Реферати українською » Экономико-математическое моделирование » Моделювання оптимального розподілу інвестіцій за допомог дінамічного програмування


Реферат Моделювання оптимального розподілу інвестіцій за допомог дінамічного програмування

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Українськаакадеміябанківської справ

>Національного банку України

Кафедраекономічноїкібернетики

>КУРСОВАРОБОТА

іздисципліни «>Моделюванняекономічноїдинаміки»

«>Моделювання оптимальногорозподілуінвестицій задопомогоюдинамічногопрограмування»

>Виконала: студентка 5-го курсу

>групиЕК-21

Бабенко Т. М.

>Нормоконтроль:канд.фіз.-мат. наукБратушкаС.М

>Перевірила: ас.ХайлукС.О.


>ЗМІСТ

>Вступ

1.Теоретичніаспектиматематичногомоделюваннядинамічних систем

1.1Основніпоняттятеоріїмоделювання

1.2Принципимоделюваннядинамічних систем

1.3Моделі йметодиприйняттяуправлінськихрішень ізурахуванням чиннику години

1.4Моделідинамічногопрограмування

2.Теоретичніаспектидинамічногопрограмування

2.1 Постановказадачідинамічногопрограмування.Основніумови і областьзастосування

2.2Складанняматематичноїмоделідинамічногопрограмування

2.3Етапирішеннязадачідинамічногопрограмування

3.Оптимальнийрозподілінвестицій, як завданнядинамічногопрограмування

>Висновки

Списоквикористаноїлітератури

>Додатки


>ВСТУП

Данакурсова роботаприсвяченавивченнюметодологіїдинамічногопрограмування.Необхідність такоговивченняобґрунтовананасамперед тім, що урядіреальнихекономічних йвиробничихзавданьнеобхідновраховуватизмінумоделюємогопроцесу вчасі івплив години накритерійоптимальності. Длярішеннязазначенихзавданьвикористається методдинамічногопланування (>динамічнепрограмування).Цей метод болеескладний упорівнянні із методамизістатичнихоптимізаційних завдань.Також не простоюсправоює процеспобудови дляреальноїзадачіматематичноїмоделідинамічногопрограмування.

>Динамічнепрограмування –розділ математики,якийприсвяченотеорії й методамрозв’язаннябагатокрокових завдань оптимальногокерування.

Удинамічномупрограмуванні длякерованогопроцесусередмножини всіхдопустимихкеруваньшукаютьоптимальне усенсідеякогокритеріютобтотаке якупризводить доекстремального (>найбільшого чинайменшого)значенняцільовоїфункції –деякоїчислової характеристикипроцесу.Підбагатоступеневістюрозуміють чибагатоступеневу структурупроцесу, чирозподіленнякерування на цілий рядпослідовнихетапів (>ступенів,кроків), щовідповідають, як правило,різним моментів години. Таким чином, вназві “>Динамічнепрограмування” под “>програмуванням”розуміють “>прийняттярішень”, “>планування”, а слово “>динамічне”вказує насуттєвезначення години та порядкувиконанняоперацій в процесів й методах, щорозглядаються.

>Методидинамічногопрограмуваннявикористовуються наддискретних, але й й внеперервнихкерованих процесів,наприклад, в процесів, коли вкожен моментпевногоінтервалу годининеобхідноприйматирішення.

Уданійроботірозглядаютьсятеоретичніаспектиматематичногомоделюваннядинамічних систем,основніпоняттятеоріїмоделювання,принципимоделюваннядинамічних систем,моделі йметодиприйняттяуправлінськихрішень ізурахуванням чиннику години, атакожмоделідинамічногопрограмування. Детальновивчаються процес постановкизадачідинамічногопрограмування йособливостіскладанняматематичноїмоделідинамічногопрограмування.

>Метоюданоїкурсової роботиєвивченняметодологіїдинамічногопрограмування йпроведенняавтоматизаціїрозподілуінвестицій.Об’єктом практичногодослідженнявиступаєрозподілінвестиційміжпідприємствами, а предметомдослідженняє методикадинамічногопрограмування,котразабезпечитьоптимальнийрозподілінвестицій.


1.ТЕОРЕТИЧНІАСПЕКТИМАТЕМАТИЧНОГОМОДЕЛЮВАННЯДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

 

1.1Основніпоняттятеоріїмоделювання

Уприкладних областяхрозрізняютьнаступнівидиабстрактних моделей:

а)традиційне (>насамперед длятеоретичноїфізики, атакожмеханіки,хімії,біології, рядуінших наук)математичнемоделювання безякої-небудьприв’язки дотехнічнихзасобівінформатики;

б)інформаційнімоделі імоделювання, щомаютьдодатки вінформаційних системах;

в)вербальні (>тобтословесні,текстові)язиковімоделі;

р)інформаційні (>комп’ютерні)технології, котрітребаділити:

1) наінструментальневикористаннябазовихуніверсальнихпрограмнихзасобів (>текстовихредакторів,СУБД,табличнихпроцесорів,телекомунікаційнихпакетів);

2) накомп’ютернемоделювання, щопредставляє собою:

-обчислювальне (>імітаційне)моделювання;

- “>візуалізаціюявищ йпроцесів” (>графічнемоделювання);

- “>високі”технології, щорозуміють якспеціалізованіприкладнітехнології, щовикористаютькомп’ютер (як правило, урежимі реального години) усполученні ізвимірювальнимиапаратурами, датчиками, сенсорами і т.д.

Отже,укрупненакласифікаціяабстрактних (>ідеальних) моделей така:

а)Вербальні (>текстові)моделі.Цімоделівикористаютьпослідовностіпропозицій наформалізованихдіалектахприродноїмови дляописутієї чиіншоїобластідійсності (прикладами такого роду моделейєміліцейський протокол, правиладорожнього руху).

б)Математичнімоделі –дуже широкийкласзнакових моделей (>заснованих наформальнихмовах надкінцевимиалфавітами), що широковикористає тих чиіншіматематичніметоди.Наприклад, можнарозглянутиматематичну модельзірки.Ця модель якщоявляти собоюскладну системурівнянь, щоописуютьфізичніпроцеси, щовідбуваються внадрахзірки.Математичноюмоделлюіншого родує,наприклад,математичніспіввідношення, щодозволяютьрозрахуватиоптимальний (>найкращий ізекономічної точкизору) план роботиякого-небудь підприємства.

в)Інформаційнімоделі –класзнакових моделей, щоописуютьінформаційніпроцеси (>виникнення, передачу,перетворення івикористанняінформації) у системахнайрізноманітнішоїприроди.

>Границяміжвербальними,математичними іінформаційними моделямиможе бути проведенадоситьумовно;цілкомможливовважатиінформаційнімоделіпідкласомматематичних моделей. Однак, у рамкахінформатики яксамостійної науки,відділеної від математики,фізики,лінгвістики іінших наук,виділенняінформаційних моделей вокремийкласєдоцільним.

>Існують ііншіпідходи докласифікаціїабстрактних моделей;загальноприйнята точказору невстановилася. В частности,єтенденціярізкогорозширеннязміступоняття “>інформаційна модель”, приякомуінформаційнемоделюваннямістить усобі івербальні, йматематичнімоделі.

>Математична модельвиражаєістотнірисиоб’єкта чипроцесу мовоюрівнянь ііншихматематичнихзасобів.Власнекажучи, сама математиказобов’язана своїміснуванням бо вонанамагаєтьсявідбити,тобтопромоделювати, насвоїйспецифічніймовізакономірностінавколишнього світу.

Шляхматематичногомоделювання у наше годинунабагато болеевсеосяжний, ніжмоделювання натурного.Величезнийпоштовхрозвиткуматематичногомоделювання далопояваЕОМ,хоча сам методзародивсяодночасно ізматематикоютисячі років тому.

>Математичнемоделюваннядинамічних систем, яктаке, ажніяк незавждивимагаєкомп’ютерноїпідтримки.Коженфахівець, щопрофесійнозаймаєтьсяматематичниммоделюванням,робить всеможливе дляаналітичногодослідженнямоделі.Аналітичнірішення (>тобтопредставлені формулами, щовиражаютьрезультатидослідження черезвихіднідані)звичайнозручніші іінформативнішічисельних.Можливостіаналітичнихметодіврішенняскладнихматематичнихзавдань,однак,дужеобмежені і, як правило,ціметодинабагатоскладнішечисельних. На малюнку 1 представлена процесматематичногомоделювання ізвикористаннямкомп’ютерноїтехніки.

Малюнок 1.1 –Загальна схемапроцесукомп’ютерногоматематичногомоделювання

>Найважливішиметапоммоделюваннядинамічних системєподілвхіднихпараметрів заступенемважливостівпливуїхніхзмін навихідні.Такий процесназиваєтьсяранжируванням (>поділом по ранги).Найчастішенеможливо (та і непотрібно)ураховувати усіфактори, котріможутьвплинути назначення величин, щоцікавлять, .Від того,наскількивміловиділенінайважливішіфактори,залежитьуспіхмоделювання,швидкість іефективністьдосягнення мети.Виділити болееважливі (чизначимі)фактори івідсіятименшважливіможелишефахівець утійпредметнійобласті, доякоївідноситься модель.

1.2Принципимоделюваннядинамічних систем

>інвестиціямоделюваннядинамічнийпрограмування

>Розглядаютьсяосновніпринципимоделюваннядинамічних систем, устислійформівідображаючи тієїдостатньобагатийдосвід, щонакопичений дотеперішнього годині наобласті розробки івикористанняматематичних моделейдинамічних систем.

– Принципінформаційноїдостатності. Приповнійвідсутностіінформації продосліджувану системупобудоваїїмоделінеможлива. Принаявностіповноїінформаціїїїмоделюванняпозбавленезмісту.Існуєдеякийкритичнийрівеньапріорнихвідомостей про систему (>рівеньінформаційноїдостатності), придосягненніякогоможе бутипобудованаїї адекватна модель.

– Принципздійсненності.Створювана модель винназабезпечуватидосягненняпоставленої метидослідження ізімовірністю, щоістотновідрізняється від нуля, й закінцевий годину.Звичайнозадаютьдеякеграничнезначенняімовірностідосягненняцілімоделювання , атакожприйнятнуграницю годинидосягненняцієї мети. Модельвважаютьздійсненною,якщоможе бутивиконанаумова .

– Принципмножинності моделей.Даний принцип, Незважаючи на йогомісцезнаходження уданійкласифікації,єключовим. Мовайде про ті, щостворювана модель виннавідбивати впершучергу тихвластивостіреальноїсистеми (чиявища), котрівпливають наобранийпоказникефективності.Відповідно привикористаннібудь-якоїконкретноїмоделівизнаютьсялишедеякісторониреальності. Для болееповногоїїдослідженнянеобхідний ряд моделей, щодозволяють зрізнихсторін й ізрізнимступенемдетальностівідбиватирозглянутий процес.

– Принципагрегування. Убільшостівипадківскладну систему можнапредставити такою, щоскладається ізагрегатів (>підсистем), для адекватногоматематичногоопису яківиявляютьсяпридатнимидеякістандартніматематичнісхеми. Принципагрегуваннядозволяє,крім того,доситьгнучкоперебудовувати модельзалежно відзавданьдослідження.

– Принциппараметризації. Урядівипадків система, щомоделюється,має усвоємускладідеяківідносноізольованіпідсистеми, щохарактеризуютьсяпевним параметром, у томучислівекторним.Такіпідсистеми можназаміняти вмоделівідповіднимичисловими величинами, а чи неописувати процесїхньогофункціонування. Принеобхідності залежністьзначеньцих величин відситуаціїможезадаватися увиглядітаблиці,графіка чианалітичноговираження (>формули). Принциппараметризаціїдозволяєскоротитиобсяг йтривалістьмоделювання. Однактреба матір наувазі, щопараметризаціязнижуєадекватністьмоделі [7].

1.3Моделі йметодиприйняттяуправлінськихрішень ізурахуванням чиннику години

Приприйняттірішень впрактиціуправлінняпостає запитання про завданняприйняттярішень ізурахуванням чиннику години. Завданняприйняттярішеньспрямована навизначеннянайкращого (оптимального) чисприятливого способудій длядосягненняоднієї чидекількохцілей.Підціллюрозуміється в широкомузначенніідеальнеуявленнябажаного стану чи результатудіяльності.Бажаний стан чи результат для особини, щоприймаєрішенняможеозначатиприбутокфірми,заволодіннядолеюринку,подоланняконкурентноїборотьби,зниженнясобівартостіпродукції тощо.Найчастіше ужиттітрапляється так, щобажаний стандещовіддалений чивзагалівідсутній й тієї станякийіснує вконкретний моментприйнятоназиватифактичним станом,тобто тім, що незалежить відволі особини, Якаприймаєрішення (ОПР). Отже,якщофактичний стан невідповідаєбажаному стану, томаємісце проблемнаситуація, чи проблема,розробка плануподоланняякої йскладаєсутністьзадачіприйняттярішень.

>Проблемнаситуаціяможевиникати за умів коли:

а)функціонуванняуправлінськоїсистеми впевний момент години незабезпечуєдосягненнябажанихцілейорганізації;

б)функціонуванняцієїсистеми неможе забезпечитидосягненняцихцілей й вмайбутньому;

в) системавимагаєдокоріннихзмінпоставленихцілей.

>Виявленняпроблемноїситуаціїявляє собоюпершийетаппроцесуприйняттярішень.Процесприйняттяуправлінськихрішень ізурахуванням чиннику годинискладається ізнаступнихетапів, якізображенні на малюнку 1.2.

Малюнок 1.2 –Етапипроцесуприйняттяуправлінськихрішень ізурахуванням чиннику години


Іншийетаппроцесуприйняттярішень –ценакопиченняінформації ізпроблеми, асамезбираннявідомостейщодопроблеми, котравирішується. Натретьомуетапі приопрацюванні альтернативпотрібновраховуватитаківимоги яквзаємовиключність альтернатив та забезпеченняоднакових умівописування альтернатив. Длявиконання четвертогоетапу –оцінки альтернатив,необхідновідповісти нанаступні запитання:

– Чиє альтернативареалістичною?

– Чивідповідає альтернативаможливостяморганізації?

– Чиєприйнятниминаслідкиреалізаціїальтернативи?

>Тепер, колиописані усіетапипроцесуприйняттярішень,слідвизначитисамепоняттяприйняттярішення:прийняттярішення –цепорівняння альтернатив заочікуванимиефектами їхніреалізації назакладікритеріїветапудіагнозупроблеми йприйняття залишковогорішення.

>Кінцевим результатомзадачіприйняттярішень ізурахуванням чиннику годиниявляєтьсярішення. Ззмістовної точкизорурішеннямможе бути курс дії,спосіб дії, план роботи,варіант проекту тощо.Рішенняявляється одним ізвидіврозумовоїдіяльності йволевиявленнялюдини.

>Слідзазначити, що некожен методможезастосовуватись вбудь-якійситуації.Тобтокожнерішення чикожна завданняприйняттярішення ізурахуванням чиннику годиниможевирішуватися врізнихумовах. Длявизначенняцих умівслід провестикласифікацію завданьприйняттярішень зарізнимиознаками (>ступіньвизначеностіінформації,змістрішень,направленістьрішень тощо),серед якінайбільшецікавитьступіньвизначеностіінформації –ступіньповноти йдостовірностіданих, необходимих дляприйняттярішень. Заступенемповнотивизначеностіінформаціїзадачіприйняттярішенькласифікують втричігрупи:

–задачі вумовахвизначеності;

–задачі вумовахімовірнісноївизначеності;

–задачі вумовахневизначеності.

Отже, длякожноїгрупи умів впрактиціуправліннявикористовуються та чиіншаметодологія.

>Прийняттярішень вумовахвизначеностіпроводяться принаявностіповної йдостовірноїінформаціїщодопроблемноїситуації, уміврішень йнаслідках йогореалізації. Дляданого класу завданьприйняттярішень немаєнеобхідностідовизначатипроблемнуситуаціюгіпотетичнимиситуаціями.Цілі йобмеження формальновизначаються увиглядіцільовихфункцій.Критерійвиборуобирається увиглядімінімуму чи максимумуцільовоїфункції.Наявністьпереліченоїінформаціїдозволяєпобудуватиформальнуматематичну модельзадачіприйняттярішень йздійснитизнаходження оптимальногорішенняалгоритмічним шляхом безвтручаннялюдини. Длявирішення цого класу завданьприйняттярішеньзастосовуютьсярізніметодиоптимізації,наприклад,методиматематичногопрограмування:лінійного,нелінійного,динамічного.

>Задачіприйняттярішень вумовахневизначеностібезпосередньопов’язані ізуправлінськимирішеннями. Дляцих завдань характернабільшанеповнота йнедостовірністьінформації,різноманіття йскладністьвпливурізнихфакторівсоціального,економічного,політичного таіншого характеру.Ціобставини недозволяють, покрайніймірі втеперішній годину,побудуватиадекватніматематичнімоделівирішення завдань ізвизначенню оптимальногорішення. Томуактивну рольпошуку оптимального чисприятливогорішеннявиконує людина.

>Математичнімоделі, щорозглядаються в завданняхприйняттярішень вумовахвизначеності таімовірнісноївизначеності,описуютьнайпростішіситуації,характерні дляфункціонуваннятехнічних систем. Томузадачіданого класу широкозастосовуються для синтезууправління вавтоматичних системах ймаютьдужепосереднє ставлення до завданьприйняттяуправлінськихрішень ворганізаційних системах.

>Згіднозісхемою,котразображена на малюнку 1.3,методиобґрунтуванняуправлінськихрішеньпідрозділяються надвіосновнігрупи:кількісні таякісніметоди. Доякіснихметодіввідносятьсялишеекспертніметоди, арештаметодів (>класифікація заступенемвизначеності)відноситься докількісних.Аналітичніметодихарактеризуються тім, щовстановлюютьаналітичні (>функціональні)залежностіміжумовамивирішення завданьприйняттярішень та їхні результатами.

>Статистичніметоди.Їххарактерноюрисоюєврахуваннявипадковихвпливів тавідхилень.Ціметодидозволяютьотримувати ізнакопичуваноїінформації, котраздаєтьсяхаотичною,основнітенденції тазакономірності.Ця групаохоплюєметодитеоріїймовірностей таматематичної статистики.Найбільш широковикористовуютьсятакіметоди, яккореляційнийаналіз,факторнийаналіз,дисперсійнийаналіз,методистатистичного контролюякості танадійностіпродукції.

Малюнок 1.3 – Схемаметодівобґрунтуваньуправлінськихрішень

>Методиматематичногопрограмування.Застосовуються прирішенніумовнихекстремальних завдань ізбагатьмазмінними.

>Теоретико-ігровіметоди таметодистатистичнихрішень.Теоріястатистичнихрішеньвикористовується, колиневизначеністьситуаціївикликанаоб’єктивнимиобставинами, котрі чиневідомі, чиносятьвипадковий характер. Методтеоріїігорвикористовується в тихийвипадках, колиневизначеністьситуаціївикликанасвідомимидіямирозумного противника.

1.4Моделідинамічногопрограмування

Модельєобразнимпредставленнямякогосьоб’єкту чипроцесу йвикористовується дляаналізу чививчення цогооб’єкту чипроцесу.

>Моделіматематичногопрограмування –це такзваніодноетапнімоделі, котрідопомагаютьаналізуватистатичні, незалежні від годиниумови.Вонимаютьоптимальнийрозв’язок за умівстабільностігосподарськогопроцесу, чи на короткийпроміжок умайбутньому.

>Впершематематичнімоделі буливикористані длярішення практичного заподіяння в 30-хроках уВеликобританії приствореннісистемипротиповітряної оборони. Для розробкиданоїсистеми булизалученівченірізнихспеціальностей. Системастворювалася вумовахневизначеностіщодоможливихдійсупротивника, томудослідженняпроводилися на адекватнихматематичних моделях. Уцей годинувперше бувзастосованийтермін: “>операційнедослідження”, щоприпускалодослідженнявоєнноїоперації. Унаступні роктаопераційнідослідження чидослідженняопераційрозвиваються як наука,результатиякоїзастосовуються длявиборуоптимальнихрішень прикеруванніреальнимипроцесами і системами.

>Можнавиділитинаступніосновніетапиопераційногодослідження:

-спостереженняявища ізбірвихіднихданих;

- постановказадачі;

-побудоваматематичноїмоделі;

-розрахунокмоделі;

-тестуваннямоделі іаналізвихіднихданих.Якщоотриманірезультати незадовольняютьдослідника, тотреба чиповернутися наетаппобудовиматематичноїмоделі,тобтозапропонувати длярішеннязадачііншуматематичну модель; чиповернутися наетап постановкизадачі,тобтопоставити завдання болеекоректно;

-застосуваннярезультатівдосліджень.

Таким чином,операційнедослідженняєітераційнимпроцесом,коженнаступнийкрокякогонаближаєдослідника дорішеннястоячої проти ньогопроблеми. Уцентріопераційногодослідженнязнаходятьсяпобудова ірозрахунокматематичноїмоделі.

>Математична модель –це системаматематичнихспіввідношень,приблизно, вабстрактнійформіописуючідосліджуваний процес чи систему.Математична модель –абстракціяреальноїдійсності, вякій ставленняміжреальнимиелементами, асаме тих, щоцікавлятьдослідника,заміненівідношеннямміжматематичнимикатегоріями.Економіко-математична модель –цематематична модель,призначена длядослідженняекономічноїпроблеми.

>Проведенняопераційногодослідження,побудова ірозрахунокматематичноїмоделідинамічногопрограмуваннядозволяютьпроаналізуватиситуацію івибратиоптимальнірішення покеруванню нею чиобґрунтуватизапропонованірішення.Застосуванняматематичних моделейдинамічногопрограмуваннянеобхідно в тихийвипадках, коли проблемаскладна,залежить відвеликоїкількостіфакторів, щопо-різномувпливають наїїрішення. У цьомувипадкунепродумане інауково необґрунтованерішенняможе привести досерйознихнаслідків.Прикладів цьому в нашомужиттієчимало,зокрема векономіці.Використанняматематичних моделейдинамічногопрограмуваннядозволяєздійснитипопереднійвибіроптимальних чиблизьких перед тимваріантіврішень запевнимикритеріями.Вонинауковообґрунтовані, й особа, щоприймаєрішення,можекеруватися ними привиборі залишковогорішення.Варторозуміти, що неіснуєрішень,оптимальних “>взагалі”.Будь-якерішення,отримане прирозрахункуматематичноїмоделідинамічногопрограмування, оптимально за одним чидекількохкритеріях,запропонованимпостановником заподіяння ідослідником. Доречі, практикапоказує, щозайматисяопераційнимидослідженнями іпобудовоюматематичних моделейдинамічногопрограмуваннянайкраще не “чистимо” математикам, що незавждипредставляютьсобісутністьдосліджуваноїпроблеми іприділяютьбільшуувагурізнимматематичнимособливостямпобудови ірозрахунку, й непредметникам, котрі незавждиможутькоректнопоставити заподіяння.Гарнірезультатиодержуютьфахівці, щознаютьпредметну область й разом із тімволодіючиматематичними методамидослідження удинамічномупрограмуванні. Утеперішній годинуматематичнімоделідинамічногопрограмуваннязастосовуються дляаналізу,прогнозування івиборуоптимальнихрішень урізнихгалузяхекономіки. Цепланування іоперативнекеруваннявиробництвом,управліннятрудовими ресурсами,управління запасами,розподілресурсів,планування ірозміщенняоб’єктів,керівництво проектом,розподілінвестицій й т.п.

>Можнавиділитинаступніосновніетапипобудовиматематичноїмоделідинамічногопрограмування.

а)Визначення мети,тобто чогохочутьдомогтися,вирішуючипоставлене заподіяння.

б)Визначенняпараметрівмоделі,тобтозаздалегідьвідомихфіксованихфакторів, назначення якідослідник невпливає.

в)Формуваннякеруючихзмінних,змінюючизначення яких, можнанаближатися допоставленої мети.Значеннякеруючихзміннихєрішеннямизадачі.

р)Визначенняобластіприпустимихрішень,тобто тихийобмежень,котримповиннізадовольнятикеруючізмінні.

буд)Виявленняневідомихфакторів,тобто величин, котріможутьзмінюватисьвипадковим чиневизначеним чином.

е)Вираження мети черезкеруючізмінні,параметри іневідоміфактори,тобтоформуванняцільовоїфункції,котраназиваєтьсятакожкритеріємефективності чикритеріємоптимальностізадачі.

>Вводятьсянаступніумовніпозначки: –параметримоделі; –керуючізмінні чирішення; – областьприпустимихрішень; –випадкові чиневизначеніфактори; –цільовафункція чикритерійефективності (>критерійоптимальності).

.                                                                                          (1.1)

Увідповідність звведенимитермінамиматематична модельзадачімаєнаступнийвигляд:

,                                                            (1.2)

>Вирішити завдання –це означатизнайтитакеоптимальнерішення ,щоб приданихфіксованих параметрах і ізурахуваннямневідомихфакторівзначеннякритеріюефективності було б б поможливостімаксимальним (>мінімальним).

.                                                    (1.3)

Таким чином,оптимальнерішення –церішення,краще передіншими запевнимкритеріємефективності (одному чидекільком).

>Основніпринципипобудовиматематичноїмоделідинамічногопрограмування.

а)Необхіднопорівнюватиточність йдрібницімоделі,по-перше, ізточністю тихийвихіднихданих,якимиоперуєдослідник, йпо-друге, ізтими результатами, котріпотрібноодержати.

б)Математична модельдинамічногопрограмування виннавідбиватиістотнірисидосліджуваногоявища і при цьому не винна його сильноспрощувати.

в)Математична модельдинамічногопрограмування неможе бутиповністю адекватна реальномуявищу, тому для йогодослідженнякращевикористатидекілька моделей, дляпобудови якізастосованірізніматематичніметоди.Якщо при цьомувиходятьподібнірезультати, тодослідженнязакінчується.Якщорезультати сильнорозрізняються, то вартопереглянути постановкузадачі.

р)Будь-якаскладна системазавждипіддаєтьсямалимзовнішнім йвнутрішнімвпливам,отже,математична модельдинамічногопрограмування винна бутистійкої,тобтозберігати своївластивості і структуру прицихвпливах.

На малюнку 1.4зображенакласифікаціяматематичних моделей ймісцединамічних моделей узагальнійструктурі [1].

За кількістюкритеріївефективностіматематичнімоделіділяться наоднокритеріальні ібагатокритеріальні.Багатокритеріальніматематичнімоделімістять два і понадкритерії.

Пооблікуневідомихфакторівматематичнімоделіділяться надетерміновані,стохастичні імоделі ізелементаминевизначеності.

Устохастичних моделяхневідоміфактори –цевипадковівеличини, для яківідоміфункціїрозподілу ірізністатистичні характеристики (>математичнеочікування,дисперсія,середньоквадратичневідхилення і т.д.).Середстохастичних можнавиділити:

-моделістохастичногопрограмування, у які вцільовуфункцію (1.2)входятьвипадковівеличини;

-моделітеоріївипадковихпроцесів,призначені длявивченняпроцесів, стан які укожен момент годиниєвипадковоювеличиною;

-моделітеоріїмасовогообслуговування, уякійвивчаютьсябагатоканальнісистеми,зайнятіобслуговуваннямвимог.Також достохастичних моделей можнавіднестимоделітеоріїкорисності,пошуку іприйняттярішень.

Малюнок 1.4 –Класифікаціяматематичних моделей

Длямоделюванняситуацій, щозалежать відфакторів, для якінеможливозібратистатистичнідані ізначення які невизначені,використаютьсямоделі ізелементаминевизначеності. У моделяхтеоріїігор завданняпредставляється увиглядігри, уякійберуть долякількагравців, щопереслідуютьрізніцілі,наприкладорганізацію підприємства вумовахконкуренції.

Уімітаційних моделяхреальний процесрозвертається в машинномучасі, йпростежуютьсярезультативипадковихвпливів нанього,наприклад організаціявиробничогопроцесу. Удетермінованих моделяхневідоміфактори невраховуються.Незважаючи нагадану простотуцих моделей, перед тимзводяться багатопрактичних завдань, у томучислібільшістьекономічних завдань. По видуцільовоїфункції іобмеженьдетермінованімоделіділяться налінійні,нелінійні,динамічні іграфічні.

Улінійних моделяхцільовафункція іобмеженнялінійні покеруючімзмінним.Побудова ірозрахуноклінійних моделейєнайбільшрозвиненимрозділомматематичногомоделювання, тому часто перед тимнамагаютьсязвести ііншізадачі чи наетапі постановки, чи впроцесірішення.

>Нелінійнімоделі –цемоделі, у які чицільовафункція, чияке-небудь зобмежень (чи усіобмеження)нелінійні покеруючимзмінним. Длянелінійних моделей немаєєдиного методурозрахунку.Залежно від видунелінійності,властивостейфункції іобмежень можназапропонуватирізноманітніспособирішення. Однак,можетрапитися і так, що дляпоставленоїнелінійноїзадачівзагалі неіснує методурозрахунку. У цьомувипадку завдання вартоспростити, чизвестиїї довідомихлінійних моделей, чи простолінеаризувати модель.

Удинамічних моделях навідміну відстатичнихлінійних йнелінійних моделейвраховується чинник години.Критерійоптимальності вдинамічних моделяхможе бути самогозагального виду (йнавітьвзагалі не бутифункцією),однак дляньогоповиннівиконуватисяпевнівластивості.Розрахунокдинамічних моделейскладний, й длякожноїконкретноїзадачінеобхіднорозроблятиспеціальний алгоритмрішення [4].

>Графічнімоделівикористаються тоді, коли заподіяннязручнопредставити увиглядіграфічноїструктури.


2.ТЕОРЕТИЧНІАСПЕКТИДИНАМІЧНОГОПРОГРАМУВАННЯ

 

2.1 Постановказадачідинамічногопрограмування.Основніумови і областьзастосування

>Динамічнепрограмування –це методдослідженняоперацій, накожномуетапіякого можнакеруватиперебігомдосліджуваногопроцесу таоцінюватиякість такогоуправління.

>Загальна постановказадачідинамічногопрограмування.Досліджуєтьсяперебігдеякогокерованогопроцесу,тобто на стан йрозвитокякого можнавпливати черезпевніпроміжки (векономічних процесівуправління –перерозподілкоштів,замінаобладнання,визначенняобсягів поставоксировини наперіод й т.ін.).Приймається, що процесуправління можнареалізувати дискретно заетапів.Будь-яку багатоетапну завдання можнареалізуватипо-різному чивідразушукати усіелементирозв’язку для всіхетапів, чизнаходитиоптимальнеуправлінняпоетапно, набудь-якомуетапівизнаючирозв’язокстосовнолише цогоетапу –такийваріантпростіший.

>Параметрицих моделейдоцільно розбити надвімножини:параметри стану (длядослідженнявластивостей які буврозбудована модель) тапараметриуправління (>фактори, котріможутьвпливати на станпроцесу).

>Нехай –кількістьетапів. Набудь-якомуі-муетапі процесможе бути врізних станах {},кожний із якіхарактеризуєтьсяскінченоюмножиноюпараметрів.Множинупараметрівдоцільнорозглядати яккомпонентидеякого вектора , де –кількістьпараметрів,обраних для характеристики стану. Набудь-якому іздосліджуванихетапів системаможе бути вкількох станах.

>Перебігпроцесувизначаєтьсяпевноюпослідовністюпереходів із одного стану вінший.Якщо процес наі-муетапіперебував удеякомустані , тонаступний стан на (>і+1)-мукроцівизначається нелишепопереднім станом, а івиборомпевногоуправління придосягненні (;). Узагальномувипадкубудь-якеуправління набудь-якомуетапідоцільнорозглядати як ->мірний вектор .Числовізначення компонент векторауправління будутьзалежати як відвихідного стану наі-мукроці, то й віднаступного стану на (>і+1)-мукроці ,тобто векторвизначаєтьсячотирмаіндексами ймає бутивибраний ізпевноїмножинидопустимихуправлінь.

Дляспрощеннязаписіввекториможливих поточного стану тауправління будемопозначатилише одниміндексом,співставляючи їхніпевномукроку (>етапу),тобтощодо стану ,мається однією зможливихстанівмножини {}, ащодо вектора – один зможливихвекторівмножини {}, ().

Малюнок 1.5 –Можливістанисистеми накожномуетапі


На малюнку 1.5 схематично коламизображеніможливістани накожномуетапі,лініями –можливі переходь від одного стану доіншого завиборупевногоуправління. Таким чином, станпроцесу наі-муетапівизначаєтьсяпевноюфункціональноюзалежністю від стану напопередньомукроці тазначеннямипараметрівуправління на початкучерговогокроку,тобто .Процесуправліннямоделюється яквибір за шкірногоможливогоj-го стану наі-муетапіпевногоk-мірного вектора іздеякихдопустимихмножинвекторів {}. Дляспрощеннявінпозначається .Множинапослідовностіуправліньпозначається – , котріпереводять системузі стану у стан , схематичноце представлене малюнку 1.6.

Малюнок 1.6 –Перехідсистеми з стану у стан

>Будь-якупослідовність , що переводити системузі стану у стан ,називаєтьсястратегією, авектори –їїскладовими.

>Ефективністьвиборупослідовностіуправлінь (>стратегії)оцінюється завибранимкритеріємпевноюцільовоюфункцією :

.                                                                                             (2.1)

Модельдинамічногопрограмування можнавикористовувати в тихийвипадках, колиєпідставиприйнятитакідопущеннястосовнодосліджуваноїсистеми:

– Стансистеми вкінціі-гокрокувизначаєтьсялишепопереднім станом та Управлінням наі-мукроці й незалежить відпопередніхстанів тауправлінь. Формула (2.2) –рівняння стану.

, .                                                                         (2.2)

–Цільовафункція (2.1)єадитивноюстосовно шкірногоетапу йзалежить від того,яким був стансистеми на початкуетапу та яку було бобранеуправління.Нехай –показникефективностіі-гокроку.

, .                                                                         (2.3)

>Тодіцільовафункція (2.1) якщо представленаформулою (2.4)

.                                                                                   (2.4)

Методдинамічногопрограмуваннятакож можнавикористовувати прирозв’язанні завдань із такзваною “>мультиплікативною”цільовоюфункцією,тобто:

.                                                                                   (2.5)

Завданнядинамічногопрограмування заназваних умівформується так:визначититакудопустимустратегіюуправління:

.                                                                                 (2.6)

Данастратегія переводити системузі стану у стан й заякоїцільовафункція (2.4)досягаєекстремальногозначення.

>Нехайрозглядається завдання, щорозпадається наmкроків чиетапів,наприкладплануваннядіяльності підприємства накілька років,поетапнеплануванняінвестицій,керуваннявиробничимипотужностямипротягомтривалого рядок.Показникефективностізадачі вціломупозначиться через W, апоказникиефективності на окремихкроках – через , .Якщо Wмаєвластивістьадитивності,тобто:

,                                                                                                 (2.7)

то можназнайтиоптимальнерішеннязадачі методомдинамічногопрограмування.

Таким чином,динамічнепрограмування –це методоптимізаціїбагатокрокових чи багатоетапнихпроцесів,критерійефективності якімаєвластивість (2.7). У завданняхдинамічногопрограмуваннякритерійефективностіназиваєтьсявиграшем.Даніпроцесикеровані, й від правильноговиборукеруваннязалежить величинавиграшу.

>Змінна відякоїзалежатьвиграш наі-мкроці і,отже,виграш уцілому,називаєтьсякроковимкеруванням, .

>Управліннямпроцесу вціломуназиваєтьсяпослідовністькроковихуправлінь .

>Оптимальнеуправління –цезначенняуправління , приякомузначенняємаксимальним (чимінімальним,якщопотрібнозменшитипрограш):

,,                                                             (2.8)

де – областьприпустимихуправлінь.

>Оптимальнеуправліннявизначаєтьсяпослідовністюоптимальнихкроковихуправлінь:

.                                                                 (2.9)

Уоснові методудинамічногопрограмуваннялежить принципоптимальностіБеллмана, щоформулюється втакийспосіб:керування накожномукроцітребавибирати так,щобоптимальною був сумавиграшів на всіхкроках, щозалишилися докінцяпроцесу,включаючивиграш наданомукроці [1].

>Тобто, прирішеннізадачідинамічногопрограмування накожномукроцівибираєтьсякерування, щоповинне привести до оптимальноговиграшу.Якщовважати усікрокинезалежними друг від друга, тооптимальнимкроковим Управлінням якщо тіуправління, що приноситимаксимальнийвиграшсаме наданомукроці. Алі,наприклад, припокупціновоїтехнікизамістьзастарілої наїїпридбаннязатрачаютьсяпевнікошти. Томуприбуток відїїексплуатаціїспочаткуможе бути невеликий. Однак унаступні рокта новатехніка якщоприноситибільшийприбуток. Інавпаки,якщокерівникприймерішення облишитистарутехніку дляотриманняприбутку впоточномуроці, тонадаліцеприведе дозначнихзбитків.Даний прикладдемонструєнаступний факт: убагатокрокових процесів усікрокизалежать друг від друга, й,отже,управління накожному конкретномукроцітребавибирати ізобліком йогомайбутніхвпливів все процес.

>Інший момент,котрий вартовраховувати привиборіуправління наданомукроці, –цеможливіваріантизакінченняпопередньогокроку.Ціваріантивизначають станпроцесу.Наприклад, привизначеннікількостікоштів, вложенних упідприємство ві-муроці,необхідно знаті, стількикоштівзалишилося внаявності до цого року йякийприбутокотриманий упопередньому (>і-1)-мроці. Таким чином, привиборікроковогоуправліннянеобхідновраховувати:

–можливірезультатипопередньогокроку;

–впливуправління на усікроки, щозалишилися, докінцяпроцесу.

У завданняхдинамічногопрограмуванняперший пунктвраховують,роблячи накожномукроціумовніприпущення проможливіваріантизакінченняпопередньогокроку іпроводячи для шкірного ізваріантівумовнуоптимізацію.Виконання іншого пунктузабезпечується тім, що в завданняхдинамічногопрограмуванняумовнаоптимізація проводитися відкінцяпроцесу до початку.Спершуоптимізуєтьсяостаннійm-йкрок, наякому нетребавраховуватиможливівпливиобраногоуправління на усінаступнікроки, боцікроки простовідсутні.Роблячиприпущення проумовизакінчення (>m-1)-гокроку, для шкірного із нихпроводятьумовнуоптимізаціюm-гокроку івизначаютьумовнеоптимальнеуправління .Аналогічнодіють для (>m-l)-гокроку,роблячиприпущення про станзакінчення (>m-2)-гокроку івизначаючиумовнеоптимальнеуправління на (>m-1)-мукроці, що приноситиоптимальнийвиграш на двохостанніхкроках – (>m-1)-му йm-му. Так самедіють на всіхіншихкроках до Першого. Напершомукроці, як правило, нетребаробитиумовнихприпущень, бо стансистеми передпершимкрокомзвичайновідомо.

Для цого станувибираютьоптимальнекроковеуправління, щозабезпечуєоптимальнийвиграш напершому і всіхнаступнихкроках. Цеуправлінняєбезумовнимоптимальним Управлінням напершомукроці і, знаючи його,визначаютьсяоптимальнезначеннявиграшу ібезумовніоптимальніуправління на всіхкроках.

2.2Складанняматематичноїмоделідинамічногопрограмування

>Додаткововводятьсянаступніумовніпозначки:

 – станпроцесу;

–безлічможливихстанівпроцесу переді-мкроком;

–виграш зі-гокроку докінцяпроцесу, .

>Можнавизначитинаступніосновніетапискладанняматематичноїмоделізадачідинамічногопрограмування [1].

–Розбивказадачі накроки (>етапи). Крок не винен бутизанадтодрібним,щоб непроводитизайвихрозрахунків й не винен бутизанадто великим,ускладнюючий процескроковоїоптимізації.

–Вибірзмінних, щохарактеризують станмоделюємогопроцесу передкожнимкроком, йвиявленняобмежень, щонакладаються ними. Такихзмінних вартобратифактори, щопредставляютьінтерес длядослідника,наприкладрічнийприбуток приплануваннідіяльності підприємства.

–Визначеннябезлічікроковихуправлінь , інакладених нимиобмежень,тобтообластіприпустимихуправлінь .

–Визначеннявиграшу:

,                                                                                                 (2.10)

>якийпринесе наі-мукроціуправління ,якщо система передцимперебувала встані .

–Визначення стану , у яку переходити системазі стану подвпливомкерування :

,                                                                                                (2.11)

де –функція переходу наі-мукроцізі стану у стан .

–Складанняуправління, щовизначаєумовнийоптимальнийвиграш наостанньомукроці, для станумоделюємогопроцесу:

.                                                                         (2.12)


–Складання основногофункціональногорівняннядинамічногопрограмування, щовизначаєумовнийоптимальнийвиграш дляданого стану ізі-гокроку і докінцяпроцесу черезвідомийумовнийоптимальнийвиграш з (>і+1)-гокроку і докінця:

.                                                (2.13)

Урівнянні (2.13) у ужевідомуфункцію , щохарактеризуєумовнийоптимальнийвиграш з (>і+1)-гокроку докінцяпроцесу,замість станупідставленийновий стан , у яку система переходити наі-мукроці подвпливомуправління .

Структурамоделідинамічногопрограмуваннявідрізняється відстатичноїмоделілінійногопрограмування.Дійсно, у моделяхлінійногопрограмуванняуправляючізмінні –цеодночасно ізмінні станумоделюємогопроцесу, адинамічних моделяхокремовводятьсязмінніуправління , йзмінні, щохарактеризуютьзміну стану подвпливомуправління. Таким чином, структурадинамічних моделей болеескладна, що природно, бо вцих моделяхдодаткововраховується чинник години.

2.3Етапирішеннязадачідинамічногопрограмування

>Після того яквиконаніосновніетапискладанняматематичноїмоделізадачідинамічногопрограмування,математична модельскладена,приступають доїїрозрахунку.Визначаютьсяосновніетапирішеннязадачідинамічногопрограмування.

–Визначеннябезлічіможливихстанів дляостанньогокроку.

–Проведенняумовноїоптимізації для шкірного наостанньомуm-мукроці поформулі (2.12) івизначенняумовного оптимальногоуправління ,.

–Визначеннябезлічіможливихстанів дляі-гокроку, .

–Проведенняумовноїоптимізаціїі-гокроку, для шкірного стану поформулі (2.13) йвизначенняумовного оптимальногоуправління , , .

–Визначенняпочаткового станусистеми , оптимальноговиграшу й оптимальногоуправління поформулі (2.13) при . Цеєоптимальнийвиграш длявсієїзадачі .

–Проведеннябезумовноїоптимізаціїуправління. Дляпроведеннябезумовноїоптимізаціїнеобхіднознайдене напершомукроціоптимальнеуправлінняпідставити у формулу (2.11) йвизначитинаступний стансистеми . Длязміненого станузнайтиоптимальнеуправління ,підставити у формулу (2.11) й так далі. Дляі-гo стану ,знайти й й т.д. [1].


3.Оптимальнийрозподілінвестицій, як завданнядинамічногопрограмування

>Інвесторвиділяєкошти врозміріумовниходиниць, якіповинні бутирозподіленіміж ->підприємствами.Кожнеі-тепідприємство приінвестуванні вньогокоштів приноситиприбутокумовниходиниць, .Необхідновибратиоптимальнийрозподілінвестиційміжпідприємствами,котрийзабезпечитьмаксимальнийприбуток.

>Виграшем уданійзадачієприбуток, принесенапідприємствами.

>Побудоваматематичноїмоделі.

–Визначення числакроків. Кількістькроківдорівнює числупідприємств, в якіздійснюєтьсяінвестування.

–Визначеннястанівсистеми. Стансистеми накожномукроціхарактеризуєтьсякількістюкоштів ,наявних передданимкроком, .

–Вибіркроковихуправлінь.Управлінням наі-мукроці ,єкількістькоштів, якіінвестуютьсяі-тепідприємство.

–Функціявиграшу наі-мукроці:

.                                                                                                       (3.1)

–цеприбуток,котрий приноситиі-тепідприємство приінвестуванні вньогокоштів .

.                                                                                              (3.2)

Отже, дана завданняможе бути виправлена методомдинамічногопрограмування.

–Визначенняфункції переходу до лав:


.                                                                                       (3.3)

Таким чином,якщо наі-мукроці системазнаходиться устані , авибраноуправління , то, на (>і+1)-мукроці система якщознаходитись устані .Іншими словами,якщо внаявностімаютьсякошти врозміріумовниходиниць, і ві-тепідприємствоінвестуютьсяумовниходиниць, то тут дляподальшогоінвестуваннязалишаєтьсяумовниходиниць.

–Складанніфункціональногорівняння для .

.                                                                                          (3.4)

Атакож:

.                                                                                                   (3.5)

Наостанньомукроці,тобто передінвестуваннякоштів востаннєпідприємство,умовнеоптимальнеуправліннявідповідаєкількостікоштів, щомаються внаявності;тобто стількикоштівзалишилось, скільки інеобхідновкласти востаннєпідприємство.Умовнийоптимальнийвиграшдорівнюєприбутку,котрий приноситисяостаннімпідприємством.

–Складання основногофункціональногорівняння.

>Підставивши у формулу (2.13)вираження (3.1) й (3.3),отримуємонаступнефункціональнерівняння:

.                                                              (3.6)

>Пояснюючиданерівняннязазначається, що нехай переді-мкроком вінвесторазалишилиськошти урозміріумовниходиниць.Тодіумовниходиницьвінможевкласти ві-тепідприємство, при цьому даний внесокпринеседохід , аумовниходиниць, щозалишились – востанні підприємства із ()-го до -го.Умовнийоптимальнийвиграш від такого внеску .Оптимальним якщо тіумовнеуправління , приякому сума й максимальна.

>Проведенняавтоматизаціїрозподілуінвестиційміжпідприємствамиздійснюється ззастосуваннямЕОМ,оснащеноїспеціальнимпрограмнимзасобом MSEXCEL. Дорозглядубереться, що =5000, =3.

>Таблиця 3.1 –Прибутокпідприємств

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація