Реферат Математичні моделі в економіці

Факультет дистанційного навчання

Томський державний університет

системам управління і радіоелектроніки (>ТУСУР)

Кафедра економіки

Контрольна робота № 1

з дисципліни «математичні моделі у економіці »

виконано за методикою М.Г. Сидоренко «математичні моделі у економіці»

>Вариант-1

>Виполнил:

студентФДОТУСУР

грн.:з-828-Б

спеціальності 080105

Афоніна Ю.В,

1 грудня 2010 р.

Р. Нафтоюганськ

>2010г


Завдання 1

У просторі трьох товарів розгляньте бюджетне безліч при векторі цінP і доходіQ. Описати його та його кордон за допомогою звичних і векторних нерівностей і рівностей, покажіть бюджетне безліч та її кордон графічно. У відповідь дати число, однакову обсягу бюджетного безлічі.

Варіант 1
Дані

>P = (1,3,4)

>Q = 24

x1

 

>P

 

>A(3)

 


>B(1)O

 

>O

 

x3

 

>C(4)

 

x2

 

Ціна товару , товару, товару і бюджетне безліч є пірамідаОАВС. Крапка А має координату , точка У має координату , точка З має координату .

Бюджетне безлічB(P,Q) та її кордонG(P,Q) залежить від цін, і доходу.

Бюджетне безліч та її кордон можна визначити з допомогою звичайних нерівностей і рівностей так:


і з допомогою векторних рівностей і нерівностей

Обсяг бюджетного безлічі дорівнює обсягу побудованої пірамідиОАВС.

>Объему пірамідиОАВС дорівнює однієї третини твори площі підстави на висоту:

де P.S – площа підстави, H – висота піраміди.

У означеному разі висота М дорівнює 24.

Площа підстави дорівнює АВ помножити на ВР і на синус кута з-поміж них.

 


Завдання 2

Дани залежності попиту D і такі пропозиції P.S від ціни. Знайдіть рівноважну ціну, коли він виручка максимальна і цю максимальну виручку.

Варіант Дані
1 D = 1000 –10p; P.S = 100 +>10p

Рішення:

Крапка рівноваги характеризується рівністю попит пропозиції, тобто. 1000 –10p =100+10p.Равновесная цінаp* = 45 і виручка при рівноважної цініW(p*) =p* *D(p*) =p* *S(p*) = 24750.

За ціниp >p* обсяг продажу і виручка визначається функцією попиту, приp <p* - пропозиції. Необхідно відшукати ціну , визначальну максимум виручки:

>p*(1000 –10p) – функція має максимум у точці 50,W(50)=25000

>p*(100 -10p) –функція максимальна у точці 5,W(5)=250

Отже, максимальна виручкаW(р) =25000 досягається не при рівноважної ціні.

 

Завдання 3

Знайдіть рішення матричної гри (оптимальні стратегії і ціну гри).


Варіант Гра
1

Спочатку перевірити наявністьседловой точки.Седловой точки немає.

Означимо стратегію Першого , потрібну оптимальну стратегію Другого .

Виграш Першого є випадкова величина з такою поруч розподілу:

>W(x,y): 2 -3 -2 2
>xy >x(1-y) (>1-x)y (>1-x) (>1-y)

Знаходимо середній виграш за партію Першого – математичне очікування випадкової величиниW(x,y):

 

>M(x,y)=2xy-3x(1-y)-2(1-x)y+2(1-x)(1-y)=2xy-3x+3xy-2y+2xy+2-2x-2y+2xy=9xy-5x-4y+2=9x(y-5/9)-4(y-5/9)+6/9=9(y-5/9)(x-4/9)+6/9

Для перебування оптимальних стратегій гравців необхідно, щобM(x,y*)M(x*,y*)M(x*,y). Це виконується при x*=4/9 і y*=5/9, оскільки саме тут разіM(x , 5/9) =M(4/9 , 5/9) =M(4/9 , y) = 6/9.

Отже, оптимальна стратегія першого гравця є

,

Другого - . Ціна гри з визначенню дорівнюєv=M(P*,>Q*)=6/9

Завдання 4

Длятрехотраслевой економічної системи задано матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат і вектор кінцевої продукції. Знайти коефіцієнти повних матеріальних витрат двома шляхами (з допомогою формул зверненняневирожденних матриць і наближено), заповнити схему міжгалузевого балансу.

Варіант Дані
1

1. визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат з другому способу, враховуючи непрямі витрати до 2-го порядку включно. Запишемо матрицю коефіцієнтів непрямих витрат 1-го порядку:

матрицю коефіцієнтів другого порядку:

Отже, матриця коефіцієнтів повних матеріальних витрат наближено дорівнює:

3. визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат з допомогою формул звернення невиражених матриць (перший шлях).

А) знаходимо матрицю (Є - А):

Б) обчислюємо визначник цієї матриці:

У)транспонируем матрицю (Є - А):

Р) знаходимо алгебраїчні доповнення для елемента матриці :


                        

                        

                                       

                        

Отже, залучена до матриці (Є – А) матриця має вигляд:

Д) використовуючи формулу (7.14), знаходимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат:

Елементи матриці У, розраховані по точним формулам звернення матриць, більше відповідних елементів матриці, розрахованих за другим наближеному способу не враховуючи непрямих матеріальних витрат приблизно вище 2-го.

1. знайдемо величини валової продукції трьох галузей (вектор Х), використовуючи формулу (7.9)

2. визначення елементів першого квадрата матеріального міжгалузевого балансу скористаємося формулою, що з формули (7.4): . З цієї формули слід, що з отримання першого шпальти першого квадрата потрібно елементи першого шпальти заданої матриці А помножити на величину ; елементи другого шпальти матриці А помножити на ; елементи третього шпальти матриці А помножити на .

Складові третього квадранта (умовно чисту продукцію) поруч із урахуванням формули (7.1) як різницю між обсягами валової продукції і сумами елементів відповідних шпальт знайденого першого квадранта.

Четвертий квадрант у нашій прикладі складається з одного показника і є, зокрема, контролю правильності розрахунку: сума елементів другого квадранта повинна в вартісному матеріальному балансі збігатися з сумою елементів третього квадранта. Результати розрахунку наведені у таблиці.

>Производящие галузі >Потребляющие галузі
1 2 3 Кінцева продукція Валова продукція

1

2

3

476.76

397.3

158.92

118.04

59.02

59.02

0

33.76

0

200

100

120

794.6

590.2

337.6

Умовно чисту продукцію -238.38 354.12 303.84 420
Валова продукція 794.6 590.2 337.6 1722.4

Завдання 5

Перевірити ряд на наявність викидів методом Ірвіна, згладити методом простий ковзної середньої з інтервалом згладжування 3, методом експоненційного згладжування (=0,1), уявити результати згладжування графічно, визначте для низкитрендовую модель якполинома першого ступеня (лінійну модель), дайте точковий іинтервальний прогноз втричі кроку вперед.

Варіант Ряд даних
1 у = 12, 10, 11, 13, 14, 15, 14, 13, 15, 16

Знайдемо середнє арифметичне

Середнєквадратическое відхилення

>t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

- 1.06 0.53 1,06 0.53 0.53 0.53 0.53 1.06 0.53

>Аномальний рівень відсутня.

Методом простий ковзної середньої з інтервалом згладжування 3

Для обчислення згладжених рівнів низки застосовується формула:

де за непарномуm, у разіm = 3, отже

>y(t) 12 10 11 13 14 15 14 13 15 16

- - 11 11.3 12.7 14 14.3 14 14 14.7

Методом експоненційного згладжування (=0,1)

Експоненціальне згладжування здійснюється за формулі:, де - параметр згладжування. У нашому випадку = 0,1.

>y(t) 12 10 11 13 14 15 14 13 15 16

11.1 10.99 2.2 3.28 4.35 5.42 6.29 6.96 7.76 8.58

Графічне уявлення результатівсглажевания


Нижче в таблиці наведено вихідний ряд данихyt і згладжені двома шляхами рівні вихідного низки. У цьому при згладжуванні з допомогою методу простий ковзної середньої використовувався інтервал згладжування >m = 3.

При згладжуванні експонентним методом бувдоведен параметр згладжування а = 0,1

Відповідно, числова послідовність терезів мала вид:

>t

>yt

 

 методом

 простий ковзної середньої

_ методом

y експоненційного

згладжування

1 12 - 11.1
2 10 11 10.99
3 11 11.3 2.2
4 13 12.7 3.28
5 14 14 4.35
6 15 14.3 5.42
7 14 14 6.29
8 13 14 6.96
9 15 14.7 7.76
10 16 - 8.58

Щоб правильно підібрати кращу криву зростання для моделювання і прогнозування економічного явища, треба зазначити особливості кожного виду кривих економіки часто використовуєтьсяполиномиальная крива зростання, як крива зполиномом першого ступеня.


>Параметрa1 називають лінійним приростом. Дляполинома першого ступеня характерний постійний закон зростання. Якщо перші прирости за такою формулою

 

 >ut = >yt>yt-1, >t =2,3,…,n,

вони будуть постійної величиною і рівні а 1.

Значення приросту дляполиномов будь-якого порядку не залежить від значень самої функції .

>Полиномние криві зростання можна використовуватиме апроксимації (наближення) і прогнозування економічних процесів, у яких наступне розвиток залежить від досягнутого рівня. Вихідний тимчасової ряд попередньо згладжується методом простий ковзної середньої.

Необхідно оцінити адекватність і точність побудови моделі, тобто. необхідним є дотримання наступних умов:

a) перевірка випадковості коливань рівнів залишкової послідовності:


Перевірку випадковості рівнів низки проведемо критерієм піків, мало виконуватися:

>t

Фактичне

>Расчетное

Відхилення

Крапки піків

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

10

11

13

14

15

14

13

15

16

10.99

11.51

12.03

12.55

13.07

13.59

14.11

14.63

15.15

15.67

1.01

-1.51

-1.03

0.45

0.93

1.41

-0.11

-1.63

-0.15

0.33

--

1

0

0

0

1

0

1

0

-

55 133 133.3 - 3

a) перевірка відповідності розподілу випадкової компоненти нормальному закону розподілу:


Відповідно до характером зміни середніх приростів і похідних показників вибирається вид кривою зростання для вихідного тимчасового низки.

Необхідні умови:

Якщо такі умови виконуються одночасно, то гіпотеза - про характері розподілу випадкової компоненти приймається, якщо виконується хоча одне з таких нерівностей:


то гіпотеза - про нормальному розподілі відхиляється,трендовая модель визнається неадекватною.

1)

2)

Отже, одна з нерівностей не виконується,трендовая модель неадекватна, отже, подальше дослідження втрачає сенс, але спробуємо.

 Прогнозування економічних показників з урахуваннямтрендових моделей грунтується на поширенні закономірностей, зв'язків і співвідношень, які у досліджуваному періоді, поза ним.Достоверний прогноз можливий тільки щодо таких об'єктів і явищ, які у значною мірою детермінуються минулим і справжнім. При прогнозуванні краще ставити інтервали значень, які з достатньої часткою впевненості очікується поява прогнозованою величини. Встановлення такого інтервалу називаєтьсяинтервальним прогнозом.

Прогноз виходячи зтрендових моделей (кривих зростання) містить два елемента: точковий іинтервальний прогнози.

Дляполинома першого ступеня адекватна лінійна модель

= 10.47 +0,52t

Одержимо точкові прогнози, підставляючи в формулу

= >а0 + >а1t

значення >t = 11,t=12, >t =13, цебто в три кроку вперед.

Середнє значення за низкою було встановлено раніше ,цечисло11

a 1 дляполинома першого ступеня виведено і одно 0,52

11 = 11 + 0,52 * 11 = 16.72

12 = 11+ 0,52 * 12 = 17.24

13 = 11 + 0,52* 13 = 17.76

>Вичислим значення величини До шляхом їх лінійної екстраполяції приведених наявних значень для числа рівнів у низці n = 11, 12, 13.

По таблиці значень величина До для >t = 10 (L = 1) K = 1,77

Для >t = 11 (L= 1) K = 1,88

Для >t = 12 (L= 2) K = 1,73

Для >t = 13 (L= 3) K = 1,68

>Определим середнюквадратическую помилку прогнозованого показника

 10.41/10 –1,77=1,26корень=1.12

Для n 11 K після розрахунку за такою формулою = 0.15

Для n 12 До = 0.19

Для n 13 До = 0.23

>Интервальний прогноз з урахуваннямтрендових моделей здійснюється шляхом розрахунку довірчого інтервалу. У цьому вся інтервалі враховується верхня і нижня кордону


Час >t

Крок L

Точковий прогноз Довірчий інтервалпрoгноза
Нижню межу Верхня кордон

11

12

13

1

2

3

16.72

17.24

17.76

15.83

17.02

17.5

16.88

17.45

18.02


Через те, що попереднятрендовая модель неадекватна з'ясуємо за такою формулою середню відносну помилку апроксимації за такою формулою:

а.) длятрендовой моделі методом простий ковзної середньої:

(1 : 8) * (0 + 0,13+ 0,09+ 0,07 +(-0,02) + (-0,08) + 0,07 +0,08)* 100%= 42.5%

б) длятрендовой моделі по експонентному способу:

( 1 : 10) * (0,08+ (-0,099) +0,8 +0,75 +0,69 +0,64 +0,55 +0,46 +0,48 +

0,46)* 100% = 48.11%

Можна вибрати для прогнозутрендовую модель по експонентному способу, як найточнішу.

Завдання 6

Пункт про ремонт радіотехніки працює у режимі відмови з однією майстром. Інтенсивність потоку заявок , продуктивність майстра . Визначити граничні значення відносної пропускну здатністьQ, абсолютної пропускну здатність Проте й ймовірність відмови телефонній лінії. Визначити також середнє час обслуговування одного виклику, середнє час простою каналу та можливість, що канал вільний чи зайнятий.

Варіант

Інтенсивність потоку заявок

Інтенсивність потоку обслуговування

1 0.25 0.35

 

Рішення.

Оскільки пункт про ремонт радіотехніки єСМО з відмовами, що характеризується параметрами: інтенсивність потоку заявок =0.25 і Інтенсивність потоку обслуговування , то формулі визначимо граничну ймовірність відмови:

чи 41%, тобто. в що встановилася режимі з кожних 100 до середньому 41 одержують відмову.

>Определим граничне значення відносноїQ й абсолютною A пропускну здатністьСМО:

Отже, з розрахунку слід, випадковий характер надходження телефонних викликів і випадкових характер тривалості розмов породжують ситуацію, що абсолютна пропускну здатність А = 0,148разговора/мин більш ніж двічі менше продуктивності телефонній лінії викликів/ хв.

>Определим далі:

> середнє час обслуговування хв.

> середнє час простою каналу хв.

> Можливість те, що канал вільний

чи

> Можливість те, що канал зайнятий

Отже, можливість, що канал зайнятий, менше ймовірності те, що канал вільний, і їх чи слід очікувати, оскільки інтенсивність вхідного потоку менше інтенсивності продуктивності каналу .


Схожі реферати:

Навігація