Реферати українською » Математика » Елементи сферичної геометрії


Реферат Елементи сферичної геометрії

Страница 1 из 2 | Следующая страница

>Экзаменационний реферат по геометрії

>Виполнил учень 11 «б» класу

>Шкерин Андрію Володимировичу

МОУ «>Гагинская середня загальноосвітньою школою»

>Гагино 2008

Запровадження

Упродовж багатьох століть людство не переставало поповнювати свої наукові знання на тій чи іншій галузі.Стереометрия, як наука про постатях у просторі, невід'ємно пов'язана з багато з наукових дисциплін. До таких дисциплінам ставляться: математика, фізика, інформатика і програмування, і навіть хімія і біологія. У світлі останніх стоїть проблема вивчення мікросвіту, що є надзвичайно складну комбінацію різних частинок у просторі щодо одне одного. Архітектура постійно використовуються теореми і негативні наслідки з стереометрії.

Безліч вчених геометрів, та й простого люду, цікавилися такою фігурою як кулю та його «оболонкою», яка називається сфера. Дивно, але кулю єдиний тілом, які мають меншою площею поверхні при обсязі, рівному обсягу інших порівнюваних тіл, як-от куб, призма або інші різноманітні багатогранники. З кулями ми маємо справу щодня. Приміром, кожен людина користується кульковий ручкою насамкінець стрижня якої вмонтовано металевий кулю, обертався під впливом сил тертя останнім і папером і під час повороту у своїй поверхні кулю «виносить» чергову даванку чорнила. У автомобільну промисловість виготовляються кульові опори, які дуже важливою деталлю в автомобілі і забезпечує правильний поворот коліс і стійкість машини Донецькій залізниці. Елементи машин, літаків, ракет, мотоциклів, снарядів, плавальних судів, котрі піддаються постійним впливам води чи повітря, переважно мають якісь сферичні поверхні, званіобтекателями.

>Приращение знання кулі і сфері призвело до виникнення нового розділу математики — сферичної геометрії, у якій вивчаються постаті, розташовані на сфері. У своїй роботі постараюся викласти основні елементи сферичної геометрії, розглянути найважливіші закономірності у цій галузі знання.

Об'єктом роботи є підставою сферична геометрія як із розділів геометрії. Предмет роботи — основні закономірності й особливо сферичної геометрії.

Мета роботи — виявити основні елементи сферичної геометрії і описати найважливіші становища цій галузі наукового знання.

Для мети вирішити ряд завдань:

>Охарактеризовать специфіку сферичної геометрії як математиці;

Визначити засадничі поняття сферичної геометрії;

Описати найважливіші становища сферичної геометрії;

Розглянути особливості постатей, розташованих на сфері.

Структура роботи обумовлена метою та завданнями дослідження. Робота складається з запровадження, двох глав, розбитих на параграфи, ув'язнення й списку літератури.

Глава 1. Куля і сфера

1.1. Куля і гарна поверхню

>Шаровой чи сферичної поверхнею називається геометричне місце точок простору, віддалених від даної точки Про (центру) на заданий відстань R (радіус). Усі простір стосовно даної кульової поверхні розбивається на внутрішню область (куди можна приєднати і точки поверхні) і зовнішню. Перша з цих галузей називається кулею. Отже, кулю — геометричне місце всіх точок, віддалених від заданої точки Про (центру) на відстань, не що перевищує даної величини R (радіуса). Кульова поверхню є кордоном, яка відділяє кулю від навколишнього простору.

>Шаровую поверхню й кулю можна отримати роботу також, роблячи оберти окружність (коло) навколо однієї з діаметрів.

Розглянемо окружність з центром Про і радіусом R (рис. 1), що лежить у площині. Будемо крутити її навколо діаметра АВ. Тоді кожна гілка точок окружності, наприклад М, своєю чергою опише під час обертання окружність, має своїм центром точкуМ0—проекцию обертовою точки М на вісь АВ.Плоскость цієї окружності перпендикулярна до осі обертання. РадіусОМ, провідний з єдиного центру вихідної окружності в точку М, зберігатиме свою величину в усі час обертання, і тому точка М увесь час перебувати на сферичної поверхні з центром Про і радіусом R. Кульова поверхню може бути отримана обертанням окружності навколо кожного з її діаметрів.

Сам кулю як тіло виходить обертанням кола; ясно, що з одержання всього кулі досить крутитиполукруг близько який би його діаметра.

Ці геометричні об'єкти, як і окружність і коло, розглядали ще давнину. Відкриття кулястості Землі, поява поглядів на небесної сфері дали поштовх до розвитку спеціальної науки –сферики (сферична геометрія), що вивчає розташовані на сфері постаті.

1.2.Сферическая геометрія

>Сферическая геометрія - розділ математики, у якому вивчаються постаті, розташовані на сфері. Це своєрідний міст міжпланиметрией істереометрией, оскільки сферичні багатокутники виходять в перетині сфери, з багатогранними кутами з вершинами у центрі сфери, сферичні окружності – в перетині сфери, з конічними поверхнями тощо.Сферическая геометрія виникла у зв'язку до потреб астрономії. Очевидно, першим зверненням людства до того що, що потім зватиметься сферичної геометрії, була планетарна теорія грецького математикаЕвдокса (прибл.408–355гг. е.), однієї з учнів Академії Платона. Це була спроба пояснити рух планет навколо Землі з допомогою чотирьох обертових концентричних сфер, кожна з яких мала особливу вісь з кінцями, закріпленими на що охоплює сфері, до котрої я, своєю чергою, були «прибиті до підлоги» зірки. Отже пояснювалися мудрі траєкторії планет (у перекладі грецького «планета» – блукаюча). Саме що завдяки такій моделі давньогрецькі вчені вміли досить точно описувати і пророкувати руху планет. Це довелося б, наприклад, в мореплаванні, а як і у багатьох інших «земних» завданнях, де було враховувати, що земля – не плаский млинець, спочиваючий на засадах.

Значний внесок у сферичну геометрію внісМенелай з Олександрії жив 1 столітті. Його праціСферика став вершиною досягнень греків у цій галузі. УСферике розглядаються сферичні трикутники – предмет, якого немає в Евкліда.Менелай переніс на сферуевклидову теорію пласких трикутників й у числі іншого отримав умова, у якому трикрапку на сторони сферичного трикутника чи його продовженнях лежать в одній прямий. Відповідна теорема для площини у той час була вже відома, однак у історію геометрії вона саме як теоремаМенелая, причому, на відміну Птолемея, яка має на роботах чимало обчислень, трактатМенелаягеометричен суворо у дусі евклідовій традиції.

Отже, людській потребі в астрономічних знаннях, призвели до особливої галузі математичної науки — сферична геометрія. Ця наука отримала стала вельми поширеною нині.

Глава 2. Елементи сферичної геометрії

2.1. Основні становища сферичної геометрії

Саме великимокружностям і відводиться роль прямих в сферичної геометрії. Зазвичай, за два крапки над сфері, як і площині, можна навести тільки один сферичну пряму. Виняток становлять діаметрально протилежні точки: наприклад, через полюси на глобусі проходить нескінченно багато меридіанів. Будь-яка площину, яка перетинає сферу, дає всечении окружність. Якщо площину проходить через центр сфери, тосечении виходить так званий велике коло. Через будь-які дві крапки над сфері, крім діаметрально протилежних, можна навести єдиний велике коло. (На глобусі прикладом великим колом служить екватор і всі меридіани.) Через діаметрально протилежні точки проходить безліч великих кіл. Менша дугаAmB (рис. 2) великим колом є найкоротшою із усіх ліній на сфері, що з'єднують задані точки. Така лінія називається геодезичної.

Рис.2

>Геодезические лінії грають на сфері таку ж роль, як і прямі в планіметрії. Багато положень геометрії на площині справедливі і сфері, але, на відміну площині, дві сферичні прямі перетинаються у двох діаметрально протилежних точках. Отже, в сферичної геометрії не існує поняття паралельності. Ще один відмінність – сферична пряма замкнута, тобто. впродовж нею тому самому напрямку, ми повернемося в вихідну точку, точка не розбиває пряму на частини. Ось ще подив сферичної геометрії: трикутник на сфері може мати одразу трьох прямих кута, якщо, наприклад, він обмежений двома перпендикулярними меридіанами і екватором.

>Рис.3

Тепер познайомимося з поняттями сферичної геометрії. А будемо постійно порівнювати його з поняттями звичайній геометрії.

2.2. Прямі, відтинки, відстані і кути на сфері

>Прямими на сфері вважаються великі окружності. Якщо дві точки належать великий окружності, то довжина меншою з дуг, що з'єднують ці точки, окреслюється сферичне відстань між тими точками, а сама дуга – як сферичний відрізок. Діаметрально протилежні точки з'єднані нескінченним числом сферичних відрізків – великих півкіл. Довжина сферичного відрізка визначається черезрадианную міру центрального кута і радіус сфери R (рис. 4), за такою формулою довжини дуги вона дорівнює R . Будь-яка точка З сферичного відрізка АВ розбиває його за дві і не сума їхніх сферичних довжин, як й у планіметрії, дорівнює довжині всього відрізка, тобто.АОС +СОВ =АОВ. Для будь-який ж точки D поза відрізка АВ має місце «сферичне нерівність трикутника»: сума сферичних відстаней від D до Проте й від D до У більше АВ, тобто.AOD +DOB >AOB, – повну відповідність між сферичної та плоскоїгеометриями. Нерівність трикутника – одне з основних в сферичної геометрії, потім із нього слід, що, як й у планіметрії, сферичний відрізок коротше будь-який сферичної ламаної, отже, і будь-яка кривою на сфері, що з'єднує його кінці.

>Рис.4

Так само на сферу можна перенести і ще поняття планіметрії, зокрема ті, які можна сформулювати через відстані. Наприклад, сферична окружність – безліч точок сфери, рівновіддалених від заданої точки Р. Легко показати, що окружність у площині, перпендикулярної діаметру сфериРР` (рис. 5), тобто. звичайна пласка окружність з центром на діаметріРР`. Але сферичних центрів в неї два: Р і Р`. Ці центри прийнято називати полюсами. Якщо звернутися до глобуса, можна бачити, що йдеться саме про такі кіл, як паралелі, і сферичними центрами всіх паралелей є Північний й Південний полюси. Якщо діаметр сферичної окружності дорівнює /2, то сферична окружність перетворюється на сферичну пряму. (На глобусі – екватор). І тут таку окружність називаютьполярой кожної з точок Р іP`.

>Рис.5

Одне з найважливіших понять в геометрії є рівність постатей. Постаті вважаються рівними, якщо одну в іншу можна відобразити в такий спосіб (поворотом і перенесенням), що збережуться відстані. Це правда й у сферичної геометрії.

>Угли на сфері визначаються так. При перетині двох сферичних прямих a і b на сфері утворюються чотири сферичнихдвуугольника, аналогічно, як дві пересічні прямі на площині розбивають в чотири пласких кута (рис. 6).

>Рис.6

Кожен здвуугольников відповідаєдвугранний кутАОВ, освіченийдиаметральними площинами, що містять a і b.

2.3.Сферический трикутник

Серед усіх сферичнихмногоугольников найбільше зацікавлення представляє сферичний трикутник. Три великих окружності, перетинаючись попарно у двох точках, утворюють на сфері вісім сферичних трикутників. Знаючи елементи (сторони, і кути) однієї з них, можна визначити елементи решти, тому розглядають співвідношень між елементами однієї з них, того, яка має усі сторони менше половини великий окружності. Сторони трикутника вимірюються пласкими кутамитрехгранного кутаОАВС, кути трикутника –двугранними кутами тієї самоїтрехгранногоугла[1] (рис. 7).

рис. 7

Багато властивості сферичного трикутника (що одночасно є і властивостями тригранних кутів) майже зовсім повторюють властивості звичайного трикутника. У тому числі – нерівність трикутника, яке езопівською мовою тригранних кутів говорить, що кожен плаский куттрехгранного кута менше суми двох інших. Або, наприклад, три ознаки рівності трикутників. Усіпланиметрические слідства згаданих теорем разом із їхніми доказами залишаються справедливими на сфері. Так, безліч точок, рівновіддалених від кінців відрізка, буде зумовлене і на сфері перпендикулярної щодо нього прямий, що проходить через його середину, звідки слід, що серединні перпендикуляри до сторін сферичного трикутникаAВС мають загальну точку, точніше, дві діаметрально протилежні загальні точки Р і Р`, є полюсами його єдиною описаної окружності (рис. 8). У стереометрії це, що майже будь-якоготрехгранного кута можна описати конус. Легко перенести на сферу і теорему у тому, щобиссектриси трикутника перетинаються у центрі його уписаної окружності.

рис. 8

>Теореми про перетині висот, імедиан також залишаються вірними, та їх звичайні докази на планіметрії використовують паралельність, якої, на сфері немає, і тому простіше довести їх наново, мовою стереометрії.Рис. 9 ілюструє доказ сферичної теореми промедианах: площині, містять медіани сферичного трикутника АВС, перетинають плаский трикутник з тими самими вершинами з його звичайниммедианам, отже, усі вони містять радіус сфери, проходить через точку перетину пласкихмедиан. Кінець радіуса і буде загальної точкою трьох «сферичних»медиан.

>Рис. 9

Властивості сферичних трикутників багато в чому від властивостей трикутників на площині. Так, до відомим трьом випадків рівності прямолінійних трикутників додається четвертий: два трикутника АВС іА`В`С` рівні, якщо рівні відповідно три кута А = А`, У = У`, З = З`. Отже, на сфері немає подібних трикутників, більше, в сферичної геометрії немає поняття подоби,т.к. немає перетворень, змінюють все відстані в однакове (нерівний 1) число раз. Ці особливості пов'язані з порушенням евклідовій аксіоми про паралельних прямих і притаманні геометрії Лобачевського.Треугольники, мають рівні елементи та різноманітну орієнтацію, називаються симетричними, такі, наприклад, трикутникиАС`С і ССС` (рис. 10).

рис. 10

Сума кутів будь-якого сферичного трикутника більше 180 . Різниця А+ У + З – = (яка вимірюється в радіанах) – величина позитивна і називається сферичним надлишком даного сферичного трикутника. Площа сферичного трикутника: P.S =R2 де R – радіус сфери, а – сферичний надлишок. Ця формула уперше вийшла друком голландцемА.Жираром в1629г. і називається іменем Тараса Шевченка.

2.4. Координати на сфері

Кожна точка на сфери визначається завданням двох чисел; ці числа (координати) визначаються так (рис. 11). Фіксується певний велике колоQQ` (екватор), одне з двох точок перетину діаметра сфериPP`, перпендикулярного до площині екватора, з поверхнею сфери, наприклад Р (полюс), і з великихполукруговPAP`, які виходять із полюси (перший меридіан). Великі напівкола, що виходять ізP, називаються меридіанами, малі кола, паралельні

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація