п.1.Аксиоматическая система натуральних чисел.
Визначення. Системою натуральних чисел (системоюПеано) називається алгебра , де - бінарні операції, -унарная операція (функція «прямування»), - виділений елемент в безлічі , на яку виконані такі аксіоми:
Для , (елемент називається наступним за ).
Для , , .
, .
Для , .
, .
Для , .
Аксіома індукції: Нехай . Якщо безліч задовольняє умовам:
а) ;
б) для , ;
то .
Система аксіомПеано має тим властивістю, жодна з аксіом системи перестав бути наслідком інших аксіом.
З системи аксіомПеано можна вивести всі відомі нам властивості натуральних чисел.
п.2.Теореми математичної індукції.
Теорему 1. (принцип повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:
- істина.
(- істина ® - істина).
Тоді предикат тотожний щирий на .
Доказ. Означимо через безліч всіх , котрим істина. Перевіримо, що задовольняє умовам аксіоми індукції.
>Т.к. - істина, то .
Якщо , то - істина і з другому умові теореми індукції - істина. Тому .
Безліч задовольняє умовам аксіоми індукції. Тому .
Позначення. Безліч цілих чисел складається з натуральних чисел, нуля і чисел протилежних натуральним.
Для позначимо .
Теорему 2. (узагальнення принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на , де , який задовольняє умовам:
- істина.
(- істина ®- істина).
Тоді предикат тотожний щирий на .
Теорему 3. (сильна форма принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:
- істина.
(- істини® - істина).
Тоді предикат тотожний щирий на .
Теорему 4. (узагальнення сильної форми принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на , де , який задовольняє умовам:
- істина.
(- істини ® - істина).
Тоді предикат тотожний щирий на .
>Числа Фібоначчі
Визначення.Числа Фібоначчі , для , визначаютьсярекуррентно
(1) , ;
всім .
З визначення чисел Фібоначчі слід, що
, , , , , , , , , , .
Для обчислення чисел Фібоначчі справедлива наступна формула Біне
(3) , .
З (1) і (2) слід, що індукційне припущення, при доказі формули Біне, має передбачати справедливість (3) для і , і отже, початкові умови повинні вимагати виконання (3) для і . Тому доказ формули Біне можна проводити за такою теоремі математичної індукції.
Теорему 5. Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:
- істини.
(- істини ® - істина).
Тоді предикат тотожний щирий на .
>Проведем доказ формули Біне по теоремі 5.
Для і рівність (3) набирає вигляду
, .
Вочевидь, що це рівності вірні.
Припустимо, що рівність (3) істинно для чисел і . Тоді з (2) слід, що
.
Після простих перетворень правій частині одержимо, що
По індукції формула Біне доведено.
Теорему 6. Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:
- істина.
(- істини ® - істина).
Тоді предикат тотожний щирий на .
п.3. Основне властивість асоціативних операцій.
Теорему. Якщо бінарна операція на безлічі асоціативна, то, при будь-який розстановці скобок, котрі задають порядок операцій у творі значення творів будуть однаковими, тобто значення твори залежить від способу розстановки скобок.
Доказ. Проводиться індукцією по . Перевіримо затвердження теореми для і .
Для - очевидно, оскільки порядок операційединственен.
Для твір то, можливо обчислено двома шляхами: чи . З огляду на асоціативності - ці твори рівні.
Припустимо, що теорема доведено всім чисел , де .
>Докажем теорему для числа . При будь-який розстановці скобок у творі , таке твір є твором двох скобок (1), де . Усередині кожної дужки розставлено свої дужки. Позаяк у кожної скобці множників, то індукційному припущенню значення твори на дужках залежить від того, як і них розставлено дужки. Тому твір (1) можна записати як , застосовуючи закон асоціативності іиндукцирования домножителям. Одержимо, що твір (1) і таке інше продовжуючи, одержимо , тому твір (1) залежить від способу розстановки скобок.
Список літератури
>Е.Е.Маренич, О.С.Маренич.Вводний курс математики.Учебно-методическое посібник. 2002
В.Є.Маренич. Журнал «Аргумент». Завдання з теорії груп.
>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.1 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000
>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.2 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000
>Кострикин А.І. Введення ЄІАС у алгебру.Ч.3 Основні структури алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000
>Кострикин А.І. Збірник завдань із алгебрі. Вид. третє – М.:Физмат лит-ра, 2001
Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайтуreferat/
Групи. Приклади груп. Найпростіші властивості груп.Гомоморфизми іизоморфизми груп.Подгруппи
Дани визначення групи,абелевой, безкінечною,аддитивной,мультипликативной і комутативної груп,гомоморфизмов іизоморфизмов груп, наведено приклади груп, і їх найпростіші властивості з доказами.
п.1. Поняття групи.
Визначення.Алгебра , де - бінарна операція, -унарная операція, називається групою, якщо виконані 3 аксіоми:
- асоціативно, тобто .
Аксіома існування правого нейтрального елемента:
Аксіома існування правого зворотного елемента: , - правий зворотний елемент до .
Визначення. Група називається комутативної (>абелевой), якщо операціякоммутативна, тобто .
Визначення. Порядком групи називається число елементів в безлічі , якщо - кінцеве безліч. Якщо - безліч, то група називається безкінечною.
>Аддитивная форма записи групи.
Визначення.Алгебра , де - бінарна операція, -унарная операція, називаєтьсяаддитивной групою, якщо виконані аксіоми:
операція асоціативна, тобто
існування правого нейтрального елемента, тобто
існування правого протилежного елемента, тобто
Визначення. Група називаєтьсяабелевой, якщо операція -коммутативная операція, тобто .
>Мультипликативная форма записи групи.
Визначення.Алгебра , де - бінарна операція, -унарная, називаєтьсямультипликативной групою, якщо виконуються такі аксіоми:
Операція множення асоціативна, тобто .
Аксіома існування правого одиничного елемента: .
Аксіома існування правого зворотного елемента: .
Визначення. Група називається комутативної, якщо операція -коммутативна, тобто .
п.2. Приклади груп.
>Аддитивние групи.
1) Розглянемо безліч натуральних чисел та проведення операції . - бінарна операція на безлічі (сума двох натуральних чисел – натуральне число), - перестав бутиунарной операцією на безлічі , - перестав бути алгеброю не група.
2) . - бінарна операція на безлічі , -унарная операція на безлічі , є алгеброю. Перевіримо аксіомиаддитивной групи:
- виконується як цілих чисел.
- виконується як цілих чисел.
- виконується як цілих чисел.
Отже, є групою,абелева група, оскільки нескінченна група називаєтьсяаддитивной групою цілих чисел.
3) . - бінарна операція, -унарная операція, є алгеброю.
- виконується як дійсних чисел.
виконується як дійсних чисел.
.
Отже є групою,абелева група, , нескінченна група називаєтьсяаддитивной групою дійсних чисел.
4) . перестав бути алгеброю перестав бути групою.
>Мультипликативние групи.
1) . -бінарна операція на безлічі , - перестав бутиунарной операцією на безлічі , перестав бути алгеброю перестав бути групою.
2) перестав бути алгеброю перестав бути групою, бо єунарной операцією.
3) . - бінарна операція на безлічі , - перестав бутиунарной операцією перестав бути алгеброю перестав бути групою.
4) . - бінарна операція на безлічі , -унарная операція на безлічі , є алгеброю є групою, оскільки аксіоми виконуються як раціональних чиселкоммутативная нескінченна група називаєтьсямультипликативной групою не рівних раціональних чисел.
5) . - бінарна операція на безлічі , - перестав бутиунарной операцією на безлічі , не алгебра не група.
6)Симметрическая група безлічі , де .биекция. Розглянемо , де - бінарна операція на безлічі (з визначеннябиекции), -унарная операція на безлічі , (з визначення тотожної функції ібиекции) є алгеброю.
Перевіримо аксіоми груп:
- асоціативна операція.
властивість
властивість зворотної функції - група.
Якщо безліч - кінцеве безліч, то група - кінцева група і її порядок дорівнює . Якщо безліч - нескінченне, то - нескінченна група. Якщо безлічі елементів, то групакоммутативна. Група називається симетричній групою безлічі .
7) Група обертань і симетрії правильного трикутника.
I - група обертань правильного трикутника.
Під обертанням трикутника розуміється поворот, який вершини переводить в вершини.
тотожне обертання.
>Составим таблицю множення (роль множення виконує композиція)
З таблиці бачимо, що композиція елементів безлічі безлічі , отже композиція – бінарна операція.
>унарная операція на безлічі .
>Тождественное обертання з , тоді є алгеброю.
Перевіримо аксіоми групи:
Операція композиція асоціативна на твір множин, отже, асоціативна на безлічі .
по властивості тотожної функції.
по властивості зворотної функції.
Отже, є групою, це кінцева група третього порядку,коммутативная група (таблиця симетрична щодо головною діагоналі).
II – група обертань і симетрії правильного трикутника.
Розглянемо безліч
Розглянемо
Побудуємо таблицю множення (для операції композиції)
- бінарна операція.
>унарная операція.
, отже - алгебра. Аксіоми групи на безлічі виконуються.
Операція композиція некоммутативна (не симетрична)
Кінцева група шостого порядку називається групою обертання і симетрії правильного трикутника.
п.3. Найпростіші властивості груп.
Нехаймультипликативная група.
Властивості.
, тобто правий зворотний елемент є лівим зворотним елементом до .
Доказ. Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.
тобто правий одиничний є лівим одиничним елементом.
Доказ. Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.
, якщо
Доказ.
якщо
Доказ.
I спосіб:
II спосіб:
I спосіб:
II спосіб:
правий
Тобто існує ціла іединственен правий, є іединственен лівий зворотний елементи.
якщо
Доказ.
а)
б)
Тобто існує ціла іединственен правий, є іединственен лівий поодинокі елементи.
Доказ.
, мають у своєму групі єдине рішення.
Доказ.
а) Перевіримо, що розв'язання цієї рівняння
Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.
Перевіримо, що ухвалено рішення єдино: хоча й - рішення рівняння . Маємо
б) Перевіримо що - рішення рівняння . Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.
Перевіримо, що розв'язання цієї рівняння єдино: І нехай - два рішення рівняння . Маємо
Доказ.
п.4.Гомоморфизми груп.
Визначення.Гомоморфизмом групи у групу називається відображення таке, що:
Тобто зберігає операції групи .
Визначення.Гомоморфизмом групи у групу називається відображення таке, що:
Визначення.Гомоморфизмом групи у групу називається відображення таке, що:
Визначення.Гомоморфизмом групи у групу називається відображення таке, що:
Приклад.
Нехай
Розглянемо функцію ;
Перевіримо, що -гомоморфизм:
1.
2.
3.
Отже -гомоморфизм.
Нехай .
Розглянемо функцію і .
Перевіримо:
1)
2)
3)
Отже -гомоморфизм групи групи .
Теорему. Нехай , - мультиплікативні групи. Якщо й , то -гомоморфизм груп.
Доказ. Перевіримо, що володіє трьома властивостями визначеннягомоморфизма. Одне властивість дано в умови.Докажем, що : .
>Докажем, що :
Отже -гомоморфизм груп.
п.5.Изоморфизми груп.
Нехай - мультиплікативні групи.
Визначення. Відображення називаєтьсяизоморфизмом груп, якщо має двома властивостями: -биекция і -гомоморфизм груп.
Якщо існує ізоморфізм групи на , то групи називаються ізоморфними.
п.6.Подгруппи.
Визначення. Нехай -мультипликативная група, , . Кажуть, що багато - замкнуто щодо операції множення, якщо .
Кажуть, що - замкнуто щодо операції , якщо .
Визначення. Нехай -аддитивная група, , .
Кажуть, що - замкнуто щодо бінарною операції , якщо .
Кажуть, що - замкнуто щодо операції , якщо .
Теорему. Нехай -мультипликативная група, , .
Якщо - замкнуто щодо бінарною операції, іунарной операції , то - група, що називається підгрупою групи .
Доказ.
Оскільки - замкнуто щодо бінарною операції, іунарной операції , то - бінарна операція на безлічі , а -унарная операція на безлічі .
Перевіримо, що . Оскільки , то (оскільки операція -унарная операція). Маємо (оскільки - бінарна операція на безлічі ) . Перевірено, що - алгебра.
Перевіримо, що - група.
Усі аксіоми групи на безлічі виконані, оскільки . Тому - група.
Приклад.
Розглянемоаддитивную групу цілих чисел , знайдемо підгрупи цієї групи. З теорії слід, що з здобуття права знайти підгрупу, необхідно знайти , замкнутий щодо операцій та .
Нехай ; - підгрупа.
- підгрупа (тобто сама група є своєї підгрупою)
- це безліч не замкнуто щодо операції : - не утворює підгрупу.
Розглянемо безліч - безліч цілихчетних чисел (>делящихся на ціла кількість 2). Безліч - замкнуто - підгрупааддитивной групи цілих чисел.
Розглянемо - безліч цілих чисел, кратних числу 3. Це безліч замкнуто щодо операцій та , отже - підгрупааддитивной групи цілих чисел.
Список літератури
>Е.Е.Маренич, О.С.Маренич.Вводний курс математики.Учебно-методическое посібник. 2002
В.Є.Маренич. Журнал «Аргумент». Завдання з теорії груп.
>Кострикин А.І. Введення ЄІАС у алгебру.Ч.1 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000
>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.2 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000
>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.3 Основні структури алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000
>Кострикин А.І. Збірник завдань із алгебрі. Вид. третє – М.:Физмат лит-ра, 2001
Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайтуreferat/