= f(t) + S(t) + n(t) + e(t) ,

де f(t) - тренд (довгострокова тенденція розвитку);

S(t) - сезонна компонента;

n(t) - коливання щодо тренду із більшою чи меншою регулярністю;

e(t) - випадкова (нерегулярна, несистематическая) компонента;

m ( et ) = 0

cov (et1,et2)=0

("t1 і t2)

Випадкова компонента яка задовольнить цих умов називається “білим шумом”, т.к. її спектр нагадує спектр білого кольору.

Отже завдання аналізу часових рядів зводиться до визначеності наявності тій чи іншій компоненти, розчленовування деякі компоненти синтезу моделі, використання моделі для прогнозування та управління процесу.

3.2. Джерело інформації.

Дані для моделювання було взято з “прайс-листов” провідною комп'ютерної фірми “ВИСТ-АРСЕНАЛ”. Об'єктом моделювання виступає комп'ютер моделі Pentium166, що базується на платформі Triton (430VX Chipset), з процесором ADM в корпусі MiniTower, до комплекту також входить клавіатура, миша Mitsumi, монітор Sumsung-14”3Ne.

Дата	Pentium166	T	Дата	Pentium166	T
14.10.96	6.509	1	19.05.97	5.450	32
21.10.96	6.468	2	26.05.97	5.442	33
28.10.96	6.351	3	02.06.97	5.431	34
04.11.96	6.289	4	09.06.97	5.422	35
11.11.96	6.193	5	16.06.97	5.410	36
18.11.96	6.115	6	23.06.97	5.342	37
25.11.96	6.103	7	30.06.97	5.298	38
02.12.96	5.989	8	07.07.97	4.899	39
09.12.96	5.973	9	14.07.97	4.585	40
16.12.96	5.889	10	21.07.97	4.422	41
23.12.96	5.861	11	28.07.97	4.395	42
30.12.96	5.689	12	04.08.97	4.297	43
06.01.97	5.601	13	11.08.97	4.215	44
13.01.97	5.632	14	18.08.97	3.985	45
20.01.97	5.590	15	25.08.97	3.765	46
27.01.97	5.588	16	01.09.97	3.653	47
03.02.97	5.580	17	08.09.97	3.672	48
10.02.97	5.571	18	15.09.97	3.665	49
17.02.97	5.563	19	22.09.97	3.660	50
24.02.97	5.571	20	29.09.97	3.652	51
03.03.97	5.569	21	06.10.97	3.650	52
10.03.97	5.563	22	13.10.97	3.643	53
17.03.97	5.552	23	20.10.97	3.640	54
24.03.97	5.542	24	27.10.97	3.632	55
31.03.97	5.531	25	03.11.97	3.612	56
07.04.97	5.530	26	10.11.97	3.593	57
14.04.97	5.522	27	17.11.97	3.564	58
21.04.97	5.502	28	24.11.97	3.514	59
28.04.97	5.500	29	01.12.97	3.510	60
05.05.97	5.480	30	08.12.97	3.508	61
12.05.97	5.463	31	15.12.97	3.498	62

3.3 Принцип збирання цих.

Дані було зібрано шляхом перегляду “прайс-листов” із 14.10.97 по 15.12.97 , які фірма зберігала як і базі даних комп'ютера, у глобальній мережі Internet, а також і в “подшитом” вигляді.

Графік вихідних даних.

ГЛАВА 4. Компонентный аналіз.

Оцінка Тренда.

Тренд - це деяка функція часу. Тренд характеризує основну закономірність руху під часу, вільну переважно (але цілком) випадкових впливів.

Зазвичай отримана траєкторія пов'язується виключно згодом. Передбачається, що розглядаючи будь-яке явище як функцію часу, можна сформулювати вплив решти чинників. Механізм їхнього впливу вочевидь до уваги береться. Відповідно до вищезазначеного під трендом розуміється регресія тимчасово. Більше загальне поняття тренду дуже зручне практично, - це детермінована складова динаміки розвитку, обумовлена впливом постійно діючих чинників. Відхилення від тренду є випадкової складової.

Оцінка тренду можлива з урахуванням двох підходів:

• оцінка з урахуванням гладких функцій x = f(x); (параметричні методи)

• з урахуванням різноманітних що ковзають середніх (непараметричні методи)

Я оцінювала тренд методом других разностей.

X - 0.000-1.00*X(t-1); X-0.000-1.00*x(t-1)

Видалення Тренда

Іноді з деяких часових рядів потрібно видалити лінійний мул повільно змінюваний тренд . Такі тренди спостерігаються серед, наприклад, при підсумовуванні одній або кількох компонент, що призводить до помилок двох типів. По-перше при неправильної калибровке нульової точки кожен момент відбору даних виникатиме невеличка помилка. Після підсумовування ця стала величина дасть пряму. Такий лінійний тренд можуть призвести до великим помилок щодо щільності спектра потужності й у пов'язаних із цим обчисленнях . Помилка другого типу виникає через зростання у процесі підсумовування потужності, відповідної низкочастотному галасу. Зазвичай гвалт у цих є. При підсумовуванні в неї з'являються форму випадкового, але повільно мінливого тренду. Наскільки швидко змінюється такий тренд, до певної міри залежить від інтервалу квантування.

Найкращим способом видалення тренду служить застосування високочастотних фільтрів. Полимиальный тренд можна видаляти методом найменших квадратів. Якщо потрібно видалення багаточленів лише низьких порядків, те решіння відповідної системи методом зворотної матриці можна зводити до безпосередньому вирахування коефіцієнтів з допомогою пам'яті ЕОМ.

Коли видалили тренд, то отримали стаціонарний ряд.

На графіці помітні залишки після видалення тренду.

Стаціонарний ряд виглядає як і зовсім регулярні коливання, близько деякого середній рівень.

Стаціонарний випадковий процес то, можливо подано у вигляді суми гармонійних коливань різних частот, званих гармоніками.

Функція, яка описувала розподіл амплітуд цього процесу з різним частотах, називається спектральною щільністю. Графік називається спектром.

Спектр (періодична шкала).

Спектр показує, яких коливання переважають до цього процесу, яка її внутрішню структуру.

Стаціонарна випадкова функція Х(t) то, можливо представлена ввиде канонічного розкладання:

Ґ

X(t) = е (UkCOSWkT + VkSINWkT)

k=0

де Uk,Vk - некоррелированные випадкові величини з математичними очікуваннями, рівними нулю, і однаковими дисперсиями, тобто.

D(Uk) = D(Vk ) = Dk.

Таке розкладання називається спектральним розкладанням стаціонарного випадкового процесу X = Х(t). Спектр стаціонарної випадкової функції описує розподіл дисперсій різноманітні частотах.

Дисперсия стаціонарної випадкової функції дорівнює сумі дисперсій всіх гармонік її спектрального розкладання.

Звідси бачимо, що дисперсія величини Х(t) належним чином розподілено різноманітні частотах: одним частотах відповідає велика дисперсія, іншим - менша дисперсія.

Функціяx(w) = Dk/W називається спектральною щільністю дисперсії чи спектральною щільністю стаціонарної випадкової функци Х(t).

При аналізі часових рядів застосовується спектральний аналіз стаціонарних випадкових функцій.

Метою спектрального аналізу часових рядів є оцінка спектра низки. Спектром тимчасового низки, є розкладання дисперсії низки за частотами визначення істотних гармонійних складових.

Значення спектра оцінюється за такою формулою:

m

f (Wj ) = 1/2p {hoco+2 е hk ck cos Wj k}

k=1

де Wj - частоти, котрим оцінюються спектри:

Wj =p j/ ; j = 1,2,...m;

де ck - автоковариационная функція;

hk - спеціально підібрані ваги значень ковариационной функції,

залежать від частоти m;

hk - ще називають кореляционным вікном;

m - ціла кількість зване точкою усечения чи числом

використовуваних зрушень і що було число частотних

смуг, котрим оцінюється спектр.

Чим більшийm , то більше вписувалося точок що оцінюється спектра, отже, і більше дисперсія оцінки на кожній точці.

Чим меншийm, краще оцінка.

Розмірm залежить від довжини тимчасового низки.

На графіці де зображений спектр можна простежити зростання і убування спектра, на графіці теж можна спостерігати піки тобто. відхилення від тренду.

Але і виходячи з того, помітні що тимчасової ряд немає періодичності, т. е. немає вихідних повторюваних особливостей низки.

З іншого боку, спектральний аналіз ще розглянути шляхом вивчення сезонних коливань. Це давало б дозволило виявити періодичні складові досліджуваного низки з метою підвищення точності прогнозування.

У цьому роботі видалення сезонної компоненти технічно нескладне можливості, оскільки досліджуваний ряд немає сезонності.

Башкирский Державний Університет

Кафедра фінансів України й оподаткування

ПРИЛОЖЕНИЕ

до курсової роботи тему:

Прогнозування ціни на всі

комьютер Pentium 166

на 19 грудня 1997 року.

Виконала: студентка дн.от.

эк.ф-та,3-го курса,гр. 3.4ЭЮ

Хакимова Д.І.

Перевірила: науковий рук-ль,

доцент ,к.э.н.

Саяпова Г.Р.

р. Уфа 1997 р.

Зміст докладання:

1. Видалення тренду в різний спосіб використовувані програмою Statistika версії 4.3

2. Модель Holt (a =0.300,a=0.800)

3. Модель Winters (a =0.300,a=0.800)

4. Модель Брауна (a =0.300,a=0.800)

5. Регрессионная модель

1. Видалення тренду в різний спосіб використовувані програмою Statistika версії 4.3

Я працював у програмі Statistica 4.3 що дозволяє видалити тренд, з нижче запропонованих графіків можна побачити різні способи щодо його видалення. Але це способи не з'явилися більш підходящими, і тому подано аналізу виконану курсової роботі.

У цьому графіці використовувався метод Trend subtract

(x=x-(a+b*t)), де а= 6.606, b = -0.52 .

Тренд у разі неудалился, оскільки тренд не лінійний.

Зробивши висновок, що тренд не лінійний, я виконала спробу видалити тренд в Nonlinear Estimatoin отримала следущее:

Model: PENTIUM = b1+b2/t+b3/t**2
N=62	Dep.var: PENTIUM loss (OBS - PRED)**2 FINAL loss:31.852464424 R=.67433 variance explained: 45.473%
	b1	b2	b3
Estimate	4.34597	11.85681	-10.0804

Графік видалення тренду не лінійним способом:

Вище описаним способом тренд також пішов.

1. Модель Holt (a =0.300,a=0.800)

Прикладом адаптивної моделі настановленим прогнозування сезонних процесів, є модель Хольта. Ця модель передбачає мультиплікативне об'єднання лінійного тренду і сезонні складові в часі ряду.

Модель Хольта при a = 0.300

Exp.smoothing: SO=6.534 TO = 0.49

TIME SERIES Summury of error	Lin.trend; no season; Alpha= 0.300 Gamma=0.1 PENTIUM Error
Mean error	.00731672825436
Mean absolute error	.13134104302219
Sums of squares	1.96424677027454
Mean squares	.03168139952056
Mean percentage error	.26328877539247
Mean abs. pers.	3.01698849598955

Графік по Хольту з a = 0.300

Exp.smoothing: SO=6.534 TO = 0.49

CASE	SMOOTHED SERIES
16.12.97	3.379367
17.12.97	3.343613
18.12.97	3.307860
19.12.97	3.272107

Модель Хольта при a = 0.800

Exp.smoothing: SO=6.534 TO = 0.49

TIME SERIES Summury of error	Lin.trend; no season; Alpha= 0.800 Gamma=0.1 PENTIUM Error
Mean error	.00315177373958
Mean absolute error	.05706002635321
Sums of squares	.48259413419920
Mean squares	.00778377635805
Mean percentage error	.12944834490985
Mean abs. pers.	1.26337346085392

Графік по Хольту з a = 0.800

Exp.smoothing: SO=6.534 TO = 0.49

CASE	SMOOTHED SERIES
16.12.97	3.457111
17.12.97	3.423383
18.12.97	3.398655
19.12.97	3.355927

Модель Winters (a =0.300,a=0.800)

Модель Уйнтерса при a = 0.300

Exp.smoothing:Multipl.season(12) SO=6.433 TO = 0.52

TIME SERIES Summury of error	Lin.trend; no season; Alpha= 0.300 Delta=.100; Gamma=0.1 PENTIUM Error
Mean error	.00850967552279
Mean absolute error	.13196744584935
Sums of squares	2.02519074270767
Mean squares	.03266436817876
Mean percentage error	.27239869561423
Mean abs. pers.	3.02001823889308

Графік по Уинтерсу з a = 0.300

Exp.smoothing:Multipl.season(12) SO=6.433 TO = 0.52

CASE	SMOOTHED SERIES
16.12.97	3.373012
17.12.97	3.337162
18.12.97	3.309019
19.12.97	3.283079

Модель Уйнтерса при a = 0.800

Exp.smoothing:Multipl.season(12) SO=6.433 TO = 0.52

TIME SERIES Summury of error	Lin.trend; no season; Alpha= 0.800 Delta=.100; Gamma=0.1 PENTIUM Error
Mean error	.00387269483310
Mean absolute error	.06040575200437
Sums of squares	.54276104822497
Mean squares	.00875421046649
Mean percentage error	.14058659957529
Mean abs. pers.	1.32624409579650

Графік по Уинтерсу з a = 0.800

Exp.smoothing:Multipl.season(12) SO=6.433 TO = 0.52

CASE	SMOOTHED SERIES
16.12.97	3.453841
17.12.97	3.429777
18.12.97	3.407928
19.12.97	3.380729

1. Модель Брауна (a =0.300,a=0.800)

Модель Брауна може відображати розвиток у вигляді лінійної тенденції, нои як випадкового процесу, котра має тенденції, і навіть ввиде изиеняющейся параболічної тенденції.

Модель Брауна при a = 0.300

Exp.smoothing: SO=4.982

TIME SERIES Summury of error	Lin.trend; no season; Alpha= 0.300 PENTIUM Error
Mean error	-.0780414476807
Mean absolute error	.1978141110028
Sums of squares	6.8610393089365
Mean squares	.1106619243377
Mean percentage error	-2.2104491142263
Mean abs. pers.	4.0726990990745

Графік по Брауну з a = 0.300

Exp.smoothing: SO=4.982

CASE	SMOOTHED SERIES
16.12.97	3.530736
17.12.97	3.530736
18.12.97	3.530736
19.12.97	3.530736

Модель Брауна при a = 0.800

Exp.smoothing: SO=4.982

TIME SERIES Summury of error	Lin.trend; no season; Alpha= 0.300 PENTIUM Error
Mean error	-.0298811251614
Mean absolute error	.08804695430620
Sums of squares	3.1058602054085
Mean squares	.05009465809765
Mean percentage error	-.90807550618029
Mean abs. pers.	1.70449937474829

Графік по Брауну з a = 0.800

Exp.smoothing: SO=4.982

CASE	SMOOTHED SERIES
16.12.97	3.500203
17.12.97	3.500203
18.12.97	3.500203
19.12.97	3.500203

Прогнозування по вищевказаним моделям виходить зовсім стабільним.

Регрессионная модель

У фундаменті економічної діяльності часто-густо потрібно лише одержувати прогнозні оцінки досліджуваного показника, а й кількісно охарактеризувати ступінь впливу нього інших чинників.

Розглядаючи залежність ціни на всі комп'ютер Pentium166 і інфляції я отримую:

REGRESSION SUMMARY for Dependent Variable: PENTIUM

R=.68998993 RI=.47608611 Abjusted RI=.45593557 F(1,26)=23.626 p<.00005 std. Err of estimate

N = 28

BETA

St.Err. of BETA

B

St.Err. of B

t(26)

p-level

Intercpt

6.701069

.537806

12.46001

.000000

Inf

-6.89990

1.41953

-.345470

.071074

-4.86071

.000049