Реферати українською » Экономико-математическое моделирование » Основи теорії подібності (метод узагальнених змінних)


Реферат Основи теорії подібності (метод узагальнених змінних)


Тема:

Основи теорії подоби (метод узагальнених змінних)


План

Методи дослідження технологічних процесів

Теорія подоби. Види подоби

Основні становища теорії подоби (теореми подоби)

Критерії подоби


Методи дослідження технологічних процесів

Дослідження процесів, що протікають в технологічних установках, встановлення закономірностей їх перебігу, перебування залежностей, необхідні їх аналізу та розрахунку, робити в спосіб: теоретичним, експериментальним, подоби.

Теоретичний метод грунтується на складанні й розв'язанні системи диференційних рівнянь, що описують процес.Дифференциальние рівняння описують цілий клас однорідних зі своєї сутності явищ (процесів), для виділення конкретного явища необхідно провести певні обмеження, які однозначно характеризуватимуть дане явище. Ці додаткові умови називаються умовами однозначності. Умови однозначності містять у собі: геометричну форму й розміри системи, тобто. апарату, каналу та т.д.; фізичні властивості речовин, що у процесі; початкові умови (початкову температуру, початкову швидкість тощо.); граничні умови, наприклад швидкість рідини у стінок каналу, рівну нулю.

Проте багато хто процеси хімічної технології такі складні, що вдається лише скласти систему диференційних рівнянь і можливість установити умови однозначності. Вирішити ці рівняння відомих у математиці методами неможливо.

Експериментальний метод дозволяє з урахуванням досвідчених даних отримати емпіричні рівняння, описують цей процес. Складнощі експериментального методу полягають у необхідність проведення великої кількості дослідів на реальних технологічних установках. Це з великими витратами грошей і. Разом про те результати проведених експериментів будуть справедливі лише тим умов, котрим їх одержано, не можуть бути з достатньої надійністю перенесені процеси, аналогічні вивченим, але які у інших апаратах.

Метод теорії подоби дозволяє собі з достатньої для практики точністю вивчати складні процеси більш простих моделях, узагальнювати результати дослідів і реально отримувати закономірності, справедливі як для цього процесу, але й всієї групи цих процесів. При моделюванні процесів можна замість дорогих трудомістких дослідів на промислових установках проводити дослідження на моделях значно менших розмірів, а замість найчастіше небезпечних і шкідливі речовини використовувати безпечні модельні речовини, досліди здійснювати умовах, відмінних виробничих. З іншого боку, матеріальну модель усунути фізичної схемою (моделлю), що відбиває суттєві із особливостями зазначеного процесу. Тож у цьому навчальному посібнику найбільш докладно розглядатиметься теорія подоби.

 

Теорія подоби. Види подоби

Метод узагальнених змінних лежить в основі теорії подоби. Однією з основних принципів теорії подоби є виділення з класу явищ (процесів), описуваних загальним законом (процеси руху рідин, дифузії, теплопровідності тощо.), групи таких явищ.

Такими називаються такі явища, котрим відносинисходственних і характеризуючих їх величин постійні.

Розрізняють такі види подоби: геометричне; тимчасове; фізичних величин; початкових і граничних умов.

>Геометрическое подобу дотримується за однакової кількості взаємин усіхсходственних лінійних розмірів натури і моделі. Наприклад, щодо руху рідини в каналі довжиною L, діаметром D. У моделісходственние розміри рівні l і >d. Тоді

>L/l =>D/d= ... = >соnst=kl        (0)


>Безразмерная величинаk (аДитнерском), називається константою геометричного подоби, чи масштабним (перехідним) множником.Константи подоби характеризують ставлення одноріднихсходственних величин у таких системах й дозволяють вийти з розмірів однієї системи (моделі) в іншу (натурі).

Тимчасовий подобу передбачає, щосходственние частки в геометрично подібних системах, впродовж геометрично подібним траєкторіям, проходять геометрично подібні шляху за часові відтинки, стосунок яких є константою подобиkx, тобто.

      (1)

На мал.1. зображений канал (натура) з розмірами L і D і модель з розмірами l і >d. Якась частка у точці А (натура) перебуває у часА, у точці У — в останній момент часув. У геометрично як і моделісходственная частка перебуває у як і точці а часа, у точці b — в останній момент часу >b.

>Рис. 1. Умови подоби в натурі (a) й у моделі (б)

теорія подобу змінна узагальнений

За дотримання геометричного тимчасової подоби константа подоби швидкостейk> визначається з співвідношень


        (2)

Подоба фізичних величин передбачає, що з двох будь-якихсходственних точок натури і моделі, розміщених подібно у просторі та у часі, співвідношення фізичних величин (>,и т.д.) є величиною постійної:

 (3)

тощо.

Подоба початкових і граничних умов у тому, що з початкових і граничних умов необхідно дотримуватися геометричне, тимчасова фізичне подобу як і, як та іншихсходственних точок натури і моделі.

Розглянуті константи подоби постійні щодо різноманітнихсходственних точок подібних систем, але можуть змінюватися залежно від співвідношення розмірів натури і моделі, т. е. якщо є інша модель, така натурі, константи подоби будуть іншими.

Якщо такі величини висловити в відносних одиницях, тобто. як відносинсходственних величин межах однієї системи (натури чи моделі), одержимо інваріанти подоби:


 (4)

тощо.

>Инварианти подоби не залежить від співвідношення розмірів натури і моделі, тобто. всім моделей, подібних натурі, вони одні й самі.Инварианти подоби, які становлять ставлення однорідних величин, називаються >симплексами, чипараметрическими критеріями, наприклад ставлення L/D - геометричний симплекс.

>Инварианти подоби, виражені ставленням різнорідних величин, називаються критеріями подоби. Критерії подоби позначаються початковими літерами імен учених, які зробили великий внесок у розвиток цій галузі знань.

Критерії подобибезразмерни, їх значення до різних точок системи можуть бути різними, але длясходственних точок подібних систем вони однакові не залежить від відносних розмірів натури і моделі.

Критерії подоби мають фізичний сенс, будучи заходами співвідношень між якимись двома ефектами, силами тощо., що впливають на перебіг цього процесу.

Критерії подоби можна отримати нічого для будь-якого процесу, якщо відомі рівняння, описують той процес.

 

Основні становища теорії подоби (теореми подоби)

Основні становища теорії подоби укладено в теоремах подоби, які у основі практичного застосування теорії подоби.

Перша теорема подоби (теоремаНьютон-Бертрана): таких явищ характеризуються чисельно рівними критеріями подоби.

Теорему було сформульовано Ньютоном. Вона встановлює, що єдиним кількісним умовою подоби процесів є рівність критеріїв подоби натури і моделі.

Звідси очевидно, причетне критеріїв однієї системи (натури) до критеріям іншій подібній їй системи (моделі) завжди одно 1. Наприклад,

Якщо ставлення констант подоби одно 1, вона називається індикатора подоби і свідчить про рівність критеріїв подоби.

Отже, в таких явищ індикатори подоби рівні 1.

Перша теорема подоби вказує, які величини слід вимірювати під час проведення дослідів, результати яких узагальнити: треба вимірювати ті величини, що входять у критерії подоби.

Друга теорема подоби (теоремаБекингем-Федермана): рішення будь-якого диференціального рівняння, який зв'язує між собою перемінні, що впливають процес, то, можливо представлено як залежності між критеріями До подоби. Такі рівняння називаються рівняннями узагальнених змінних, чи >критериальними рівняннями, наприклад

>f(К1,До2,До3,...) = 0,          (5)

де До1,До2, До3 — критерії подоби.

Зазвичай критеріальне рівняння записується як залежності що визначається критерію подоби від визначальних критеріїв подоби:

До1=f(К2,До3,...), (6)        

Наприклад,

До1=АК>m2Доn3 (7)

де А, т, п — емпіричні показники.

>Определяемим критерієм, є той критерій, куди входить обумовлена величина. Критерії, куди входять величини, що визначають перебіг процесу (v,>,,>dе тощо.), називаються визначальними.

Коли якійсь ефект в досліджуваному процесі мало впливає його перебіг, то критерії подоби, що характеризують інтенсивність даного ефекту, можуть враховуватися. І тут процес стосовно цьому ефекту і до критерію подоби стає >автомодельним, тобто. незалежним. Відповідно до цієї теоремою результати експерименту, проведеного на моделі, можна представляти яккритериальних рівнянь.

Третя теорема подоби (теоремаКиринчен-Гухмана): явища подібні, якщо їх що визначають критерії рівні.

Наслідком рівності визначальних критеріїв подоби є рівність і визначених критеріїв для натури і моделі, тому отримана на моделі у результаті дослідівкритериальная залежність буде справедлива всім цих процесів, зокрема й у які протікають у промисловій установці. У цьому треба враховувати, що отримане рівняння надійно можна використовувати лише у інтервалах зміни змінних, які було використано під час проведення дослідів.

Отже, на дослідження технологічних процесів методом подоби необхідно:

1. вибрати диференціальний рівняння й умови однозначності, описують цей процес; потім шляхом перетворення знайти критерії подоби;

2. дослідним шляхом з допомогою моделей встановити залежність між критеріями подоби; отримане узагальнену рівняння буде справедливим всім цих процесів не більше зміни визначальних критеріїв подоби.

Перетворення диференційних рівнянь методом теорії подоби проводиться у порядку:

1. кожен із членів диференціального рівняння збільшується на відповідні константи подоби до>, доv, доl тощо.;

2. отримані коефіцієнти на розгляд членів рівняння щодо дотримання тотожності прирівнюються;

3. у індикаторах подоби константи подоби замінюються відповідними відносинами величин, й оприлюднювати отримані комплекси є критеріями подоби.

У табл. 1 наведено основні критерії гідродинамічного подоби, які рівні длясходственних точок натури і моделі, якщо вони подібні.

Таблиця 1 - Основні критерії гідродинамічного подоби

Критерій

Вислів критерію

Характеристика критеріїв

Одиниці виміру які входять у критерії подоби величин

>Кинематический (критерійРейнольдса)

>Rе =>l/=l/

Характеризує міру співвідношення сил інерції й снаги тертя

>- швидкість, м/с;

l- визначальний розмір, м;

>- щільність,кг/м3;

> - динамічна в'язкість,Па-с;

> - кінематична в'язкість, м2/з;

g- прискорення вільного падіння, м/с2;

р - тиск,Па;

 >-время, з

>Гравитационний (критерійФруда)

>Fr =>2/>gl

Характеризує міру співвідношення сил інерції й снаги тяжкості
>Гидравлического опору (критерійЭйлера)

>Еu =>p/>2

Характеризує міру співвідношення сил гідростатичного тиску й снаги інерції
>Гомохронности

Але = >>/l

Характеризує нестале рух рідини

Отже, диференціальний рівнянняНавье -Стокса, яке описує рух в'язкому рідини, то, можливо представлено як >критериального рівняння:

 

>f(>Rе, Але,Fr,Еu) = 0 (8)

>Уравнение (8) є узагальненимкритериальним рівнянням гідродинаміці. Усі критерії рівняння (8), крім критерію Їй, є визначальними, оскільки вони складено з величин, які входять у умови однозначності. КритерійЭйлера, куди входить величина р, що є метою розрахунку, буде визначальним критерієм.

Тоді

>Еu = >f(>Rе, Але,Fr) чи

>Еu =AНоз>Rет>Frп,         (9)

деА,c,т,п- емпіричні показники.

Нерідко рівняння (19) доповнюють геометричнихсимплексом l/>d:

>Еu =AНоз>Rет>Frп(l/>d)b, (10)

де b- емпіричний показник.

При що встановилася русі критерій Але виключається зкритериального рівняння:

>Еu =ARет>Frп(l/>d)b.       (11)


Що стосується, якщо швидкість руху рідини не визначено, до розрахунків вводять похідні чи модифіковані критерії подоби, що складаються з основних критеріїв. У цих критеріях подоби невідома величина замінюється іншими величинами, які порівняно легко визначаються експериментально чи аналітично.

Візьмемо ставлення критеріївRе іFr:

 (12)

Отриманий безрозмірний комплекс величин називається критерієм Галілея. Якщо помножити цей критерій на ставлення (>1->2)/>2 , виходить новий критерій подоби — критерій Архімеда

 (13)

де >1,>2— щільності рідини у різних точках,кг/м3.


Схожі реферати:

Навігація