Реферати українською » Коммуникации и связь » Методи і аналіз нелінійного режиму роботи системи ПАП. Метод фазової площини


Реферат Методи і аналіз нелінійного режиму роботи системи ПАП. Метод фазової площини

БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНФОРМАТИКИ ІРАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра ВПС

>РЕФЕРАТ

На тему:

"Методи і аналіз нелінійного режиму роботи системи ПАП. Метод фазової площині"

МІНСЬК, 2008


До нелінійним відносять системи, описувані думок нелінійних диференціальними рівняннями.

Система є нелінійної внаслідок наявності у її складі ланок, описуваних думок нелінійних диференціальними рівняннями, або мають нелінійну статичну характеристику (наприклад, дискримінаційну).

>Нелинейний режим роботи має місце у системі коли помилки спостереження межі лінійного ділянки (перехідною режим, зрив спостереження, великий рівень перешкод тощо.).

Методи аналізу нелінійних систем:

Методкусочно-линейной апроксимації.Нелинейная характеристика розбивається на цілий ряд лінійних ділянок, не більше кожного у тому числі система описується лінійним диференційним рівнянням. Далі кожному з їх система досліджується лінійними методами; перебувають рішення, описують роботу системи, які потім "зшиваються". Метод зручний при невеличкому числі ділянок розбивки. Недолік методу в громіздкість обчислень попри збільшення кількості ділянок.

Метод гармонійноїлинеаризации.Нелинейний елемент (>НЭ) замінюється його лінійним еквівалентом. Критерій еквівалентності полягає у рівність першої гармоніки напруги не вдомаНЭ та її лінійного еквівалента за амплітудою і фазі під час подачі на входиНЭ та її еквівалента гармонійного сигналу. Метод ефективний, коли всі вищі гармоніки придушуються наступними ланцюгами.

Метод фазової площині. Застосовується на дослідження нелінійних систем, описуваних диференціальними рівняннями першого і другого порядків. Полягає у будівництві і дослідженні фазового портрета системи в координатах досліджуваної розміру й її похідною.

Використовується для аналізу перехідних режимів роботи, оцінки стійкості системи, можливість виникнення періодичних коливань.

Моделювання на аналогових та на цифрових обчислювальних машинах. Немає обмежень кількості й посвідкунелинейностей, порядок диференціального рівняння, дозволяє досліджувати поведінка системи при детермінованих і випадкових впливах.

Відсутність можливостей знайти аналітичні залежності для досліджуваних явищ є недоліком методу.

Метод статистичноїлинеаризации. Полягає в замініНЭ його статистичним лінійним еквівалентом. Використовується на дослідження нелінійних систем, описуваних диференціальними рівняннями довільного порядку. Метод є наближеним. Наявне неоднозначність у вирішенні під час використання різних критеріїв еквівалентності заміни.

Метод, заснований на використанні марковської теорії випадкових процесів дозволяє досліджувати системи, описувані диференціальними рівняннями першого і другого порядків, працюють у умовах дії випадкових обурень, й одержати аналітичні висловлювання тих систем, що його головною перевагою.

Насправді використовують комбінацію різних методів.

Аналіз нелінійного режиму роботи системи ПАП

Для визначення деяких характеристик системи, зробимо якісний аналіз системи ПАП (мал.1)

Мал.1. Структурна схема нелінійної системи.

Вихідні дані:

крутістьрегулировочной характеристики генератора;

дискримінаційна характеристика;

  нестабільність частоти генератора;

 флюктуационная складова;

  відхилення від частоти від номінального значення. .

стала часу фільтра.

>СоставимДУ яке описує поведінка системи:

 (1)

; (2)

>Подставив (8.2) в (8.1), одержимо

;

.  (3)

У що встановилася режимі ; , отже,

. (4);

Рішення рівняння (4) то, можливо знайдено графічним способом (мал.2).

>Рис. 2.

 - пряма через точку , з нахилом .

>Абсцисси крапок і є рішення цьогоДУ.

Досліджуємо на стійкість у малих" систему в точках .

Для цього вінлинеаризируем дискримінаційну характеристику на околиці точок рівноваги системи та уявімо її залежністю

; (5)

де - крутість дискримінаційної характеристики;

.

>Подставим (5) в (3) і введемо нову зміну ; внаслідок одержимо диференціальний рівняння наступного виду:

. (6)

>Уравнение (6) описує поведінка системи на околиці точок рівноваги системи.Определим залгебраического критерію умови стійкості системи:

; .

У точці, відповідної рішенню , отже,

Отже відповідає стійкого стану рівноваги.

У точці, відповідної ,, але , тому відповідає стійкого стану рівноваги.

У точці, відповідної , і , тут умова стійкості не виконується.

Якщо поставити низку значень початковій частотноюрасстройки, можна отримати роботу деякі рішення, визначальних помилку , і можуть побудувати залежність встановленого значення помилки від величини початковійрасстройки за частотою (рис.3).

Для розімкнутої системи ця залежністьлинейна.

>Рис.3. Залежність частотною помилки від початкового частотноюрасстройки.

Для замкнутої системи зі збільшенням зростає й , й у точці Б система стрибком перетворюється на точку У: відбувається зрив спостереження. При подальшому збільшенні система поводитиметься як іразомкнутая. За зменшення система ввійде у режимсинхронизма у точці Р, помилка стрибком зменшиться, цьому буде менше, аніж за зриві спостереження.

Діапазон початковихрасстроек частот вхідного сигналу і генератора, у якого зберігається режим спостереження називають смугою утримання. Діапазон початковихрасстроек, у якого система виведена зсинхронизма здатна ввійти у режимсинхронизма називають смугою захоплення .

Ділянка У– Р відповідає рішенню типу 3 (стійкого стану).

Ділянка Б – Р відповідає рішенню типу 2 (хитливому стану).

Ділянка Б – Б відповідає рішенню типу1(устойчивому стану).

Аналогічну залежність можна було одержати системіФАПЧ (рис.4),

Де -расстройка між частотою вхідного сигналу і частотою власних коливань опорного генератора;

 - помилка спостереження за частотою.

Не всім систем . Це визначається типом фільтра ідискриминатора. Для цифрових стежать систем і називається смугою синхронізації.

>Рис.4. Залежність частотною помилки від початкового частотноюрасстройки.

Метод фазової площині

Припустимо, поведінка яка стежить системи описується нелінійним диференційним рівнянням другого порядку

. (7)

Означимо

x =х1;

;

. (8)

Стан системи, описуваної рівняннями (8), визначається кожен час величинами і тобто. величиною координати і швидкістю його зміни. Цей стан системи можна відобразити точкою на площині з координатами , званої фазової площиною. При зміні стану системи яка зображує точка переміщається на фазової площині по кривим, котрі називаютьфазовими траєкторіями. Сукупність фазових траєкторій щодо різноманітних початкових умов називають фазовим портретом.

Щоб самому отримати рівняння фазових траєкторій, виключимо з (2) час, поділивши при цьому другий з них як на перше:

. (9)

Її рішення . Кожній комбінації початкових умов відповідає своє рішення рівняння (3) і свояфазовая траєкторія.

Як приклад розглянемо затухаючий коливальний процес, показаний на див. мал.5.

 

>Рис.5.Затухающий коливальний процес.

Цифри відзначимо характерні точки кривою і можна порівняти його з фазової траєкторією. У точці 1х(0) 0,х(0) =0, томуфазовая траєкторія починається на позитивноїполуоси абсцис (>Рис.6). У точці 2х=0,х0, тому цю крапку розташована на негативноюполуоси абсцис. У точці 3х0,х(0) =0, і фазової площині розташована на негативною частини горизонтальній осі тощо. Через війну для загасаючого коливального процесуфазовая траєкторія має виглядсходящейся спіралі.

 

>Рис.6.Фазовая траєкторія загасаючого коливального процесу.

Для загасаючого монотонного процесу (>рис.7а)фазовая траєкторія приведено нарис.7б.

>Eсли у системі виникають періодичні коливання, на фазової площині вони відбиваються як замкненій кривій, званої граничним циклом. Граничний цикл є усталеним, якщо деяких відхиленнях від цьогофазовая траєкторія знову прагне граничного циклу. При розбіжності фазових траєкторій граничний цикл називається хистким.

Побудова фазових траєкторій дозволяє будувати висновки про властивості нелінійних систем по перехідному процесу.

>Рис.7.Апериодический процес та їїфазовая траєкторія.

Побудова фазового портрета системи зазвичай починають із визначення його характеру поблизу точок рівноваги системи, у яких похідні . Координати точок рівноваги визначаються, як випливає з (8),равенствами , . Крапки рівноваги при побудові фазового портрета системи називають особливими.

Поведінка фазових траєкторій поблизу особливих точок залежить від характеру коренів відповідного характеристичного рівняння

,

де

, ;

 - відхилення стану рівноваги.

Якщо й , то процес є загасаючим гармонійним коливанням

, (10)

що й - амплітуда і початкова фаза коливання; - його частота, рівна

.

>Продифференцировав вираз (10) для за часом, одержимо

. (11)

>Фазовая траєкторія, яка за приведенимвиражениям для процесів і , має виглядскручивающейся спіралі (див. див. мал.8), що отримала назву – стійкий фокус.

При та інформаційний процес є гармонійним коливанням з наростаючою амплітудою. Особлива точка відповідає у своїй хитливому стану рівноваги і називається хистким фокусом (див. див. мал.9).

За виконання умови коріння справжні і всі мають однакову знак. Якщо вони самі негативні, то особлива точка є усталеним вузлом (див.рис.10). Позитивним коріння відповідає особлива точка типу нестійкого вузла (див.рис.11). При коріння справжні і мають різні знаки. Особлива точка називається сідлом (див.рис.12).

>Рис.8. Стійкий фокус.

>Рис.9.Неустойчивий фокус.

>Рис.10. Стійкий вузол.

>Рис.11.Неустойчивий фокус

.

>Рис.12. Особлива точка типу сідла.

Для побудови фазового портрета необхідно визначитиизоклини.Изоклиной називають геометричне місце точок у якомукасательние до фазовим траєкторіям мають постійний нахил.

>Уравнениеизоклини:

.

Для горизонтальних дотичних рівнянняизоклини:

;

для вертикальних:

.

Вісь абсцис єизоклиной вертикальних дотичних. Для особливих точок типу вузла і сідла існуютьизоклини, збігаються зфазовими траєкторіями: (). Вони називаютьсясепаратрисcами.

Розглянемо приклад.

>Определим умови входження до синхронізм системи, представленої структурної схемою (>рис.13), якщо який задає вплив змінюється по лінійному закону (>t) =at й у момент включення системи приt = 0 початкова помилка має кінцеве значеннях(0) = x.


>Рис.14.Дискриминационная характеристика (чи фазовий портрет (б)

Означимо помилку спостереження.

>х(t) = x = (>t) –y(t).

Тоді похідна цієї функції:

 = – = a – .

Позаяк у ролі фільтра системи використовуєтьсяинтегрирующее ланка, то

>y(t) =kF(x) />p.

Через війну рівняння помилки набуде вигляду

 = а –kF(x).

Означимо

 = x


користуючись рівнянням

x= а –kF(x),

побудуємо фазовий портрет системи в координатах (x, x) щодо різноманітних значень швидкості зміни задає впливу а.

При різних значеннях а кривах=f(x) переміщається паралель - а й самим собі. Нарис.14 зображено сімейство кривих для позитивної швидкості а. Означимо максимальне значення функціїF(x) = F. Напрямок руху яка зображує точки позначимо відповідно до правилами: у верхній напівплощини зліва-направо; у нижній – справа-наліво. Проаналізуємо фазовий портрет.

Приа=0 помилка спостереження x 0 при початкових значеннях |х(0) | , що з напрями рухів на фазової траєкторії. Якщо 0 аk F, то x прагне стійкою точці 1, якщо початкова неузгодженістьх(0) менше величини, відповідної точці 2. Колих(0) , захоплення немає, оскільки x необмежено зростає. Якщо швидкість /а/k F, то захоплення нічого очікувати ані за яких початкових умовах, оскільки немає стійких точок на фазової траєкторії. Отже, умови захоплення сигналу, мінливого із постійною швидкістю а, перебувають у виконанні нерівностіkFа. У цьому область захопленнях(0) . Величина перебуває з рівняння а –kF() =0. Перший коріння цієї рівняння відповідає точці 1 стійкого рівноваги, а другий корінь, відповідний точці 2, є шуканої величиною .


ЛІТЕРАТУРА

1. Коновалов.Г.Ф.Радиоавтоматика: Підручник для вузів. – М.:Висш. шк., 2000.

2.Радиоавтоматика:Учеб. посібник для вузів. / Під ред. В.А.Бесекерского. - М.:Висш. шк., 2005.

3. .Первачев С.В.Радиоавтоматика: Підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 2002.

4. Цифрові системи фазової синхронізації / Під ред.М.И.Жодзишского – М.: Радіо, 2000


Схожі реферати:

Навігація