Реферат Формування і перевірка гіпотез

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Формування й перевірка гіпотез


У логіці методи міркувань діляться на два класу: дедуктивні висновки та правдоподібні міркування (чинедедуктивние висновки). На виконання дедуктивних висновків необхідні деякі правила логічного висновку; цих правил визначено математичної формальної системою, з допомогою якої моделюються міркування та значною мірою відповідають правилам логічного висновку, які використовуються у суворих математичних доказах. З попередніх розділів ми знаємо, що з систем логічного аналізу основіE-структур передбачені два правила виведення – транзитивності іконтрапозиции, з допомогою яких формуєтьсяCT-замикание структури. З іншого боку, контролю коректності структури використовуються методи перевірки наявності або відсутність колізій. Ці методи є правилами виведення, а й сприяють їх забезпечення успіху.

Проте природні міркування не обмежуються лише дедуктивними висновками. Дедукція, зазвичай, дбає про завершальний етап розумових процесів, коли побудовано деякі вихідні затвердження, які мають статус аксіом. Тоді отримання наслідків (теорем) з аксіом і перевірка те, що деяке твердження є наслідком з цих аксіом, ставляться до дедукції У той самий час самі аксіоми нерідко формуються з допомогою деяких узагальнень і творчої інтуїції. Ця мислительна діяльність належить вже безпосередньо до правдоподібним міркуванням.

Зрозуміло, що з допомогою логіки, очевидно, неможливо відобразити розмаїття творчого пошуку. Та деякі його різновиду таки можна знайти відтворити, використовуючи суворі математичні системи. Деякі методи правдоподібних міркувань можна реалізувати з допомогою математики цілком можлива реалізація їх у комп'ютері. До них належать індукція (у вузькому значенні пошук закономірностей на прикладах),абдукция (пошук пояснень декому несподіваних і виведених з аксіом фактів чи прикладів) процес формування гіпотез (пошуку нових тверджень, які є наслідками прийнятих аксіом).

Прикладом індукції в міркуваннях є висновок німецьким астрономом ЙоганномКеплером (1571–1630) математичних законів руху планет навколо Сонця з урахуванням даних астрономічних спостережень. Але індуктивні висновки який завжди бувають, безумовно, вірними. Якщо ми, скажімо, подорожуючи Європою та Азії, зустрічаємо лише білих лебедів, ми в змозі зробити індуктивний висновок "Усі лебеді білі". Але, коли ми потрапимо до Австралії, доведеться покращити своє думку, оскільки там зустрічаються чорні лебеді. Нині багато методи пошуку закономірностей на прикладах розвинулися на всю галузь комп'ютерних технологій, яка отримала назвуDataMining.

>Абдукцию ми розглянемо пізніше. На цьому розділі познайомимося з гіпотезами. Власне гіпотеза – це нове знання, яка є наслідком прийнятих аксіом (чи посилок). У той самий час, щоб гіпотеза була коректною, вони повинні суперечити нашим аксіомам – дляE-структур це, що з додаванні сформульованої гіпотези в конкретну структуру немає логічних конфліктів у вигляді колізій.

Розглянемо спочатку найпростіші випадки такого безконфліктного відновлення знань. Нехай вихідне знання представлено коректноюE-структурой R, у ційEструктуре є чимало T базових термінів. Тоді найпростішим випадком безконфліктного відновлення знань буде випадок, коли нове судження (скажімо, це судженняA®B) містить терміни (A і B), які входять до складу базових термінівEструктури R. Зрозуміло, що з додаванні цього судження в R будь-які колізії неможливі. Наприклад, коли ми до посилкам з прикладу 6 (розділ 3) додамо судження "Усі лебеді білі", то побачимо, що у змісту це ніяк не пов'язані з термінами від цього прикладу.Суждения подібного типу вважатимуться нейтральними щодо досліджуваного знання. І такий випадок у силу своєї тривіальності жодного інтересу технічно нескладне.

Більше цікавий випадок, як у новому судженні поруч із новими термінами містяться базові терміниE-структури R. Найпростіший варіант, як у систему додається нове судження, та заодно у системі міститься лише з термінів нового судження. Тоді незалежно від цього, чи є новим терміном предикат чи суб'єкт даного судження, наша система «сприйме» нове судження без будь-яких колізій. за рахунок поступового нарощування таких розглянутих вище випадків відбувається необмежене розширення будь-який вихідної системи.

Як приклад розглянемополисиллогизм Л. Керролла.

1) Всякі малі діти нерозумні;

2) Усі, хто приборкує крокодилів, гідні поваги;

3) Усі нерозумні люди й не гідні поваги.

Додамо у цейполисиллогизм ще одне судження: "Усі обманщики не гідні поваги". У цьому вся судженні предикат представлений терміном, вже які мають системі, а суб'єкт – новим терміном («обманщики»). Таке поповнення наша система також залишиться коректною системою, а число базових термінів системи збільшиться на два («обманщики» та його заперечення – «не обманщики»). Причому у нову систему з'являються деякі цікаві особливості, які буде розглянуто трохи згодом.

>Бесконфликтность системи, оновленої з допомогою такий гіпотези, можна перевірити, побудувавши відповіднеCTзамикание. Більше складним є випадок, як у новому судженні передбачається нова зв'язок між двома і більше термінами вихідної системи. Частково на цей випадок розглянуто у минулому розділі, коли з допомогою верхніх конусів в коректноюEструктуре будувалися деякі екзистенційні судження, у яких з'являлися вже нові терміни. Тим самим було ми безконфліктно доповнювали вихіднуE-структуру новими судженнями, не використовуючи у своїй основні правила виведення (>контрапозиции і транзитивності). Але це метод дозволяє сформувати лише гіпотези, що є безумовними екзистенційними судженнями.

Розглянемо приклад умовного екзистенціального судження. Нехай задана простаEструктура з цими двома судженнями:A®B іB®C. Побудуємо їїCTзамикание і виділимо все максимальні верхні конуси:

>AD = {A, B, З}; D = {,,}.

>CT-замикание цієїE-структури представлено як графа на рис. 1.

дедуктивний логічний висновок міркування

                       

>Рис. 1Рис. 2

>Испитаем з цієюE-структури екзистенціальне судження W®(, B). Сукупністьлитералов {, B} не включена ані за з максимальних верхніх конусів і тому дане судження перестав бути безумовним. А структура коректною, коли ми приєднаємо це судження до початкової системі (рис. 2)?

Перевірка по теоремі показує, що коректність структури не порушиться. Але у чому полягає "умовність" даного екзистенціального судження? Точніше, за яких умов чи коректних змін у структурі додавання цього судження до структури призведе до колізії? Річ у тім, що у структурі міститься співвідношенняA®B (тобто. в термінах алгебри множинAB –нестрогое включення), і навіть допускається можливість рівності A і B. У той самий час екзистенціальне судження W®(, B) означає, що у безлічі B міститься хоча б тільки елемент з доповнення безлічі A і, отже, рівність A і B неможливо. Інакше кажучи, аналізованих екзистенціальне судження виводить на структуру обмеження, яке було б місця, якби до структури додавалося безумовне екзистенціальне судження.

Цей приклад ілюструє те що, що додавання нових суджень, містять дві голови і більш термінів вихідної системи, який завжди є простою справою й іноді вимагає ретельної перевірки. Таку перевірку можна істотно полегшити, якщо використовувати комп'ютерну програму аналізу міркувань.

Розглянемо ситуацію, як у новому судженні (чи сукупності нових суджень) містяться лише базові терміни. Такі судження є екзистенційними, ми йменуватимемо базовими судженнями. Почати з простого прикладу. Нехай існуюче знання представленоEструктурой, показаної малюнку 1. Склад базових термінів цієїE-структури утворює безліч T = {A, B, З, , , }. Питається, чи можна у цюE-структуру додати хоча одне судження, використовуючи лише терміни з багатьох T, і навіть потрібно простежити, щоб нове судження не був ще уCTзамикании цієї структури?

Не знати деяких закономірностейE-структур, то тут для відповіді це запитання знадобиться тупий перебір всіх суджень, не які уCT-замикании, і перевірка кожного їх на коректність. Можливих варіантів перебору тут чимало, але є способи, дозволяють істотно скоротити кількість перевірок. Розглянемо, як це робиться. Аби вирішити це завдання побудуємо таблицю з чотирьох колонок.


У першій колонці записуєтьсяCT-замикание нашої системи – зліва стрілки освітлений, а справа –литерали, які реальні від цьоголитерала. Відразу у цій колонці видно максимальні елементи нашої структури – вони дужки справа порожні. Знаючи максимальні елементи, можна легко отримати мінімальні елементиE-структури (необхідні для побудови максимальних верхніх конусів). Виявляється, мінімальні елементи вE-структурах є доповненнями максимальних елементів (є доказ цього співвідношення, яке не наводиться). Так було в прикладі мінімальні елементи A і , тому максимальними елементами будуть й З.

У другій колонці здійснюється перетворення відповідного вихідного судженняCTзамикания отож у аналізованої рядку суб'єкт судження тим самим, а предикатами судження дедалі терміни з T, які відсутні в вихідному судженні. Наприклад, якщо вихідної була рядокA®(B, З), то на другий колонці записується рядок A®( A, ,,), у якій буде все терміни з T, виключаючи B і З. Вочевидь, що судження, представлені цим рядком (A® A, A®, A®, A®), вCTзамикании не містяться. Деякі з цих суджень (наприклад, A®) можна виключити відразу ж потрапити без перевірки на коректність.

У третій колонці записується результат, отриману під другий колонці, та заодно у складі предикатів виключається термін, котре у даній рядку є суб'єктом, термін, що є запереченням суб'єкта. Ці результати заносять у третю колонку таблиці. Отже, з кандидатів в коректні гіпотези відразу ж потрапити виключаються судження типуX®X і X®. Перше судження стверджує, що кожен безліч включено в себе, що аксіомою, а друге передбачає елементарну колізію парадоксу і тому коректний.

У четвертої колонці відтворюються записи третьої колонки, та заодно з правій частині цих записів виключаються предикати, що утворюють разом із суб'єктом судження, зворотні тим, які уCT-замикании. Наприклад, на другий рядку із записуB®(A,,) ми виключили з правій частині термін A, оскільки його передбачає, що мені доведеться перевіряти судженняB®A, хоча уCTзамикании є зворотне йому судженняA®B. Як відомо, суміщення прямого й протилежного судження лише уE-структуре призводить до появи елементарного циклу між двомалитералами.

Через війну виявляється, що потрібно перевірити 12 елементарних суджень – дві судження у кожному рядку. Розглянемо за приклад перший рядок A®(,), де є два елементарних судження A® і A®. Спочатку відтворимо діаграмуХассе нашої вихідної системи (рис. 3) і додамо в цій системі першепроверяемое судження (рис. 4). Тепер досить глянути на малюнок, аби переконатися, нова система містить колізію парадоксу A®, оскільки з A є шлях у . Той-таки результат ми матимемо, тоді як вихідну систему додамо другепроверяемое судження (рис. 5).

            

>Рис. 3Рис. 4Рис. 5

Під час перевірки решти елементарних суджень з четвертої колонки нашої таблиці виявляється, що вони ініціюють колізію парадоксу. Отже, в вихідну систему неможливо додати якусь посилку, що містить лише базові терміни, щоб цьому не було жодних колізій. Системи з такою властивістю ми далі називатимемо насиченими системами. У цьому "насиченість" системи значить, що до неї взагалі не можна нічого додавати. Як засвідчили раніше, до вказаних системам можна додавати без колізій хоч греблю гати екзистенціальних суджень.

Перевірку коректності гіпотези, що містить лише базовілитерали, можна спростити, згідно з співвідношенням, вираженим наступній теоремою. Але спочатку потрібно визначити ще одне операцію (інверсію), що найчастіше використовують уEструктурах .

>Инверсией (>Inv(S)) довільного безлічі P.Sлитералов є безлічлитералов таке, кожномулитералуLiS ставлять у відповідність освітленийInv(S).

Інакше кажучи, до виконання інверсії в безлічілитералов ми замість кожноголитерала від цього безлічі записуємо його доповнення. Тож якщо P.S = {A, , З}, тоInv(S) = {, B, }.Инверсия має деякими цікавими властивостями. Зокрема, неважко перевірити, що з дворазовому застосуванні інверсії до якогось безлічілитералов отримають той самий безліч, тобто.Inv(Inv(S)) = P.S.

Теорему. Нове базове судженняA®B є коректною гіпотезою в коректноюEструктуре G, якщо спільно дотримуються два рівності:

>ABD =;

>AInv(BD) =.

Доказ. Припустимо, щоABD . Це означає, що є певний освітлений W, який одночасно належить іA, іBD. Звідси випливає, що W є попередникомлитерала A і нащадкомлитерала B. Тому, колилитерали A і B з'єднуються дугоюA®B (тобто. ми додаємо гіпотезу до структури), виходить, що залитерали A і B існує шлях з W в W, що означає колізію циклу. Отже, необхідність умови (і) доведено. Припустимо, щоAInv(BD) . Це означає, що є освітлений W, такий, що W є попередником A, а – нащадкомлитерала B. Тоді при додаванні гіпотезиA®B до структури з'являється шлях з W в , що означає колізію парадоксу. Отже, необхідність умови (>ii) доведено. Кінець докази.

З докази теореми ясно, що у структурі є колізія циклу у разі, коли дотримується умова (і), а колізія парадоксу, - коли дотримується умова (>ii).

Розглянемо, як і використовувати теорему 5 на вирішення попередньої завдання. Припустимо, потрібно перевірити коректність гіпотези B®. Будуємо тихлитералов відповідні конуси:

>B={A, B}; D = {,,};Inv(D) = {A, B, З}.

Перевіряємо умови теореми 5:BD =;BInv(D) = {A, B}.

Звідси випливає, що з додаванні гіпотези B® до структури колізії циклу не утворюється, зате з'являється колізія парадоксу.

Перевірка насиченості навіть простий системи є дуже трудомістким заняттям й тут доцільно скористатися обчислювальними можливостями комп'ютера. Проте є класиE-структур, насиченість яких легко розпізнається без нудного перебору. До цього класу ставляться, зокрема, всеE-структури, які мають діаграмаХассе містить дві недотичні друг з одним максимальні ланцюга, тобто. шляху, початком яких є мінімальні елементи структури. Наприклад, коли ми побудуємо діаграмуХассе якийсьE-структури і побачимо таку картинку (рис. 6), то можемо сміливо без будь-яких перевірок стверджувати, що цю систему є насиченою.


>Рис. 6

Неважко переконатися, що даному структурному класу належить і і системи, насиченість якої ми хіба що перевірили методом перебору. До цього класу ставляться майже всі прикладиполисиллогизмов, наведені підручників за логікою. Разом про те, цей клас є лише окремим випадкомEструктур і лобіювання відповідних їм міркувань,

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація