п.1.Аксиоматическая система натуральних чисел.

Визначення. Системою натуральних чисел (системоюПеано) називається алгебра , де - бінарні операції, -унарная операція (функція «прямування»), - виділений елемент в безлічі , на яку виконані такі аксіоми:

Для , (елемент називається наступним за ).

Для , , .

, .

Для , .

, .

Для , .

Аксіома індукції: Нехай . Якщо безліч задовольняє умовам:

а) ;

б) для , ;

то .

Система аксіомПеано має тим властивістю, жодна з аксіом системи перестав бути наслідком інших аксіом.

З системи аксіомПеано можна вивести всі відомі нам властивості натуральних чисел.

п.2.Теореми математичної індукції.

Теорему 1. (принцип повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:

- істина.

 (- істина ® - істина).

Тоді предикат тотожний щирий на .

Доказ. Означимо через безліч всіх , котрим істина. Перевіримо, що задовольняє умовам аксіоми індукції.

>Т.к. - істина, то .

Якщо , то - істина і з другому умові теореми індукції - істина. Тому .

Безліч задовольняє умовам аксіоми індукції. Тому .

Позначення. Безліч цілих чисел складається з натуральних чисел, нуля і чисел протилежних натуральним.

Для позначимо .

Теорему 2. (узагальнення принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на , де , який задовольняє умовам:

- істина.

 (- істина ®- істина).

Тоді предикат тотожний щирий на .

Теорему 3. (сильна форма принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:

- істина.

 (- істини® - істина).

Тоді предикат тотожний щирий на .

Теорему 4. (узагальнення сильної форми принципу повної математичної індукції). Нехай - одномісний предикат на , де , який задовольняє умовам:

- істина.

 (- істини ® - істина).

Тоді предикат тотожний щирий на .

>Числа Фібоначчі

Визначення.Числа Фібоначчі , для , визначаютьсярекуррентно

(1) , ;

 всім .

З визначення чисел Фібоначчі слід, що

, , , , , , , , , , .

Для обчислення чисел Фібоначчі справедлива наступна формула Біне

(3) , .

З (1) і (2) слід, що індукційне припущення, при доказі формули Біне, має передбачати справедливість (3) для і , і отже, початкові умови повинні вимагати виконання (3) для і . Тому доказ формули Біне можна проводити за такою теоремі математичної індукції.

Теорему 5. Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:

- істини.

 (- істини ® - істина).

Тоді предикат тотожний щирий на .

>Проведем доказ формули Біне по теоремі 5.

Для і рівність (3) набирає вигляду

, .

Вочевидь, що це рівності вірні.

Припустимо, що рівність (3) істинно для чисел і . Тоді з (2) слід, що

.

Після простих перетворень правій частині одержимо, що

По індукції формула Біне доведено.

Теорему 6. Нехай - одномісний предикат на , який задовольняє умовам:

- істина.

 (- істини ® - істина).

Тоді предикат тотожний щирий на .

п.3. Основне властивість асоціативних операцій.

Теорему. Якщо бінарна операція на безлічі асоціативна, то, при будь-який розстановці скобок, котрі задають порядок операцій у творі значення творів будуть однаковими, тобто значення твори залежить від способу розстановки скобок.

Доказ. Проводиться індукцією по . Перевіримо затвердження теореми для і .

Для - очевидно, оскільки порядок операційединственен.

Для твір то, можливо обчислено двома шляхами: чи . З огляду на асоціативності - ці твори рівні.

Припустимо, що теорема доведено всім чисел , де .

>Докажем теорему для числа . При будь-який розстановці скобок у творі , таке твір є твором двох скобок (1), де . Усередині кожної дужки розставлено свої дужки. Позаяк у кожної скобці множників, то індукційному припущенню значення твори на дужках залежить від того, як і них розставлено дужки. Тому твір (1) можна записати як , застосовуючи закон асоціативності іиндукцирования домножителям. Одержимо, що твір (1) і таке інше продовжуючи, одержимо , тому твір (1) залежить від способу розстановки скобок.

Список літератури

>Е.Е.Маренич, О.С.Маренич.Вводний курс математики.Учебно-методическое посібник. 2002

В.Є.Маренич. Журнал «Аргумент». Завдання з теорії груп.

>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.1 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000

>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.2 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000

>Кострикин А.І. Введення ЄІАС у алгебру.Ч.3 Основні структури алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000

>Кострикин А.І. Збірник завдань із алгебрі. Вид. третє – М.:Физмат лит-ра, 2001

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайтуreferat/

Групи. Приклади груп. Найпростіші властивості груп.Гомоморфизми іизоморфизми груп.Подгруппи

Дани визначення групи,абелевой, безкінечною,аддитивной,мультипликативной і комутативної груп,гомоморфизмов іизоморфизмов груп, наведено приклади груп, і їх найпростіші властивості з доказами.

п.1. Поняття групи.

Визначення.Алгебра , де - бінарна операція, -унарная операція, називається групою, якщо виконані 3 аксіоми:

- асоціативно, тобто .

Аксіома існування правого нейтрального елемента:  

Аксіома існування правого зворотного елемента: , - правий зворотний елемент до .

Визначення. Група називається комутативної (>абелевой), якщо операціякоммутативна, тобто .

Визначення. Порядком групи називається число елементів в безлічі , якщо - кінцеве безліч. Якщо - безліч, то група називається безкінечною.

>Аддитивная форма записи групи.

Визначення.Алгебра , де - бінарна операція, -унарная операція, називаєтьсяаддитивной групою, якщо виконані аксіоми:

операція асоціативна, тобто   

існування правого нейтрального елемента, тобто  

існування правого протилежного елемента, тобто  

Визначення. Група називаєтьсяабелевой, якщо операція -коммутативная операція, тобто .

>Мультипликативная форма записи групи.

Визначення.Алгебра , де - бінарна операція, -унарная, називаєтьсямультипликативной групою, якщо виконуються такі аксіоми:

Операція множення асоціативна, тобто .

Аксіома існування правого одиничного елемента: .

Аксіома існування правого зворотного елемента: .

Визначення. Група називається комутативної, якщо операція -коммутативна, тобто .

п.2. Приклади груп.

>Аддитивние групи.

1) Розглянемо безліч натуральних чисел та проведення операції . - бінарна операція на безлічі (сума двох натуральних чисел – натуральне число), - перестав бутиунарной операцією на безлічі , - перестав бути алгеброю не група.

2) . - бінарна операція на безлічі , -унарная операція на безлічі , є алгеброю. Перевіримо аксіомиаддитивной групи:

 - виконується як цілих чисел.

 - виконується як цілих чисел.

 - виконується як цілих чисел.

Отже, є групою,абелева група, оскільки нескінченна група називаєтьсяаддитивной групою цілих чисел.

3) . - бінарна операція, -унарная операція, є алгеброю.

 - виконується як дійсних чисел.

  виконується як дійсних чисел.

 .

Отже є групою,абелева група, , нескінченна група називаєтьсяаддитивной групою дійсних чисел.

4) . перестав бути алгеброю перестав бути групою.

>Мультипликативние групи.

1) . -бінарна операція на безлічі , - перестав бутиунарной операцією на безлічі , перестав бути алгеброю перестав бути групою.

2) перестав бути алгеброю перестав бути групою, бо єунарной операцією.

3) . - бінарна операція на безлічі , - перестав бутиунарной операцією перестав бути алгеброю перестав бути групою.

4) . - бінарна операція на безлічі , -унарная операція на безлічі , є алгеброю є групою, оскільки аксіоми виконуються як раціональних чиселкоммутативная нескінченна група називаєтьсямультипликативной групою не рівних раціональних чисел.

5) . - бінарна операція на безлічі , - перестав бутиунарной операцією на безлічі , не алгебра не група.

6)Симметрическая група безлічі , де .биекция. Розглянемо , де - бінарна операція на безлічі (з визначеннябиекции), -унарная операція на безлічі , (з визначення тотожної функції ібиекции) є алгеброю.

Перевіримо аксіоми груп:

- асоціативна операція.

  властивість

  властивість зворотної функції - група.

Якщо безліч - кінцеве безліч, то група - кінцева група і її порядок дорівнює . Якщо безліч - нескінченне, то - нескінченна група. Якщо безлічі елементів, то групакоммутативна. Група називається симетричній групою безлічі .

7) Група обертань і симетрії правильного трикутника.

I - група обертань правильного трикутника.

Під обертанням трикутника розуміється поворот, який вершини переводить в вершини.

 тотожне обертання.

  

>Составим таблицю множення (роль множення виконує композиція)

З таблиці бачимо, що композиція елементів безлічі безлічі , отже композиція – бінарна операція.

   >унарная операція на безлічі .

>Тождественное обертання з , тоді є алгеброю.

Перевіримо аксіоми групи:

Операція композиція асоціативна на твір множин, отже, асоціативна на безлічі .

  по властивості тотожної функції.

  по властивості зворотної функції.

Отже, є групою, це кінцева група третього порядку,коммутативная група (таблиця симетрична щодо головною діагоналі).

II – група обертань і симетрії правильного трикутника.

  

  

Розглянемо безліч

Розглянемо

Побудуємо таблицю множення (для операції композиції)

- бінарна операція.

  >унарная операція.

, отже - алгебра. Аксіоми групи на безлічі виконуються.

Операція композиція некоммутативна (не симетрична)

Кінцева група шостого порядку називається групою обертання і симетрії правильного трикутника.

п.3. Найпростіші властивості груп.

Нехаймультипликативная група.

Властивості.

 , тобто правий зворотний елемент є лівим зворотним елементом до .

Доказ. Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.

  тобто правий одиничний є лівим одиничним елементом.

Доказ. Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.

, якщо

Доказ.

 якщо

Доказ.

I спосіб:

 

II спосіб:

I спосіб:

II спосіб:

 правий

Тобто існує ціла іединственен правий, є іединственен лівий зворотний елементи.

 якщо

Доказ.

а)

б)

Тобто існує ціла іединственен правий, є іединственен лівий поодинокі елементи.

 

Доказ.

 , мають у своєму групі єдине рішення.

Доказ.

а) Перевіримо, що розв'язання цієї рівняння

Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.

Перевіримо, що ухвалено рішення єдино: хоча й - рішення рівняння . Маємо

б) Перевіримо що - рішення рівняння . Ліва частина дорівнює дорівнює правій частині.

Перевіримо, що розв'язання цієї рівняння єдино: І нехай - два рішення рівняння . Маємо

 

Доказ.

п.4.Гомоморфизми груп.

Визначення.Гомоморфизмом групи у групу називається відображення таке, що:

 

 

Тобто зберігає операції групи .

Визначення.Гомоморфизмом групи у групу називається відображення таке, що:

 

 

Визначення.Гомоморфизмом групи у групу називається відображення таке, що:

 

 

Визначення.Гомоморфизмом групи у групу називається відображення таке, що:

 

 

Приклад.

Нехай

Розглянемо функцію ;  

Перевіримо, що -гомоморфизм:

1.

2.

3.

Отже -гомоморфизм.

Нехай .

Розглянемо функцію і .

Перевіримо:

1)  

2)  

3)

Отже -гомоморфизм групи групи .

Теорему. Нехай , - мультиплікативні групи. Якщо й , то -гомоморфизм груп.

Доказ. Перевіримо, що володіє трьома властивостями визначеннягомоморфизма. Одне властивість дано в умови.Докажем, що : .

>Докажем, що :   

Отже -гомоморфизм груп.

п.5.Изоморфизми груп.

Нехай - мультиплікативні групи.

Визначення. Відображення називаєтьсяизоморфизмом груп, якщо має двома властивостями: -биекция і -гомоморфизм груп.

Якщо існує ізоморфізм групи на , то групи називаються ізоморфними.

п.6.Подгруппи.

Визначення. Нехай -мультипликативная група, , . Кажуть, що багато - замкнуто щодо операції множення, якщо .

Кажуть, що - замкнуто щодо операції , якщо .

Визначення. Нехай -аддитивная група, , .

Кажуть, що - замкнуто щодо бінарною операції , якщо .

Кажуть, що - замкнуто щодо операції , якщо .

Теорему. Нехай -мультипликативная група, , .

Якщо - замкнуто щодо бінарною операції, іунарной операції , то - група, що називається підгрупою групи .

Доказ.

Оскільки - замкнуто щодо бінарною операції, іунарной операції , то - бінарна операція на безлічі , а -унарная операція на безлічі .

Перевіримо, що . Оскільки , то (оскільки операція -унарная операція). Маємо (оскільки - бінарна операція на безлічі ) . Перевірено, що - алгебра.

Перевіримо, що - група.

Усі аксіоми групи на безлічі виконані, оскільки . Тому - група.

Приклад.

Розглянемоаддитивную групу цілих чисел , знайдемо підгрупи цієї групи. З теорії слід, що з здобуття права знайти підгрупу, необхідно знайти , замкнутий щодо операцій та .

Нехай ; - підгрупа.

 - підгрупа (тобто сама група є своєї підгрупою)

- це безліч не замкнуто щодо операції : - не утворює підгрупу.

Розглянемо безліч - безліч цілихчетних чисел (>делящихся на ціла кількість 2). Безліч - замкнуто - підгрупааддитивной групи цілих чисел.

Розглянемо - безліч цілих чисел, кратних числу 3. Це безліч замкнуто щодо операцій та , отже - підгрупааддитивной групи цілих чисел.

Список літератури

>Е.Е.Маренич, О.С.Маренич.Вводний курс математики.Учебно-методическое посібник. 2002

В.Є.Маренич. Журнал «Аргумент». Завдання з теорії груп.

>Кострикин А.І. Введення ЄІАС у алгебру.Ч.1 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000

>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.2 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000

>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.3 Основні структури алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000

>Кострикин А.І. Збірник завдань із алгебрі. Вид. третє – М.:Физмат лит-ра, 2001

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайтуreferat/