>МЕТОДИПЕРЕТВОРЕННЯБІОСИГНАЛІВ ТААНАЛІЗ
>МЕДИКО-БІОЛОГІЧНОЇІНФОРМАЦІЇ
Сигнал – процесзміни учасіфізичного станупевногооб'єкта,який можназареєструвати,відобразити тапередати.
>Детермінованісигнали –сигнали,значення які убудь-який момент годиниповністювідомі,тобтопередбачувані ізімовірністю, щодорівнюєодиниці.
>Випадковісигнали –сигнали,значення які убудь-який момент годининеможливопередбачити ізімовірністю, щодорівнюєодиниці.
>Періодичнимназиваєтьсябудь-який сигнал, дляякоговиконуєтьсяумова
,
деперіод Тєкінцевимвідрізком, аk –будь-якеціле число.
>Сигнали, щоіснують вусімоменти години,називаютьаналоговими.
>Послідовність чисел, щоподає сигнал прицифровійобробці,називаєтьсядискретним сигналом.Числа, щоскладаютьпослідовність,єзначеннями сигналу вокремі (>дискретні)моменти години іназиваютьсявідліками.Переважновідлікиберуть черезрівніпроміжки години Тбуд, щомаютьназвуперіоддискретизації (чикрокдискретизації). Розмір,зворотнаперіодудискретизації,називаєтьсячастотоюдискретизації
,
>відповіднаїйкругова частота
.
>Процесперетвореннявідліків сигналу в числаназиваєтьсяквантуванням зарівнем.
Сигнал,дискретний учасі таквантований зарівнем,називаютьцифровим сигналом.
>Динамічнимподаннямназиваєтьсяспосібподаннясигналів, приякомуреальний сигналприблизноподаєтьсясумоюдеякихелементарнихсигналів, щовиникають упослідовнімоменти години.Якщоспрямувати нанівецьтривалість окремихелементарнихсигналів, тограницясумидастьточнеподаннявихідного сигналу.
Двасигнали u й vназиваютьортогональними,якщо їхніскалярнийдобуток, аотже, йвзаємнаенергіядорівнюють нулю:
.
>Якщо впросторісигналів задананескінченна системаортогональнихфункцій {a1, a2, …, an} ізодиничними нормами
>цеозначає, що впросторісигналів завданьортонормований базис.
>Розкладання сигналу:
,
де з>k – «>проекції» сигналу накоординатнівісі,напрямок якізадаєтьсяфункціями h>k(>t),називаєтьсяузагальненим поручФур'є сигналуs(t) вобраномубазисі.
>Сукупністькоефіцієнтів рядуФур'є {з>k} – спектр сигналуs(t).
>Тригонометричний рядФур'є:
,
деt0 –довільна величина;
–періодбазиснихфункцій;
–кругова частота, щовідповідаєперіодуповторення сигналу Т;частоти,кратні w0, щовходять у формулу,називаютьсягармоніками;
;
;
.
>Дійсна форматригонометричного рядуФур'є:
,
де
;
;
.
>Експоненційний рядФур'є:
; ,
де
.
>Сукупністьамплітудгармонік рядуФур'єназиваютьамплітудним спектром.
>Сукупність фазгармонік рядуФур'єназиваютьфазовим спектром.
>Коефіцієнти рядузалежать лише відформи одиночногоімпульсуs(t) йхарактеризуютьсяінтегралом:
,
>якийназиваєтьсяспектральнащільність одиночногоімпульсуs(t).
>Періодичнеколиваннямаєдискретний чилінійчатий спектр.
>Відношенняперіодупослідовностіпрямокутнихімпульсів дотривалостіімпульсівназиваютьщілинністю.
>Амплітудний спектрпослідовностіпрямокутнихімпульсівмаєвиглядфункції ,графікякої носитипелюстковий характер.
>Важливоювластивістю спектрапослідовностіпрямокутнихімпульсівє ті, що уньомувідсутні (>маютьнульовіамплітуди)гармоніки із номерами,кратнимищілинності.
>Відстань зачастотоюміжсусіднімигармоніками спектраперіодичного сигналудорівнюєчастотіімпульсів2p/Т.
>Ширинапелюсток спектрапослідовностіпрямокутнихімпульсів,виміряна водиницяхчастоти,дорівнює2p/t,тобтозворотнопропорційнатривалостіімпульсів.
>Часове ічастотнеподаннянеперіодичного сигналу, що завдань наінтервалі (->,),складає паруперетвореньФур'є:
–зворотнеперетворенняФур'є,
–прямеперетворенняФур'є.
>Неперіодичнісигналимаютьбезперервний (>суцільний) спектр.
>Властивість спектра:чимкоротше сигнал, тімширше його спектр.
>Добутокефективнихзначеньтривалості сигналу іширини його спектраназивається базою сигналу.
>ДуальністьперетворенняФур'є:якщопарнійфункції годиниf(t)відповідаєспектральнафункціяg(w) (вон якщотакожпарною), тофункції годиниg(t)відповідатимеспектральнафункція2pf(w).
>Прямокутномуімпульсувідповідаєспектральнафункція, щомаєвиглядsin(w)/w. Отже,спектральнафункція сигналуsin(t)/t якщопрямокутною.
>ПеретворенняФур'єєлінійнимінтегральнимперетворенням,тобто спектрсумидорівнюєсуміспектрів чи,математичною мовою,лінійнакомбінаціясигналівмає спектр увиглядітакоїсамої (ізтими жкоефіцієнтами)лінійноїкомбінації їхньогоспектральнихфункцій.
Призатримці сигналу вчасіамплітудний спектр цого сигналу незмінюється,фазовий спектрздобуваєдодатковийдоданок, щолінійнозалежить відчастоти.
>Змінатривалості сигналу приводити дозміниширини спектразворотним чином впоєднаннізізбільшенням (прирозтяганні,a<1) чизменшенням (пристиску,a>1)рівняспектральнихскладових.
Спектрпохідноїотримують шляхоммноження спектравихідного сигналу наjw. Отже, придиференціюваннінизькічастотипослаблюються, ависокіпідсилюються.Фазовий спектрзсувається на 90° дляпозитивних частот й на – 90° длянегативних.Множникjwназивають операторомдиференціювання сигналу вчастотнійзоні.
Приінтегруваннівихідного сигналу його спектр множитися на1/(jw).Високічастотипослаблюються, анизькіпідсилюються.Фазовий спектр сигналузсувається на 90° дляпозитивних частот й на 90° длянегативних.Множник1/(jw)називають операторомінтегрування вчастотнійзоні.
Спектрзгорткисигналівдорівнюєдобуткуспектрів.
Спектрдобуткудорівнюєзгортціспектрів.Єдиноюдодатковоюособливістюємножник1/(2p) передінтеграломзгортки.
Примноженні сигналу нагармонічнуфункцію спектр «>роздвоюється» –розпадається надвіскладовівдвічіменшогорівня,зсунутих на w0праворуч (>w-w0) таліворуч (>w+w0) завіссю частот. Прикожномудоданкуємножник, щовраховуєпочаткову фазугармонічногоколивання.
Спектрдельта-функціїє константа,тобтоєрівномірним унескінченнійсмузі частот.
>Спектромконстантиєдельта-функціячастоти.
Крокквантування:
,
де U>max –максимальнезначення аналогового сигналу навходіАЦП, що невикликаєпереповненняарифметичного прилаштую,
>m –кількістьдвійковихрозрядів.
ТеоремуКотельникова:будь-який сигналs(t), спектрякого неміститьскладових з частотамивище wУ=>2pfУ,може бути безвтратінформаціїподанийсвоїмидискретнимивідліками {>s(k)},узятими ізінтервалом Т, щозадовольняєнаступнійнерівності:
( чи ).
ЧастотаНайквіста –
.
Спектр дискретного сигналуєнескінченним поручзсунутих на величинучастотидискретизації wбудкопій спектравихідногобезперервного сигналуs(t),тобто спектр дискретного сигналуперіодичний ізперіодом, щодорівнюєчастотідискретизації.
сигналаналоговийперетворенняфур'є
>ДискретнеперетворенняФур'є (>ДПФ):
,
деx(k) –відліки дискретного сигналу;
N –кількістьвідліків дискретного сигналу;
n – номеркоефіцієнтаДПФ.
>Перехід від дискретного спектра дочасовихвідліків сигналуздійснюється задопомогоюзворотного дискретногоперетворенняФур'є (>ЗДПФ):
.
>ДПФєлінійнимперетворенням,тобтоякщопослідовностям {>x(k)} й {>y(k)} ізперіодом Nвідповідаютьнаборигармонік й , топослідовності {>ax(k)+by(k)}відповідатиме спектр .
>КількістьрізнихкоефіцієнтівДПФ , , , …,дорівнюєкількостівідліків N заперіод; при n = Nкоефіцієнт .
>НульовийкоефіцієнтДПФ (>постійнаскладова)дорівнюєсумі всіхвідліків сигналу.
>ВластивістьсиметричностіДПФ:коефіцієнтиДПФ,номери якірозташовуютьсясиметричновідносно ,утворюютьспряжені парі.
>Якщокількістьвідліків дискретного сигналу N неє вибачимо числом йїї можнарозкласти намножники, процесобчисленькоефіцієнтівДПФ можнаприскорити,розділившинабірвідліків начастини,обчисливши їхньогоДПФ таоб'єднавширезультати.ТакіспособиобчисленняДПФназиваютьсяшвидкимперетвореннямФур'є (>ШПФ).
>Залежно від способурозподілупослідовностівідліків начастини приреалізаціїШПФможливокількаваріантіворганізаціїобчислень:проріджування за годиною;проріджування зачастотою.Можливірізніваріантитакожзалежно від того стількифрагментіврозбиваютьпослідовності накожномукроці (основаШПФ).
>Вибіркінцевогоінтервалутривалістю n секунд (Т –інтервалдискретизації, n –кількістьвідліків) длязаданого сигналувизначаєтакуособливість спектральногорозкладання:крімосновнихспектральнихскладовихз'являються «>фальшиві» – «>розмивання» спектра. Причина «>розмивання» спектра –наявністьрозривів намежахінтервалуспостережуваного сигналу й йогоперіодичногопродовження.
>Вікна –цеваговіфункції, щовикористовують длязменшеннярозмиванняспектральнихкомпонентів,обумовленогоскінченністюінтервалуспостереження.
>Аналоговіфільтриобробляютьсигналиx(t), котрієбезперервноювеличиною.
>Цифровіфільтриперетворюютьвідліковізначення сигналуx(n) удискретнімоменти години n, де Т –інтервалдискретизації.
>Реакціясистеми наподану навхіддельта-функціюназиваєтьсяімпульсноюхарактеристикоюсистеми іпозначаєтьсяh(t).
>Вихідний сигналлінійноїсистеми ізпостійними параметрамидорівнюєзгортцівхідного сигналу іімпульсної характеристикисистеми:
.
>Перехідноюхарактеристикоюназиваютьреакціюсистеми наподану навхідфункціюодиничногострибка.Позначаєтьсяперехідна характеристика якg(t).
Участотнійзоніпроходження сигналу черезлінійну системумаєвигляд:
,
де –перетворенняФур'єімпульсної характеристикисистеми
()
>Цяфункціяназиваєтьсякомплекснимкоефіцієнтомпередачісистеми, аїї модуль й фаза –амплітудно-частотною (>АЧХ) йфазочастотною (>ФЧХ) характеристикамисистеми.
>Фільтринижніх частот (>ФНЧ)пропускаютьчастоти,меншідеякоїчастотизрізу w0.
>Фільтриверхніх частот (>ФВЧ)пропускаютьчастоти,більшідеякоїчастотизрізу w0.
>Смуговіфільтри (>СФ)пропускаютьчастоти вдеякомудіапазоні w1…w2 (смердотіможутьтакожхарактеризуватисясередньоючастотою w0=(w1+w2)/2 йшириноюсмугипропусканняDw=w2-w1).
>Режекторніфільтри (>фільтр-пробка)пропускають навихід усічастоти,крім частот іздеякогодіапазону w1…w2 (смердотіможутьтакожхарактеризуватисясередньоючастотою
w0=(w1+w2)/2
йшириноюсмугизатримування
>Dw=w2-w1).
>Дискретнийфільтр –цедовільна системаобробки дискретного сигналу, щомаєвластивостілінійності тастаціонарності.
Узагальномувиглядіцифровийфільтрпідсумовує (ізваговимикоефіцієнтами)деякукількістьвхіднихвідліків йдеякукількістьвихіднихвідліків. Дана формуланазивається алгоритмомцифровоїфільтрації:
,
де aj й bі – дійснакоефіцієнти.
>Якщопо-іншомузгрупуватидоданки, одержимо формузапису, щоназиваєтьсярізницевимрівнянням:
.
>Сутністьz-перетворенняполягає до того, щопослідовності чисел {>x(k)} переносити увідповідністьфункціякомплексноїзмінноїz, котравизначається так:
.
>Зв'язокz-перетворенняX(z) ізперетвореннямФур'є :
,
.
>Z-перетворенняєлінійноюкомбінацієювідліків, тому воно тапідлягає принципусуперпозиції:якщо
і
,
то
.
>Якщоz-перетворенняпослідовності {>x(k)}дорівнюєX(z), тоz-перетворенняпослідовності,затриманої наk0тактів
(>y(k)=x(k-k0)),
викличевигляд
,
>тобто призатримціпослідовності наk0тактівнеобхіднопомножитиїїz-перетворення на (операторзатримкидискретноїпослідовності наk0тактів).
>Згортцідискретнихпослідовностейвідповідаєдобуток їхніz-перетворень.
>Вихіднареакція наодиничнийімпульс x0(>k)називаєтьсяімпульсноюхарактеристикоюдискретноїсистеми іпозначаєтьсяh(k).
>Вихідний сигналєлінійноюкомбінацієюімпульсних характеристик, щовипливає ізлінійності тастаціонарностірозглянутоїсистеми.Цейвиразназиваєтьсядискретноюзгорткою:
.
Длясистеми, щофізичнореалізується, формуладискретноїзгорткимаєвигляд:
.
>ФункціяH(z), щодорівнюєвідношеннюzперетвореньвихідного тавхідногосигналів йєzперетвореннямімпульсної характеристикисистеми,називаєтьсяфункцієюпередачі чисистемноюфункцієюдискретноїсистеми:
.
>Щободержатикомплекснийкоефіцієнтпередачі (>частотну характеристику)дискретноїсистеми,скористаємосяформулою, щоописуєзв'язокzперетворення іперетворенняФур'є:
.
>Частотна характеристикадискретноїсистемиєперіодичноюфункцієючастоти ізперіодом, щодорівнюєчастотідискретизації.
>ФункціяK(jw)єперетвореннямФур'єімпульсної характеристикиЦФ.
Модулькомплексноїчастотної характеристикиA(w)=|K(jw)|називаєтьсяамплітудно-частотноюхарактеристикоюфільтра (>АЧХ).
Аргументкомплексноїчастотної характеристикиj(w)=arg[K(jw)]називаєтьсяфазо-частотноюхарактеристикоюфільтра (>ФЧХ).
>Цифровіфільтри, котрі приобчисленнях невикористовуютьпопереднівідлікивихідного сигналу,називаютьсянерекурсивними (>трансверсальніфільтри) (>НЦФ):
.
>Кількістьпопередніхвідліківm, щовикористовуються урозрахунках,називається порядкомфільтра.
>Цифровіфільтри, котрі приобчисленняхвикористовуютьпопереднівідлікивихідного сигналу,називаютьсярекурсивними (>РЦФ):
.
>Кількістьпопередніхвхідних тавихіднихвідліків, щовикористовуються дляобчислень,може незбігатися. У такомувипадку порядкомфільтравважаєтьсямаксимальне з чиселm й n.
>Рекурсія –математичнийприйом, щостановитьциклічнезвертання доданих, котріотримані напопередніхетапах.
Характеристикивипадковихсигналівєстатистичними.
>Імовірністьподіїоцінюютьчастотоюсприятливихрезультатів.
>Якщо проведено Nнезалежних іспитів,причому в n з нихспостерігаласяподія Боемпірична (>вибіркова)оцінкаймовірностіР(А):
.
>Функціярозподілувипадковоївеличинидорівнюєймовірності того, щовипадкове число із Хприймезначення,рівне чи меншепевного x:
;
;
; ,
де Х –випадкова величина,тобтосукупністьдійсних чисел x, щоприймаютьвипадковізначення.
>Щільністьімовірностівипадковоївеличини –імовірністьвлученнявипадковоївеличини Х упівінтервал (x, x +dx],тобтопохідна відфункціїрозподілу:
;
;
; .
>Математичнеочікування (момент Першого порядку)єтеоретичноюоцінкоюсередньогозначеннявипадковоївеличини:
.
>Дисперсія (>центральний момент):
.
>Середньоквадратичневідхилення,необхідне длякількісногоописумірирозкидурезультатів окремихвипадкових іспитівщодоматематичногоочікування:
.
>Випадковий процесX(t) –функція, щохарактеризується тім, що в останній момент годиниtприйняті неюзначенняєвипадковими величинами.
>Фіксуючи напевномупроміжку годинимиттєвізначеннявипадкового сигналу,одержуємореалізаціювипадковогопроцесу.
>Випадковий процесєнескінченноюсукупністюреалізацій, щоутворюютьстатистичний ансамбль.
>Випадковіпроцеси,статистичні характеристики якіоднакові у всіхчасовихперетинах,називаютьстаціонарнимивипадковимипроцесами.
>Стаціонарнийвипадковий процесназиваєтьсяергодичним,якщо привизначеннібудь-яких йогостатистичних характеристикусереднення за ансамблемреалізаційеквівалентноусередненню за годиноюоднієї,теоретичнодовгої,реалізації.
>Кореляційнийаналізполягає укількісномувиміріступеняподібностірізнихсигналів.
>Автокореляцінафункція (>АКФ)дозволяєсудити проступінь зв'язку (>кореляції) сигналуs(t) із йогозсунутою за годиноюкопією:
,
деt – величина годинниковогозсуву сигналу.
>Взаємнакореляційнафункція (ВКФ)дозволяєоцінитиступіньподібності двохсигналівs1(>t) йs2(>t):
.
ВКФзв'язанаперетвореннямФур'є звзаємним спектромсигналів.Взаємний спектр длясигналів –цеs1(>t) йs2(>t)єдобутком їхньогоспектральнихфункцій, одна із якіпіддана комплексномуспряженню: .Якщоспектрисигналів неперекриваються, то їхньоговзаємний спектрдорівнює нулю на всіх частотах,отже,дорівнює нулю й їхнього ВКФ прибудь-якихчасовихзсувахt. Отже,сигнализі спектрами, що неперекриваються,єнекорельованими.
>АКФ сигналузв'язанаперетвореннямФур'є з квадратом модуляспектральноїфункції, чи ізенергетичним спектром сигналу.
>Коваріаційнафункція –цестатистичноусередненийдобутокзначеньвипадковоїфункціїX(t) умоменти годиниt1 йt2:
.
>КореляційнафункціяєстатистичноусередненимдобуткомзначеньцентрованоївипадковоїфункціїX(t)-mx(>t) умоменти годиниt1 йt2:
.
>Міроюлінійногостатистичного зв'язкуміжвипадковими величинамиєкоефіцієнткореляції:
,
,граничнізначення ±1досягаються,якщореалізаціївипадкових величинжорсткозв'язанілінійнимспіввідношенням x2=>ax1+b, де a й b –деякіконстанти. Знаккоефіцієнтакореляціїзбігаєтьсязі знакоммножника a.Рівністькоефіцієнтакореляції нулюсвідчить провідсутністьлінійногостатистичного зв'язкуміжвипадковими величинами (>тобто смердотінекорельовані).
Длястаціонарноговипадковогопроцесукореляційнафункціязалежить не від самихмоментів години, а лише відінтервалуміж нимиt=t2->t1:
.
>Абсолютнізначеннякореляційноїфункції прибудь-якихt неперевищуютьїїзначення приt=0 (>цезначеннядорівнюєдисперсіївипадковогопроцесу):
.
>Використовуютькоефіцієнткореляції (йоготакожназиваютьнормованоюкореляційноюфункцією):
;
>rx(0) =1, |>rx(>t)|1 йrx(->t)=rx(>t).
>Функції Rx(>t) йrx(>t)характеризуютьзв'язок (>кореляцію)міжзначеннямиX(t),розділенимипроміжкомt.Чимповільнішеубуваютьціфункції із зростанням абсолютногозначенняt, тім понадпроміжок,протягомякогоспостерігаєтьсястатистичнийзв'язокміжмиттєвимизначеннямивипадковогопроцесу, й тімповільніше,плавнішезмінюються вчасі йогореалізації.Усередненаспектральнащільністьвипадковогопроцесує спектром йогодетермінованоїскладової (>математичногоочікування). Дляцентрованихвипадковихпроцесів:
та .
>Усередненезначенняспектральноїщільності ненесеніякоїінформації профлуктуаційну,тобтовипадкову,складовувипадковогопроцесу.
>Обчислення спектравипадковогопроцесувиконується наоснові йогокореляційноїфункції задопомогоютеоремиВінера-Хінчина –кореляційнафункціявипадковогопроцесу й йогоспектральнащільністьпотужностізв'язаніперетвореннямФур'є:
,
де
–спектральнащільністьсередньоїпотужностіреалізації («>спектральнащільністьпотужності» чи «спектрпотужності»);
–спектральнащільністьреалізації наінтервалі години Т,обчислена задопомогою прямогоперетворенняФур'є.
>Дискретний аналогтеоремиВінера-Хінчина – спектр дискретноговипадковогопроцесуєперетвореннямФур'є від йогокореляційноїфункції: