Реферат Математичні методи оптимізації

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Завдання 1. Графічне вирішення завдання розподілу ресурсів

 

· Записати стандартну і канонічну форми.

· Знайти все базисні і допустимі базисні рішення. Визначити оптимальне базисне рішення.

· Знайти графічно оптимальне базисне рішення.

Фірма випускає два виду виробів Проте й У. Кожне виріб проходить обробку двома технологічних лініях.

Відома таблиця технологічних коефіцієнтів - часу обробки (в хвилинах) кожного вироби з кожної технологічної лінії. Крім цього, відомі ринкова ціна кожного вироби й загальне час кожну лінію і .

Вироби А Вироби У Загальне час лінії
Лінія 1 60 32 1920
Лінія 2 36 60 2160
Ціна одного вироби 30 25

РІШЕННЯ

Запишемо стандартну і канонічну форми

Означимо:

план випуску вироби А;

план випуску вироби У.

Тоді витрати лінії 1 і лінії 2, необхідних виробництва плану дорівнюватимуть відповідно:


План буде допустимим, якщо витрати для лінії 1 і лінії 2 вищими за загального часу роботи кожної з ліній, тобто. виконуються нерівності:

Цільовий функцією служить прибуток від реалізації припустимого плану при обмеженнях

 (1.1)

Для канонічної форми ці обмеження потрібно перетворити на рівності. І томувведем дві додаткові перемінні

залишок з виробництва на лінії 1 (залишок часу обробки)

залишок з виробництва на лінії 2 (залишок часу обробки).

Тоді одержимо канонічну форму завдання:

-знайти перемінні , що дають максимум цільової функції

 при обмеженнях

 (1.2)

·Найдем все базисні рішення.

Отримані обмеження утворюють систему двох рівнянь з чотирма невідомими. Серед нескінченного безлічі рішень цією системою базисні рішення виходять так. Дві змінних прирівняємо до 0. Ці перемінні назвемо вільними. Значення інших змінних отримуємо з рішення системи. Ці перемінні назвемо засадничими.Базисное рішення називається допустимим, коли вонанеотрицательно.

1) Нехай вільні перемінні. Підставляючи значення (1.2), отримуємо систему рівнянь

Отже, базисне рішення має вигляд

.

>Базисное рішення означає, що вироби Проте й вироби Не виробляються. Це базисне рішення є допустимим. Виручка від цього плану становитиме

.

2) Нехай вільні перемінні. Підставляючи значення (1.2) отримуємо систему

Отже, базисне рішення має вигляд


.

Це базисне рішення означає, що виріб А виробляється, виріб У виробляється у кількості 60 од., час виготовлення своєї продукції лінії 1 повністю, для на лінії 2 бракує 1440 хвилин роботи. Це базисне рішення перестав бути допустимим.

3) Нехай вільні перемінні. Підставляючи значення (1.2) отримуємо систему

для базисних змінних і . Отже, базисне рішення має вигляд

.

Це базисне рішення означає, що виріб А виробляється, виріб У виробляється у кількості 36 одиниць, час виготовлення продукції лінії 1 використовується в повному обсязі та її залишок становить 768 хвилин, але в лінії 2 повністю. Це базисне рішення є допустимим. Виручка від цього плану становитимеден.ед.

4) Нехай вільні перемінні. Підставляючи значення (1.2) отримуємо систему


для базисних змінних . Отже, базисне рішення має вигляд .Базисное рішення означає, що вироби А виробляється у кількості 32 од., виріб Не виробляється, час виготовлення продукції лінії 1 повністю, а час виготовлення лінії 2 в повному обсязі використовується, його залишок становить 1008 хвилин. Це базисне рішення є допустимим. Виручка від цього плану становитиме

 >ден. од.

5) Нехай вільні перемінні. Підставляючи значення (1.2) отримуємо систему

для базисних змінних . Отже, базисне рішення має вигляд . Це базисне рішення означає, що вироби А виробляється 60 од., виріб Не виробляється, немає часу обробки 1680 хвилин перша лінії, а час обробки другий лінії повністю. Це базисне рішення перестав бути допустимим.

6) Нехай вільні перемінні. Тоді базисні перемінні і знайдемо із системи рівнянь


Звідси випливає, що базисне рішення має вигляд . Таке рішення означає, що вироби А виробляються у кількості од., вироби У виробляються у кількості , час обробки з кожної з ліній повністю. Це базисне рішення є допустимим. Виручка від становитимеден.ед.

·Определим оптимальне базисне рішення.

З теорії лінійного програмування слід, що оптимальний рішення можна знайти серед допустимих базисних рішень. Звідси випливає, що з визначення оптимального рішення потрібно обчислити значення цільової функції усім допустимих базисних рішеннях. Оптимальним буде базисне рішення, у якому значення цільової функції найбільше.

У таблиці 1.1 приведено всі допустимі базисні рішення відповідні їм значення виручки .

двоїстий завдання рівноважний попит корисність товар

Таблиця 1.1

>Базисние перемінні >Небазисние перемінні

1

2

3

4

Максимальне значення виручки досягається на четвертому базисному рішення у цієї таблиці


Отже, виріб А виробляється у кількості од., виріб У виробляється у кількості од., час обробки з кожної з ліній повністю ().

Графічне вирішення завдання

Розглянемо завдання стандартної формі: знайти перемінні , що забезпечують максимальне значення функції

при обмеженнях

На горизонтальній осі прямокутної системи координат будемо відкладати план випуску продукції , але в вертикальної – план випуску другий продукції .

Розглянемо перше обмеження . Безліч точок, які відповідають рівності , утворює пряму на площині. Побудуємо цю пряму по її точкам перетину з осями координат. Для визначення координат точки А перетину з віссю в рівняння підставимо . З неї слід , тобто . Для визначення координат точки У перетину з віссю в рівняння підставимо . З неї слід , тобто. .Неравенству задовольняють всі крапки одній зполуплоскостей, які утворила побудована пряма. Для її визначення досить перевірити справедливість нерівності одній точки. Спочатку координат нерівність виконується. Отже, всі крапки напівплощини, що містить початок координат, будуть графічним зображенням цього нерівності. Аналогічно побудуємо пряму по її точкам перетину з осями координат: . Усі крапки напівплощини, що містить початок координат будуть графічним зображенням нерівності . З огляду на обмеження на знак , безліч точокчетирехугольника є безліччю всіх допустимих рішень. Усі кутові точки (крайні точки)четирехугольника відповідають допустимим базисним рішенням:

кутова точка відповідає базисному рішенню

, , ;

кутова точка відповідає базисному рішенню

, , , ;

кутова точка відповідає базисному рішенню

, , , ;

кутова точка відповідає базисному рішенню , , , .


Тепер графічно знайдемо точкучетирехугольника , що визначить оптимальне рішення.

З теорем математичного аналізу слід, що оптимальний рішення слід шукати лише з боку точок кордонучетирехугольника . Для її визначення на початку координат побудуємо вектор , координати якого є ринковими цінами. Пряма проходить через початок координат перпендикулярно вектору . Вона визначає все плани, у яких виручка дорівнює 0. Вектор вказує можливий напрямок зростання виручки. Якщо пряму нульової виручки (рожева лінія) переміщати паралельно у бік вектора , ті значення виручки збільшуватиметься. Адже серед внутрішніх точокчетирехугольника оптимального рішення може бути, то пряму потрібно перемістити до кордонучетирехугольника , тобто. до точки .


Отже, точка визначає оптимальне рішення. Відповідне точці базисне рішення

є оптимальним розв'язанням. Максимальна виручка дорівнюватиме .Уравнение визначає рівняння максимальної виручки (верхня рожева лінія).

Завдання 2.Двойственная завдання

 

· Записати двоїсту завдання й дати її економічний сенс.

· Знайти оптимальне рішення двоїстої завдання.

· Визначити доцільність виробництва З, на яку на виготовлення одиниці виробленої продукції потрібно 60 хвилин і 50 хвилин часу виготовлення першої та другої лінії відповідно. Ринкова ціна становить 120ден. од. за одиницю продукції.

РІШЕННЯ

Запишемо двоїсту завдання й дамо її економічний сенс.

Правило побудови двоїстої завдання ось у чому. Кожному рівності прямий завдання відповідає двоїста змінна

Стрілки показують, що першому рівності відповідає змінна , а другому – змінна .

Для визначення цільової функції двоїстої завдання двоїсті перемінні і примножуються на праві частини рівностей і складаються:

.

Кожній перемінної прямий завдання відповідає обмеження двоїстої завдання. Ліві частини з цих обмежень для перемінної записуються так.Двойственние перемінні і примножуються на коефіцієнти перед перемінної і складаються: .

Аналогічно, записуються ліві частини обмежень для перемінної .Двойственние перемінні і примножуються на коефіцієнти перед перемінної і складаються: . Ліва частина обмежень для перемінної дорівнює , а перемінної . Праві частини обмежень рівні коефіцієнтам 30, 25, 0, 0 цільової функції

перед перемінними . Ліві та праві частини обмежень з'єднуються знаком .

Через війну двоїста завдання має вигляд:

знайти двоїсті перемінні і , у яких цільова функція мінімальна

при обмеженнях

Змінні , називаються допустимим рішенням двоїстої завдання, якщо вони задовольняють всім обмеженням і оптимальними, якщо вони допустимі і цільова функція сягає мінімуму.

Економічний сенс двоїстої завдання:

двоїста змінна визначає тіньову ціну роботи 1 хвилини устаткування лінії 1, а двоїста змінна визначає тіньову ціну роботи 1 хвилини устаткування лінії 2.

Тоді цільова функція задає вартість часу роботи обладнання тіньових цінах відповідно для лінії 1 і лінії 2.

Вислів визначає вартість 60 хвилин і 36 хвилин, витрачених на виготовлення одиниці вироби На тіньових цінах, а вираз визначає вартість 32 хвилин і 60 хвилин, витрачених на виготовлення одиниці вироби У в тіньових цінах.

>Определим величини приведених вартостей.


Якщо величина позитивна, то вартість ресурсів більше ринкової ціни цього продукту. І тут виробництво продукту збитково. Якщо величина негативною, то вартість ресурсів менше ринкової ціни цього продукту. Якщо величина дорівнює 0, то вартість ресурсів дорівнює ринкової ціні. Обмеження двоїстої завдання

Звідси випливає, що з допустимих тіньових цінах виробництво обох продуктів неприбутково.

Можна дати таку економічну інтерпретацію двоїстої завдання. Деяка фірма пропонує виробнику продукції продати їй усе запаси ресурсів за тіньовими цінами та . Рішення двоїстої завдання визначає мінімальний рівень ринкових цін , у якому виробляти продукцію неприбутково.

>Найдем оптимальне рішення двоїстої завдання

З першого завдання слід, що дозволене базисне рішення

є оптимальним розв'язанням прямий завдання.

По оптимальному базисному рішенню прямий завдання знайдемо оптимальне рішення двоїстої. І тому все обмеження двоїстої завдання, відповідні базисним змінним потрібно замінитиравенствами

З положень цих рівностей знайдемо оптимальні значення двоїстих змінних , мінімальне значення цільової функції одно

.

Оптимальна тіньова ціна роботи 1 хвилини устаткування лінії 1 дорівнює , а оптимальна тіньова ціна 1 хвилини устаткування лінії 2 дорівнює .

Вартість роботи технологічного устаткування, витрачених на виготовлення одиниці вироби А дорівнює

,

а вартість роботи технологічного устаткування, витрачених на виготовлення одиниці вироби У дорівнює

.


Наведені вартості кожного виду вироби будуть рани

Звідси випливає, що виробництво виробів Проте й У рентабельно.

>Определим доцільність виробництва З, на яку на виготовлення одиниці виробленої продукції потрібно 60 хвилин і 50 хвилин часу виготовлення першої та другої лінії відповідно. Ринкова ціна становить 120ден. од. за одиницю продукції. І тому обчислимо вартість ресурсів, витрачених на виготовлення одиниці виробленої продукції З:

 >ден. од.

>Приведенная вартість цього виду продукції дорівнюватиме

.

Звідси випливає, що виробництво одиниці виробленої продукції З принесе прибутокден. од.

Завдання 3. Функція корисності

Нехай функція корисності наборів з цих двох товарів має вигляд , де


.

· Знайти набір товарів, який має ті ж самі корисність, як набір і кількість другого товару одно 1.

· Для набору знайти граничні корисності першого і другого товарів.

· У наборі кількість першого товару поповнюється 0,1, а другого зменшується на 0,2. Знайтиприближенное зміна корисності.

РІШЕННЯ

1. Функція корисності має вигляд: .Найдем корисність набір :

Крива байдужості визначає все набори товарів, які мають ті ж самі корисність як набір . На цьому рівняння можна знайти набір товарів, у якому кількості другого товару одно , підставивши це значення в рівняння кривою байдужості , . Отже, набори і байдужі для споживача.

2.Найдем приватні похідні функції корисності


Гранична корисність першого товару у традиційному наборі дорівнює значенням приватної похідною у точці (3,8):

.

Гранична корисність другого товару у традиційному наборі дорівнює значенням приватної похідною у точці (3,8):

>Найдем зміна корисності, якщо кількість першого товару поповнюється 0,1, тобто. , а кількість другого товару зменшується на 0,2, тобто. .Приближенное зміна корисності обчислимо за такою формулою

.

Отже, корисність набору , рівна , поповнюється 0,0065. Отже, корисність нового набору


Завдання 4. Модель Стоуна

Функція корисності споживача має вигляд

, де

.

1. Знайти рівноважний попит його корисність, якщо ринкова ціна першого товару , ринкова ціна другого товару і споживач виділяє для закупівлі товарів суму грошових одиниць.

2. Знайти функції попиту обидва виду товарів.

3. Знайти попит на обидва товару зі збільшенням доходу на 30 грошових одиниць і за зменшенні доходу на 60 грошових одиниць.

РІШЕННЯ

1. Функція корисності споживача має вигляд

.

>Вичислим рівноважний попит при заданих цінах і доході.Найдем вартість мінімального набору товарів

.

>Оставшаяся сума грошей розподіляється пропорційно коефіцієнтам еластичності цих товарів


 .

На придбання першого товару виділяється сума

.

На придбання 2-го товару - сума

.

Поділивши виділених коштів на ринкові ціни товарів, отримуємо кількість товару,приобретаемое понад встановлених нормативів

Отже, оптимальний попит становитиме

 одиниць першого товару і

 одиниць другого товару.


Корисність рівноважного набору дорівнюватиме

.

2.Найдем функції попиту, замінюючи в формулах попиту

,  .

Ці формули визначають попит продукції за будь-яких цінах і доходах.

3. Оцінимо впливом геть попит зміни доходу обох товарів.Найдем реакцію попиту зміна доходу на 1 грошову одиницю. Приватні похідні по прибутку показують зміна попиту перший і другий товари відповідно за умов зростання доходу на 1 грошову одиницю.

>Дифференцируя отримані вище функції попиту по М, отримуємо

 .

>Вичислим ці приватні похідні при заданих і :


.

Оскільки значення приватних похідних позитивні, то обидва товару є цінними: зі зростанням доходу на 1 грошову одиницю попит на обидва товару росте: попит перший товар поповнюється , а другого - на .

При збільшенні доходу споживача на 30 грошових

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація