Реферати українською » Математика » Вибрані теореми геометрії тетраедра


Реферат Вибрані теореми геометрії тетраедра

Страница 1 из 4 | Следующая страница

>Випускная кваліфікаційна робота

 

Обрані теореми геометрії тетраедра

Спеціальність / напрям підготовки Математика

Спеціалізація / профіль Математика - інформатика


Зміст

Запровадження

Глава I. Види тетраедрів і теореми протетраедрах

1.1Теореми протетраедрах

§1. ТеоремуМенелая

§2. ТеоремуЧеви

§3. Властивостімедиан ібимедиан тетраедра

1.2 Різні види тетраедрів.

§1.Пифагоровитетраедри

§2.Ортоцентрическиететраедри

§3.Каркасниететраедри

§4.Равногранниететраедри

§5.Инцентрическиететраедри

§6.Соразмерниететраедри

§7. Правильнітетраедри

Глава II.Тетраедр знає математики середньої школи

§1. Порівняльна характеристика викладу теми «>тетраедр» в шкільних підручниках

§2. Тестування рівня розвитку просторового мислення в учнів середньої школи


Запровадження

Інтерес Вільгельма до вивченню тетраедра виник у людства віддавна і вгасає досі. Це було пов'язано лише з його красою, але й великою практичною цінністю.

>Тетраедр одна із основних постатей стереометрії, але його вивчення у курсі середньої школи недостатньо докладно. У деяких підручниках автори уникають самої термінології, воліючи називати постать «трикутною пірамідою» (і розглядають її саме у такому ключі), а вивчення різних видів тетраедрів й у годі й казати.

Роль завдань протетраедрах в математичному розвитку школярів важко переоцінити. Вони стимулюють накопичення конкретних геометричних уявлень, сприяють розвитку просторового мислення, що особливо важливо у процесі вивчення стереометрії.

Вивченню тетраедра як школі, і у вузах присвячено лише незначну кількість занять, тому метою дипломної роботи є підставою вивчення різних видів тетраедрів, і навіть теорем, що з геометрією тетраедра. Відповідно до метою сформульовані такі:

1. Зібрати інформацію протетраедре із джерел і навести в систему; розібрати докази теорем, що зтетраедром;

2. Проаналізувати методику викладу матеріалу у різних шкільних підручниках;

3. Розробити курс занять протетраедре для середньої школи.

У першій главі моєї дипломної роботи мова піде про різні види тетраедра та деяких менших теоремах, які стосуються цієї постаті. Другий розділ присвячена аналізу навчального матеріалу для середньої школи з заданої темі та розробці курсу занять.


Глава I. Види тетраедрів і теореми протетраедрах

 

1.1 >Теореми протетраедрах

 

§1. ТеоремуМенелая

ТеоремуМенелая для трикутника.

 

Нехай точки А1 і З1 лежать на сторони УЗ і АЗ трикутника АВС, точка У1 на продовженні боку АС цього трикутника. Щоб точкиА1, У1, З1 лежали в одній прямий необхідне й досить, щоб виконувалося рівність ===1.

Доказ.

Спочатку доведемо необхідність. Нехай точки А111 лежать на прямий l і          >AA0=h1,CC0=h3 - перпендикуляри, опущені відповідно з точок А, У, З безпосередньо l. З подоби трикутників АА0З1 і ВР0З1 отримуємо

. Аналогічно, розглядаючи інші пари подібних трикутників, отримуємо ; .Перемножая отримані пропорції, дійшли необхідному рівності.


Тепер доведемо достатність. Нехай точки А1, У1, З1, що лежать на прямих ЗС, АС, АВ такі, що .Докажем, що точки А1, У1, З1 лежать в одній прямий.

Проведемо пряму А1У1 і доведемо, що вищу точку З1 їй належить. Припустимо, що тут інше. Спочатку зауважимо, пряма А1У1 не паралельна прямий АВ. Нехай Т - точка перетину А1У1 і АВ, тоді

. З умови і рівності (1) слід, що . Оскільки точки Т і З1 лежать поза відрізка АВ, їх збіг випливає з такої леми.

>Лемма 1.

Нехай Проте й У дві різні точки, для будь-якогоk>0,k1 на прямий АВ є дві точки U і V такі, що , причому одне з цих точок належить відтинку АВ, іншу лежить поза відрізка.

Доказ.

>Введем на прямий АВ координати, прийнявши точку А за початок координат. Нехай для визначеності>k>1, тоді координата шуканої точки U, лежачої всередині відрізка АВ, задовольняє рівнянню , звідки . Крапка V перебуває поза відрізка >AB, з рівняння , звідки . Випадок 0<>k<1 відрізняється від розглянутої тільки тим, що точку V слід шукати лівіше точки А.

ТеоремуМенелая допускає цікавестереометрическое узагальнення.


ТеоремуМенелая для тетраедра.

Якщо площину > перетинає ребра АВ, ЗС, CD і >DA тетраедра >АВСD в точках А1, У1, З1, D1, то (2).

Назад, для чотирьох точок А1, У1, З1, D1, лежачих відповідно на ребрах АВ, ЗС,СD,DA тетраедра, виконано рівність (2), то ці чотири точки лежать у площині.

Доказ.

 

Нехай h1, h2, h3, h4 - відстані від точок А, У, З, D відповідно до площині >, тоді ; ; ; .

Залишилося перемножити отримані відносини.

Аби довести зворотної теореми побудуємо площину А1, У1, З1. Нехай ця площину перетинає реброDA у точці Т.

Подоказанному , а, по умові , тому (і злемме) точки Т і D1 збігаються. Твердження доведено.

§2. ТеоремуЧеви

 

ТеоремуЧеви для трикутника.

Нехай точки А1, У11 лежать відповідно на сторони ЗС, АС і ВА трикутника АВС (див. рис). Щоб відтинки АА1, ВР1, СС1 перетиналися лише у точці, необхідне й досить, щоб виконувалося співвідношення: (3) (відтинки АА1, ВР1, СС1 іноді називаютьчевианами).

Доказ.

Необхідність. Нехай відтинки АА1, ВР1, СС1 перетинаються у точці М всередині трикутника АВС.

Означимо через P.S1, P.S2, P.S3 площі трикутників АМС,СМВ,АМВ, а ще через h1, h2 - відстані від точок А і У до прямий МС. Тоді аналогічно , .Перемножив отримані пропорції, переконуємося у справедливості теореми.

Достатність. Нехай точки А1, У1, З1 лежать на сторони ЗС, СА, АС трикутника, і виконано співвідношення (3), М - точка перетину відрізків АА1і ВР1, а відрізок РМ перетинає бік АВ у точці >Q. Тоді, за тим самимдоказанному , . З леми знову слід збіг точок >Q=C1. Достатність доведено.

Перейдемо тепер до просторовому узагальнення теоремиЧеви.

ТеоремуЧеви для тетраедра.

Нехай М - точка всередині тетраедра >АВСD, а А1, У1, З1 і D1 - точки перетину площин >СМD, AMD,АМВ і >СМВ з ребрами АВ, УЗ,СD і >DA відповідно. Тоді (4). Назад: для точок , то площині АВС, >ВСD1 і >DAB1 проходять через одну точку.

 

Доказ.

Необхідність легко отримати, якщо помітити, що точки А1, У1, З1, D1 лежать у площині (ця площину проходить через прямі А1З1 і У1D1, пересічні у точці М), і застосувати теоремуМенелая. Зворотний теорема доводиться як і, і зворотна теореміМенелая у просторі: потрібно здійснити площину через точки А1, У1, З1 і довести зв'язок із допомогою леми, що ця площину перетне ребро >DA у точці D1.

§3. Властивостімедиан ібимедиан тетраедра

>Медианой тетраедра називається відрізок, котрий поєднує вершину тетраедра з центром тяжкості протилежної межі (точкою перетинумедиан).

Теорему (Застосування теоремиМенелая).

>Медиани тетраедра перетинаються лише у точці. Ця точка ділить кожну медіану щодо 3:1, починаючи з вершини.

Доказ.

 

Проведемо дві медіани: >DD1 і >CC1 тетраедра >ABCD. Ці медіани перетнуться у точці F. >CL – медіана межі ABC, >DL – медіана межі >ABD, а D1, З1 – центри тяжкості межі ABC і >ABD. По теореміМенелая: і . Запишемо теорему для трикутника >DLD1: ; => Доказ виробляється аналогічно для будь-який інший паримедиан.

Теорему (Застосування теоремиЧеви).

Спочатку дамо визначення деяких елементів тетраедра. Відтинок, котрий поєднує середини перехресних ребер тетраедра називаєтьсябимедианой.Бивисотами (за аналогією) називають загальні перпендикуляри перехресних ребер.

Теорему.

>Бимедиани тетраедра перетинаються у тій самої точці, як і медіани тетраедра.

Доказ.

У трикутнику >LDC відтинки DC і >LF перетнуться у точці K. По теореміЧеви при цьому трикутника: , тобто. ,CK=KD,LK –бимедиана.

Зауваження 1.

FL=>FK. ТеоремуМенелая для трикутника >DLK: , , звідси >LF=>FK.

Зауваження 2.

Крапка F є центром тяжкості тетраедра. , , отже .

 

1.2 Різні види тетраедрів

 

§1.Пифагоровитетраедри

Трикутник називаєтьсяпифагоровим, якщо вона один кут прямий, а ставлення будь-яких сторін раціонально (тобто застосовуючи подобу, можна потім із нього отримати прямокутний трикутник з цілими довжинами сторін).

За аналогією з цим,тетраедр називаютьпифагоровим, якщо його плоскі кути при одній з вершин прямі, а ставлення будь-яких двох ребер раціонально (потім із нього з допомогою подоби можна було одержатитетраедр з прямими пласкими кутами при одній з вершин і цілими довжинами ребер).

Спробуємо вивести ">Уравнениепифагорових тетраедрів", тобто. таке рівняння із трьома невідомими,,, що коженпифагоровтетраедр дає раціональне рішення цього рівняння, і навпаки, будь-яке раціональне рішення рівняння даєпифагоровтетраедр.

Спочатку дамо спосіб описи всіхпифагорових трикутників.

На малюнку трикутник >ОАВ - прямокутний, довжини його катетів є такі через а і b, а дина гіпотенузи - через р. Кількість (1) умовимося називати параметром прямокутного трикутника >ОАВ (або, точніше, параметром "щодокатета а"). Використовуючи співвідношення р22+b2, маємо:

З положень цих рівнянь безпосередньо одержимо формули, які виражають взаємини сторін прямокутного трикутника через його параметр:

 і  (2).

З формул (1) і (2) безпосередньо випливає таке твердження: у тому, щоб прямокутний трикутник бувпифагоровим, необхідне й досить, щоб число було раціональним. У насправді, якщо трикутникпифагоров, те з (1) слід, що раціонально. Назад, якщо раціонально, відповідно до (2) взаємини сторін раціональні, тобто трикутникпифагоров.

Нехай тепер >ОАВС -тетраедр, яка має плоскі кути при вершині Про прямі.Длини ребер, що виходять з вершини Про, позначимо через >a,b,с, а довжини решти ребер через р,q,r.

Розглянемо параметри трьох прямокутних трикутників >ОАВ, ОВС,ОСА:

      (3)

Тоді формулам (2) можна сформулювати взаємини сторін цих прямокутних трикутників через їх параметри:

        (4),

      (5).

З (4) безпосередньо випливає, що параметри >,,, задовольняють співвідношенню (6). Це і загальне рівнянняпифагорових тетраедрів.

З формул (3) - (5) безпосередньо випливає таке твердження: щобтетраедр >ОАВС з прямими пласкими кутами при вершині Про бувпифагоровим, необхідне й досить, щоб параметри >,, (задовольняють рівнянню (6)) були раціональними.

Продовжуючи аналогіюпифагорова трикутника зпифагоровимтетраедром, спробуємо сформулювати і довести просторове узагальнення теореми Піфагора для прямокутних тетраедрів, яка, очевидно, буде сповідує й дляпифагорових тетраедрів. У цьому вся нас порятує наступна лема.

>Лемма 1.

Якщо площа багатокутника дорівнює P.S, то площа його проекції на площину дорівнює , де > - кут між площиною і площиною багатокутника.

 

Доказ.

Твердження леми очевидно для трикутника, один бік якого паралельна лінії перетину площині з площиною багатокутника. У насправді, довжина цього боку при проекції не змінюється, а довжина висоти, опущеної її у при проекції, змінюється в >cos раз.

>Докажем тепер, що кожен багатогранник можна розділити на трикутники зазначеного виду.

Проведемо при цьому крізь ці вершини багатокутника прямі, паралельні лінії перетину площин, багатокутникразрежется у своїй на трикутники і трапеції. Залишається розрізати кожну трапецію за будь-якою з її діагоналей.

Теорему 1 (просторова теорема Піфагора).

У прямокутномутетраедре >АВСD, з пласкими кутами при вершині D, сума квадратів площ його прямокутних граней дорівнює квадрату площі межі АВС.

Доказ.

Нехай - кут між площинами АВС і >DВС, D' - проекція точки D на площину АВС. Тоді P.S>DBC=>СоsS>АBC і P.S>D'BC=з>оsS>DBC (полемме 1), тому з>оs = . P.S>D'>BC = .

Аналогічні рівності можна отримати й для трикутників >D'АВ і >D'АС.Складивая їх та враховуючи, сума площ трикутників >D'ВС, >D'АС і >D'АВ дорівнює площі трикутника АВС, отримуємо необхідну.

Завдання.

Нехай усі плоскі кути при вершині D прямі; a,b,з – довжини ребер, які виходять із вершини D на площину ABC. Тоді

Доказ.

По теоремі Піфагора для прямокутного тетраедра

;

 .

З іншого боку


                   (:

1=) => .

 

§2.Ортоцентрическиететраедри

На відміну від трикутника, висоти якого завжди перетинаються лише у точці -ортоцентре, не всякийтетраедр має аналогічним властивістю.Тетраедр, висоти якого перетинаються лише у точці, називаєтьсяортоцентрическим. ми почнемо вивченняортоцентрических тетраедрів з необхідних і належних умовортоцентричности, кожна з яких можна взяти за визначенняортоцентрического тетраедра.

(1)Висоти тетраедра перетинаються лише у точці.

(2) Підстави висот тетраедра єортоцентрами граней.

(3) Кожні дві протилежних ребра тетраедра перпендикулярні.

(4) Суми квадратів протилежних ребер тетраедра рівні.

(5)Отрезки, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, рівні.

(6) Творикосинусов протилежнихдвугранних кутів рівні.

(7) Сума квадратів площ граней вчетверо менше суми квадратів творів протилежних ребер.

>Докажем окремі.

Доказ (3).

Нехай щодва протилежних ребра тетраедра перпендикулярні.

Отже, висоти тетраедра попарно перетинаються. Якщо ви трохи прямих попарно перетинаються, всі вони лежать у площині чи проходять через одну точку. У одній площині висоти тетраедра лежати що неспроможні, бо інакше одноплощинно лежали ще й його вершини, тому вони перетинаються лише у точці.

Власне кажучи, щоб висоти тетраедра перетиналися лише у точці, необхідне й досить зажадати перпендикулярність лише двох пар протилежних ребер. Доказ цьому пропозиції безпосередньо випливає з наступній завдання.

Завдання 1.

Дан довільнийтетраедр >ABCD. Доведіть, що .

 

 

Рішення.

Нехай а=, b=, з=. Тоді ,  і , складаючи ці рівності, отримуємо необхідну.

Далі доведемо властивість (4).

Нехай а=, b= і з=. Рівність 2+2=2+2, що, тобто. (>а,с)=0. Застосовуючи даний алгоритм решти парам протилежних ребер, очевидно, одержимо дані твердження.

Наведемооказательство властивості (6).

Аби довести використовуємо такі теореми:

- Теорему синусів. «Твір довжин дві протилежні ребер тетраедра, ділене на твір синусівдвугранних кутів за цих ребрах, один і той для всіх трьох пар протилежних ребер тетраедра».

- ТеоремуБертшнейдера. «Якщо a і b – довжини двох перехресних ребер тетраедра, а -двугранние кути за цих ребрах, то величина залежить від вибору пари перехресних ребер.

Скориставшись теоремою синусів для тетраедра і теоремоюБертшнейдера, отримуємо, що талановиті творикосинусов протилежнихдвугранних кутів рівні тоді й тільки тоді, коли рівні суми квадратів протилежних ребер, з чого й слід справедливість властивості (6)ортоцентрического тетраедра.

На закінчення пункту проортоцентрическомтетраедре вирішимо кілька завдань по цій проблемі.

Завдання 2.

Доведіть, що уортоцентрическомтетраедре виконується співвідношення ВІН2=>4R2->3d2, де Про - центр описаної сфери, H - точка перетину висот, R - радіус описаної сфери,d - відстань міжсерединами протилежних ребер.

Рішення.


Нехай До і L - середини ребер АВ і >СD відповідно. Крапка Млежитт у площині, що проходить через >СDперепендикулярно АВ, а точка Про - у площині, що проходитьчерех До перпендикулярно АВ.

Ці площині симетричні щодо центру мас тетраедра - середини відрізка >KL. Розглядаючи такі площині всім ребер, отримуємо, що точки М і Про симетричні щодо М, отже >КLМО - паралелограм.Квадрати його сторін рівні й , тому . Розглядаючи перетин, що відбувається через точку М паралельно АВ і >СD, отримуємо що АВ2+CD2=>4d2.

Тут можна додати, що пряму, де лежать точки Про, М і М,

Страница 1 из 4 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація