Реферати українською » Математика » Кільця. Приклади кілець. Гомоморфізму і ізоморфізми кілець. Подкольцо. Кільце цілих чисел


Реферат Кільця. Приклади кілець. Гомоморфізму і ізоморфізми кілець. Подкольцо. Кільце цілих чисел

Для вивчення пропонуються поняття кільця,коммутативного кільця й областіцелосности,гомоморфизма і ізоморфізму кілець,подкольца, а як і властивості кільця цілих чисел.

п.1. Поняття кільця.

Визначення.Алгебра , де - бінарні операції, -унарная операція, називається кільцем, якщо виконані аксіоми.

I. -абелева група.

1)  

2)  

3)  

4)  

II. 1) - асоціативність множення.

2) законидистрибутивности: - лівийдистрибутивний закон, - правийдистрибутивний закон.

- називаєтьсяаддитивной групою кільця.

Визначення. Кільце називається кільцем з одиницею , якщо є   

Визначення. Кільце називаєтьсякоммутативним, якщо  

Визначення. Елементи називаютьсяделителями , якщо

Визначення. Кільце називається областю цілісності, коли вона має властивостями:

Кільце -коммутативно.

Кільце з одиницею , де .

Кільце немаєделителей нуля.

п.2. Приклади кілець.

Розглянемо . Операції - бінарна операція на безлічі , операція -унарная операція на безлічі , , отже - алгебра. Аксіоми кільця на безлічі виконані, це з властивостей цілих чисел, отже - кільце. Це кільце з одиницею 1, адже й . Цекоммутативное кільце, оскільки . Це кільце безделителей нуля. Кільце цілих чисел є областю цілісності.

Нехай - безліч цілихчетних чисел, - алгебра, кільце без одиниці,коммутативное, безделителей нуля, перестав бути областю цілісності.

- перевіримо, було б на безлічі - кільце.

  - бінарна операція на безлічі .

 - бінарна операція на безлічі .

 -унарная операція на безлічі .  

Отже - алгебра.

Аксіоми кільця для даної алгебри виконані, оскільки , але в аксіоми виконані (з властивостей дійсних чисел), отже - цю обручку.

. . Кільце з одиницею - цекоммутативное кільце безделителей нуля, є областю цілісності.

Нехай .Определим операції , ; , .

 

- бінарні операції у безлічі  

  отже -унарная операція на безлічі .

 , , отже - алгебра. Перевіримо, чи є ця алгебра кільцем. І тому перевіримо аксіоми кільця. Рівність - рівність функції: з визначення операцій. Розглянемо твір , обчислимо значення лівої і правої частин від а) б) . Аналогічно перевіряється, що це аксіоми кільця виконані, отже є кільцем. Це кільце з одиницею . Справді, (властивість одиниці). Цекоммутативное кільце, оскільки . Покажемо, що цю обручку зделителями нуля. Нехай , , , (нульова функція).Вичислим (одно нульової функції). Отже , -делители нуля, отже кільце - перестав бути областю цілісності.

п.3. Найпростіші властивості кільця.

Нехай - кільце. Випишемо і перевіримо аксіоми кільця:

 .

Доказ. -абелева група, маємо  

 .

Доказ. -абелева група, маємо .

, якщо , якщо .

Доказ. За законом скорочення групи, певної на безлічі .

, якщо , якщо .

Доказ. Слід з властивості 4 груп.

 якщо , якщо .

Доказ. Слід з 5 властивості груп.

 .

Доказ. Слід з 6 властивості груп.

 .

Доказ.Докажем, що .  

 .

Доказ.Докажем, що розглянемо суму . Аналогічно доводиться, що .

 . Позначення: .

  (правийдистрибутивний закон), (лівийдистрибутивний закон).

Доказ. Правийдистрибутивний закон: ліва частина дорівнює дорівнює правій частині. Аналогічно доводиться лівийдистрибутивний закон.

 .

Доказ.Вичислим суму .

п.4.Гомоморфизми іизоморфизми кілець.

>Дано два кільця і .

Визначення.Гомоморфизмом кільця в кільці називається функція і що має властивостями:

 

 

 

Інакше кажучи,гомоморфизм кілець – це відображення, що зберігають усі операції кільця. Якщо -гомоморфизм кільця в , то -гомоморфизмабелевих груп у групу .

Теорему. І нехай - кільця і , які мають властивостями:

 

Тоді -гомоморфизм кілець.

Доказ. З властивості єгомоморфизмом груп, і , тому має властивостями: , , отже з визначення -гомоморфизм кілець.

Визначення. Відображення називаєтьсяизоморфизмом кільця на , якщо має властивостями:

-гомоморфизм кілець.

-биекция.

Інакше кажучи: ізоморфізм – цегомоморфизм, єбиекцией.

п.5.Подкольца.

Нехай - кільце, , .

Визначення. Безліч - замкнуто щодо операції , якщо .

Безліч - замкнуто щодо операції , якщо . Безліч - замкнуто щодо операції , якщо .

Теорему. Нехай - кільце, , , якщо - замкнуто щодо операції , то - кільце, що називаєтьсяподкольцом, кільця .

Доказ. - бінарні операції, -унарная операція, оскільки - замкнутий безліч. Оскільки , що існує , оскільки - замкнуто щодо операції , то , отже - алгебра, оскільки аксіоми виконані на , всі вони виконано ще й на , тому алгебра - кільце.

Теорему. Нехай - числове кільце з одиницею 1, тоді він міститьподкольцо цілих чисел.

п.6.Аксиоматическое визначення кільця цілих чисел.

>Алгебраическая система , де бінарні операції, -унарная операція, , , називається системою цілих чисел, якщо виконані групи аксіом:

I. - кільце.

>Абелева група

 

 

 

 

>Аддитивная група

 

 

 

II. Безліч - замкнуто щодо операцій та алгебраїчна система є системою натуральних чисел (системоюПеано).

Для ,

Для ,

Для ,

Для ,

Для ,

Для ,

Аксіома індукції: нехай . Якщо безліч задовольняє умовам:

а)

б) , , то

III. Аксіома мінімальності.

Якщо й має властивостями:

а)

б) , то .

Властивості цілих чисел.

Теорему 1. Про розподілі із залишком.

   | , де . Кількість називається діленим, -делителем, - приватним, - залишком під час ділення на .

Доказ.Докажем існування хоча б однієї пари чисел , . І тому розглянемо безліч . Безліч містить як негативні, інеотрицательние числа, нехай - найменше ненегативне число в , тоді .Докажем, що , припустимо гидке . Розглянемо число . в протиріччя з вибором . Доведено, що , .Докажем одиничність чисел і , нехай . , .Докажем, що , припустимо гидке . Нехай . Маємо протиріччя, бо між числами немає чисел,делящихся на . Доведено, що , якщо , то , а це означає, що . Доведена одиничність чисел і .

Список літератури

>Е.Е.Маренич, О.С.Маренич.Вводний курс математики.Учебно-методическое посібник. 2002

В.Є.Маренич. Журнал «Аргумент». Завдання з теорії груп.

>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.1 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000

>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.2 Основи алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000

>Кострикин А.І. Введення у алгебру.Ч.3 Основні структури алгебри. – М.:Физмат лит-ра, 2000

>Кострикин А.І. Збірник завдань із алгебрі. Вид. третє – М.:Физмат лит-ра, 2001

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайтуreferat/


Схожі реферати:

Нові надходження

Замовлення реферату

Реклама

Навігація