Реферати українською » Экономико-математическое моделирование » Економіко-математичні методи в управлінні


Реферат Економіко-математичні методи в управлінні

>ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОСВІТІ

РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІИММАНУИЛАКАНТА

кафедра економіки

>КОНТРОЛЬНАЯ РОБОТА

з дисципліни «>Экономико – математичні методи під управлінням»

варіант №30

КАЛІНІНГРАД

2008


Завдання

 

Завдання 1.2.

Суміш можна скласти з n продуктів Зj (>j=1,n). У кожному з харчів міститься >m компонентів.Минимально припустимий обсяг змістуi-го компонента в суміші виражається величиною bі  (>i=1,3). Змістi-го компонента в одиниціj-го продукту виражається величиною а>ijЦіна одиниці >j-го продукту дорівнює зj. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, обравши на вирішення даного завдання найраціональніший спосіб.

 

З1

З2

З3

bі

зj

9 6 7

a>1j

7 5 8 70

a>2j

8 2 3 40

a>3j

9 6 7 50

Завдання 2.2.

Знайтиграфоаналитическим методом оптимальне вирішення завдання нелінійного програмування.

>maxZ =3.6x1 –0.2x12 +0.8x2 –0.2x22

>2x1 + x2 ≥ 10

x12 ->10x1 + x2 ≤ 75

x2 ≥ 0

Завдання 3.1.

Після кілька років експлуатації устаткування може у одному із трьох станів:

1) потрібно профілактичний ремонт;

2) потрібно заміна окремих деталей та вузлів;

3) потрібно перегляд.

Залежно від цієї ситуації керівництво підприємством може взяти наступні рішення:

1) відремонтувати устаткування самотужки, що вимагає витрат а;

2) викликати спеціальну бригаду ремонтників, витрати на цьому випадку становитимуть b;

3) замінити устаткування новим, реалізувавши застаріле по залишкової вартості.. Сукупні видатки цей захід становитимуть з.

Потрібна знайти оптимально розв'язання проблеми критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:

 але в основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначено ймовірності наступу відповідних станів – >q;

б) наявний досвід свідчить про рівної ймовірності наступу відповідних станів;

в) про ймовірності наступу відповідних станів нічого певного сказати не можна.

 

П1

П2

П3

a

13 9 15

b

20 12 11

з

18 10 14

>q

0.3 0.45 0.25

> = 0.7

Завдання 1.2.

Суміш можна скласти з n продуктівЗj (>j=1,n). У кожному з харчів міститься >m компонентів.Минимально припустимий обсяг змістуi-го компонента в суміші виражається величиною bі  (>i=1,3). Змістi-го компонента в одиниціj-го продукту виражається величиною а>ijЦіна одиниці >j-го продукту дорівнює зj. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, обравши на вирішення даного завдання найраціональніший спосіб.

>C1 >C2 >C3 >bi
>cj 9 6 7
>a1j 7 5 8 70
>a2j 8 2 3 40
>a3j 9 6 7 50

Суміш, мінімальна за вартістю:

>7x1 +5x2 +8x3 ≥ 70

>8x1 +2x2 +3x3 ≥ 40

>9x1 +6x2 +7x3 ≥ 50

x1 0; x2 0; x3 ≥ 0

F =9x1 +6x2 +7x3 min

Після транспонування матриці елементів a>ij,cсимметричная двоїста завдання матиме вид:

>S(y1,y2,y3) =70y1 +40y2 +50y3 max , при обмеженнях:

>7y1 +8y2 +9y3 ≥ 9

>5y1 +2y2 +6y3 ≥ 6

>8y1 +3y2 +7y3 ≥ 7

y1 0; y2 0; y3 ≥ 0

Аби вирішити двоїстої завдання лінійного програмування симплекс – методом, наведемо систему нерівностей до виду системи рівнянь:

>7y1 +8y2 +9y3 + y4 ≥ 9

>5y1 +2y2 +6y3 + y5 ≥ 6

>8y1 +3y2 +7y3 + y6 ≥ 7

y1>0;y2>0;y3>0;y1>0;y2>0;y3≥0

>S(y1,y2,y3) =70y1 +40y2 +50y3 max

За правилом відповідності змінних, базисним змінним прямий завдання відповідають вільні перемінні двоїстої завдання:

x1      x2      x3      x4      x5      x6

y1      y2      y3      y4      y5      y6

Першасимплексная таблиця:

>Базис >Сб >А0

>y1

70

>y2

40

>y3

50

>y4

0

>y5

0

>y6

0

>y4 0 9 7 8 9 1 0 0
>y5 0 6 5 2 6 0 1 0
>y6 0 7 8 3 7 0 0 1
0 -70 -40 -50 0 0 0

Другасимплексная таблиця:

>Базис >Сб >А0

>y1

70

>y2

40

>y3

50

>y4

0

>y5

0

>y6

0

>y4 0 23/8 0 43/8 23/8 1 0 -7/8
>y5 0 13/8 0 1/8 13/8 0 1 -5/8
>y1 70 7/8 1 3/8 7/8 0 0 1/8
245/4 0 -55/4 45/4 0 0 35/4

Третясимплексная таблиця:

>Базис >Сб >А0

>y1

70

>y2

40

>y3

50

>y4

0

>y5

0

>y6

0

>Y2 40 23/43 0 1 23/43 8/43 0 -7/43
>y5 0 67/43 0 0 67/43 -1/43 1 -26/43
>y1 70 29/43 1 0 29/43 -3/43 0 8/43
2950/43 0 0 800/43 110/43 0 280/43

Останній таблиці в рядку немає негативних елементів. Відповідно до критерієм оптимальності точка максимуму P.S>max = 2950/43 досягнуто при значеннях: y1 = 29/43; y2 = 23/43; y3 = 0.

По теоремі двоїстості: F>min = P.S>max = 2950/43.

З правила відповідності між перемінними, оптимальне рішення прямий завдання:

y4        x1 = 110/43 y5         x2 = 0 y6         x3 = 280/43

Відповідь: У суміш мінімальної вартості 2950/43 доцільно включити 110/43 одиниць продукту З1, 280/43 одиниць продукту З3, а продукт З2 не включати.

Завдання 2.2.

Знайтиграфоаналитическим методом оптимальне вирішення завдання нелінійного програмування.

>maxZ =3.6x1 –0.2x12 +0.8x2 –0.2x22

>2x1 + x2 ≥ 10

x12 ->10x1 + x2 ≤ 75

x2 ≥ 0

У цьому завданню є нелінійна цільова функція з нелінійної системою обмежень. Графічна схема дозволить визначити положення точки оптимуму.

Спочатку перетворити формулу цільової функції те щоб отримати її графічне відображення. Скористаємося методом виділення повного квадратадвучлена щодо x1 і x2, розділивши ліву праву частини формули на -0.2:

->5Z = x12 ->18x1 + x22 –4x2

Додамо до лівої і правої частинам рівняння числа, необхідних виділення повних квадратівдвучлена у правій частині висловлювання:

92 і 22 у сумі становлять 85:

85 –5Z = (x1 – 9)2 + (x2 – 2)2

У результаті вийшла формула, що дозволяє графічно зобразити цільову функцію як лінії рівня на площині X1>OX2. Дані лінії рівня є окружності із загальним центром у точціO (9;2). Ця точка є точкою абсолютногоекстремума цільової функції.

Для визначення характеруекстремума потрібно здійснити аналіз цільової функції навипуклость/вогнутость. І тому необхідно визначити другі приватні похідні та їх матрицю:


Z>x1x1  Z>x1x2      =       -0.4     0

Z>x2x1  Z>x2x2                0    -0.4

>Определим знаки головнихминоров даної матриці.

Головний мінор першого порядку -0.4 < 0.

Головний мінор другого порядку 0.16 > 0.

>Т.к. знакиминоров чергуються, функція Z - суворо увігнута.Экстремум ввігнутих функцій –max, отже у точці Про у цільової функції перебуває абсолютний максимум.

Для побудови області допустимих значень перетворимо друге нерівність системи обмежень:

x12 –10x1 + x2 ≤ 75

x12 –10x1 + 25 + x2 ≤ 100

(x1 – 5)2 + x2 ≤ 100

(x1 – 5)2 100 – x2

>Уравнение (x1 – 5)2 = 100 – x2 висловимо через перемінні x1* і x2*:

x1* = x1 – 5

x2* = 100 – x2

>Уравнение набуде вигляду: x1*2 = x2*.

У системі координат X1*>O*X2* дане рівняння є канонічним рівнянням параболи.



                                                                                                   

 

На малюнку область допустимих значень – обмежена частина площиніABCD. З отриманого графіка видно, що вищу точку абсолютного максимуму Z лежить всерединіОДР. Отже, цільова функція приймає максимальне значення у цій точці:

>max Z =Z(O) =Z(9;2) = 17

Завдання 3.1

Після кілька років експлуатації устаткування може у одному із трьох станів:

1) потрібно профілактичний ремонт;

2) потрібно заміна окремих деталей та вузлів;

3) потрібно перегляд.

Залежно від цієї ситуації керівництво підприємством може взяти наступні рішення:

1) відремонтувати устаткування самотужки, що вимагає витрат а;

2) викликати спеціальну бригаду ремонтників, витрати на цьому випадку становитимуть b;

3) замінити устаткування новим, реалізувавши застаріле по залишкової вартості.. Сукупні видатки цей захід становитимуть з.

Потрібна знайти оптимально розв'язання проблеми критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:

 але в основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначено ймовірності наступу відповідних станів – >q;

б) наявний досвід свідчить про рівної ймовірності наступу відповідних станів;

в) про ймовірності наступу відповідних станів нічого певного сказати не можна.

>П1 >П2 >П3
a 13 9 15
b 20 12 11
з 18 10 14
>q 0.3 0.45 0.25

> = 0.7

>Составимплатежную матрицю, у якій Пj – стану устаткування, Аі – альтернативи прийняття рішень:

>П1 >П2 >П3
А1 -13 -9 -15
А2 -20 -12 -11
А3 -18 -10 -14

Для прийняття оптимального рішення на разі а). скористаємося критерієм Байєса; у разі б). критеріємЛапласа; у разі в). критеріямиВальда,Севиджа, Гурвіца.

а). з урахуванням узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначено ймовірності наступу відповідних станів: >q1 = 0.3; >q2 = 0.45; >q3 = 0.25

Критерій Байєса.

Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш:  `aі = ∑a>ij>>qj

`a1 = -11.7 `a2 = -14.15 `a3 = -13.4

>П1 >П2 >П3 `>ai
А1 -13 -9 -15 -11.7
А2 -20 -12 -11 -14.15
А3 -18 -10 -14 -13.4
>qj 0.3 0.45 0.25

З середніх виграшів вибираємо максимальний: >max aі = `a1 = -11.7 – перша альтернатива оптимальна у разі відомих ймовірностей наступу подій під час виборів рішення з критерію Байєса.

б). наявний досвід свідчить про рівної ймовірності наступу відповідних станів;

КритерійЛапласа.

Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш: `aі = 1/3∑a>ij

`a1 = -12.3 `a2 = -14.3 `a3 = -14

>П1 >П2 >П3 `>ai
А1 -13 -9 -15 -12.3
А2 -20 -12 -11 -14.3
А3 -18 -10 -14 -14

З середніх виграшів вибираємо максимальний: >max aі = `a1 = -12.3 – перша альтернатива оптимальна у разі рівної ймовірності наступу подій під час виборів рішення з критеріюЛапласа.

в). про ймовірності наступу відповідних станів нічого певного сказати не можна.

КритерійВальда.

Для кожної альтернативи визначимо найгірший результат.dі – мінімальний елемент рядки. З найгірших фіналів вибираємо найкращий, тобто. максимальнийdі.

>П1 >П2 >П3 >di
А1 -13 -9 -15 -15
А2 -20 -12 -11 -20
А3 -18 -10 -14 -18

>max >dі = >d1 = -15 – перша альтернатива оптимальна критеріємВальда.

КритерійСевиджа.

До кожного шпальти знаходимо максимальний елементj.

 

П1

П2

П3

А1

-13 -9 -15

А2

-20 -12 -11

А3

-18 -10 -14

>j

-13 -9 -11

Побудуємо матрицю ризиків, елементи якої: >r>ij = >j - a>ij

>maxri
0 0 4 4
7 3 0 7
5 1 3 5

У матриці ризиків кожному рядку знайдемо максимальний ризик, і їх виберемо мінімальний: >min >r = >r1 = 4 – перша альтернатива оптимальна критеріємСевиджа.

Критерій Гурвіца.

Для кожного рядка знаходимо мінімальнийdі і максимальнийj.

>П1 >П2 >П3 >di >j >i
А1 -13 -9 -15 -15 -9 -13.2
А2 -20 -12 -11 -20 -11 -17.3
А3 -18 -10 -14 -18 -10 -15.6

>і =dі + (1 –)j                 > = 0.7

Максимальний з елементів останнього шпальти: >maxі =1 = -13.2 – перша альтернатива оптимальна критерієм Гурвіца.


Схожі реферати:

Навігація