Реферат Оцінювання параметрів розподілів


>ОЦІНЮВАННЯПАРАМЕТРІВРОЗПОДІЛІВ


Завданняоцінюванняпараметріврозподілівполягає впобудові наосновістатистичноїінформації,отриманої заданимивибірки,статистичних з висновками проістиннезначенняневідомого параметра , взнаходженнівеличини , якої можна якщовзяти вякості йогооцінки, й ввизначенніприпустимих міжїхньоїрозбіжності.

1.Загальніположеннятеоріїоцінюванняпараметріврозподілів

Ос-кількиіснує великакількістьфункцій відвибірковихзначень, котрі можнавикористати якоцінкипараметрів, длявиборунайкращоїоцінкинеобхідно запровадитикритерійпорівнянняякостіоцінок,вибратиміру, Якахарактеризуєблизькістьоцінки доістинногозначення параметра ,якийоцінюється. Проблема полягає в бобудь-якаоцінка,євеличиноювипадковою, бо вонподає, собоюфункцію відвибіркиобмеженогообсягу. Томусудити проїїякість ізреалізації лише уданійвибірці не можна.Необхідно за закономрозподілуоцінки, заформоюкривоїрозподілу, ізїїрозташування начисловійосіщодооцінюваного параметрарозсудити про ті, чи добро, чинезадовільноїїпідібрано.

>Наприклад, на рис. 1продемонстровано трикривірозподілуоцінокрізноїякості под номерами 1- Вочевидь, щорозподіл типу 3єдуженезадовільним, босереднєзначенняцієїоцінкиєзміщеним вправощодоістинногозначення й,отже,значення якщооцінюватися зсистематичноюпохибкоюубікзавищення. Урозподілуцієїоцінки порівняно великимє йрозсіювання.


Малюнок 1 –Кривірозподілуоцінок

>Подібністьрозподілівоцінок 1 й 2між собоюполягає до того, щоїхнісереднізначенняоцінокзнаходятьсябіляістинногозначення параметра а,тобтозміщення воцінці параметра при цьомувідсутні чиєнезначними. Однакрозподіл типу 2маєістотноменшудисперсію впорівнянні ізрозподілом 1.Тобторозсіюваннязначеньоцінки 2,отриманої заданимивибірки,щодоістинногозначення параметра у цьомуразі якщоменшим, ніж дляоцінки 1, томуїїслідвважатикращою.

>Функціїрезультатівспостережень (>вибірки), щовикористовують дляоцінкипараметріврозподілів,називаються статистиками. Уційтермінологіїоцінкою параметрає статистика ;реалізаціяякої,отримана поданійвибірці,приймається заневідомезначення параметра .

.


>Взагалі,відповідно доузагальненоїтеореми великих чисел увиглядіграниціибірковаоцінканазиваєтьсяобґрунтованою,якщо под годину збільшенняобсягувибірки вонзбігається займовірністю дооцінюваного параметра .

>Оцінка параметраназиваєтьсянезміщеною,якщоматематичнесподіванняоцінкидорівнюєоцінюваному параметру :

.

У огидноговипадкуоцінканазиваєтьсязміщеною.

>Оцінка параметраназиваєтьсяефективною,якщоїїдисперсіяємінімальною із всіхможливихдисперсій йогооцінок:

>Якщозізбільшеннямобсягувибіркидисперсіяоцінкипрагне добудь-якого межового (>мінімального)значення,наприклад, як на рис. 2,оцінканазиваєтьсяасимптотичноефективною.

Малюнок 2 –Дисперсіяасимптотичноефективноїоцінки


>Задовольнити усімтрьомвимогамоцінки параметрарозподілу (>обґрунтованості,незміщеності таефективності) разомзвичайно невдається.Насампередцестосуєтьсяспільноговиконанняостанніх двохвимог.

>Оцінювання параметратрадиційнопроводять у дваетапи. Напершомуетапівизначають статистику ,значенняякої приданійреалізаціївибіркиприймають занаближенезначенняоцінюваного параметра : .

>Цю процедуру вматематичнійстатистиціназиваютьточковимоцінюванням, а величину –точковоюоцінкою.

На іншомуетапіоцінюютьточність йнадійністьточковоїоцінки, Яка засвоєюприродоюєвеличиноювипадковою.Ця процедураполягає взнаходженніінтервалу, де ззаданоюймовірністюміститьсяневідомезначення параметра, щооцінюється.Цейетапзвичайноназиваютьінтервальнимоцінюванням.

>Далірозглянемоосновніметоди, щодозволяють провеститочкове йінтервальнеоцінюванняпараметрів.

2.Точковеоцінюванняпараметрів

>Головними методамиодержанняточковихоцінокпараметрівє методмоментів й методмаксимальноїправдоподібності.

Методмоментів.Цей метод (>Пірсона)полягає впорівнюваннівизначеноїкількостівибірковихмоментів, щоспівпадає із числомпідлягаючихоцінціпараметрів, ізвідповіднимитеоретичними моментамирозподілу, щоєфункціями відневідомихпараметрів. Прирозв’язаннісистемирівнянь, що при цьомуодержують,знаходятьточковіоцінкипараметрів.

>Задля прикладазастосуємо методмоментів длявизначенняпараметріврівномірного законурозподілувипадковоївеличинизіщільністюймовірності, що поставленофункцією

                                    (1)

>Обчислимоматематичнесподівання йдисперсіювеличини :

,                               (2)

                   (3)

Длявизначенняоцінокпараметрів й ,тобтовизначення йзамінимо врівняннях (2) й (3) йїхнімиоцінками й (1),(2).Одержимо системурівнянь дляточковихоцінок , ,звідкизнаходимо:

.

>Відомо, що методмоментів придоситьзагальнихумовахдозволяєзнайтиоцінки, для яківиконуєтьсявимогаасимптотичноїефективності. Однак, як доведеноФішером,отриманіцим методомоцінки ізпоглядуїхньоїефективності неєнайкращими ізможливих,тобто при великихвибірках смердотімають ненайменшуможливудисперсію. Томуотриманіцим методомоцінкислід трояндглядатилише як першенаближення.

Методмаксимальноїправдоподібності.Найбільшпоширеним методомточковогооцінюванняє методмаксимальноїправдоподібності (>Фішера).Оцінки,отриманіцим методом придосить великихвибірках,звичайнозадовольняють всімперерахованимвищевимогамобґрунтованості,незміщеності таефективності.

>Сутність цого методуполягає унаступному.Нехай данавибіркаобсягу ізгенеральноїсукупності ізнеперервнорозподіленоювипадковоювеличиною .Нехайщільністьймовірностімаєвигляд ,тобтоміститьневідомий параметр ,якийтребаоцінити завибіркою.

>Функцієюправдоподібностіназиваютьфункцію параметра , щовизначаєтьсяформулою:

.                          (4)

Уразідискретноївипадковоївеличини ізможливимизначеннями таймовірностямипозначимо черезнайбільше ізможливихзначень, щозустрічається увибірці, а ще черезабсолютнічастоти, ізякимиз'являютьсязначення , ,... увибірці . У цьомувипадкуфункцієюправдоподібностіназиваютьфункцію параметра , що заданаспіввідношенням

.                              (5)

Методнайбільшоїправдоподібностіполягає до того, що заоцінку параметраберетьсятаке йогозначення, приякомуфункціяправдоподібностідосягає свого максимуму.

>Параметрзнаходять,розв’язуючивідносноньогорівняння


.                                              (6)

Часто длязручностіфункціюправдоподібностізаміняютьїїлогарифмом йзамість (6)розв’язуютьрівняннявигляду

 ,   .                                           (7)

>Якщощільністьймовірності чиймовірністьможливогозначеннязалежать відпараметрів, тонайбільшправдоподібнуоцінкусистемипараметріводержують под годинурозв’язаннясистемирівнянь

                                     (8)

чи

.                                  (9)

>Найбільшправдоподібніоцінки придоситьзагальнихумовахмаютьтаківажливівластивості:

– смердотієобґрунтованими,

–асимптотично нормальнорозподіленими,однак незавждинезміщеними,

–серед всіхасимптотично нормальнорозподіленихоцінок смердотімаютьнайбільшуефективність.

>Маємісцетакожнаступнеположення:якщовзагалієефективнаоцінка,її можнаотримати методомнайбільшоїправдоподібності.

 

3.Інтервальнеоцінюванняпараметрів

>Інтервальноюназиваютьоцінку, щовизначаєтьсядвома числами –кінцямиінтервалу.Інтервальніоцінкидозволяютьвизначититочність йнадійністьточковихоцінок.

>Надійністю (>довірчоюймовірністю)оцінкиневідомого параметра задопомогоюзнайденої заданимивибіркистатистичної характеристикиназиваютьймовірність , ізякоювиконуєтьсянерівність :

чи, що ті жсаме

.

>Звичайновикористовуютьрівеньнадійності, щомаєзначення: 0,95; 0,99 й 0,999.

>Довірчимназиваютьінтервал ( ),якийпокриваєневідомий параметр ззаданоюнадійністю .

1Довірчіінтервали дляоцінкиматематичногосподівання нормальногорозподілу привідомому .Розглянемо завданняінтервальноїоцінкиневідомогоматематичногосподіваннякількісноїознаки повибірковій
>середній нормальнорозподіленоїсукупності ізвідомимсередньоквадратич нимвідхиленням .Знайдемодовірчийінтервал, щопокриває параметр ізнадійністю .

>Вибірковасереднязмінюється відвибірки довибірки. Томуїї можнарозглядати, яквипадкову величину , авибірковізначенняознаки , , ... , (>ці числатакожзмінюються відвибірки довибірки) – якоднаковорозподіленінезалежнівипадковівеличини , , ... , .Тобто,математичнесподіваннякожної ізцих величиндорівнює йсереднєквадратичневідхилення – .

>Можнапоказати, що в нормальноїрозподіленнявипадкової величинавибірковасередня ,знайдена занезалежнимиспостереженнями,такожрозподілена нормально із параметрами:

, .                                        (12)

>Поставимовимогу,щоб було бвиконаноспіввідношення

,                                                (13)

де – задананадійність.

>Застосуємо до нормальнорозподіленоївипадковоївеличинивідому ізтеоріїймовірностей формулу проймовірністьвідхилення нормальнорозподіленоївипадковоївеличинизісередньоквадратичнимвідхиленням від йогоматематичногосподівання не більше, ніж на

 ,                                   (14)

де –табульованафункціяЛапласа (3).

При цьому уформулі (14)відповідно до (12)необхіднозамінити на , на ,залишившиматематичнечекання беззміни.

>Тоді одержимо:

,                            (15)

де введенотакепозначення

.                                                (16)

>Підставивши у формулу (15)виразвеличини через із (16)

,                                                 (17)

>перетворившиїї довигляду:

.

Зогляду тих, щоймовірність задана йдорівнює (13), атакож, щовипадкова величинаєформальнимподаннямвибірковоїсередньої , остаточно одержимо:

.                       (18)

>Цюоцінкуназиваютькласичною.Відповідно донеї ізнадійністю можнастверджувати, щодовірчийінтервалпокриваєневідомий параметр . При цьому величинавизначається ізрівності (18), аточністьоцінки – із (17).

Зформули (17) видно, що ззростаннямобсягувибірки величиназменшується,тобтоточністьоцінкипідвищується. Зспіввідношення (18), де , зврахуваннямвідомогозростаючого характеруфункціїЛапласа (3),випливає, щопідвищеннянадійностікласичноїоцінки (18)призводить допогіршенняїїточності.

2Довірчіінтервали дляоцінкиматематичногосподівання нормальногорозподілу приневідомому .Ускладнимо постановкузадачі,розглянутої впопередньомупункті,вважаючи, щотеперсереднєквадратичневідхилення нормальнорозподіленоїкількісноїознакиневідомо.

У цьомувипадку заданимивибіркипобудуємовипадкову величину (>їїзначення будемотрадиційнопозначативідповідноюмалоюбуквою ), щоєфункціональнимперетвореннямвипадковоївеличини ,введеної впопередньомупункті:

 .                                                  (19)

Тутзбереженопозначення, котрівведені впопередньомупункті.Крім того,вжито , щоє ">виправлене"середнєквадратичневідхилення (1.7).

>Можнапоказати, щовипадкова величина (19)маєрозподілСтьюдента (2.8) із сходамиволі йщільністюрозподілу:

,

Де

,


 –Гама-функціяЭйлера (2.4).

Вочевидь, щорозподілСтьюдентавизначається параметром –обсягомвибірки та незалежить відневідомихпараметрів й , щозумовило йогопрактичнуцінність. Ос-кількифункціяєпарноювідносно ,ймовірністьвиконаннянерівності можнаперетворити таким чином:

.

Призамінінерівності вкруглих дужках наеквівалентнуйомуподвійнунерівність йзаміні на то впопередньомупункті, остаточно одержимо:

.

>Тобто,використовуючирозподілСтьюдента, можназнайтидовірчийінтервал , щопокриваєневідомий параметр знадійністю . Величина при цьомузнаходиться втаблицірозподілуСтьюдента узалежності відзначеньпараметрів й .

3Довірчіінтервали дляоцінкисередньогоквадратичноговідхилення нормальногорозподілу.Тепервирішимо завданняінтервальноїоцінки ізнадійністюневідомого генеральногосередньогоквадратичноговідхилення нормальнорозподіленоїкількісноїознаки за його ">виправленим"вибірковимсередньоквадратичнимвідхиленнямs. Цеозначає, щомаєвиконуватисяумова:

чи, що ті жсаме,

.                                          (20)

>Подвійнунерівність увиразі (20)зручноперетворити довигляду:

                                            (21)

   

 ,                                       (22)

де введенопозначення

                                                  (23)

йвраховано, щовідхиленнявідносно ,тобто – мала величина впорівнянні із , так що .

>Вибірковесереднєквадратичневідхиленнязмінюється відвибірки довибірки, тому його можнарозглядати яквипадкову величину, що мидотримуючисьтрадиціїпозначимовідповідною великоюлітерою .Помноживши усі члениостанньоїнерівності (22) на , одержимоновунерівність

,

що послевведенняпозначення

                                              (24)

>приймеостаточнийвигляд:

.                                           (25)

>Відзначимо, щонерівності (21) й (25)еквівалентні. Томурівність (20) можнатеперпереписати так:

.                    (26)

>Пірсон показавши, що величина (24) послеїїпідвищення до квадрату,тобто увигляді ,підкоряється законурозподілу ">хі-квадрат" (5), тому ймаєтакепозначення.Можнапоказати, щощільністьрозподілусамоївипадковоївеличинимає при цьомунаступнийвигляд:

 .                                    (27)

>Важливаособливість цогорозподілуполягає до того, що воно таєінваріантнимвідноснооцінюваного параметра , йзалежитьлише відобсягувибірки .

>Відомо, щоймовірністьнеперервнійвипадковійвеличинізнаходитися наінтервалі ( , )виражається утакийспосіб черезщільністьїїрозподілу:

.

>Застосувавшицю формулу в нашому конкретномувипадкуймовірностіперебуваннявипадковоївеличини (24) зщільністю увигляді (27) наінтервалі (25), одержимо:

.                        (28)

>Співвідношення (28) можнарозглядати якрівняннящодоневідомоївеличини (23) призаданихзначеннях й . Церівняння було брозв’язано взагальномувиглядізіскладаннямтаблиць, по яких, можназнайтизначення .Знаючи величину й ">виправлене"вибірковесереднєквадратичневідхиленняs по формулам (21), (23)визначаємодовірчийінтервал дляоцінкисередньогоквадратичноговідхилення нормальногорозподілу.

4Оцінкиістинногозначеннявеличини, щовимірюється, йточностівимірів.Ця завданняподає великийпрактичнийінтерес дляметрології.

>Нехай проведенонезалежниходнаковоточнихвимірівдеякоїфізичноївеличини,істиннезначенняякоїневідомо. Доти жневідомотакож йсереднєквадратичневідхиленнявипадковихпохибоквимірювання.Результати окремихвимірів , , ... , можнарозглядати, яквипадковівеличини , , ... , , щоєнезалежні (>виміринезалежні),мають ті жсамематематичнесподівання (>істиннезначеннявеличини, щовимірюється),однаковідисперсії (>виміриоднаковоточні) й нормальнорозподілені (>такедопущенняпідтверджуєтьсядосвідом).

Отже,усіприпущення, що було бзроблено под годинуотриманнядовірчихінтервалів у пунктах 1 й 2,виконуються. Тому можнабезпосередньовикористатиотримані у якихформули.Іншими словами,істиннезначеннявеличини, щовимірюється, можнаоцінювати посередньомуарифметичномурезультатів окремихвимірів задопомогоюдовірчихінтервалів.

>Середнєквадратичневідхиленнявипадковихпохибоквимірів утеоріїпомилокхарактеризуєточністьвимірів (>точністьприладу).

Дляоцінкивикористовують ">виправлене"середнєквадратичневідхилення . Ос-кількизвичайнорезультативиміріввзаємнонезалежні,маютьодне ітежсамематематичнесподівання (>істиннезначеннявеличини, щовимірюється) йоднаковудисперсію (увипадкуоднаковоточнихвимірів), тотеорію,викладену впункті 3, можназастосувати й дляоцінкиточностівимірів.

5Інтервальнаоцінкаймовірностібіноміальногорозподілу. Упідрозділі 2 уякості приклада 1 було бвирішено завданняточковоїоцінкиймовірностібіноміальногорозподілу. якточковуоцінкуневідомоїймовірності було бузятовідносну частотупоявиподії ( – числопоявподії, – число іспитів).Булоотриманоматематичнесподівання йдисперсіюоцінки.

>Тепер якщознайденодовірчийінтервал дляоцінкиймовірності завідносноючастотою.

Дляспрощенняприпустимо, щокількістьіспитівдосить велика, аймовірність неєблизькою ані доодиниці, ані нанівець (>досить,щобобидвівеличини й були понадчотирьох).Тоді можнавважати, що частотаподіїєвипадковоювеличиною ,розподілякоїєнаближеним до нормального закону (усенсіфункціїрозподілу).Параметрами цого закону будуть й .

Тому довипадковоївеличини можназастосувативідому формулу проймовірністьвідхилення нормальнорозподіленоївипадковоївеличинизісередньоквадратичнимвідхиленням відїїматематичногосподівання не більше, ніж на

 ,                                    (29)

де –табульованафункціяЛапласа.

>Зажадавши,щобумова дляймовірності уформулі (29)виконувалося ізнадійністю , й,замінивши вній на , на , на , атакожувівшипозначення , одержимо

чиінакше

.

При практичномузастосуванніцієїформуливипадкову величинунеобхіднозамінитиневипадковоювідносноючастотою , щоспостерігається, йпідставити :

.

>Під годинурозв’язанняцієїнерівностіщодоневідомоїймовірності уприпущенніпідвищимо до квадратаобидвіїїчастини. При цьому одержимоеквівалентнуквадратнунерівністьвідносно :

.

>Їїкоефіцієнт пристаршомучлені тадискримінантпозитивні, томуїїкорені й дійсна,причому недорівнюють один одному. Отжецянерівністьмаєрозв’язання:

,

>дисперсія криварозподілсподівання

що йвизначаєдовірчийінтервал,якийслідзнайти.

>Аналогічнийрозв’язокнерівностіотримуємо й уразі .


Схожі реферати:

Нові надходження

Замовлення реферату

Реклама

Навігація