>Інваріантніпідпростори.Власнівектори йвласнізначеннялінійного оператора
як ми ужезнаємо один й тієї жлінійний оператор врізнихбазисахзадаєтьсярізнимиматрицями.Виникає запитання: чи не можназнайтитакий базис векторногопростору, вякомуматрицялінійного операторамаєнайпростішийвигляд. Такимвиглядом якщодіагональнийвигляд. Довияснення цого запитання ми йприступаємо.
1.Інваріантніпідпростори.
>Нехай U >підпростір векторногопростору Vn, а –лінійний оператор, завдань напросторі Vn.
>Означення.Підпростір U векторногопростору Vn >називаєтьсяінваріантнимвідноснолінійного оператора,якщо образ шкірного вектора з U >належить цьомупідпростору U,тобто
.
>Приклади.
1.Розглянемозвичайнийтривимірнийпростір V3 й нехай – поворотнавколоосі >OZ.Інваріантнимипідпросторами будуть,наприклад,площина >XOY й самавісь >OZ.
2.Розглянемозновувекторнийпростір V3 йлінійний оператор,якийполягає вортогональномупроектуванні векторногопростору V3 наплощину >XOY.Інваріантнимипідпросторами будуть:площина >XOY, самавісь >OZ, усіплощини, котріпроходять черезвісь >OZ й усіпряміплощини >XOY, котріпроходять через вухо координат.
3. Убудь-якому векторномупросторікоженпідпростірінваріантнийвідноснототожного йнульового оператора.
4. Убудь-якому векторномупросторі сампростір й йогопідпростір,якийскладається лише ізнульового вектора,інваріантнівідноснобудь-якоголінійного оператора.
>Доведемо, щоперетин й сумапідпросторів,інваріантнихвідноснолінійного оператора,інваріантнівідносно цого оператора.
>Нехайпідпростори U1 й U2 –інваріантнівідноснолінійного оператора , й нехай .Тоді й , а означати й ,тобто . Отже, -інваріантнийпідпростірвідносно оператора .
>Нехай , де й .Тоді й , .Отже, –інваріантнийпідпростірвідносно оператора .
>Особливу рольвідіграютьодновимірніінваріантніпідпростори.
2.Власнівектори йвласнізначення.
>Означення.Власним векторомлінійного оператораназиваєтьсяненульовий вектор , дляякоговиконуєтьсярівність , де –деяке число, якуназиваєтьсявласнимзначеннямлінійного оператора,якомувідповідаєвласний вектор .
>Властивостівласнихвекторів.
1.Якщо –власний векторлінійного оператора ізвласнимзначенням , то вектор прибудь-якомутакожєвласним вектором із тім самимвласнимзначенням .
2.Якщо , ,…, –власнівекторилінійного оператора , котрі належати доти самоговласногозначення , тобудь-якаїхлінійнакомбінаціятакож якщовласним вектором цого оператора із тім самимвласнимзначенням .
3. Теорему.Власнівектори, котрівідповідаютьрізнимвласнимзначенням,лінійнонезалежні.
>Доведення.Нехай , ,…, –власнівекторилінійного оператора , котрівідповідаютьрізнимвласнимзначенням ,відповідно,тобто .Доводимо теорему методомматематичноїіндукції закількістювекторів.
Для теорема справедлива,бо заозначенням, й тоді й лише тоді, коли .
>Нехай теорема справедлива при ,тобто -лінійнонезалежні.Припустимо, що
(1)
йдоведемо, щорівність (1)виконується тоді й лише тоді, коли усі .
>Подіємо нарівність (1)лінійним оператором :
>використавшилінійність оператора , одержимо
>звідси
. (2)
>Віднімемо відрівності (2)рівність (1),помножену на .Одержимо
. (3)
Заприпущенняміндукції >вектори >лінійнонезалежні, томурівність (3)виконується тоді й лише тоді, коли усікоефіцієнти придорівнюють нулю. Алі заумовою (), а тому .
>Підставившицізначення урівність (1), одержимо ,звідси ,бо . Отже,рівність (1)виконується тоді й лише тоді, коли усі ()одночасно. Тому –лінійнонезалежні.
>Теорему доведено.Повернемось до запитання, якзнайтивласнізначення йвласнівекторилінійного оператора. Для цого нампотрібнорозглянутидеякідодатковіпоняття.
>Характеристичнаматриця
>Нехай данаквадратнаматриця
.
>Матриця
>називаєтьсяхарактеристичноюматрицею.Детермінантцієїматриці
>називаєтьсяхарактеристичниммногочленом.
>Корені цого багаточленаназиваютьсяхарактеристичними числами.
Теорему.Характеристичнімногочлениподібнихматрицьоднакові.
>Доведення.Нехай .Тоді
Теорему доведено.
>Нехайлінійний оператор вбазисі векторногопростору поставленоматрицею
й –власний вектор оператора ,якийвідповідаєвласномузначенню ,тобто .
>Позначимокоординати вектора вбазисі через .
>Тоді із одного боці , а із іншого боці .
>Тоді
чи врозгорнутомувигляді
(4)
>Звідси одержимо системулінійниходноріднихрівнянь
>Власний векторєненульовимрозв’язкомсистеми (>4). яквідомо,однорідна система n >лінійнихрівнянь із n >невідомимимаєненульовірозв’язки тоді й лише тоді, колиїїдетермінантдорівнює нулю,тобто, коливиконуєтьсяумова
Так якдетермінант притранспонуванні незмінюється, то одержиморівняннявідносноневідомого
(5)
Отже, ми довели теорему:кожневласнезначеннялінійного оператора ,заданогоматрицею А, >єкоренемхарактеристичного багаточлена.
>Провівшиміркуваннязнизу вгору, одержимотвердження:кожнийкоріньхарактеристичного багаточленалінійного оператора якщо йоговласнимзначенням.
Уходідоведеннятеореми ми здобули схемузнаходженнявласнихзначень йвласнихвекторівлінійного оператора.
>Приклад.Знайтивласнізначення йвласнівекторилінійного операторазаданогоматрицею
Схемарозв’язування:
1.Складаємохарактеристичнуматрицю
.
2.Шукаємохарактеристичний багаточлен
=
3.Розв’язуємохарактеристичнерівняння
(2-
Отже,власнимизначеннямилінійного операторає числа 1, 2, -1.
4. Длязнаходженнявласнихвекторіврозв’язуємо системурівнянь
>тобто (5)
а)Шукаємовласнівектори, котрівідповідаютьвласномузначеннюпідставивши у (5)замістьодиницю:
чи врозгорнутомувигляді
Рангцієїсистемидорівнює 2, тому фундаментальна системаїїрозв’язківскладається із одногорозв’язку.Знаходимо його.Злівазалишаємозмінні , аперенесемо в правучастину йвважаємоїївідомою:звідсиПокладемо тоді . Отже, одним звласнихвекторів, котрівідповідаютьвласномузначеннює векторВсівласнівектори, котрівідповідають цьомузначеннюмаютьвигляд , де ->будь-якедійсне число,відмінне від нуля.
>Самостійнознайтивласнівектори, котрівідповідаютьвласнимзначенням 2 й .
Весьнабірхарактеристичнихкоренів оператора (>причомукожнийкоріньбереться ізтієюкратністю, якоївінмає вхарактеристичномурівнянні)називається спектромлінійного оператора.
>Сукупністьвласнихвекторів оператора ,якимвідповідаєодне і, власнезначення ,збігається ізсукупністю всіхненульовихрозв’язків системлінійниходноріднихрівнянь.
>Лінійніоператори із вибачимо спектром
>Кажуть, щолінійний оператор у n –вимірномупросторі над полем Рмаєпростий спектр,якщо усі його nхарактеристичнікоренірізні.
>Повернемося до запитання: чиіснує базиспростору , вякомулінійний операторзадаєтьсядіагональноюматрицею.
>Нехай впросторііснує базис,якийскладається ізвласнихвекторів , котрівідповідаютьвласнимзначенням ,відповідно.Знайдемоматрицю цого оператора в цьомубазисі:
>тобто оператор завданьдіагональноюматрицею,причому подіагоналі стоятивласнізначеннялінійного оператора, котрівідповідаютьвласним векторах базису.
>Навпаки.Нехайлінійний оператор вдеякомубазисізадаєтьсядовільноюматрицею .
Заозначеннямматрицілінійного оператора вданомубазисі
>звідситобтовектори базисуєвласними векторами оператора ізвласнимизначеннями . Таким чином ми довели теорему:
>Якщовектори базисуєвласними векторамилінійного оператора , то цьомубазисі операторзадаєтьсядіагональноюматрицею.Навпаки,якщо вдеякомубазисіматриця оператораєдіагональною, то усівектори цого базисуєвласними векторами оператора .
якбачимо,матриця оператора вбазисі, щоскладається ізвласнихвекторів цого оператора,маєдоситьпростийвигляд.Самеце йобумовлюєважливістьролівласнихвекторів, а,отже, йодновимірнихінваріантнихпідпросторів прививченнілінійнихоператорів.
>Виникає запитання: яквстановити, знаючиматрицю оператора вдеякомубазисі, чимаєцей операторвласнівектори, котріутворюють базиспросторутобто, чи можна операторзадати вдеякомубазисідіагональноюматрицею?
Теорему.Якщолінійний оператормаєпростий спектр, тоіснує базиспростору , вякомуцей операторзадаєтьсядіагональноюматрицею.
>Доведення.Дано: –різнівласнізначення оператора ,якимвідповідаютьвласнівектори ,відповідно,тобто , >і=1, 2,…, n.
Ос-кільки , й , то –лінійнонезалежні, а означатиутворюють базис векторногопростору . У цьомубазисі операторзадаєтьсядіагональноюматрицею
векторортогональнийінваріантнийматриця
.
>Теорему доведено.
>Зведенняматриці додіагональноговигляду
>Нехайквадратнаматриця порядку ізелементами із поля >P.
>Вважають, щоматриця Aзводиться додіагональноговигляду,якщоіснуєдіагональнаматриця,подібнаматриці A.
Частотрапляється, щотреба знаті, чизводитьсяквадратнаматриця додіагональноговигляду. Наосновіпопередніхрезультатів можна довести теорему, Якавстановлюєдостатніумовизвідностіматриці додіагональноговигляду.
Теорему. Кожнаквадратнаматриця n-го порядку над полем Р, котрамає вполі Р n >різниххарактеристичнихкоренів,зводиться додіагональноговигляду,тобтоподібна додіагональноїматриці.
>Доведення.Дано A –квадратнаматриця n – го порядку над полем >P.Нехай -різніхарактеристичнікореніматриці й (>i=1,2,… n).
>Розглянемовекторнийпростір над полем >P.Матриця A вдеякомубазисізадаєдеякийлінійний оператор .Характеристичнікоренієвласнимизначеннями оператора ,якимвідповідаютьвласнівектори цого оператора , . Завластивістювласнихвекторів, котрівідповідаютьрізнимвласнимзначеннямвектори –лінійнонезалежні, тому смердотіутворюють базиспростору . У цьомубазисіматрицялінійного операторамаєвигляд .
і Aподібні,бо смердотізадають один й тієїсамий оператор врізнихбазисах.Діагональнимиелементамиматрицієхарактеристичнокореніматриці A.
>Знаходженнядіагональноїматриці,подібноїматриці A,називаєтьсязведеннямматриці A додіагональноговигляду.
>Приклад.Звестиквадратнуматрицю A додіагональноговигляду,якщо
.
>Розв’язуємохарактеристичнерівняння:
, . (>Розв’язатисамостійно)
Отже, .