>МОДЕЛЮВАННЯ НАЕОМВИПАДКОВИХВЕЛИЧИН ІВИПАДКОВИХПРОЦЕСІВ

Зміст

>Вступ

1.Принципимоделювання наЕОМвипадковихелементів

2.Моделюваннявипадкових величин ззаданимиймовірнісними характеристиками

>Моделюваннявипадкових величин, щоприймаютьдискретнізначення

>Моделюваннявипадкових величин ззаданимищільностямиімовірностей методомоберненихфункцій

>Моделюваннявипадкових величин ззаданимищільностямиімовірностей методомсуперпозиції

>Моделюваннягаусовихвипадкових величин методомсумації

>Моделюваннявипадкових величин зекспоненціальнимрозподілом тарозподілом Релея

>Вступ

Пристатистичномумоделюванні наЕОМ систем тамережзв’язкувиникаєнеобхідністьмоделюваннярізнихвипадковихелементів -одержання наЕОМреалізаційвипадкових величин тавипадковихпроцесів, котріописуютьреальніфізичніявища,події тапроцесифункціюванняцих систем.Розглянемоосновніпринципи,методи таалгоритмимоделювання наЕОМтиповихвипадкових величин тавипадковихпроцесів, щоможуть бутивикористані длястатистичнихвипробовувань примоделюванні систем тамережзв’язку наЕОМ.

1.Принципимоделювання наЕОМвипадковихелементів

Примоделюваннівипадковихелементів (>ВЕ) наЕОМрозглядають триоб'єкти:реальнийфізичнийоб'єкт, йогоматематичну модель, алгоритммоделювання наЕОМреалізаційВЕ наосновівибранноїматематичноїмоделі.Наприклад, в системах тамережах зв'язку такимиреальнимифізичнимиоб'єктамиможуть бутиповідомлення,сигнали-переносчики,модульованісигнали,завади, потоки заявок,процесиобслуговування заявок,процесикомутації.Математичнімоделіцихфізичнихпроцесів -церізнікласивипадковихпроцесів ізімовірнісними характеристиками, щовідповідаютьреальнимфізичнимпроцесам. Результатоммоделювання наЕОМєвибіркиреалізаційпроцесів, щоодержуються задопомогоюспеціальнихмоделюючихалгоритмів.МоделюванняВЕбазується за принципами:

>ВЕвизначається (“>конструюється”) яквідповіднаборелівськафункція віднайпростішихбазовихвипадкових величин (>БВВ);

винна бутизабезпеченаблизькість (завибранимкритерієм)імовірнісних характеристикреальнихфізичнихпроцесів тазмодельованихреалізаційвипадковихпроцесів.

>БВВодержують врезультатіпроведення наЕОМнайпростішоговипадковогоексперименту.

>Експериментполягає в “>киданні точкинавмання“ вінтервал [0,1) (>мал.1).Математичноюмоделлю такогоекспериментуєймовірніснийпростір , де -цепростірнезалежнихелементарнихподій ; -цеелементарнаподія, Якаполягає до того, що координатакинутої точкидорівнює ;  - >це -алгебра, щопородженанапівінтервалами ізпростору ; -цеімовірніснаміра, Якавизначена дляпідмножин йзбігається ізмірою Лебега, так що  

Малюнок 1 -Графічнепоясненнянайпростішоговипадковогоексперименту дляодержанняреалізаційБВВ

>Випадкова величина , що задана напросторі ,породжуєіншийімовірніснийпростір , де -цемножиназначень начисловійосі; -борельова алгебра, -індуктованаімовірніснаміра.Фактично, -цефункціярозподілуБВВ , що уданомувипадкумаєвигляд

 (1)

>Відповіднаїйщільністьрозподілурівномірна напівінтервалі [0,1]

 (2)

На мал.2наведеніграфічнізображенняфункції йщільностірозподілу ВР .

>моделюваннявипадкова величина алгоритм

а б

Малюнок 2 -Графічнезображенняфункціїрозподілу (а) тащільностірозподілу (б)БВВ.

УкожнійЕОМєгенератори (>спеціальніпрограми)одержаннявипадкових величин, щомаютьвказаніймовірнісні характеристики. Припослідовномузвертанні раз до такихпрограммоделюєтьсявибірка знезалежнихреалізаційБВВ , котра вподальшомувикористовується дляпобудовиВЕ знеобхіднимиймовірнісними характеристиками.

Примоделюванні наЕОМскладнихВЕ,зокрема,випадковоївеличини (ВР) чивипадковогопроцесу (ВП) іззаданимиймовірнісними характеристикамирозглядаєтьсяскладнийвипадковийексперимент, щополягає впроведенні разописаноговищенайпростішогоексперименту.Цейскладнийекспериментописуєтьсяімовірнісним простором , де -декартовийдобуток: ; -найменша - алгебра, щопобудована на ; -імовірніснаміра,отримана якдобутокімовірніснихмір длянайпростішогоексперименту.

Урезультатіпроведення такого складногоекспериментуотримуємоБВВ.Далівідповідно до Першого принципумоделюванняВЕ наЕОМбудь-якийскладнийвипадковийелементотримується якборелівськафункція від  >БВВ

. (4)

>Підбираютьфункцію й число таким,щобімовірнісні характеристикиотриманогоВЕзбігалися ізімовірнісними характеристикамиоригіналу, щомоделюється.Існуютьрізнікритеріїблизькостіімовірнісних характеристикВЕ -оригіналу йВЕ,отриманого примоделюванні,зокрема,критерійПірсона,критерій Колмогорова.

2.Моделюваннявипадкових величин ззаданимиймовірнісними характеристиками

Ос-кількимоделюваннявипадковихпроцесів наЕОМзводиться домоделюванняпослідовностівипадкових величин ззаданимиймовірнісними характеристиками,спочаткурозглянемоособливостімоделюваннядеякихвипадкових величин.

>Моделюваннявипадкових величин, щоприймаютьдискретнізначення

>Розглянемомоделюваннявипадкових величин , щоприймають  >дискретнихзначень ззаданимиймовірностями ().Моделювання таких ВРможе бутизведене домоделюванняповноїгрупинезалежнихподій, котрівідбуваються ізімовірностями . Для цоговикористовується датчикБВВ зматематичноюмоделлю .

>Введемо систему такихпідмножин ,щоб їхні можна було брозглядати якповнугрупунезалежнихподій на . При цьомуповиннізадовольнятисьумови ; ; .Визначимоціпідмножини так

, (5)

де й -цемежіінтервалів, котрівизначаються заформулою

,причому . (6)

>Зважаючи тих, щоБВВрозподіленарівномірно наінтервалі ,імовірностіпідмножинвизначаються черезщільністьрозподілуБВВвідповіднимспввідношенням

. (7)

Цеозначає, щоімовірністьпопаданнязначенняБВВ вінтервалдорівнюєдовжині цогоінтервалу (рис.3).

Малюнок 3 -Геометричнепоясненнямоделюваннягрупинезалежнихподій іздопомогоюБВВ

Таким чином,моделювання ВР , Якаприймаєдискретнізначення,полягає увиборізначенняБВВ задопомогою генератора,перевіркипопаданнязначенняБВВ дооднієї ізпідмножин йвинесеннірішення про ті, щомодельоване ВРприймаєзначення

, (8)

де -цехарактеристичнафункціямножини. (9)

 

>Моделюваннявипадкових величин ззаданимищільностямиімовірностей методомоберненихфункцій

>Розглянемомоделювання ВР ззаданоющільністюймовірності тафункцієюрозподілу

. (10)

 

>Якщофункціяє суворо монотоннозростаючою, то зрівняння можназнайтиоберненуфункцію

. (11)

>ПідставившизамістьБВВ , можнаодержати алгоритммоделювання ВР ззаданимрозподілом:

. (12)

Таким чином, длямоделювання наЕОМ ВР ззаданоющільністюймовірності,потрібновиконатитакіоперації:

>знайтифункціюрозподілу,користуючисьзаданоющільністюймовірності;

>знайтифункцію, що якщооберненою дофункціїрозподілу;

>одержуватиреалізаціїБВВ ;

>обчислюватизначення ВР якзначеннязнайденоїфункції .

>Виконуючиціоперації -разів, одержимовибіркуреалізацій .Скориставшись нею, можнапобудуватигістограмурозподілу йпорівнятиїї іззаданоющільністюймовірності.

>Даний методмоделюваннямаєнедоліки бо незавждивдаєтьсяаналітичнорозрахувати длязаданоїщільностіймовірностейінтеграл дляодержання , й задлявсякоїфункціїрозподілувдаєтьсяодержатиоберненуфункцію.

>Моделюваннявипадкових величин ззаданимищільностямиімовірностей методомсуперпозиції

>Цей методбазується назображенніскладнихщільностейймовірностей черезпростіші. В частности, можна податібудь-якущільністьймовірностівипадковоївеличини увиглядісумішіпростихрозподілів

, (13)

де -деякікоефіцієнти,причому , а -щільностірозподілу ВР, для якідосить простовиконатимоделювання наЕОМ.

Уосновімоделюваннялежитьтакийматематичнийапарат.Нехайіснують ВР йнезалежніміж собою йзадані на того самогоімовірнісномупросторі .Нехай -цефункціярозподілу ВР й -цеумовнащільністьймовірності ВР заумови, що ВРприйнялаякесьзначення

. (14)

>Тодібезумовнащільністьймовірності ВР

. (15)

>Припустимо, що -це ВР, Якаприймаєдискретнізначення ізімовірностями

. (16)

У цьомувипадку ,отжеприходимо доранішенаведеноїсумішірозподілу. Уроліщільностейймовірностінайпростішого типуможутьвиступати:гаусові,прямокутні,трикутнірозподіли.

На див. мал.6 для приклада показано, як задопомогоюгаусовихрозподілівапроксимуєтьсящільністьрозподілускладнішого виду

 (17)

Малюнок 6 -Апроксимаціяскладноїщільностіймовірності задопомогоюгаусовихрозподілів

Таким чином, алгоритммоделювання ВР методомсуперпозиціїмістить усобітакіетапи:

>вибірвиглядунайпростішоїщільностірозподілу, задопомогоюякоїапроксимується заданащільністьймовірності;

>моделюєтьсяреалізація ВР, Якаприймаєдискретнізначення іззаданимиімовірностями ;

дляотриманогозначення імоделюютьсяреалізація ВР із ->тоющільністюймовірності;

ізновумоделюєтьсяреалізація ВР, Якаприймаєдискретнізначення ;

>потімвиконується процесмоделюванняреалізації ВР зновим номеромщільностіймовірності;

>зазначеніетапимоделюванняповторюютьсядоти, доки не якщоотриманавибіркареалізацій ВРнеобхідногообсягу.

 

>Моделюваннягаусовихвипадкових величин методомсумації

 

>Введемостандартнугаусову ВР знульовимматематичнимсподіванням йодиничноюдисперсією

, (18)

де - символгаусовоїщільностіймовірності.

Уматематичнійстатистиці доведено, що сумазначного числанезалежнихміж собою йрівномірнорозподілених ВРмаєгаусовий законрозподілу. Томустандартнугаусову ВР можнамоделювативідповідно довиразу:

, (19)

де -незалежніміж собоюБВВ.

Узагальномувипадкудовільнихгаусову ВР можназаписати як

, (20)

де -ценеобхідніматематичнесподівання йдисперсія ВР.

Таким чином, алгоритммоделюваннягаусової ВР ззаданимиматематичнимсподіванням йдисперсієюміститьтакіоперації:

>одержання  >незалежнихреалізаційБВВ йвиконання з нихперетвореннявідповідно до зазначеногоспіввідношення (19);

>виконанняперетворень (20) дляодержання ВР ззаданими .

 

>Моделюваннявипадкових величин зекспоненціальнимрозподілом тарозподілом Релея

Длямоделюваннявказаних ВРвикористовуютьсястандартнігаусовівипадковівеличини .Спочаткувиконуєтьсямоделювання ВР згідновиразу

, (21)

де -стандартні ВР згаусовимрозподілом ().

>Випадкова величина (21)має ->розподіл із сходамисвободи

, (22)

де , -цегамма-функція.

Уокремомувипадкуця ВРмаєекспоненціальнийрозподіл із параметром

. (23)

ВР, щовизначаєтьсяспіввідношенням

, (24)

>маєрозподіл Релея

.

Тут , -незалежніміж собоюстандартнігаусові ВР.

>Наведеніспіввідношення дляодержання ВРфактичноємоделюючими алгоритмами, щомістятьтакіетапи:

>моделювання  >стандартнихгаусових ВР ();

>виконанняопераційобчислення ВР згідно (21) (для ->розподілу);

дляекспоненційногорозподілу алгоритм тієї ж, лише ;

длярозподілу Релея (24)моделювання згідно (24).