>Інваріантніпідпростори.Власнівектори йвласнізначеннялінійного оператора

як ми ужезнаємо один й тієї жлінійний оператор врізнихбазисахзадаєтьсярізнимиматрицями.Виникає запитання: чи не можназнайтитакий базис векторногопростору, вякомуматрицялінійного операторамаєнайпростішийвигляд. Такимвиглядом якщодіагональнийвигляд. Довияснення цого запитання ми йприступаємо.

1.Інваріантніпідпростори.

>Нехай U >підпростір векторногопростору V_n, а –лінійний оператор, завдань напросторі V_n.

>Означення.Підпростір U векторногопростору V_n >називаєтьсяінваріантнимвідноснолінійного оператора,якщо образ шкірного вектора з U >належить цьомупідпростору U,тобто

.

>Приклади.

1.Розглянемозвичайнийтривимірнийпростір V₃ й нехай – поворотнавколоосі >OZ.Інваріантнимипідпросторами будуть,наприклад,площина >XOY й самавісь >OZ.

2.Розглянемозновувекторнийпростір V₃ йлінійний оператор,якийполягає вортогональномупроектуванні векторногопростору V₃ наплощину >XOY.Інваріантнимипідпросторами будуть:площина >XOY, самавісь >OZ, усіплощини, котріпроходять черезвісь >OZ й усіпряміплощини >XOY, котріпроходять через вухо координат.

3. Убудь-якому векторномупросторікоженпідпростірінваріантнийвідноснототожного йнульового оператора.

4. Убудь-якому векторномупросторі сампростір й йогопідпростір,якийскладається лише ізнульового вектора,інваріантнівідноснобудь-якоголінійного оператора.

>Доведемо, щоперетин й сумапідпросторів,інваріантнихвідноснолінійного оператора,інваріантнівідносно цого оператора.

>Нехайпідпростори U₁ й U₂ –інваріантнівідноснолінійного оператора , й нехай .Тоді й , а означати й ,тобто . Отже, -інваріантнийпідпростірвідносно оператора .

>Нехай , де й .Тоді й , .Отже, –інваріантнийпідпростірвідносно оператора .

>Особливу рольвідіграютьодновимірніінваріантніпідпростори.

2.Власнівектори йвласнізначення.

>Означення.Власним векторомлінійного оператораназиваєтьсяненульовий вектор , дляякоговиконуєтьсярівність , де –деяке число, якуназиваєтьсявласнимзначеннямлінійного оператора,якомувідповідаєвласний вектор .

>Властивостівласнихвекторів.

1.Якщо –власний векторлінійного оператора ізвласнимзначенням , то вектор прибудь-якомутакожєвласним вектором із тім самимвласнимзначенням .

2.Якщо , ,…, –власнівекторилінійного оператора , котрі належати доти самоговласногозначення , тобудь-якаїхлінійнакомбінаціятакож якщовласним вектором цого оператора із тім самимвласнимзначенням .

3.  Теорему.Власнівектори, котрівідповідаютьрізнимвласнимзначенням,лінійнонезалежні.

>Доведення.Нехай , ,…, –власнівекторилінійного оператора , котрівідповідаютьрізнимвласнимзначенням ,відповідно,тобто .Доводимо теорему методомматематичноїіндукції закількістювекторів.

Для теорема справедлива,бо заозначенням, й тоді й лише тоді, коли .

>Нехай теорема справедлива при ,тобто -лінійнонезалежні.Припустимо, що

 (1)

йдоведемо, щорівність (1)виконується тоді й лише тоді, коли усі .

>Подіємо нарівність (1)лінійним оператором :

>використавшилінійність оператора , одержимо

>звідси

. (2)

>Віднімемо відрівності (2)рівність (1),помножену на .Одержимо

. (3)

Заприпущенняміндукції >вектори  >лінійнонезалежні, томурівність (3)виконується тоді й лише тоді, коли усікоефіцієнти придорівнюють нулю. Алі заумовою (), а тому .

>Підставившицізначення урівність (1), одержимо ,звідси ,бо . Отже,рівність (1)виконується тоді й лише тоді, коли усі ()одночасно. Тому –лінійнонезалежні.

>Теорему доведено.Повернемось до запитання, якзнайтивласнізначення йвласнівекторилінійного оператора. Для цого нампотрібнорозглянутидеякідодатковіпоняття.

>Характеристичнаматриця

>Нехай данаквадратнаматриця

.

>Матриця

>називаєтьсяхарактеристичноюматрицею.Детермінантцієїматриці

>називаєтьсяхарактеристичниммногочленом.

>Корені цого багаточленаназиваютьсяхарактеристичними числами.

Теорему.Характеристичнімногочлениподібнихматрицьоднакові.

>Доведення.Нехай .Тоді

Теорему доведено.

>Нехайлінійний оператор вбазисі векторногопростору поставленоматрицею

й –власний вектор оператора ,якийвідповідаєвласномузначенню ,тобто .

>Позначимокоординати вектора вбазисі через .

>Тоді із одного боці , а із іншого боці .

>Тоді

чи врозгорнутомувигляді

 (4)

>Звідси одержимо системулінійниходноріднихрівнянь

>Власний векторєненульовимрозв’язкомсистеми (>4). яквідомо,однорідна система n >лінійнихрівнянь із n >невідомимимаєненульовірозв’язки тоді й лише тоді, колиїїдетермінантдорівнює нулю,тобто, коливиконуєтьсяумова

Так якдетермінант притранспонуванні незмінюється, то одержиморівняннявідносноневідомого

      (5)

Отже, ми довели теорему:кожневласнезначеннялінійного оператора ,заданогоматрицею А, >єкоренемхарактеристичного багаточлена.

>Провівшиміркуваннязнизу вгору, одержимотвердження:кожнийкоріньхарактеристичного багаточленалінійного оператора якщо йоговласнимзначенням.

Уходідоведеннятеореми ми здобули схемузнаходженнявласнихзначень йвласнихвекторівлінійного оператора.

>Приклад.Знайтивласнізначення йвласнівекторилінійного операторазаданогоматрицею

Схемарозв’язування:

1.Складаємохарактеристичнуматрицю

.

2.Шукаємохарактеристичний багаточлен

=

3.Розв’язуємохарактеристичнерівняння

(2-

Отже,власнимизначеннямилінійного операторає числа 1, 2, -1.

4. Длязнаходженнявласнихвекторіврозв’язуємо системурівнянь

 >тобто (5)

а)Шукаємовласнівектори, котрівідповідаютьвласномузначеннюпідставивши у (5)замістьодиницю:

 чи врозгорнутомувигляді

Рангцієїсистемидорівнює 2, тому фундаментальна системаїїрозв’язківскладається із одногорозв’язку.Знаходимо його.Злівазалишаємозмінні , аперенесемо в правучастину йвважаємоїївідомою:звідсиПокладемо тоді . Отже, одним звласнихвекторів, котрівідповідаютьвласномузначеннює векторВсівласнівектори, котрівідповідають цьомузначеннюмаютьвигляд , де ->будь-якедійсне число,відмінне від нуля.

>Самостійнознайтивласнівектори, котрівідповідаютьвласнимзначенням 2 й .

Весьнабірхарактеристичнихкоренів оператора (>причомукожнийкоріньбереться ізтієюкратністю, якоївінмає вхарактеристичномурівнянні)називається спектромлінійного оператора.

>Сукупністьвласнихвекторів оператора ,якимвідповідаєодне і, власнезначення ,збігається ізсукупністю всіхненульовихрозв’язків системлінійниходноріднихрівнянь.

>Лінійніоператори із вибачимо спектром

>Кажуть, щолінійний оператор у n –вимірномупросторі над полем Рмаєпростий спектр,якщо усі його nхарактеристичнікоренірізні.

>Повернемося до запитання: чиіснує базиспростору , вякомулінійний операторзадаєтьсядіагональноюматрицею.

>Нехай впросторііснує базис,якийскладається ізвласнихвекторів , котрівідповідаютьвласнимзначенням ,відповідно.Знайдемоматрицю цого оператора в цьомубазисі:

>тобто оператор завданьдіагональноюматрицею,причому подіагоналі стоятивласнізначеннялінійного оператора, котрівідповідаютьвласним векторах базису.

>Навпаки.Нехайлінійний оператор вдеякомубазисізадаєтьсядовільноюматрицею .

Заозначеннямматрицілінійного оператора вданомубазисі

 >звідситобтовектори базисуєвласними векторами оператора ізвласнимизначеннями . Таким чином ми довели теорему:

>Якщовектори базисуєвласними векторамилінійного оператора , то цьомубазисі операторзадаєтьсядіагональноюматрицею.Навпаки,якщо вдеякомубазисіматриця оператораєдіагональною, то усівектори цого базисуєвласними векторами оператора .

якбачимо,матриця оператора вбазисі, щоскладається ізвласнихвекторів цого оператора,маєдоситьпростийвигляд.Самеце йобумовлюєважливістьролівласнихвекторів, а,отже, йодновимірнихінваріантнихпідпросторів прививченнілінійнихоператорів.

>Виникає запитання: яквстановити, знаючиматрицю оператора вдеякомубазисі, чимаєцей операторвласнівектори, котріутворюють базиспросторутобто, чи можна операторзадати вдеякомубазисідіагональноюматрицею?

Теорему.Якщолінійний оператормаєпростий спектр, тоіснує базиспростору , вякомуцей операторзадаєтьсядіагональноюматрицею.

>Доведення.Дано: –різнівласнізначення оператора ,якимвідповідаютьвласнівектори ,відповідно,тобто , >і=1, 2,…, n.

Ос-кільки , й , то –лінійнонезалежні, а означатиутворюють базис векторногопростору . У цьомубазисі операторзадаєтьсядіагональноюматрицею

векторортогональнийінваріантнийматриця

.

>Теорему доведено.

>Зведенняматриці додіагональноговигляду

>Нехайквадратнаматриця порядку ізелементами із поля >P.

>Вважають, щоматриця Aзводиться додіагональноговигляду,якщоіснуєдіагональнаматриця,подібнаматриці A.

Частотрапляється, щотреба знаті, чизводитьсяквадратнаматриця додіагональноговигляду. Наосновіпопередніхрезультатів можна довести теорему, Якавстановлюєдостатніумовизвідностіматриці додіагональноговигляду.

Теорему. Кожнаквадратнаматриця n-го порядку над полем Р, котрамає вполі Р n >різниххарактеристичнихкоренів,зводиться додіагональноговигляду,тобтоподібна додіагональноїматриці.

>Доведення.Дано A –квадратнаматриця n – го порядку над полем >P.Нехай -різніхарактеристичнікореніматриці й (>i=1,2,… n).

>Розглянемовекторнийпростір над полем >P.Матриця A вдеякомубазисізадаєдеякийлінійний оператор .Характеристичнікоренієвласнимизначеннями оператора ,якимвідповідаютьвласнівектори цого оператора , . Завластивістювласнихвекторів, котрівідповідаютьрізнимвласнимзначеннямвектори –лінійнонезалежні, тому смердотіутворюють базиспростору . У цьомубазисіматрицялінійного операторамаєвигляд .

 і Aподібні,бо смердотізадають один й тієїсамий оператор врізнихбазисах.Діагональнимиелементамиматрицієхарактеристичнокореніматриці A.

>Знаходженнядіагональноїматриці,подібноїматриці A,називаєтьсязведеннямматриці A додіагональноговигляду.

>Приклад.Звестиквадратнуматрицю A додіагональноговигляду,якщо

.

>Розв’язуємохарактеристичнерівняння:

, . (>Розв’язатисамостійно)

Отже, .