосіб, аби допомогти вибрати потрібну стратегію або передбачити результати одній або кількох стратегій, які здавалися доцільними темами, хто має приймати рішення. З позиції системного аналізу вирішуються завдання моделювання, оптимізації, управління і оптимального проектування систем.

Особливий внесок системного аналізу, у розв'язання різноманітних проблем у тому, що вона дозволяє виявити чинники та взаємозв'язку, які у згодом можуть виявитися вельми суттєвими, дає можливість видозмінити методику спостережень і можуть побудувати експеримент те щоб ці чинники були у розгляд, та всебічно висвітлює слабких місць гіпотез і допущень. Як науковий підхід системний аналіз з його акцентом на послідовне розгляд явищ відповідно до різними рівнями ієрархії, і на перевірку гіпотез з допомогою суворих вибіркових процедур створює потужні інструменти пізнання фізичного світу і об'єднує ці інструменти до системи гнучкого, але суворого дослідження складних явищ.

Математичного моделювання ввозяться три взаємозалежні стадії:

1. Формалізація досліджуваного процесу - побудова математичну модель (складання математичного описи);

2. Програмування виконання завдання (>алгоритмизация), забезпечує перебування про чисельні значень визначених параметрів;

3. Встановлення відповідності (адекватності) моделі досліджуваному процесу.

Побудова математичну модель:

У кожному конкретному випадку математичну модель створюють, з цільової спрямованості процесу завдань дослідження, з урахуванням необхідної точності рішення і достовірності використовуваних вихідних даних. При аналізі отриманих результатів можливо повторне звернення до моделі з єдиною метою внесення корективів після виконання частини розрахунків.

Побудова будь-який математичну модель починають із формалізованого описи об'єкта моделювання. У цьому аналітичний аспект моделювання полягає у вираженні смислового описи об'єкта мовою математики вигляді деякою системи рівнянь і функціональних співвідношень між окремими параметрами моделі. Основним прийомом побудови математичного описи досліджуваного об'єкта є блоковий принцип. Відповідно до цього принципу, коли визначено набір елементарних процесів, кожен із новачків досліджується по блокам за умов, максимально наближених до місцевих умов експлуатації об'єкта моделювання.

Через війну кожному елементарного технологічного оператору переносити у відповідність функціональний елементарний оператор з параметрами, досить близькими до істинним значенням.

Наступний етап моделювання полягає уагрегировании функціональних елементарних операторів у єдиний функціональний результуючий оператор, що й представляє математичну модель об'єкта. Важливим чинникомагрегирования є правильна взаємна координація окремих операторів, яка завжди можлива через труднощі обліку природних причинно-наслідкових перетинів поміж окремими елементарними процесами.

При виборі моделі необхідно враховувати таке:

- модель повинна найточніше відбивати характер потоків речовини і за досить простому математичному описі;

- параметри моделі можуть визначити експериментальним або іншими шляхом;

- у разі гетерогенних систем моделі вибираються кожної фази окремо, причому для обох фаз є підстави однаковими чи різними.

При побудові математичного описи використовують рівняння таких видів:

- алгебраїчні рівняння;

- звичайні диференціальні рівняння;

- диференціальні рівняння у приватних похідних.

>Алгоритмизация математичних моделей:

Після складання математичного описи і вибору відповідних початкових і граничних умов необхідно провести другий етап моделювання - довести завдання до кінця, т. е. вибрати метод рішення та програму (алгоритм).

У найпростіших випадках, коли можливий аналітичне рішення системи рівнянь математичного описи, потреба у спеціальної розробці що моделює алгоритму, природно, відпадає, оскільки все інформація може бути отримана з відповідних аналітичних рішень. Коли математичне опис є складна система кінцевих і диференційних рівнянь, від можливості побудови ефективного що моделює алгоритму може істотно залежати практична придатність математичну модель. Особливо це під час використання моделі вирішення завдань, у яких вона входить у ролі складової частини загальнішого алгоритму, наприклад, алгоритму оптимізації. Зазвичай, у разі для реалізації математичну модель припадати застосовувати кошти обчислювальної техніки; фактично без них не можна порушувати і вирішувати скільки-небудь складні завдання математичного моделювання і більше завдання оптимізації, під час вирішення яких розрахунки з рівнянням математичного описи зазвичай багаторазово повторюються.

Широко розвиненні держави час методи чисельного аналізу дозволяють вирішувати широке коло завдань математичного моделювання.

Вибір чисельного методу:

При виборі методу на вирішення рівнянь математичного описи зазвичай переносити завдання забезпечення максимального швидкодії мінімуму займаній програмою пам'яті. Природно, у своїй повинна забезпечуватися задана точність рішення. Перш ніж вибрати той чи інший чисельний метод, необхідно проаналізувати обмеження, пов'язані з його використанням, наприклад, піддати функцію чи систему рівнянь аналітичного дослідженню, у результаті якоговиявиться зокрема можливість використання цього методу. У цьому дуже часто вихідна функція чи систему рівнянь мусить бути відповідним чином перероблено про те, щоб було ефективно застосувати чисельний метод.Преобразованием чи запровадженням нових функціональних залежностей часто вдається значно спростити завдання.

При виборі методу істотним моментом є розмірність завдання. Деякі методи ефективні під час вирішення невеликих завдань, проте, зі збільшенням числа змінних обсяг обчислень настільки зростає, від яких припадати відмовитися. Завдання такого класу зазвичай зустрічаються під час вирішення систем рівнянь, пошуку оптимальних значень параметрів багатомірних функцій. При відповідному виборі методу можна зменшити час, затрачуване влади на рішення завдання й обсяг займаній машиною пам'яті.

Упорядкування алгоритму рішення:

Бажано скласти чітке опис послідовності обчислювальних і логічних дій, які забезпечують рішення, тобто. скласти алгоритм виконання завдання. Основними вимогами до форми та змісту записи алгоритму є її наочність, компактність й виразності. У практиці математичного забезпечення обчислювальних машин стала вельми поширеною отримав графічний спосіб описи алгоритмів. Такий спосіб грунтується виставі окремих елементів алгоритму графічними символами, а алгоритму - як блок схеми. У цьому набір графічних символів перестав бути довільним, він регламентований технічної документацією по математичного забезпечення ЕОМ і відповідними ГОСТами.

Методи оптимізації:

Оптимізація залежить від перебування оптимуму аналізованої функції чи оптимальних умов проведення цього процесу. Для оцінки оптимуму необхідно передусім вибрати критерій оптимізації. Залежно від конкретних умов у ролі критерію оптимізації можна взяти технологічний критерій, наприклад максимальний з'їм продукції з одиниці об'єму апарата, економічний критерій - мінімальну вартість продукту при заданої продуктивності.

За підсумками обраного критерію оптимізації складається так звана цільова функція, чи функція вигоди, що є залежність критерію оптимізації від параметрів, які впливають його значення. Завдання оптимізації зводитися до пошукуекстремума (максимуму чи мінімуму) цільової функції.

Слід пам'ятати, що проблему оптимізації виникає у тому випадку, коли потрібно вирішувати компромісну завдання переважного поліпшення двох чи більше кількісних характеристик, по-різному які впливають перемінні процесу за умови їхнього взаємної балансування. Наприклад, ефективність процесу балансують з продуктивністю, якість - з кількістю, запас одиниць продукції - зі своїми реалізацією, продуктивність - до витрат.

Для автоматично керованих процесів чи систем розрізняють стадії оптимізації: статичну і динамічну.

Проблема створення та її реалізації оптимального стаціонарного режиму процесу вирішує статична оптимізація, створення та її реалізації системи оптимального управління процесом - динамічна оптимізація.

Залежно від характеру аналізованих математичних моделей застосовуються різні математичні методи оптимізації. Чимало їх ми зводяться до пошуку мінімуму чи максимуму цільової функції. Лінії, вздовж яких цільова функція зберігає постійне значення за зміни входять до неї параметрів, називаються контурними чи лініями рівня.

При виборі методу оптимізації необхідно враховувати можливі обчислювальні труднощі, зумовлені обсягом обчислень, складністю самого методу,размерностью самого завдання тощо.

Доцільно наскільки можна проводити попередню оцінку становища оптимуму певною конкретною завдання. І тому необхідно розглянути вихідні й освоєно основні співвідношень між перемінними. Для скорочення розмірності завдань часто використовується прийом виділення найістотніших змінних

Відповідно до ухваленого термінології чинники x1, x2, ..., xn — це обчислювані і регульовані вхідні перемінні об'єкта (незалежні перемінні); перешкодиf1,f2, ...,f>s — це контрольовані, випадковоизменяющиеся перемінні об'єкта; вихідні перемінні y1, y2, ..., y>m — це контрольовані перемінні, визначених чинниками і пов'язані з дослідження. Часто в планованому експерименті у називають параметром оптимізації (технологічний чи економічний показник процесу).

Чинники x1, x2, ..., xn іноді називають основними, оскільки вони сьогодні визначають умови експерименту.Помехи >f1, >f2, ..., >f>s — зазвичай недоступні для виміру. Вони виявляються лише тому, що змінюють вплив чинників у вихідні перемінні. Об'єкт дослідження може мати кілька вихідних змінних. Досвід свідчить, що у вона найчастіше вдається обмежитись однією параметром оптимізації, і тоді вектор Y перетворюється наскаляр y.

Кількість факторів, і характер їх взаємозв'язків з вихідний перемінної визначають складність об'єкта дослідження. За наявності якісної статистичної інформації про факторів та інтересів яка від них вихідний перемінної можна побудувати математичну модель об'єкта дослідження та функцію відгуку y = >f(x1, x2, ..., xn), яка б пов'язала параметр оптимізації з чинниками, які варіюються під час проведення дослідів.

Простір з координатами x1, x2, ..., xn прийнято називатифакторним, а графічне зображення функції відгукуфакторном просторі — поверхнею відгуку.

При описі об'єктів, що у стаціонарному стані, математична модель найчастіше представляєтьсяполиномом:

 

Y = >f(x1, x2, ..., xn, Я1, Я2, ... , Яn). (1)

Бо у реальному процесі завжди існують некеровані і неконтрольовані перемінні, величина у носить випадковий. Тому, за обробці експериментальних даних виходять звані вибіркові коефіцієнти регресії b0, b1, ..., bі, ..., bn, є оцінками коефіцієнтів Я0, Я1, ..., Яі, ..., Яn.

Тоді математична модель у вигляді рівняння регресії у випадку матиме вид:

(2)

Якщо аналізуютьсянестационарние, т. е.изменяющиеся у часі стану об'єкта, що вирізняло динамічного процесу, доводиться розглядати не випадкові величини, як раніше, а випадкові процеси. Випадковий процес можна як систему, що складається з нескінченного безлічі випадкових величин. При моделюванні таких об'єктів використовувати модель як (2) вже неприпустимо — необхідно переходити до спеціальниминтегрально-дифференциальним моделям і методам. У нашому випадку – цеградиентний метод першого порядку.

>Составлению плану експерименту завжди повинні передувати збір апріорній інформації упорядкування характеристики об'єкта дослідження, досліди з налагоджування експериментальної встановлення і за необхідності — досліди задля встановлення області визначення істотних факторів, і вихідний перемінної.

Теорією та практикою від експерименту вироблені певних вимог (умови), яких мають задовольняти незалежні і залежні перемінні. Тому на згадуваній стадії підготовки до проведення експерименту дуже потрібні наведені нижче рекомендації.

1. При виборі вихідний перемінної

Страница 1 из 4 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація