Реферат Лінійна модель виробництва

>ЛІНІЙНА МОДЕЛЬВИРОБНИЦТВА


1.Лінійнімоделівиробництва талінійнепрограмування

>Будь-якенаціональнегосподарстворозвивається вскладніймережіміжгалузевихвзаємозв'язків, котрізрозуміти шляхом простогоматематичногоапаратунеможливо.Наприклад,попит наавтомобілівпливає не так наавтомобільнупромисловість, але й непрямо й наметалургію – виробникабазовоїсировини длявиготовленняавтомобілів, й нагалузі,пов'язані ізвиробництвом шин, йіншихкомплектуючихчастин, але вгалузі, котрівиготовляютьрадіоелектроннеустаткування таін.Простірозрахункипоказують, що «>лобовий»підхід та арифметика недопоможуть приспробікількісногоаналізу прямого і непрямогоефектупоширення такихвпливів.

Методміжгалузевогоаналізу,розробленийамериканськимекономістомросійськогопоходження ВасилемЛеонтьєвим,дозволяєдатипослідовні тачисельновпевненівідповіді назапитання,пов'язані ізміжгалузевимивзаємодіями і їхньоговпливами наосновнімакроекономічніпоказники.

>Розглянемо діяльністьнайнижчої ланкимакроекономіки (>виробничоїодиниці – заводу, цеху).Потрібноскласти планвиробництва,якийзабезпечуємаксимальний щабельвиконання заподіяння.Щододаноївиробничоїодиницівідоміїїтехнічніможливості, атакожкількістьсировиннихресурсів, котрі можнавикористати.

>Нехайкількість всіхвидівресурсівпозначимо їхнього . Цеможуть бути метав,електроенергія,різнівиди поставок ізіншихпідприємств.Припустимо, що навиробництвіможутьвипускатисятипівтоварів .

>Технологієювиробництватоварівназвемонабір чисел , щопоказують, котракількістьресурсівнеобхідні длявипускуоднієїодиниці товару . Таквиробництвотоварів можна податі якконвеєр,протягомякогоподаютьсяресурси вкількості акінціконвеєравиходить готоваодиниця продукту .

Отже, можнаскластитехнологічнуматрицю, Якаповністюописуєтехнологічніможливостівиробництва.Позначаємоїї через

.

>Нехайзаданікількостіресурсів ,, котріможуть бутивикористані увиробництві, тоді – векторресурсів.Назвемо планомвиробництва вектор , щопоказує, котракількістьтоварів якщовироблена.

>Вважатимемотехнологіювиробництвалінійною,тобтоприпустимо, що усівитратиресурсівзростають прямопропорційнообсягувипуску.Припустимо, щовитрати под годинувипускуодиниць продуктуописуються вектором ,причомуодночаснефункціонуваннядекількохтехнологічнихпроцесів приводити досумарнихвитрат.

Отже,витратиресурсів,необхідні длявиконання планувиробництва ,описуються вектором,координатиякогомаютьтакийвигляд:


чи вматричнійформі вектором .Умоваобмеженостіресурсівзаписується увигляді . Отже, призаданомувекторіресурсіврозглянутоювиробничоюодиницеюможе бутибудь-якийвипущенийнабіртоварів ,якийзадовольняєобмеженням , . як правило,такий вектор не Єдиний. У зв'язку ізцимз'являєтьсяможливістьвиборунайкращого вдеякомурозумінні плану.

>Розглянемоможливі постановкиоптимізаційноїзадачі.Нехайзаданіціни напродуктивиробництва .Потрібновизначити планвиробництва, щомаксимізуєвартістьпродукції.Формальнийзаписцієїзадачітакий:

, , .(1)

>Така постановказадачівідповідає принципупланування за валом.Випадок, колиплануваннявипуску проводитися заноменклатуроютоварів, можназмоделюватиінакше.Нехай завдань вектор , щовизначає один комплектвипуску.Потрібновипустити як можна понад такихкомплектів.Нехайозначаєкількістькомплектів, щовипускають.Розглянемо завдання

, , , .(2)


Тутнерівністьозначає, що вектормістить не меншеповнихкомплектівпродукції, щовипускається.

>Моделі (1), (2),хоча івідбиваютьпевніриси реальноговиробництва,є,значноідеалізованими. Так,відсутнєтакеважливе длявиробництвапоняття, як годину.Вважається, що усінеобхідніресурси ,доступні. Отже,такімоделіабстраговані віддинамікивиробництва і невраховуютьцілий рядіншихпоказників, котрієнеодмінним атрибутом реальноговиробництва.

>Незважаючи нарозходженнязмістовнихрезультатівілюстративнілінійнімоделі (1), (2)мають багатоспільного, асамеєстандартними завданнямилінійногопрограмування.Основнимиобчислювальними схемамирозв’язування завданьлінійногопрограмуванняєсимплекс-метод й йогомодифікації.

2.Статична схемаміжгалузевого балансу. МодельЛеонтьєва

>Основоюбагатьохлінійнихметодіввиробництває схемаміжгалузевого балансу.Нехай весьвиробничий сектор народногогосподарстварозбитий начистихгалузей,тобтопродукціякожної ізцихгалузейпередбачаєтьсяоднорідною. Кожнагалузьвипускає продукт лише одного типу, йрізнігалузівипускаютьрізніпродукти. Упроцесівиробництва свого виду продуктукожнагалузьпотребуєпродукціюіншихгалузей.Чистагалузьєекономічноюабстракцією , що нереально.Подібнаідеалізаціявиправдана тім, що вондозволяє провестианалізтехнологічноїструктуривиробництва тарозподілу.

>Припустимотепер, що вдеякий момент години,наприклад, уроці , запідсумковимиданимискладенийбалансовийзвіт по-народномугосподарству зафіксованийперіод години заформою,наведеною в табл. 1.


>Таблиця 1

>Галузі

1 2

>Продукти

1

2

>Валовийвипуск

>Кінцевеспоживання

>Величинивказуютьобсяг продукту із номером ,витраченийгалуззю впроцесівиробництва зазвітнийперіод.Числа ,  >дорівнюютьобсягупродукції (валовомувипуску) ->їгалузі за тієїсамийперіод, азначення  – >обсягупродукції ->їгалузі, що бувспожитий уневиробничій сфері.Числа ,показуютьрозподіл -го продукту навиробничіпотреби всіхіншихгалузей.Балансовий характер табл. 1виражається до того, щомаютьвиконуватисяспіввідношення

, .(3)

Отже,валовапродукціявизначається як сумакінцевої іпроміжноїпродукції.

>Одиницівиміру всіхзазначених величинможуть бутинатуральними чивартісними,залежно від чогорозрізняютьнатуральний йвартіснийміжгалузевий баланс.

>Якщо усіелементи -гостовпцятаблиці 1розділити на , то числорозумітимемо якобсягпродукції ->їгалузі,необхідний длявиробництваоднієїодиниці продукту ->їгалузі.Числа ,характеризуютьтехнологію ->їгалузі узвітнийперіод йзвутьсякоефіцієнтамипрямихвитрат ->їгалузі.Підрозумітимемочасткупродукції ->їгалузі,витрачену наневиробничеспоживання.Основнимелементомсхемиміжгалузевого балансуєквадратнаматриця , якоїназиваютьматрицеюкоефіцієнтівпрямихвитрат.

>Першимдопущеннямданоїсхемиє ті, щосформованатехнологіявиробництваєнезмінноюпротягомдеякогопроміжку години. Другадопущенняполягає до того, що длявиробництваодиницьпродукціїгалузінеобхіднозатратитиодиницьгалузі ,тобтопередбачається, щовитрати прямопропорційнівипуску (>єлінійнооднорідноюфункцієювипуску).

>Під годинувиробництва наборупродукціївитратипродукції ->їгалузіскладуть у цьомувипадку величину

 .(4)

>Переходячи доматричнихпозначень,стверджуємо, що векторвиробничихвитратдорівнює .Якщо – векторкінцевихспоживань, тодіваловапродукція ->їгалузідорівнює


,  (5)

чи вматричнійформі

. (6)

Системурівнянь (6)називаютьмоделлюміжгалузевого балансу чимоделлюЛеонтьєва. Дана модельпов'язуєобсягиваловихвипусків ізобсягамикінцевоїпродукції іможе бутивикористана длярозрахункуцих величин.Наприклад,якщовідомийнабірможливих приданих ресурсахвипусків , то система (6) дозволитирозрахуватинабірвідповіднихзначень .Якщоспочаткувідомийбажанийнабіркінцевоїпродукції, то "задопомогоюмоделі (6) можнавизначитинеобхідні для його забезпеченняобсяги валовоговипуску погалузі,тобто

 (7)

призаданійматриці .

3.Розв’язокмоделіЛеонтьєва

Заекономічнимиміркуваннями усікоефіцієнтиматриціневід’ємні: , . У цьомувипадкуговорять, щоматрицяневід’ємна ізаписують .Невід’ємнікомпонентизаданого вектора чи .

>Розв’язок,якиймає бутизнайдений, зазмістомтакожповинний матір лишеневід’ємнікомпоненти,тобтопотрібневиконаннянерівностей чи .Можливістьодержанняневід’ємногорозв’язкувизначаєтьсявластивостямиматриці .

>Матрицяназиваєтьсяпродуктивною,якщоіснують двавектори й ,такі, що .

>Продуктивністьматриціозначає, щовиробнича системаздатна забезпечитидеякийпозитивнийкінцевийвипуск по продукти.

>Розглянемоумовипродуктивностіматриці :

1)послідовніголовнімінориматриціпозитивні,тобто для шкірноговиконананерівність

;

2)матрицяневід’ємнозворотна,цеозначає , щоіснуєзворотнаматриця і усіїїелементиневід’ємні:

3)матричний рядзбігається,причому

.

4)максимальневласне число .

>Повернемося досистемирівнянь (7). Зазаданим векторомпотрібнознайти вектор , дляякого .Перепишемо систему (7) увигляді , де –одиничнаматриця.Якщоматриця продуктивна, товідповідно доумови 2)матрицяіснує іневід’ємна. Томурозв’язоксистемирівнянь (7)існує, Єдиний ймаєвигляд . Через ті, що і , .

>Особливістюматриці вмоделіЛеонтьєває ті, що усіелементиїїневід’ємні.Такіматриціволодіють поручвластивостей.Розглянемо їхнього внаступномупідрозділі.

4.Властивостіневід>ємнихматриць

>Нехай –квадратнаматрицярозміром ізневід’ємнимиелементами , ;підмножинамножининатуральних чисел .Говорять, щоізольовано (>щододаноїматриці ),якщо вматриці при , .

>МовоюмоделіЛеонтьєваізольованістьмножиниозначає, щогалузі із номерами под годину свогофункціонування невикористовуютьтовари,виробленігалузями із номерами ізмножин .Інакшекажучи,частинаекономіки, щоутворитьсягалузями ізмножини ,можеіснуватинезалежно відіншихгалузей.Якщоперенумеруватиіндекси так,щоб , , щовідповідаєодночаснійперестановцірядків йстовпцівматриці , томатриця викличевигляд

,(8)

де і –квадратніпідматрицірозмірів йвідповідно, – .

>Матрицяназиваєтьсянерозкладною,якщо вмножині немаєізольованихпідмножин,крімсамої йпорожньоїмножини.

>Інакшекажучи,матрицянерозкладна,якщоодночасноюперестановкоюрядків йстовпцівїї збурити довигляду (8).

>Нерозкладністьматриці вмоделіЛеонтьєваозначає, щокожнагалузьвикористовуєхоча іпобічно,продукцію всіхгалузей.

>Розглянемодеяківластивостінерозкладнихматриць:

1.Нерозкладнаматриця немаєнульовихрядків йстовпців;якщо -і рядматрицінульовий, томножинаізольована.

2.Якщо –нерозкладна і то .

ТеоремуФробеніуса-Перрона:нерозкладнаматрицямаєтакевласне число , що імодулі всіхіншихвласних чиселматриці неперевищують ; числувідповідає ізточністю до скалярногомножникавласний вектор , усікоординатиякогоненульові і одного знака,тобто можнавважати .

4. Лема: нехай –нерозкладнаматриця, , , ,крім того, у вектораєнульовікоординати та , тоді у векторазнайдетьсядодатна координата ,причому .

5. Лема:якщоматрицянерозкладна, , , то ізнерівностівипливає, що , .

5.Зв'язокміжкоефіцієнтамипрямих йповнихвитрат

>Нехайрозглядаєтьсяматрицякоефіцієнтівпрямихвитрат у натуральному чивартісномувиразі .

Длявиробництваодиниціпродукції ->їгалузінеобхіднозатратитинабірпродуктів , щоописується -мстовпцемматриці . Алі длявиробництва цого наборунеобхіднобезпосередньозатратитинабірпродуктів,який мипозначимо через .

>Елементи векторавитратназиваютьсякоефіцієнтаминепрямихвитрат Першого порядкувідповіднихпродуктів навиробництвоодиниць -го продукту .

>Матриця ,складеназістовпців , ,називаєтьсяматрицеюнепрямихвитрат Першого порядку івизначаєтьсявідповідно доформули

.

>Непрямимивитратами іншого порядкуназиваютьпрямівитрати,необхідні для забезпеченнянепрямихвитрат Першого порядку,тобто , чи вматричнійформі

де –матрицякоефіцієнтівнепрямихвитрат іншого порядку.

>Продовжуючи зааналогією,назвемонепрямимивитратами порядкупрямівитрати на забезпеченнянепрямихвитрат порядку . Вочевидь, щоматрицюкоефіцієнтівнепрямихвитрат -го порядку одержимо,помноживши на

. (9)

>Визначимотеперповнівитрати як сумупрямих йнепрямихвитрат всіхпорядків.Відповідно до цогоматриця ,складена ізкоефіцієнтівповнихвитрат,утвориться як сума


(10)

чи ізогляду тих, що , маємо

(11)

>Коефіцієнтипрямих йповнихматеріальнихвитратмаютьважливезначення для характеристикиструктуритехніко-економічнихзв'язків й дляаналізуефективностівиробництва із боцівитратупредметненої роботи.Суттєвавідмінністькоефіцієнтівповнихвитрат відкоефіцієнтівпрямихвитратполягає до того, що смердотіє негалузевими, анародногосподарськимипоказниками іформуються ізурахуваннямтехнологічнихзв'язківміжгалузями.

>З'ясуємотакий момент. Чи невиявлятьсябудь-які ізкоефіцієнтівповнихвитратнескінченно великими?

>Розглянемоматрицю

.

Вочевидь, щоелементиматриціскінченні разом ізелементамиматриці лише до тоговипадку,якщоскінченна сума ряду .Крім того,відповідно доумови (3) йогозбіжністьєумовою,еквівалентноюпродуктивностіматриці ,причому . Отже, увипадкупродуктивностіматриці і лише в цьомувипадкуматрицяповнихвитратскінченна,їївизначаютьвідповідно доформули


.

Для великихзначеньважкообчислитизворотнуматрицю. У цьомувипадкуматрицю , як йматрицю , можнаобчислитиприблизно,користуючись методомітерацій. Напершійітерації , надругійітерації , натретій , на -іітерації .Часткова сумавідрізняється відчастковоїсуми на величину . Через ті що рядзбігається, при . Тому заскінченнукількістькроків можнадосягтизаданоїточностіобчислень.

>Коефіцієнтиматрицімаютьтакуекономічнуінтерпретацію:якщовипусккінцевого -го продуктупотрібнозбільшити наодиницю, товаловийвипуск -го продуктумає бутизбільшений на .

6.Коефіцієнтитрудовихвитрат. Баланструдовихресурсів

МодельЛеонтьєва, яквідзначалосяраніше,відображаєлишепотенційніможливості,закладені втехнологіївиробничого сектора. Уданіймоделіпередбачається, що процесвиробництвавідбуваєтьсямиттєво – усіпроміжніпродуктивважаютьсявиробленими доти моменту, коли у якихз'являється потреба,тобтокожнагалузьздатназробитибудь-якийобсягсвоєїпродукції заумови, щоїй якщозабезпеченасировина внеобхіднійкількості. Направду,це негаразд,оскількивиробничіможливостібудь-якоїгалузіобмеженінаявнимобсягомосновнихфондівтрудовихресурсів.

>Розглянемо проблемурозподілутрудовихресурсів, якої можнадослідити задопомогоюмоделіЛеонтьєва.

>Зіставимокожній ->їгалузі число , щовиражаєнеобхіднівитратитрудовихресурсів приодиничнійінтенсивностіданоготехнологічногопроцесу.

>Нехай – векторпрямихвитрат роботи і –матрицяпрямихматеріальнихвитрат. Навиробництвоодиниці продукту видунеобхіднобезпосередньозатратитинабірпродуктів йпрацю вкількості . Однак навиробництводаного наборупродуктів у своючергунеобхіднозатратитиодиниць роботи.Ця величинаназиваєтьсянепрямимивитратами роботи Першого порядку наодиницю -го продукту іпозначається через .

Векторнепрямихвитрат роботи Першого порядкувизначається такимвиразом: .

>Міркуючианалогічно тому, якцеробилося под годинупобудовикоефіцієнтівнепрямихматеріальнихвитрат,дійдемовисновку, що векторнепрямихвитрат роботи порядкувизначається такимспіввідношенням:

 чи .

>Повнівитрати роботиєсумоюпрямих йнепрямихвитрат роботи

.

У матричномузаписі,вважаючи, що й, ізогляду тих, що , маємо

 чи .


>Якщоматриця продуктивна, то суму в дужках можназамінити на і,отже, –матрицяповнихвитрат роботи.

>Зменшенняповнихвитрат роботи наодиницюпродукціїєузагальнюючимпоказником збільшенняпродуктивності роботи,ефективностівиробництва.Розрахуноккоефіцієнтівповнихвитрат роботиважливий дляціноутворення наетапівстановленняоб'єктивноїосновиціни –вартості. Дляобчисленнякоефіцієнтівповнихвитрат роботивикористовуютьітераційну процедуру

,

щодозволяє іззаданоюточністювизначитиданікоефіцієнти.


Схожі реферати:

Навігація