Реферати українською » Экономико-математическое моделирование » Математичні методи планування експериментів


Реферат Математичні методи планування експериментів

Страница 1 из 2 | Следующая страница

>СОДЕРЖАНИЕ

планування експеримент модель

ЗАПРОВАДЖЕННЯ

1 Загальні інформацію про плануванні експерименту

2 Коротка характеристика методики складання планів експерименту для моделей першого і другого порядків

2.1 Загальні засади про плануванні другого порядку

2.2Ортогональние центральні композиційні плани другого порядку

2.3Рототабельние плани другого порядку

>ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список використаних джерел


ЗАПРОВАДЖЕННЯ

Розвиток сучасної науку й техніки пов'язані з створення нових й постійним удосконаленням існуючих своїх наукових та технологічних процесів. Основою їх розробки та оптимізації є експеримент. Помітне підвищення ефективності експериментальних досліджень, і інженерних розробок досягається використанням математичних методів планування експериментів. У процесі експериментування і за обробці даних істотно скорочувало тривалість рішення, знижує видатки дослідження та підвищує якості здобутих результатів.

Мета планування експерименту – перебування таких умов і здійснення дослідів у яких вдасться одержати надійну і достовірну інформацію об'єкт з найменшою витратою праці, і навіть зміг уявити цю інформацію в компактній і тому зручною формі з кількісної оцінкою точності.


1. Загальні інформацію про плануванні експерименту

Ініціатором застосування планування експерименту є Рональд А. Фішер, має іншого автора відомих перших робіт – ФренкЙетс. Далі ідеї планування експерименту у працях Дж.Бокса, Дж.Кифера. У нашій країні - в працяхГ.К. Кола, Є.В. Маркова та інших.

Часто, розпочинаючи вивченню будь-якого процесу експериментатор немає вичерпних даних про механізмі процесу. Можна тільки вказати параметри що визначають умови перебігу процесу, і, можливо вимоги для її результатам. Поставлене проблема є саме кібернетики. Справді, якщо вважати кібернетику «наукою, що вивчає системи будь-який природи, здатні сприймати, зберігати і переробляти інформацію з метою оптимального управління» [3], то такої системи можна як чорної скриньки.

Чорний ящик – об'єкт дослідження, має (>k +p) входів іm виходів.


Залежність між вихідними параметрами (відгуком) і вхідними параметрами (чинниками) називається функцією відгуку. Математична запис функції відгуку представленій у вигляді формули (1):


                       (1)

Цьому рівнянню в багатомірному просторі відповідаєгиперповерхность, що називається поверхнею відгуку, а саме простір –факторним простором.

Малюнок 2 – Поверхня відгуку

Для математичного описи поверхні відпочинку використовують рівняння:

 (2)

де -перемешнние чинники приi=1,…,k;u=1,…,k;iu;

.

Це рівняння є розкладанням до кількох Тейлора невідомої функції відгуку околиці точки з .

Насправді за результатами експерименту виробляється обробкаданних методом найменших квадратів. Цей метод дозволяє знайти оцінку b коефіцієнтів , і цей поліном замінюється рівнянням виду:

 (3)

що є регресійної моделлю (моделлю регресійного аналізу). У цьому вся вираженні означає модельне, тобто.рассчитиваемое по рівнянню моделі, значення виходу. Коефіцієнти регресії визначаються експериментально і служать для статистичної оцінки теоретичних коефіцієнтів, тобто.

 (4)

У регресійної моделі члени другого ступеня , характеризують кривизну поверхні відгуку. Чим більший кривизна цієї поверхні, тим більше у моделі регресії членів вищого рівня. Насправді найчастіше прагнуть обмежитися лінійної моделлю [1].

Експеримент робити по-різному. Що стосується, коли дослідник спостерігає за якимось некерованим процесом, не втручаючись до нього, чи вибирає експериментальні точки інтуїтивно, виходячи з якихось привхідних обставин, експеримент вважають пасивним. Нині пасивний експеримент вважається неефективним.

Набагато більше продуктивно проводиться експеримент, коли дослідник застосовує статистичні методи всіх етапах дослідження, і, перед постановкою дослідів, розробляючи схему експерименту, соціальній та процесі експериментування, при обробці результатів і після експерименту, приймаючи рішення про подальші діях. Такий експеримент вважають активним, і вона передбачає планування експерименту.

Під плануванням експерименту розуміють процедуру вибору числа і умов проведення дослідів, необхідних і достатніх на вирішення поставленого завдання з необхідної точністю.

Під математичної моделлю планування розуміється наука про засоби складання економічних експериментальних даних планів, що дозволяють видобувати найбільше інформацію про об'єкті дослідження, про засоби експерименту, про засоби обробки даних, і їх використання для оптимізації виробничих процесів, і навіть інженерних розрахунків [3].


2. Коротка характеристика методики складання планів експерименту для моделей першого і другого порядків

Використання теорії планування експерименту одна із шляхів підвищення ефективності багатофакторних експериментальних досліджень. У плануванні експериментів застосовуються переважно плани першого і другого порядків. Плани вищих порядків використовують у інженерної практиці рідко. У зв'язку з цим далі наводиться стисле вищенаведене викладення методики складання планів експерименту для моделей першого і другого порядків. Під планом першого порядку розуміють такі плани, що дозволяють провести експеримент для відшукання рівняння регресії, що містить лише ступеня факторів, і їх твори:

  (5)

Плани другого порядку дозволяють провести експеримент для відшукання рівняння регресії, що містить й ті ступеня чинників:

  (6)

Перебування рівняння регресії методом планування експериментів складається з таких етапів:

· вибір основних факторів, і їх рівнянь;

· планування і проведення власного експерименту;

· визначення коефіцієнтів рівняння регресії;

· статистичний аналіз результатів експерименту [1].

 

2.1 Загальні засади про плануванні другого порядку

Опис поверхні відгукуполиномами першого порядку часто виявляється недостатнім. В багатьох випадках задовільна апроксимація можна досягти, згідно зполиномом другого порядку (6).

І тут потрібно, щоб кожен чинник варіювався щонайменше ніж трьох рівнях. І тут повний факторний експеримент містить дуже велике кількість дослідів, однакову . Так, за її 27, а число коефіцієнтів , при число дослідів 243, а коефіцієнтів 21. У зв'язку з цим здійснення повного факторного експерименту (>ПФЭ) для планів другого порядку як складно, а й недоцільно.

Скоротити число дослідів можна, скориставшись так званим композиційним чи послідовним планом, розробленимБоксом іУилсоном. Так, при двох чинниках модель функції відгуку другого порядку є поверхню як циліндра, конуса, еліпса тощо., описувану загалом рівнянням:

. (7)

Для визначень такий поверхні необхідно розташовувати координатами щонайменше трьох її точок, тобто. чинники та повинні варіюватися щонайменше ніж трьох рівнях. Тому план експерименту у площині факторів, і малюнку 3, а чи не може полягати лише з дослідів 1, 2, 3, 4, розміщених в вершинах квадрата, як це робиться для моделі першого порядку. До них би мало бути додано досліди (зоряні точки) 5, 6, 7, 8, розташовані на вісях і з координатами і запитають обов'язково досвід 9 у центрі квадрата, щоб за кожному напрямку (5-9-6), (1-9-4) тощо. розташовувалося трикрапку, що визначають кривизну поверхні у цьому напрямі.

Малюнок 3 – Плани другого порядку при : а –ортогональний;

б –рототабельний

Отже, у випадку ядро композиційної плану становить приПФЭ , а при - дробову репліку від цього. Якщо лінійне рівняння регресії виявилося неадекватним, необхідно:

1) додати (2 –k) зоряних точок, розташованих на координатних вісях факторного простору де - зоряне плече, чи відстань до зоряної точки;

2) провести дослідів при значеннях чинників у центрі плану.

Приk чинниках загальна кількість дослідів у матриці композиційної плану становитиме:


 (8)

У цьому величина зоряного плеча і кількість дослідів у центрі плану залежить вибраного виду композиційної плану.

>Композиционний план для і представлено таблиці 1.

Таблиця 1 –Композиционний план другого порядку

Номер досвіду Чинники Результат

Ядро

плану

1

2

3

4

5

+1

+1

+1

+1

+1

- 1

+1

- 1

+1

- 1

- 1

+1

+1

0

+1

- 1

- 1

+1

0

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

+1

0

Зоряні точки

6

7

8

+1

+1

+1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Центр плану 9 +1 0 0 0 0 0

Так будуються плани й у більшої кількості чинників [1].


2.2Ортогональние центральні композиційні плани другого порядку

Загалом вигляді план, поданий у таблиці 1,неортогонален оскільки

 (9)

Наведемо його доортогональному виду, навіщо введемо нові перемінні (перетворення дляквадратичних ефектів):

 (10)

у своїй

 (11)

Тоді рівняння регресії прописано як

 (12)

Композиційні плани легко призвести доортогональним, обираючи зоряне плече . У таблиці 2 наведено значення а різного числа чинниківk і кількості дослідів у центрі плану .

Таблиця 2 – Значення зоряних плечей в ортогональних планах другого порядку

Кількість дослідів у центрі плану

Зоряне плече при різному числі чинниківk

(в ядріполуреплики)

1 1,000 1,215 1,414 1,546
2 1,077 1,285 1,471 1,606
3 1,148 1,353 1,546 1,664
4 1,214 1,414 1,606 1,718
5 1,267 1,471 1,664 1,772
6 1,320 1,525 1,718 1,819
7 1,369 1,575 1,772 1,868
8 1,414 1,623 1,819 1,913
9 1,454 1,668 1,868 1,957
10 1,498 1,711 1,913 2,000

Зокрема,ортогональний план другого порядку і представлено таблиці 3, яке геометрична інтерпретація - малюнку 3, а.

Поданий малюнку 3, й у таблиці 3 прямокутний (квадратний) план експерименту для моделі другого порядку працездатний, хоч трохи надлишковий (9 дослідів визначення 6 коефіцієнтів). Завдяки трьом надлишковим дослідам, вона дозволяєусреднить випадкові похибки і оцінювати характер.

Таблиця 3 –Ортогональний центральний композиційний план другого порядку

Номер досвіду Чинники Результат

Ядро

плану

1

2

3

4

+1

+1

+1

+1

- 1

+1

- 1

+1

- 1

- 1

+1

+1

+1

- 1

- 1

+1

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

+1/3

Зоряні точки

5

6

7

8

+1

+1

+1

+1

0

0

0

0

0

0

0

0

+1/3

+1/3

- 2/3

- 2/3

- 2/3

- 2/3

+1/3

+1/3

Центр плану 9 +1 0 0 0 - 2/3 - 2/3

У таблиці

. (13)

З огляду наортогональности матриці планування її коефіцієнти рівні:

 (14)

Рівняння регресії визначаються незалежно одне одного по формулам.

Тут і - номер шпальти в матриці планування; j - номер рядки; цифрузнаменателях різні для лінійних,квадратичних ефектів і взаємодій.

>Дисперсии коефіцієнтів рівняння регресії такі:


. (15)

Слід підкреслити особливо, що коефіцієнти рівняння регресії, одержувані з допомогою ортогональних планів другого порядку, визначаються з різною точністю (див. рівняння (14)), тоді якортогональние плани першого порядку забезпечують однакову точність коефіцієнтів, тобто. план, поданий у таблиці 3, єортогональним і забезпечує незалежність визначення коефіцієнтів b, перестав бутирототабельним.

Через війну розрахунків з матриці з перетвореними стовпчиками дляквадратичних ефектів отримуємо рівняння регресії як:

 (16)

Для перетворення до звичайної формі записи слід вийти з коефіцієнта до коефіцієнта , використовуючи вираз:

. (17)

У цьому дисперсія цього коефіцієнта розраховується за наступному співвідношенню:

 (18)


Надалі, знаючидисперсию відтворюваності, перевіряють значимість коефіцієнтів і адекватність рівняння:

 (19)

Значимість коефіцієнтів перевіряється критерієм згодиСтьюдента . Коефіцієнт значущий, якщо , деm – число ступенів свободи дисперсії відтворюваності.

>Адекватность рівняння перевіряється критерієм Фішера

>Уравнение значимо, якщо складено в такий спосіб F - ставлення менше теоретичного: , де - число свободи дисперсії адекватності; - число ступенів свободи дисперсії відтворюваності; I - число коефіцієнтів в рівнянні регресії другого порядку, однакову числу поєднань з по 2, тобто.

 (20)

2.3Рототабельние плани другого порядку

Як було встановлено, план другого порядку, поданий у таблиці 3, не має здатністьрототабельности.Рототабельним називають планування, котрій дисперсія відгуку (вихідного параметра) , пророкованого рівнянням регресії, постійна всім точок, що є на рівному відстані від центру експерименту.Экспериментатору заздалегідь невідомо, де знаходиться той частина поверхні відгуку, що представляє йому особливий інтерес, тож слід прагне, щоб кількість інформації, що міститься в рівнянні регресії, було однаково всімравноотстоящих від центру експерименту точок. Справді, видалення від центру точок 5,6,7,8 в рази менше, ніж видалення точок 1: 2, 3, 4 (див. малюнок 3,: а), і, отже, коефіцієнт рівняння регресії визначаються з різноманітноюдисперсией.Бокс і Хантер запропонувалирототабельние плани 2-го порядку. Щоб композиційний план буврототабельним, величину зоряного плеча обирають з умови:

 (21)

Чи у загальному разі

,

деk – число чинників;

>p –дробность репліки (дляПФЭp = 0, дляполурепликиp =1, длячетвертьрепликиp = 2 тощо.).

Кількість точок у центрі плану  збільшують. У таблиці 4 наведено значення а різного незалежних чинників.

Таблиця 4 - Значення зоряних плечей і кількості точок у центріротатабельних планів

>Параметр плану Значення параметрів при числі незалежних чинників

2

3

4

5 6 6 6 7 7
Ядро плану

Зоряне плече 1,414 1,682 2,00 2,378 2,00 2,828 2,378 3,333 2,828

Кількість точок у центрі плану

5 6 7 10 6 15 9 21 14

Розглянемо ідею вибору значення зоряного плеча з прикладу матрицірототабельного планування другого порядку , поданої у таблиці 5.

Розміщення точок цього плану показано малюнку 3, б. Задля більшоїрототабельности точок 5, 6, 7, 8 необхідно видалити їхнього капіталу від центру плану на відстань разів, більше, ніж видалення точок 1, 2, 3, 4 відосейи . Внаслідок цього всі крапки плану (таблиця 5) виявляються лежать на окружності. З огляду на істотно більший вплив на функцію відгуку випадкової помилки у точці 9, рекомендується ставити у цій точці плану чимало, а кілька дублюючих дослідів (у разі досліди з 9 до 13) для усереднення отриманих результатів й у здійснення статистичного аналізу результатів всього експерименту загалом.

Таблиця 5 –Рототабельний план другого порядку

Номер досвіду Чинники Результат

Ядро

плану

1 +1 -1 -1 +1 +1/3 +1/3

2 +1 +1 -1 -1 +1/3 +1/3

3 +1 -1 +1 -1 +1/3 +1/3

4 + +1 +1 +1 +1/3 +1/3

Зоряні точки 5 +1 +1,414 0 0 2 0

6 +1 -1,414 0 0 2 0

7 +1 0 +1,414 0 0 2

8 +1 0 -1,414 0 0 2

Центр плану 9 +1 0 0 0 0 0

10 +1 0 0 0 0 0

11 +1 0 0 0 0 0

13 +1 0 0 0 0 0

З огляду на специфічний характеррототабельного плану загалом, можна також ознайомитися отримати формули до розрахунку коефіцієнтів рівняння регресії та його дисперсій:

 (22)

; (23)

 (24)

 (25)

 (26)

 (27)

 (28)

де (29)

  (30)

  (31)

 (32)

Тут - число дослідів у центрі плану; - число інших дослідів.

Матрицярототабельного планування, виявляєтьсянеортогональной, оскільки:

 (33)

Отже, якщо якийсь зквадратичних ефектів виявивсянезначимие, то саме його винятку коефіцієнти рівняння регресії необхідно перелічити наново.

З використаннямрототабельних планів другого

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація