Реферат Аналіз часових рядів

Страница 1 из 4 | Следующая страница

Запровадження

 

У цьому главі розглядаються завдання описи упорядкованих даних, отриманих послідовно (у часі). Власне кажучи, упорядкованість може з'явитися лише у часу, а й у просторі, наприклад, діаметр нитки як функція її довжини (одновимірний випадок), значення температури повітря як функція просторових координат (тривимірний випадок).

На відміну від регресійного аналізу, де порядок рядків матриці спостережень то, можливо довільним, у тимчасових лавах важлива упорядкованість, отже, інтерес представляє взаємозв'язок значень, які стосуються різним моментів часу.

Якщо значення низки відомі у окремі моменти часу, такий ряд називають дискретним, на відміну безперервного, значення якого відомі у будь-який час. Інтервал між двома послідовними моментами часу назвемо тактом (кроком). Поки що тут розглядатися переважно дискретні тимчасові ряди з фіксованою завдовжки такту, прийнятої за одиницю рахунку. Зауважимо, що тимчасові ряди економічних показників, зазвичай, дискретні.

Значення низки може бути >измеряемими безпосередньо (ціна, дохідність, температура), або >агрегированними (>кумулятивними), наприклад, обсяг випуску; відстань,пройденноегрузоперевозчиками за тимчасової такт.

Якщо значення низки визначаються детермінованою математичної функцією, то ряд називають детермінованим. Якщо такі значення може бути описані лише з допомогою ймовірнісних моделей, то тимчасової ряд називають випадковим.

Явище,протекающее у часі, називають процесом, можна говорити продетерминированном чи випадковому процесах. У разі використовують часто термін “>стохастический процес”.Анализируемий відрізок тимчасового низки може розглядатися як приватна реалізація (вибірка) досліджуваного стохастичного процесу, генерованого прихованим вірогіднісним механізмом.

Тимчасові ряди виникають у багатьох предметних областях і мають різну природу. Для вивчення запропоновані різні методи, що робить теорію часових рядів дуже розгалуженої дисципліною. Так було в залежність від виду часових рядів можна назвати такі розділи теорії аналізу часових рядів:

– стаціонарні випадкові процеси, описують послідовності випадкових величин, імовірнісні властивості яких немає змінюються у часі. Подібні ж процеси поширені в радіотехніці,метереологии, сейсмології тощо. буд.

–диффузионние процеси, які відбуваються при взаємопроникненні рідин і газів.

– точкові процеси, описують послідовності подій, як-от надходження заявок обслуговування, стихійних і техногенним катастрофам. Подібні ж процеси вивчаються теоретично масового обслуговування.

Ми обмежимося розглядом прикладних аспектів аналізу часових рядів, які корисні під час вирішення практичних завдань економіки, фінансах. Основний упор буде зроблено за методи добору математичну модель для описи тимчасового деяких обласних і прогнозування її поведінки.


>1.Цели, методи лікування й етапи аналізу часових рядів

Практичне вивчення тимчасового низки передбачає виявлення властивостей деяких обласних і отримання висновків щодовероятностном механізмі, що породжує цей елітний реєстр. Основні мети щодо тимчасового низки такі:

– опис характерних рис низки у стиснутій формі;

– побудова моделі тимчасового низки;

– пророцтво майбутніх значень з урахуванням минулих спостережень;

– управління процесом, що породжує тимчасової ряд, шляхом вибірки сигналів, покликаних унеможливлювати про прийдешніх несприятливих подіях.

Досягнення поставлених цілей можна які завжди як через брак вихідних даних (недостатня тривалість спостереження), так через мінливості згодом статистичної структури низки.

Перелічені мети диктують значною мірою, послідовність етапів аналізу часових рядів:

1) графічне подання, і опис поведінки низки;

2) виділення й неможливість закономірних, невипадкових складових низки, залежать від часу;

3) дослідження випадкової складової тимчасового низки, що залишилася після видалення закономірною складової;

4) побудова (добір) математичну модель для описи випадкової складової і перевірка її адекватності;

5) прогнозування майбутніх значень низки.

При аналізі часових рядів використовуються різні методи, найпоширенішими серед яких є :

1) кореляційний аналіз, використовуваний виявлення характерних рис низки (>периодичностей, тенденцій тощо. буд.);

2) спектральний аналіз, дозволяє знаходити періодичні складові тимчасового низки;

3) методи згладжування і фільтрації, призначені для перетворення часових рядів з єдиною метою видалення високочастотних і сезонних коливань;

4) моделіавторегрессии і ковзаючого середнього для дослідження випадкової складової тимчасового низки ;

5) методи прогнозування.


>2.Структурние компоненти тимчасового низки

Як зазначалося, в моделі тимчасового низки прийнято виділяти дві основні складові : детерміновану і випадкову (рис.). Під детермінованою складової тимчасового низки розуміють числову послідовність , елементи якої обчислюються за певним правилу як функція часу >t. Віднявши детерміновану складову з наведених даних, ми матимемо коливний навколо нуля ряд, які можуть одному граничному разі представляти суто випадкові стрибки, а іншому – плавне коливальне рух. Найчастіше буде щось середнє: деякаиррегулярность і певний систематичний ефект, обумовлений залежністю послідовних членів низки.

Натомість, детермінована складова може містити такі структурні компоненти:

1) тренд g, являє собою плавне зміна процесу в часу й обумовлений дією довгострокових чинників. Як приклад трьох чинників економіки може бути : а) зміна демографічних характеристик популяції (чисельності, вікової структури); б) технологічне і економічного розвитку; у ріст споживання.

2) сезонний ефект >s, пов'язані з наявністю чинників, діючих циклічно із заздалегідь відомою періодичністю. Ряд у разі має ієрархічну шкалу часу (наприклад, всередині року є сезони, пов'язані з порами року, квартали, місяці) й у однойменних точках низки мають місце подібні ефекти.


>Рис. Структурні компоненти тимчасового низки.

Типові приклади сезонного ефекту: зміна завантаженості автотраси протягом доби, щодня тижня, порами року, пік продажів товарів що для школярів наприкінці серпня - початку вересня. Сезонний компонента згодом не може змінюватися, або носити плаваючий характер. Так, на графіці обсягу перевезеньавиалайнерами (див рис.) видно, що локальні піки, що припадають на свято Великодня «плавають» через мінливості її термінів.

Циклічна компонента з, яка описувала тривалі періоди відносного піднесення та спаду і що складається з циклів перемінної тривалості і амплітуди. Така компонента дуже й у рядів макроекономічних показників. Циклічні зміни обумовлені тут взаємодією попиту й пропозиції, і навіть накладенням трьох чинників, як виснаження ресурсів, погодні умови, зміни у податкову політику тощо. п. Зазначимо, що циклічну компоненту дуже важко ідентифікувати формальними методами, виходячи тільки з даних досліджуваного низки.

«Вибухова» компонента і, інакше інтервенція, під якої розуміють істотне короткочасне вплив на тимчасової ряд. Прикладом інтервенції можуть бути події «чорного вівторка» 1994 р., коли курс долара протягом дня становило кілька десятків відсотків.

Випадкова складова низки відбиває вплив численних чинників випадкового характеру і може мати різноманітну структуру, починаючи з найпростішої як «білого шуму» до дуже складних, описуваних моделямиавторегрессии-скользящего середнього (докладніше далі).

Після виділення структурних компонент необхідно уточняти форму їх входження в тимчасовій ряд. На верхньому рівні вистави за виділенням лише детермінованою і випадкової складових зазвичай використовуютьаддитивную абомультипликативную моделі.

>Аддитивная модель має вигляд

;

>мультипликативная –

,

де - значення низки в останній момент >t ;

 - значення детермінованою складової;

- значення випадкової складової.

Натомість, детермінована складова то, можливо представлена якаддитивная комбінація детермінованих компонент:

,

якмультипликативная комбінація:


,

або як змішана комбінація, наприклад,


>3.Модели компонентів детермінованою складової тимчасового низки

>3.1.Модели тренду

>Тренд відбиває дію постійних довгострокових факторів, і носить плавний характер, отож у описи тренду широко використовуютьполиномиальние моделі, лінійні за параметрами

,

де значення ступеня >k >полинома рідко перевищує 5.

Поруч ізполиномиальними моделями економічні дані, описують процеси росту, частоаппроксимируются такими моделями:

– експоненційною

.

Ця модель описує процес з їх постійним темпом приросту, тобто

 

– логістичній

У процесу, описуваного логістичній кривою, темп приросту досліджуваної характеристики лінійно зменшується з збільшенням y, тобто

–Гомперца

.

Ця модель описує процес, у якому темп приросту досліджуваної характеристики пропорційний їїлогарифму

.

Дві останні моделі задають криві тренду P.S-образною форми, представляючи процеси з наростаючим темпом зростання стадії із уповільненням наприкінці.

При доборі підходящої функціональної залежності, інакше специфікації тренду, дуже корисний є графічне уявлення тимчасового низки.

Наголосимо також на, що тренд, відбиваючи дію довгострокових чинників, визначальний при побудові довгострокових прогнозів.

 

3.2 Моделі сезонної компоненти

Сезонний ефект в часі ряді проявляється на «тлі» тренду та її виділення виявляється можливим після попередньої оцінки тренду. (Тут не розглядаються методи спектрального аналізу, що дозволяє виділити внесок сезонної компоненти в спектр без обчислення інших компонент низки). Справді, лінійно зростаючий ряд помісячних даних матиме схожі ефекти в однойменних точках – найменше значення у січні та найбільша у грудні; однак навряд чи тут доречне казати про сезонному ефект: виключивши лінійний тренд, ми матимемо ряд, у якому сезонність цілком відсутня. У той самий час ряд, описує помісячні обсяги продажу новорічних листівок, хоч і матиме ті ж самі особливість (мінімум продажу січні, і максимум у грудні) матиме швидше за все коливальний характер щодо тренду, що дозволяє уточняти ці коливання як сезонний ефект.

У найпростішому разі сезонний то може виявлятися як суворо періодичної залежності.

, нічого для будь-якого >t, де >t - період сезонності.

У випадку значення, віддалені на >t може бути пов'язані функціональної залежністю, тобто

.

Приміром, сезонний ефект сам може містититрендовую складову, яка відображатиме зміна амплітуди коливань .

Якщо сезонний ефект входить у рядаддитивно, то модель сезонного ефекту можна записати як

,


де -булеви, інакше індикаторні, перемінні, за однією за кожен такт всередині періоду >t сезонності. Так, для низки місячних даних =0 всім >t, крім січня кожного року, котрій =1 тощо. Коефіцієнт при показує відхилення січневих значень від тренду, - відхилення лютневих значень тощо до . Щоб зняти неоднозначність в значеннях коефіцієнтів сезонності , вводять додаткове обмеження, зване умоварепараметризации, зазвичай

.

У разі, коли сезонний ефект носить мультиплікативний характер, тобто

модель низки з допомогою індикаторних змінних можна записати як

Коефіцієнти , у цій моделі прийнято називати сезонними індексами.

Для повністю мультиплікативного низки


зазвичай проводять процедурулинеаризации операцієюлогарифмирования

.

Домовимося називати представлені моделі сезонного ефекту «індикаторними». Якщо сезонний ефект досить «гладкий» – близький до гармоніці, використовують «гармонійне» уявлення

,

де >d - амплітуда, w - умови частоти (в радіанах в одиницю часу), a - фаза хвилі. Оскільки фаза зазвичай заздалегідь невідома. Останнє вираз записують як

,

де , .

Параметри А і У можна оцінити з допомогою зазвичай регресії.Угловая частота w вважається відомої. Якщо якість підгонки виявиться незадовільним, поруч із гармонікою w основний хвилі в модель включають додатково першу гармоніку (які з подвійною основний частотою 2w), потреби і другу тощо гармоніки. У принципі так, з цих двох уявлень: індикаторного і гармонійного – слід вибирати то, яке зажадає меншої кількості параметрів.


3.3 Модель інтервенції

Інтервенція, що є вплив, істотно що перевищує флуктуації низки, може мати характер «імпульсу» чи «сходинки».

>Импульсное вплив короткочасно: розпочавшись, воно майже відразу закінчується.Ступенчатое вплив довго, носить сталого характеру. Узагальнена модель інтервенції має вигляд

,

де - значення детермінованою компоненти низки, описуваної як інтервенція;

 - коефіцієнти типуавторегрессии;

 - коефіцієнти типу ковзаючого середнього;

-екзогенная змінна однієї з двох типів;

 («щабель»), чи («імпульс»)

де -- фіксований час, званий моментом інтервенції.


>4.Методи виділення тренду

Наведені вп.3.1 специфікації низки єпараметрическими функціями часу. Поцінування параметрів може бути проведене методом найменших квадратів як і, як ірегрессионном аналізі. Хоча статистичні передумови регресійного аналізу (див п. ) у тимчасових лавах часто вже не виконуються (особливо п.5 –некоррелированность обурень), тим щонайменше оцінки тренду виявляються прийнятними, якщо модельспецифицирована правильно серед спостережень немає великих викидів. Порушення передумов регресійного аналізу позначається й не так на оцінках коефіцієнтів, скільки з їхньої статистичних властивості, зокрема, спотворюються оцінки дисперсії випадкової складової й довірливі інтервали для коефіцієнтів моделі.

У літературі описуються методи оцінювання за умовкоррелированности обурень, проте їх застосування вимагає додаткової інформації про кореляції спостережень.

Головною проблемою при виділенні тренду у тому, що підібрати єдину специфікацію для тимчасового часто неможливо, оскільки змінюються умови перебігу процесу. Облік цієї мінливості особливо важливий, якщо тренд обчислюється з метою прогнозування. Тут позначається особливість саме часових рядів: дані які стосуються «далекого минулого» будуть неактуальними, безрезультатними або навіть «шкідливими» для оцінювання параметрів моделі поточного періоду. Саме тому під час аналізу часових рядів широко використовуються процедури зважування даних.

Для обліку мінливості умов модель низки часто наділяють властивістю адаптивності, по крайнього заходу, лише на рівні оцінок параметрів.Адаптивность розуміється тому, що оцінки параметрів легко перераховуються у міру надходження нових спостережень. Звісно, і звичайному методу найменших квадратів можна надати риси адаптивності, перераховуючи оцінки щоразу, залучаючи у процес обчислень старі дані плюс свіжі спостереження. Однак цьому кожен новий перерахунок веде зміну минулих оцінок, тоді як адаптивні алгоритми вільні цієї вади.

 

4.1Скользящие середні

Метод що ковзають середніх – одне із найбільш давніх і широковідомих способів виділення детермінованою складової тимчасового низки. Суть методу полягає у усередненні вихідного низки на інтервалі часу, довжина якого обрано заздалегідь. Причому обраний інтервал ковзає вздовж низки, зрушуючи щоразу в один такт вправо (звідси назва методу). за рахунок усереднення вдається істотно зменшитидисперсию випадкової складової.

Ряд нових значень стає більш гладким, тож таку процедуру називають згладжуванням тимчасового низки.

Процедуру згладжування розглянемо спочатку для низки, що містить лишетрендовую складову, якуаддитивно накладено випадкових компонент.

Як відомо, гладка функція то, можливо локально представленій у виглядіполинома з досить високою ступенем точності.Отложим з початку тимчасового низки інтервал часу довжиною (2>m+1) крапок і побудуємо поліном ступеня >m для відібраних значень і використовуємо цей поліном визначення значення тренду (>m+1)-і, середньої, точці групи.

Побудуємо для визначеності поліном 3-го порядку інтервалу з семи спостережень. Для зручності подальших перетворень занумеруємо моменти часу всередині обраного інтервалу те щоб його середина мала нульовий значення, тобто. >t = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Запишемо шуканий поліном:


.

>Константи знаходимо методом найменших квадратів:

.

>Дифференцируем по коефіцієнтам :

;

;

.

Суми непарних порядківt від -3 до +3 рівні 0, і рівняння зводяться до виду:

 ;

  ;

 ;

  .


Використовуючи перший і третє з рівнянь, отримуємо

Страница 1 из 4 | Следующая страница

Схожі реферати:

Нові надходження

Замовлення реферату

Реклама

Навігація