Реферати українською » Математика » Обчислення радіальних функцій Матьє-Ханкеля


Реферат Обчислення радіальних функцій Матьє-Ханкеля

>Вичисление радіальних функційматье-ханкеля

 

Н.І.Волвенко, V курс, Інститут математики комп'ютерних наукДВГУ,Т.В. Пак – науковий керівник, доцент,к.ф.-м.н., в.о. зав. кафедроюКТ

 

Функції Матьє, на відміну широковідомих спеціальних функцій, як-отполиномиЛежандра, функціїБесселя іНеймана, вивчені ще недостатньо повно. Майже всі використовувані методи розрахунку пов'язані з розкладанням до лав з більш простим циліндричним тощо. функцій. Недолік таких методів у тому, що вони досить громіздкі і мають обмежену придатність.

Функції Матьє виникають при поділі змінних в рівнянніГельмгольца:

, (1)

де - деяка речовинна позитивна константа і - операторЛапласа.

>Эллиптические координати , допускають поділ змінних пов'язані здекартовими: , .

Вважаючи в методі поділу змінних, отримуємо рівняння:

, ,

де - константа поділу. Ці рівняння є варіантами рівнянь Матьє.

>Дифференциальное рівняння Матьє має вигляд

, (2)

де зазвичай змінна має речовинне значення, а - поставлене речовинний ненульовий параметр.

Власні значення й граничні умови

 (3)

відповідаютьчетним функцій Матьє , а власні значення й граничні умови

 (4)

>нечетним функцій Матьє

З огляду на властивостей симетрії рівняння (2) має 4 типу періодичних рішень, званих функціями Матьє1-ого роду:четную-периодическую,четную2-периодическую,нечетную2-периодическую,нечетную-периодическую функції, які найчастіше позначаються в такий спосіб: , , , .

Власні значення , відповідальні функцій , , , , позначаються через , , , .

>Модифицированное рівняння Матьє

 (5)

виходить з рівняння Матьє (2) підстановкою . Залежно від цього, буде зацікавлений у (5) чи , це рівняння має або рішення , або рішення , що є відповідночетной інечетной функціями від.

Функції, є рішеннями рівняння (5), називаються радіальними функціями Матьє (>РФМ).

РозрізняютьРФМ 1, 2, 3 і 4 роду: , , , .

>Вичисление функцій Матьє I роду

 

>Радиальние функції Матьє першого роду є рішеннямиОДУ другого порядку

,  (6)

задовольняють в нулі умові

, якщо (7)

, якщо

І нескінченності умові

~,  (8)

де - поставлено, а () - власні значення завдання (2), (3), (4),

>Параметр йдуть на відмінності випадків використаннячетного чинечетного номери власного значення для і2 періодичних власних функцій:

Аби вирішити завдання (6)-(8) використовуємо модифікацію методу фазових функцій.

>Введем заміну змінних:

 (9)

 (10)

Тут - ">масштабирующая" функція, позитивна на , яка задовольнить умові при , її вибір перебуває у нашому розпорядженні.

Підставляючи (9), (10) у початковий рівняння (6) завдання для і :

 (11)

 (12)

що й .

Для спільного вирішення завдань Коші для і використовується наступний прийом. Функцію шукаємо в точках . На кожному з відрізків допоміжні функції перебувають, як вирішення завдань Коші

 (13)

де .

Коли щодо будь-яких прийняття рішень та , рівнянь (12) і (13) справедливо співвідношення , отримуєморекуррентние формули «тому» для обчислення , ,


, , (14)

причому .

Отже, короткий алгоритм виконання завдання (6)-(8) ось у чому:

1. Вирішуються спільно завдання Коші (11), (12) запам'ятовуючи в точках розбивки відрізка величини , , ;

2. Вважаючи , за такою формулою (14) обчислюємо , ;

3. За формулою (10) обчислюємо функції , ;

4. З (9) і (10) отримуємо вираз для похідною функції

.

Як що згладжує функції пропонується наступна функція

, де .

>Вичисление функцій Матьє III роду

>Волновая радіальна функціяМатье-Ханкеля третього роду розв'язує звичайного диференціального рівняння другоговорядка наполубесконечном інтервалі:

, . (15)

Умова на нескінченності

~, . (16)

Для рівняння (15) умова (16) еквівалентно умові:

,

й досить великих лінійному співвідношенню:

, .

 (17)

Рішення завдання (17) існує, єдино й досить великихпредставимоасимптотическим поруч .

Розглянемо алгоритм перебування функцій . Для їх обчислення потрібно перенести граничну умова

,

де , справа-наліво від точки до точки .

Скористаємося варіантом ортогональної диференціальноїпрогонки.

З усього відтинку переносимо співвідношення

,

вимагаючи виконання умови всім , , що й задовольняють системі диференційних рівнянь1-ого порядку

.

Функції Матьє3-его роду шукаємо за такою формулою:

,

де .

Функції Матьє2-ого роду обчислюються за такою формулою:

.

функціяматье диференціальний рівняння

Описані алгоритми обчислення радіальних функцій еліптичного циліндра випробувані широтою діапазону зміни параметрів. Точність результатів визначається точністю використовуваного методуРунге-Кутта на вирішення відповідних завдань Коші.


Література

1. Абрамов А.А.,Дишко О.Л., ПакТ.В. та інших.Численние на методи вирішення завдань за власні значення для систем звичайних диференційних рівнянь особливостям. – Третя конференція по диференційним рівнянням і додатків. – Тези доповідей.Руссе, Болгарія, 1985. – с.4.

2. Міллер У. мл.Симметрия і поділ змінних / Пер. з анг. – М.: Світ, 1981. – 342 з.

3. Довідник спеціальними функцій з формулами, графіками таблицями. / Під редакцією М.Абрамовица, І.Стигана. – М. – 1979. – 832с.:ил.


Схожі реферати:

Навігація