>МОДЕЛЮВАННЯ НАЕОМВИПАДКОВИХВЕЛИЧИН ІВИПАДКОВИХПРОЦЕСІВ
Зміст
>Вступ
1.Принципимоделювання наЕОМвипадковихелементів
2.Моделюваннявипадкових величин ззаданимиймовірнісними характеристиками
>Моделюваннявипадкових величин, щоприймаютьдискретнізначення
>Моделюваннявипадкових величин ззаданимищільностямиімовірностей методомоберненихфункцій
>Моделюваннявипадкових величин ззаданимищільностямиімовірностей методомсуперпозиції
>Моделюваннягаусовихвипадкових величин методомсумації
>Моделюваннявипадкових величин зекспоненціальнимрозподілом тарозподілом Релея
Пристатистичномумоделюванні наЕОМ систем тамережзв’язкувиникаєнеобхідністьмоделюваннярізнихвипадковихелементів -одержання наЕОМреалізаційвипадкових величин тавипадковихпроцесів, котріописуютьреальніфізичніявища,події тапроцесифункціюванняцих систем.Розглянемоосновніпринципи,методи таалгоритмимоделювання наЕОМтиповихвипадкових величин тавипадковихпроцесів, щоможуть бутивикористані длястатистичнихвипробовувань примоделюванні систем тамережзв’язку наЕОМ.
Примоделюваннівипадковихелементів (>ВЕ) наЕОМрозглядають триоб'єкти:реальнийфізичнийоб'єкт, йогоматематичну модель, алгоритммоделювання наЕОМреалізаційВЕ наосновівибранноїматематичноїмоделі.Наприклад, в системах тамережах зв'язку такимиреальнимифізичнимиоб'єктамиможуть бутиповідомлення,сигнали-переносчики,модульованісигнали,завади, потоки заявок,процесиобслуговування заявок,процесикомутації.Математичнімоделіцихфізичнихпроцесів -церізнікласивипадковихпроцесів ізімовірнісними характеристиками, щовідповідаютьреальнимфізичнимпроцесам. Результатоммоделювання наЕОМєвибіркиреалізаційпроцесів, щоодержуються задопомогоюспеціальнихмоделюючихалгоритмів.МоделюванняВЕбазується за принципами:
>ВЕвизначається (“>конструюється”) яквідповіднаборелівськафункція віднайпростішихбазовихвипадкових величин (>БВВ);
винна бутизабезпеченаблизькість (завибранимкритерієм)імовірнісних характеристикреальнихфізичнихпроцесів тазмодельованихреалізаційвипадковихпроцесів.
>БВВодержують врезультатіпроведення наЕОМнайпростішоговипадковогоексперименту.
>Експериментполягає в “>киданні точкинавмання“ вінтервал [0,1) (>мал.1).Математичноюмоделлю такогоекспериментуєймовірніснийпростір , де -цепростірнезалежнихелементарнихподій ; -цеелементарнаподія, Якаполягає до того, що координатакинутої точкидорівнює ; - >це -алгебра, щопородженанапівінтервалами ізпростору ; -цеімовірніснаміра, Якавизначена дляпідмножин йзбігається ізмірою Лебега, так що
Малюнок 1 -Графічнепоясненнянайпростішоговипадковогоексперименту дляодержанняреалізаційБВВ
>Випадкова величина , що задана напросторі ,породжуєіншийімовірніснийпростір , де -цемножиназначень начисловійосі; -борельова алгебра, -індуктованаімовірніснаміра.Фактично, -цефункціярозподілуБВВ , що уданомувипадкумаєвигляд
(1)
>Відповіднаїйщільністьрозподілурівномірна напівінтервалі [0,1]
(2)
На мал.2наведеніграфічнізображенняфункції йщільностірозподілу ВР .
>моделюваннявипадкова величина алгоритм
а б
Малюнок 2 -Графічнезображенняфункціїрозподілу (а) тащільностірозподілу (б)БВВ.
УкожнійЕОМєгенератори (>спеціальніпрограми)одержаннявипадкових величин, щомаютьвказаніймовірнісні характеристики. Припослідовномузвертанні раз до такихпрограммоделюєтьсявибірка знезалежнихреалізаційБВВ , котра вподальшомувикористовується дляпобудовиВЕ знеобхіднимиймовірнісними характеристиками.
Примоделюванні наЕОМскладнихВЕ,зокрема,випадковоївеличини (ВР) чивипадковогопроцесу (ВП) іззаданимиймовірнісними характеристикамирозглядаєтьсяскладнийвипадковийексперимент, щополягає впроведенні разописаноговищенайпростішогоексперименту.Цейскладнийекспериментописуєтьсяімовірнісним простором , де -декартовийдобуток: ; -найменша - алгебра, щопобудована на ; -імовірніснаміра,отримана якдобутокімовірніснихмір длянайпростішогоексперименту.
Урезультатіпроведення такого складногоекспериментуотримуємоБВВ.Далівідповідно до Першого принципумоделюванняВЕ наЕОМбудь-якийскладнийвипадковийелементотримується якборелівськафункція від >БВВ
. (4)
>Підбираютьфункцію й число таким,щобімовірнісні характеристикиотриманогоВЕзбігалися ізімовірнісними характеристикамиоригіналу, щомоделюється.Існуютьрізнікритеріїблизькостіімовірнісних характеристикВЕ -оригіналу йВЕ,отриманого примоделюванні,зокрема,критерійПірсона,критерій Колмогорова.
Ос-кількимоделюваннявипадковихпроцесів наЕОМзводиться домоделюванняпослідовностівипадкових величин ззаданимиймовірнісними характеристиками,спочаткурозглянемоособливостімоделюваннядеякихвипадкових величин.
>Моделюваннявипадкових величин, щоприймаютьдискретнізначення>Розглянемомоделюваннявипадкових величин , щоприймають >дискретнихзначень ззаданимиймовірностями ().Моделювання таких ВРможе бутизведене домоделюванняповноїгрупинезалежнихподій, котрівідбуваються ізімовірностями . Для цоговикористовується датчикБВВ зматематичноюмоделлю .
>Введемо систему такихпідмножин ,щоб їхні можна було брозглядати якповнугрупунезалежнихподій на . При цьомуповиннізадовольнятисьумови ; ; .Визначимоціпідмножини так
, (5)
де й -цемежіінтервалів, котрівизначаються заформулою
,причому . (6)
>Зважаючи тих, щоБВВрозподіленарівномірно наінтервалі ,імовірностіпідмножинвизначаються черезщільністьрозподілуБВВвідповіднимспввідношенням
. (7)
Цеозначає, щоімовірністьпопаданнязначенняБВВ вінтервалдорівнюєдовжині цогоінтервалу (рис.3).
Малюнок 3 -Геометричнепоясненнямоделюваннягрупинезалежнихподій іздопомогоюБВВ
Таким чином,моделювання ВР , Якаприймаєдискретнізначення,полягає увиборізначенняБВВ задопомогою генератора,перевіркипопаданнязначенняБВВ дооднієї ізпідмножин йвинесеннірішення про ті, щомодельоване ВРприймаєзначення
, (8)
де -цехарактеристичнафункціямножини. (9)
>Моделюваннявипадкових величин ззаданимищільностямиімовірностей методомоберненихфункцій
>Розглянемомоделювання ВР ззаданоющільністюймовірності тафункцієюрозподілу
. (10)
>Якщофункціяє суворо монотоннозростаючою, то зрівняння можназнайтиоберненуфункцію
. (11)
>ПідставившизамістьБВВ , можнаодержати алгоритммоделювання ВР ззаданимрозподілом:
. (12)
Таким чином, длямоделювання наЕОМ ВР ззаданоющільністюймовірності,потрібновиконатитакіоперації:
>знайтифункціюрозподілу,користуючисьзаданоющільністюймовірності;
>знайтифункцію, що якщооберненою дофункціїрозподілу;
>одержуватиреалізаціїБВВ ;
>обчислюватизначення ВР якзначеннязнайденоїфункції .
>Виконуючиціоперації -разів, одержимовибіркуреалізацій .Скориставшись нею, можнапобудуватигістограмурозподілу йпорівнятиїї іззаданоющільністюймовірності.
>Даний методмоделюваннямаєнедоліки бо незавждивдаєтьсяаналітичнорозрахувати длязаданоїщільностіймовірностейінтеграл дляодержання , й задлявсякоїфункціїрозподілувдаєтьсяодержатиоберненуфункцію.
>Моделюваннявипадкових величин ззаданимищільностямиімовірностей методомсуперпозиції>Цей методбазується назображенніскладнихщільностейймовірностей черезпростіші. В частности, можна податібудь-якущільністьймовірностівипадковоївеличини увиглядісумішіпростихрозподілів
, (13)
де -деякікоефіцієнти,причому , а -щільностірозподілу ВР, для якідосить простовиконатимоделювання наЕОМ.
Уосновімоделюваннялежитьтакийматематичнийапарат.Нехайіснують ВР йнезалежніміж собою йзадані на того самогоімовірнісномупросторі .Нехай -цефункціярозподілу ВР й -цеумовнащільністьймовірності ВР заумови, що ВРприйнялаякесьзначення
. (14)
>Тодібезумовнащільністьймовірності ВР
. (15)
>Припустимо, що -це ВР, Якаприймаєдискретнізначення ізімовірностями
. (16)
У цьомувипадку ,отжеприходимо доранішенаведеноїсумішірозподілу. Уроліщільностейймовірностінайпростішого типуможутьвиступати:гаусові,прямокутні,трикутнірозподіли.
На див. мал.6 для приклада показано, як задопомогоюгаусовихрозподілівапроксимуєтьсящільністьрозподілускладнішого виду
(17)
Малюнок 6 -Апроксимаціяскладноїщільностіймовірності задопомогоюгаусовихрозподілів
Таким чином, алгоритммоделювання ВР методомсуперпозиціїмістить усобітакіетапи:
>вибірвиглядунайпростішоїщільностірозподілу, задопомогоюякоїапроксимується заданащільністьймовірності;
>моделюєтьсяреалізація ВР, Якаприймаєдискретнізначення іззаданимиімовірностями ;
дляотриманогозначення імоделюютьсяреалізація ВР із ->тоющільністюймовірності;
ізновумоделюєтьсяреалізація ВР, Якаприймаєдискретнізначення ;
>потімвиконується процесмоделюванняреалізації ВР зновим номеромщільностіймовірності;
>зазначеніетапимоделюванняповторюютьсядоти, доки не якщоотриманавибіркареалізацій ВРнеобхідногообсягу.
>Моделюваннягаусовихвипадкових величин методомсумації
>Введемостандартнугаусову ВР знульовимматематичнимсподіванням йодиничноюдисперсією
, (18)
де - символгаусовоїщільностіймовірності.
Уматематичнійстатистиці доведено, що сумазначного числанезалежнихміж собою йрівномірнорозподілених ВРмаєгаусовий законрозподілу. Томустандартнугаусову ВР можнамоделювативідповідно довиразу:
, (19)
де -незалежніміж собоюБВВ.
Узагальномувипадкудовільнихгаусову ВР можназаписати як
, (20)
де -ценеобхідніматематичнесподівання йдисперсія ВР.
Таким чином, алгоритммоделюваннягаусової ВР ззаданимиматематичнимсподіванням йдисперсієюміститьтакіоперації:
>одержання >незалежнихреалізаційБВВ йвиконання з нихперетвореннявідповідно до зазначеногоспіввідношення (19);
>виконанняперетворень (20) дляодержання ВР ззаданими .
>Моделюваннявипадкових величин зекспоненціальнимрозподілом тарозподілом Релея
Длямоделюваннявказаних ВРвикористовуютьсястандартнігаусовівипадковівеличини .Спочаткувиконуєтьсямоделювання ВР згідновиразу
, (21)
де -стандартні ВР згаусовимрозподілом ().
>Випадкова величина (21)має ->розподіл із сходамисвободи
, (22)
де , -цегамма-функція.
Уокремомувипадкуця ВРмаєекспоненціальнийрозподіл із параметром
. (23)
ВР, щовизначаєтьсяспіввідношенням
, (24)
>маєрозподіл Релея
.
Тут , -незалежніміж собоюстандартнігаусові ВР.
>Наведеніспіввідношення дляодержання ВРфактичноємоделюючими алгоритмами, щомістятьтакіетапи:
>моделювання >стандартнихгаусових ВР ();
>виконанняопераційобчислення ВР згідно (21) (для ->розподілу);
дляекспоненційногорозподілу алгоритм тієї ж, лише ;
длярозподілу Релея (24)моделювання згідно (24).
Нові надходження
Реклама
Контакти