Реферати українською » Экономико-математическое моделирование » Побудова неповної квадратичної регресійної моделі за результатами повного факторного експерименту


Реферат Побудова неповної квадратичної регресійної моделі за результатами повного факторного експерименту

Страница 1 из 4 | Следующая страница

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

>ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ імені ВОЛОДИМИРАДАЛЯ

>ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

до курсової роботу з дисципліни

“Організація експерименту

Тема: «Побудова неповноїквадратичной регресійної моделі за результатами повного факторного експерименту 23»

СТУДЕНТ: Черних Н.В.

ГРУПА: ММ – 961

КЕРІВНИК: Шевченка А.В.

Луганськ 2009 р.


Розділ 1. Побудова неповноїквадратичной регресійної моделі за результатами повного факторного експерименту 23

 

Принципи рішення багатофакторних оптимізаційних завдань. Метод крутого сходження

 

Завдання матеріалознавства дуже різні. У найбільш загальному вигляді їх можна розділити на дві групи:

- екстремальні завдання, метою якого є пошук оптимальних у цьому чи іншому сенсі складів матеріалів, режимів їх термічної обробки, умов лиття, зварювання, напилювання, обробки тиском тощо. п.;

- завдання описи, метою якого є вивчення загальних закономірностей явищ, які у матеріалах за зміни їх складів, у процесі їх виготовлення, під час по наступних обробок. Завдання описи і екстремальні завдання часто вирішуються разом.

В усіх випадках ситуація помітно спрощується, для тієї чи іншої явища вдається побудувати деяку математичну модель.

Припустимо, треба вивчити вплив хімічного складу, умов лиття, обробки тиском і наступного термічної обробки на властивості матеріалів обраної системи. Метою цього дослідження є намагання виявити загальні закономірності зміни властивостей матеріалів залежність від їх хімічного складу і умов обробок, і навіть пошук матеріалу, який володіє деяким заданим комплексом властивостей. Зрозуміло, що мета дослідження легко було досягти, якби були математичні моделі, котрі пов'язують механічні, технологічні, експлуатаційні й інші властивості матеріалів досліджуваної системи зі своїми хімічний склад, режимами лиття, деформації, термічної обробки, особливостями поверхневих властивостей. Рішення і завдання описи, і екстремальній завдання представляло б тоді просто аналіз наявних моделей.

Постає питання, як же отримати що така моделі? Існують, по крайнього заходу, два способу.

Моделі можна спробувати побудувати з урахуванням знань механізмів явищ, які у матеріалах за зміни їх складу і під час обробок, т. е. теоретичним шляхом. Побудовані у такий спосіб моделі представляють виняткову цінність, оскільки з їхньою можна використовувати як на вирішення даної конкретного завдання, а й у багатьох інших випадках.

На жаль, механізми більшості явищ чи процесів, які у різних матеріалах, на сьогодні вивчені вочевидь не досить. Принаймні, суворих кількісних теорій, зазвичай, немає, тому тільки з теоретичних міркувань побудувати моделі кожному за конкретного випадку що ніколи вдасться. Проте, розглянута завдання є стандартної в технології металів, матеріалознавстві, порошкової металургії й у технології нанесення покрить, не бажаючи завдання що така, ясна річ, вирішуються. Отже, вирішується вона зовсім при неповному знанні (котрий іноді взагалі при незнанні) механізмів явищ, що відбуваються в матеріалах. І цей спосіб рішення цілком певний – емпіричний, експериментальний. Звідси випливає, що реалістичним через побудову математичних моделей є експеримент.

Отже, необхідно з допомогою експерименту, що проходитиме принеполном знанні чи незнанні механізмів явищ, навчитися будувати і аналізувати математичні моделі, котрі пов'язують властивості матеріалів з усіма перемінними, яких ці якості залежать.

Відразу ж таки відзначимо, поставлена проблема є саме кібернетики. Справді, якщо вважати кібернетику наукою, що вивчає системи будь-який природи, здатні сприймати, зберігати і переробляти інформацію з метою оптимального управління, такий кібернетичної системи у даному випадку є досліджуваний матеріал, і неї можна як з так званого “чорної скриньки”. Вона мати входи (незалежні перемінні, чинники) x1, x2, ..., x>k (у разі це склад, режими лиття, напилювання, термічної обробки, деформації) і виходи (залежні перемінні, відгуки, параметри оптимізації, цільові функції) h1, h2, ..., h>q (властивості матеріалу). Істотним і те обставина, кожному набору рівнів входів відповідають певні значення виходів. Інакше кажучи, сплав, порошковий матеріал чи покриття фіксованого складу, отримані і оброблені за схемою і режимам, мають певний комплекс властивостей. Сплав іншого складу, оброблений на інших режимам, має та інші властивості. Точнісінько з відповіддю, чому за зміні складу і режимів обробок змінилися властивості сплаву, не можна (механізм явища або погано, або не відомий), але важливий лише сам собою факт зміни властивостей. Якщо тепер припустити, що виходами і входами системи існує певна зв'язок (а вона, безперечно, існує), завдання зводиться до постановки мінімально можливого числа експериментів (вибору певної кількості наборів рівнів входів), фіксації виходів, та був побудувати та аналізу математичних моделей, що пов'язують виходи з входами.

Отже, потрібно одержати певне уявлення про про функціях відгуку:

 


Вигляд функцій j досліднику заздалегідь невідомий. Тому, одержуючи в дослідах вибіркові оцінки виходів y, він мусить будувати наближені рівняння функцій відгуку:

Ці рівняння в багатомірному просторі чинників називаютьсяфакторним простором. Вона має певний геометричний образ – поверхню відгуку. Отже, завдання зводиться для отримання ставлення до поверхні відгуку. Якщо завдання екстремальна, треба знайти екстремум (мінімум чи максимум) цієї поверхні або ж зробити висновок, щоекстремума немає. Якщо вирішується завдання описи, треба намагатися виявити причини саме такої характеру поверхні.

Властивості матеріалів, як і взагалі будь-яких інших систем, можна описувати різними математичними моделями. Найбільше застосування знайшли моделі у вигляді алгебраїчнихполиномов. Зазвичай використовують розкладання невідомої функції відгуку ряд Тейлора на околиці будь-який точки в галузі її визначення вфакторном просторі:


де ; ; .

Цей статечної ряд у випадку нескінченний, але практично обмежуються кінцевим числом його членів,аппроксимируя цим невідому функцію j (x1, x2,..., x>k)полиномом певної міри. Така апроксимація можна буде, якщо функція відповідає ряду вимог. Найважливішим із них вимога безперервності і з достатньою «гладкості». Оскільки заздалегідь невідомо, наскільки ця потреба виконується, доводиться робити припущення у тому, що це.

Модель будують за результатами експериментів, т. е. визначають вибіркові оцінки коефіцієнтів b0, bі, b>ij, b>ii:

де з – вибіркова оцінка функції відгуку h.

Експеримент робити по-різному. Що стосується, коли дослідник спостерігає за якимось некерованим процесом, не втручаючись до нього, чи вибирає експериментальні точки інтуїтивно, експеримент вважають пасивним. Зокрема, що ситуація виникає майже завжди, коли користуються традиційними методами експериментування, вивчаючи спочатку впливом геть властивості матеріалу однієї перемінної при решту постійних, потім інший тощо. буд. Бо за цьому немислимо перебрати всіх можливих варіанти, виконують лише деякі з дослідів, причому обгрунтування вибраних варіантів що ніколи немає суворі. У таких випадках статистичні методи застосовують зазвичай по закінченні експериментів, коли дані вже отримані. Тут використовують такі прийоми, як добір функцій розподілу, визначення середніх величин та дійових заходів розсіювання, аналіз кореляцій,регрессий тощо. п.

Досвід показав, що цей підхід, особливо у завданнях оптимізації, є неефективним. Без упину усім причинах цієї обставини, відзначимо лише, за результатами пасивного експерименту можна, наприклад, будувати висновки про наявності чи відсутність статистичної зв'язок між перемінними, побудувати підходящі рівняння зв'язку. Але цимиуравнениями можна скористатися лише інтерполяції. Наприклад, можна оцінити як аналітичного висловлювання, як змінюється міцність тієї чи іншої матеріалу залежно з його складу і умов виготовлення, але інтерпретувати отриману модель, надавати якесь значення її коефіцієнтам, використовуватиме цілей оптимізації, зазвичай, не можна. Нині пасивний експеримент досить використав технології металів і матеріалознавстві. Проте, майбутнє, мабуть, не було за ним, хоч у випадках і з пасивних спостережень вдасться витягти дуже цінну інформацію.

Зовсім інша картина спостерігається, коли дослідник починає застосовувати статистичні методи всіх етапах дослідження та, передусім, перед постановкою дослідів, розробляючи схему експерименту, соціальній та процесі експериментування, при обробці результатів і після експерименту, приймаючи рішення про подальші діях. Такий експеримент називають активним, і вона передбачає планування експерименту.

Під плануванням експерименту зазвичай розуміють процедуру вибору числа і умов проведення дослідів, необхідних і достатніх на вирішення поставленого завдання з необхідної точністю.

Основні переваги активного експерименту пов'язані про те, що вона дозволяє:

- мінімізувати загальна кількість дослідів;

- вибирати чіткі, логічно обгрунтовані процедури, послідовно що їх експериментатором під час проведення дослідження;

- використовувати математичний апарат,формализующий багато діянь експериментатора;

одночасно варіювати усіма перемінними і оптимально використовувати факторне простір;

- організувати експеримент в такий спосіб, щоб виконувалися багато вихідні передумови регресійного аналізу;

- отримувати математичні моделі, мають ширшу область практичного застосування, ніж моделі, створені за результатам пасивного експерименту;

>рандомизировать умови дослідів, т. е. численні несуттєві чинники перетворити на випадкові величини;

- оцінювати елемент невизначеності, пов'язані з експериментом, що дозволяє зіставляти результати, одержувані різними дослідниками.

Щоб краще собі уявити, як реалізуються ідеї активного експерименту, розглянемо схему однієї з широко які у час методівпланирования експерименту – методу крутого сходження, покликаного забезпечити рішення екстремальних завдань.

У цьому вся методі, як та у багатьох інші методи планування експерименту, завдання вирішується поетапно. У першому етапі, варіюючи у кожному досвіді відразу всі чинники, дослідник шукає лише напрям руху до областіекстремума. І тому поверхню відгуку вивчають лише з невеликій ділянці та будуються при цьому ділянки лінійну модель:


.

Аналіз отриманого рівняння дозволяє намітити собі напрямок руху з вихідної точки, найшвидше що веде до оптимізації обраного параметра. Надалі кожному етапі відповідно до результатами, отриманими на попередніх етапах, ставлять невелику серію дослідів, результати яких разом із інтуїтивними рішеннями дослідника визначають наступний крок. Цю процедуру закінчується областіекстремума. Тут ставлять дещо більше серію дослідів, і поверхню відгуку описують думок нелінійних функціями.

Аналіз нелінійного рівняння дозволяє точно визначити координатиекстремума або ж зробити висновок, щоекстремума немає, і навіть намітити наступний шлях оптимізації.

Порівняємо класичнийметалловедческий підхід і метод крутого сходження ось на чому прикладі. Припустимо, що потрібно знайти склад найбільш міцного сплаву з урахуванням нікелю, варіюючи у ньому зміст алюмінію (x1) і танталу (x2). Припустимо далі, що залежність міцності (у) від складу для даних сплавів має вигляд, показаний на рис. 1, чого дослідник, розпочинаючи рішенню завдання, природно, не знає.

По інтуїтивним міркувань чи підставі даних інших досліджень експеримент починають зі сплаву, відповідального складу точки P.S1. При традиційному експериментуванні дослідник починає змінювати у тому сплаві однієї з добавок при постійному кількості інший, потім зміст інший при постійному кількості першої. За такого підходу, починаючи з місця P.S1, узагалі можна шукати оптимальний склад сплаву (точка P.S6), оскільки рух щодо прямий від точки P.S1 у бік не призводить до суттєвого зміцнення сплаву (див. рис. 1).

Якщо далі експериментатор зуміє можливість перейти до інший початкової точки P.S2, то, послідовно змінюючи зміст алюмінію і танталу, він знайде найбільш міцний сплав, проте це шлях буде досить довгою (P.S2-P.S3-P.S4-P.S5-P.S6).

Отже, традиційне експериментування, яка передбачає почергове зміна змінних, веде до нераціональному витрачанню часу та коштів, тим паче, що більшість інформації, отримана після такої роботи, часто взагалі представляє практичного інтересу, оскільки належить до області, далекою від оптимальних умов.

Така сама завдання методом крутого сходження вирішується так. Поблизу точки P.S1, починаючи з якої при звичайному експериментуванні успіх взагалі, міг не досягнуть, ставлять невелику серію з чотирьох дослідів (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 1). Мета цих дослідів – ще пошук складу найбільш міцного сплаву. Визначення міцності перших чотирьох сплавів дозволяє досліднику наближено описати невідому поверхню відгуку у невеликому ділянці поблизу точки P.S1, т. е. розрахувати коефіцієнти регресії рівняння:

.


>Рис. 1. Схема методу крутого сходження: I – y = b0 + b1x1 + b2x2 ; II – y = b'0 + b'1x1 + b'2x2

Знайдені за результатами дослідів коефіцієнти b1 і b2 визначають напрям градієнта для даної апроксимуючої площині, т. е. напрям зміни змісту алюмінію і танталу в сплаві, що веде до максимально швидкому підвищенню міцності сплаву. Зробивши кілька дослідів у цьому напрямі, т. е. здійснивши круте сходження поверхнею відгуку у бік градієнта лінійного наближення (звідси назва методу), дослідник вибирає нову вихідну точку P.S7, біля якій проводить аналогічну серію з чотирьох дослідів, розраховує коефіцієнти нового лінійного наближення сьогодні вже поблизу точки P.S7:

y = b'0 + b'1x1 + b'2x2


та здійснює рух щодо градієнту цього рівняння. Рух по градієнту виробляють перш ніж до області оптимуму, після чого споруджують і аналізують нелінійну модель цій галузі. На рис. 1 градієнт збігаються з прямий, перпендикулярнійизолиниям, т. е. із цілком крутим схилом, провідним від даної точки на вершину. Для поверхні відгуку, показаної на рис. 1, виявилося досить двох серій дослідів, щоб за крутому сходженні знайти склад найбільш міцного сплаву.

Навіть розглянутий приклад показує, що планування експерименту принципово відрізняється від традиційного експериментування. При плануванні використовується >многофакторная схема експерименту, коли ефект впливу будь-якого чинника оцінюється за результатами всіх дослідів. При традиційному експериментуванні (зміні одного чинника за постійних інших чинниках) використовується >однофакторная схема, коли він ефект впливу чинника оцінюється лише з певної частини дослідів.Многофакторная схема істотно ефективніше. Покажемо простою прикладі.

Припустимо, що необхідно визначити масу трьох зразків А, У і З. Розглянемо два способу експерименту.

У першому випадку схема зважування буде таке, як показано в табл. 1. Тут перший досвід є неодружене зважування, т. е. щодо справи, визначення нульового становища терезів.

Наступні досліди – почергове зважування кожного зі зразків. Маса кожного зразка оцінюється за результатами лише двох дослідів: досвіду, у якому зважуєтьсяобразец, і холостого зважування. Наприклад, маса зразка А = у2 - у1; зразка У = у3 - у1; зразка З = у4 - у1.

Схема

Страница 1 из 4 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація