Реферати українською » Математика » Системи лінійніх рівнянь


Реферат Системи лінійніх рівнянь


>СИСТЕМИЛІНІЙНИХРІВНЯНЬ

 


1.Основніпоняття йтеореми

 

Постановказадачі.Потрібнознайтизначення x1, x2, … , >хn , щозадовольняють такимспіввідношенням: .

Тут >aij (і = 1, 2, … , >m; j = 1, 2, … , n) й >bk (>k = 1, 2, … , >m) –задані числа.

При цьому: ; ; .

>Матриця Аназиваєтьсяголовноюматрицеюсистеми, вектор b –вектором-стовпцемправихчастин, вектор x –вектором-стовпцемневідомих.

>Використовуючиціпозначки, можна системузаписати вматричнійформі: О = b.

>Якщо b1 = b2 = = >bm = 0, то системарівняньназивається >однорідною.Якщохоча бодне із >bk (>k = 1, 2, , >m)відмінне від нуля, то системаназивається >неоднорідною.

.

>Матрицяназивається >розширеноюматрицеюсистеми.

>Якщо системамаєхоча б одинрозв’язок, то вонаназивається >сумісною.

При цьому система, щомає Єдинийрозв’язок,називається >визначеною, а лише одногорозв’язку – >невизначеною.

>Якщо система має немаєрозв’язків, то вонаназивається >несумісною.

Прирозв’язуванні системлінійнихрівняньмає бутизнайденавідповідь втричізапитання:

А. Чисумісна система?

У. Чивизначена система?

З. якзнайтирозв’язок (чирозв’язки)системи,якщо смердотііснують?

Правило Крамера.Якщонеоднорідна системарівняньневироджена (>detА 0), то системавизначена,тобтомає Єдинийрозв’язок, й його можназнайти за формулами Крамера: (>k = 1, 2, … , n) де D>k –визначникматриці, якої можнаодержати,якщо вматриці Асистеми >k-істовпецьзамінити настовпецьвільнихчленів.

Рангматриці. Зрозв’язуванням системрівняньбезпосередньопов'язанепоняття рангуматриці. Рангматриці –ценайвищий порядокїїмінора,відмінного від нуля.

Ащобзнайти рангматриці,важливоорієнтуватися до того, котріперетворення ізматрицею можнаробити, незмінюючи при цьомуїї ранг:

1)транспонування;

2) перестановка двохрядків (>стовпців);

3)множення всіхелементів рядка (чистовпця) на число a 0;

4)додавання до всіхелементів рядка (>стовпця)відповіднихелементівіншого рядка (>стовпця);

5)вилученнянульового рядка (>стовпця);

6)викреслення рядка (>стовпця), щоєлінійноюкомбінацієюіншихрядків (>стовпців).

>Одноріднісистеми.Розглядаєтьсяоднорідна системалінійнихрівнянь із n >невідомими: О = 0.

>ЯкщоrangА = n (>detА 0), то системавизначена ймає лишетривіальнийрозв’язок: x1 = x2 = … = >xn = 0.

>ЯкщоrangА < n (>detА = 0), то система має не лишетривіальнірозв’язки. При цьому усірозв’язкиоднорідноїсистемирівняньутворюютьлінійнийпростір L йdim L = n –rangА.

>Щобзнайти базиспросторурозв’язківоднорідноїсистемирівнянь,треба:

>1.Знайтибазисниймінорматриці А.

>2.Якщо ряд не входити до базисногомінора, торівняння, якуйомувідповідає,єлінійноюкомбінацієюіншихрівнянь, й його можна небрати доуваги.

>3.Якщостовпець не входити убазисниймінор, тоневідома ізвідповідним номеромпризначаєтьсявільною.Усьогознайдеться (n –rang A)вільнихневідомих.

>4.Нехайвільніневідомі >хr+1, >хr+2, … , >хn.Якщодативільнимневідомимдовільнізначення, то одержимонеоднорідну системурівняньвідносно >хr+1, >хr+2, … , xn , уякоївизначник недорівнює нулю, й,отже, системамає Єдинийрозв’язок.

>5.Дамовільнимневідомимзначення (1, 0, 0, 0, … , 0),потім (0, 1, 0, 0, … , 0) й т. буд.Розв’язуючисистеми, щоутворюють, одержимовідповідновектори .Цівектори іутворюють базиспростору Lрозв’язківоднорідноїсистемилінійнихрівнянь.

>6.Загальнийрозв’язоклінійноїсистемиодноріднихрівнянь у цьомувипадкуєлінійноюкомбінацієюбазиснихвекторів:

.

 

>Неодноріднісистеми. ТеоремуКронекера –Капеллі: системанеодноріднихлінійнихрівнянь О = bсумісна тоді й лише тоді, колиrangА =rang.

При цьомуякщоrangА =rang= n, то системамає Єдинийрозв’язок йвінможе бутизнайдений за правилом Крамера.

>ЯкщоrangА =rang < n, то системамаєнескінченно багаторозв’язків, котріутворюютьлінійниймноговид. При цьомупідпростірзсуву –цепростір Lрозв’язківоднорідноїсистемирівнянь, й його базис можнапобудувати способом,який було брозглянутовище. Векторзсуву –цечастиннийрозв’язокнеоднорідноїсистемирівнянь. йвінможе бутизнайдений,якщо внеодноріднійсистемівільніневідоміпокластирівнимидеякимдовільнимзначенням (>наприклад,нульовим).

>Загальнийрозв’язокнеоднорідноїсистеми –цезагальнийрозв’язоквідповідноїоднорідноїсистеми плюсдеякийчастиннийрозв’язокнеоднорідноїсистеми.Останнєтвердження можназаписати черезабревіатуривідповіднихтермінів:З.Р.Н.С. =З.Р.О.С. +Ч.Р.Н.С.

>Оберненаматриця.Запишемо систему в матричномувигляді О = b.ЯкщоdetА 0 (такаматриця А >називається >невиродженою), то тут дляматриці Аіснуєматриця А–1 така, що А–1А = АА–1 = Є. >Такаматрицяназивається >оберненою доматриці А, йрозв’язоксистеми можназаписати задопомогоюоберненоїматриці увигляді: А–1О = А–1b > x = А–1b.

Таким чином, увипадкуіснуванняоберненоїматриці А–1 >розв’язоксистемимаєвигляд: x = А–1b.

як жзнайтиоберненуматрицю А–1 доневиродженоїматриці А?

Iспосіб.

1)  >Складемоматрицю >Аik ізалгебраїчнихдоповнень доелементів >аikматриці А;

2)транспонуємоматрицю ізалгебраїчнихдоповнень;

3)коженелементматриці, щоутворилась,ділимо наdetА.

Урезультаті маємооберненуматрицю А-1.

IIспосіб.

1)Запишемоматрицю А, аправоруч віднеї, черезвертикальну ризику, –>одиничнуматрицю Є.Одержимоматрицю Якамає nрядків та 2nстовпців;

2) уматриці, щоутворилась, задопомогоюзастосування дорядків (й лише дорядків)перетворень, що незмінюють рангматриці,утворимо намісціматриці Аодиничнуматрицю.

Намісціодиничноїматрицітеперстоїть А–1.

IIIспосіб. >Праворуч відматриціприпишемоодиничнуматрицю Є, азнизуприпишемоматрицю (–Є). У правомунижньомукутіпоставимонульовуматрицю.Використовуючиоперації лише над рядкамиматриці, щоутворилась, намісціматриці (–Є)утворимонульовуматрицю.Тоді у правомунижньомукуті якщостояти А–1.

IVспосіб. Дляоберненняматриці, щомаєблокову структуру,тобтоматрицівигляду: , де А –квадратнаматриця порядку n n, а D –квадратнаматриця >q >q,справедливідвіформулиФробеніуса:

>1.Перша формулаФробеніуса (>якщоdetА ¹ 0):

, де H = D>CA–1B.

>2.Друга формулаФробеніуса (>якщоdetD ¹ 0):

, де K = A>BD–1З.

2.Контрольні запитання й заподіяння

 

1.  Колитаке рангматриці йїїбазисниймінор? Чивизначаються смердоті однозначно?

1.2.  >Знайти ранг й усібазиснімінориматриці: .

1.3.  якпов'язані рангматриці йвимірністьлінійноїоболонкиїїрядків.

1.4.  >Чомудорівнюєвимірністьпросторурозв’язківоднорідноїсистемилінійнихрівнянь,якщо удесятерорівнянь, 16невідомих й рангматрицісистемидорівнює 6?

1.5.  Чиутворюємножинарозв’язківнеоднорідноїсистемилінійнийпростір? Яка ізвластивостейлінійногопростору невиконується?

1.6.  >Згадайтевизначеннялінійногомноговиду. Колиназивається його базисом йвимірністю?

1.7.  яквизначається векторзсуву длялінійногомноговиду, щоємножиноюрозв’язківнеоднорідноїсистеми?

3.Прикладирозв’язування завдань

 

Завдання 1.Знайти рангматриці .

>Розв’язання. >Насампередвідзначимо, щочетвертий рядматрицієсумою іншого йтретьогорядків й тому привилученні цого рядка рангматриці незміниться.

>1.Відкинемочетвертий ряд.

>2.З іншого йтретьогорядківматрицівіднімемоперший ряд,помножений,відповідно, на 2 та 3.

>3.Вотриманійматриці ізтретього рядкавіднімемодругий,помножений на 2.

>Одержимоланцюжокперетворень:

>лінійнийрівнянняматриця

.

Уматриці, щоутворилась,мінор,якийстоїть впершихтрьохстовпцях, недорівнює нулю. Отже, рангвихідноїматрицідорівнює 3 ймінор 3-го порядку, щостоїть впершихтрьохстовпцях,єбазиснимміноромматриці А.

Завдання 2. >Знайтиматрицю, котраєоберненою доматриці

.

>Розв’язання. >Знайдемооберненуматрицю завизначенням.Нехайоберненаматрицямаєвигляд: .Тоді, завизначенням,

АА–1 = Є,тобто .

>Знаходячидобутокматриць, одержиморівності:

.

Зцихспіввідношеньодержуємо: g = 0, >d = 0, a = 1; далі: h = 0, e =1, b = –3. Інарешті: >m = 1, >f = –2, з = 11. Упідсумкудійдемовисновку, що:

.

Завдання 3. >Знайтиматрицю, Якаєоберненою доматриці .

>Розв’язання. >Побудуємоматрицю 6 6,дописавшиправоруч від Аодиничнуматрицю Є, внизуматрицю (– Є), аіншімісцязаповнимо нулями.

.

Задопомогоюоперацій над рядкамиматриці А>утворимо намісці (–Є)нульовуматрицю.Тоді в правомунижньомукуті якщостоятиматриця А–1.

>1.До всіхрядківматриці А>додамотретій ряд іздеякиммножником,домагаючись того,щоб усіелементи Першогостовпця,крім а31,дорівнювали нулю.

>2.Перший рядотриманоїматриціподілимо на (–3) й,додаючи доіншихрядківматриціотриманийперший ряд іздеякимимножниками,досягаємо того,щоб у іншомустовпці стоялинулі,крімелемента а12.

>3.Задопомогою іншого рядкаутворимонулі втретьомустовпці,крімелемента а23.

>Одержимоланцюжокперетворень:

>Звідсиукладаємо, що .

Завдання 4. >Знайтиматрицю, котраєоберненою до .

>Розв’язання. Дляоберненняматрицізастосуємопершу формулуФробеніуса.Позначимо: , , , .

>Знаходимопослідовно:

;

;

;

.

І тоді .Привабливість зазначеного способуполягає до того, що дляоберненняматриці 4-го порядку ми маємосправу ізоберненнямматрицьлише 2-го порядку, щоістотнопростіше.

Завдання 5. Задопомогою правила Крамерарозв’язати системулінійнихнеодноріднихрівнянь: .

>Розв’язання. >Головнаматрицясистемимаєвигляд: .

>Розв’язоксистемиможе бутизнайдений за правилом Крамера, боdetА = D = 18 0. Для цогопобудуємовизначники Dx, Dу, D>z, котрівідрізняються від головноговизначника тім, що вньомустовпецькоефіцієнтів при,відповідно, x, у та >zзамінено настовпецьвільнихчленів,тобто:

.

>Обчислюючи їхнього,знаходимо, що Dx = 18, Dу = 36, D>z = 54.

Отже .

Завдання 6. >Розв’язати системулінійниходноріднихрівнянь:

>Розв’язання. >Насампередвідзначимо, що системанапевнесумісна,оскількиоднорідна системазавждимаєщонайменшенульовийрозв’язок.

>Почнемопошукзагальногорозв’язкуданоїсистеми.Головнаматрицясистемимаєвигляд: .

>Знайдемо рангматриці А. перший рядматриці ізвідповіднимимножникамидодамо доіншихрядківматриці так,щобелементи Першогостовпцяобернулися на нуль,крімелемента а11.Вийдематриця А1 така, що

>rangА1 =rangА й .

>Відзначаючи, щотретій йчетвертий рядкиматриціпропорційні іншому рядку,укладаємо, щоrangА1 =rangА2, де .Помножимодругий рядматриці А2 на (–2) йдодамо до Першого рядка.Одержимоматрицю А3: ,таку, щоrangА3 =rangА2 = 2. УпідсумкуrangА =rangА3 = 2.

>Тодівийшла система двохрівнянь, із яких, можнанаписати:

x1 = 14x3 – 7x4 + 3x5 – x6, x2 = –7x3 + 2x4 – x5 – 2x6 йзмінні x3, x4, x5, x6 –будь-які. Це йєрозв’язоксистеми.

Однак можна (йнеобхідно)піти далі.Множинарозв’язківлінійноїоднорідноїсистемиутворюєлінійнийпростір LвимірностіdimL = n –rangА = 6 – 2 = 4. Длязнаходженнябазиснихвекторівпросторурозв’язківнадамовільнимневідомим x3, x4, x5, x6значення: а) 1, 0, 0, 0; б) 0, 1, 0, 0; в) 0, 0, 1, 0; р) 0, 0, 0, 1.Одержимочотиривектори, щоутворять базис L: е1 = (14, –7, 1, 0, 0, 0); е2 = (–7, 2, 0, 1, 0, 0); е3 = (3, –1, 0, 0, 1, 0); е4 = (–1, –2, 0, 0, 0, 1). Утакийспосіб L =(е1, е2, е3, е4), йбудь-якийрозв’язоквихідноїсистемиможе бутизаписаний увигляділінійноїкомбінаціїбазиснихвекторів,тобто увигляді: з1(14, –7, 1, 0, 0, 0) + з2(–7, 2, 0, 1, 0, 0) + з3(3, –1, 0, 0, 1, 0) + з4(–1, –2, 0, 0, 0, 1), де з1, з2, з3, з4 –будь-якізначення. Це йєзагальнийрозв’язоквихідноїлінійноїоднорідноїсистемирівнянь.

Завдання 7. >Розв’язати системулінійнихнеодноріднихрівнянь

>Розв’язання. >Розширенаматрицясистемирівняньмаєвигляд: ,причому довертикальної ризики записанаголовнаматрицясистеми, а послевертикальної ризики –стовпецьвільнихчленів.Перетворюючиматрицюаналогічно доти, якперетворюваласяматриця А врозв’язкупопередньоїзадачі, одержимоматрицю Атаку, щоrang =rangА = 2 й .Звідси можназаписатизагальнийрозв’язоксистеми увигляді: x1 = 1 + 14x3 – 7x4 – 3x5, x2 = 2 – 7x3 + 2x4 – x5, де x3, x4, x5 –будь-які.

Це йєзагальнийрозв’язоквихідноїсистемилінійнихрівнянь. Однак ізметоюпроясненняалгебраїчноїструктурирозв’язкусистемивідзначимотаке:

>Враховуючи, щоrang =rang A = 2 < n = 5,можемозазначити, щомножинарозв’язківсистемиявляє собоюлінійниймноговид.Векторомзсуву цоголінійногомноговидуєчастиннийрозв’язокнеоднорідноїсистемирівнянь, длязнаходженняякогодамовільнимневідомим x3, x4, x5довільнізначення (>наприкладнулі) й одержимо: >f = (1, 2, 0, 0, 0).Підпросторомзсувуєпростіррозв’язківоднорідноїсистеми ізматрицею А2, Яказбігається ізголовноюматрицеювихідноїсистеминеодноріднихрівнянь

 .

>Звідси x1 = 14x3 – 7x4 – 3x5, x2 = – 7x3 + 2x4 – x5, де x3, x4, x5 –будь-які.Даючивільнимзмінним x3, x4, x5значення: а) 1, 0, 0; б) 0,1,0; в) 0, 0, 1; одержимо,відповідно,базиснівекторипростору L >розв’язківоднорідноїсистемирівнянь:е1 = (14, –7, 1, 0, 0), е2 = (–7, 2, 0, 1, 0), е3 = (–3, –1, 0, 0, 1).

Отже,розв’язкивихідноїсистемиутворюютьлінійниймноговид М:

M = {xx = >f + з1e1 + >c2e2 + з3e3}, де з1, >c2, з3 –будь-які,


Схожі реферати:

Навігація