Реферати українською » Математика » Інтеграли, залежні від параметра


Реферат Інтеграли, залежні від параметра

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Міністерство освіти і науки РФ

Федеральне Агентство за освітою

>ГОУ ППО «Таганрозький державний педагогічний інститут»

Курсова робота

на задану тему:Интеграли, залежать від параметра

Таганрог. 2009 р.


Запровадження

 

Математичний аналіз - загальноосвітня математична дисципліна, об'єктом вивчення якої є більшість математики, що з поняттями функції, похідною і інтеграла. Мета дисципліни «Математичний аналіз»- ознайомлення з фундаментальними методи дослідження змінних величин у вигляді аналізу нескінченно малих, основу якого складають теорія диференціального і інтегрального обчислення.

Об'єктами вивчення у даної дисципліни є передусім функції. З їхньою допомогою можна сформулювати як закони природи, і різноманітні процеси, які у техніці. Звідси об'єктивна важливість математичного аналізу як вивчення функцій. 2Интеграли, залежать від параметра.


>1.Несобственние інтеграли

 

>Несобственние інтеграли першого роду.

Нехайf :[a, +R іинтегрируема поРиману будь-якого відрізку [a, A] (>A(а,Формальное вираз

назвемо невласним інтегралом першого роду.

>Определени2.1Несобственний інтеграл першого роду назвемосходящимся, якщо є

І тут говоритимемо, що кількість I є значенням інтеграла і писати

Якщо ж зазначений межа дорівнює нескінченності чи взагалі немає, то говоритимемо, що інтеграл розходиться.

При аналогічних пропозиціях визначимо невласні інтеграли

 і

>Пример.2.1. Досліджувати на відповідність інтеграл


Нехай тоді

Якщо , що існує кінцевий тобто інтегралJ сходиться, причому Коли на те і тому інтегралJ розходиться. При інтеграл також розходиться, бо за

Отже, інтегралJ сходиться при і розходиться при

Теорему2.1(критерий Коші) Для збіжності невласного інтеграла

Необхідно врахувати і досить, щоб виконувалося умова Коші

 (1)


Означимо

  (2)

Тоді відповідність інтегралаJ означає існування кінцевого краю функції при і той межа, відповідно до критерію Коші для функцій, існує у тому й лише тому випадку, коли функція F задовольняє умові

 (3)

З формули (2) з властивостей інтеграла слід, що

Тому умова (3), будучи необхідним і достатнім для збіжності інтегралаJ, виконується тоді й тільки тоді, коли виконується умова (1), беручи

Якщо визначення краю функції Гейне, можна сформулювати

Пропозиція 2.1 сходиться тоді й тільки тоді, коли

для будь-який послідовності +, послідовність з дитинства інтегралів сходиться.


Визначення 2. 2. Назвемо інтеграл абсолютносходящимся, якщо сходиться інтеграл

Теорему 2.2. Якщо сходиться абсолютно, він сходиться.

Доказ. Оскільки інтеграл сходиться абсолютно, то критерію Коші виконується умова

Але тоді навіть

При будь-яких

Визначення 2.3. Якщо сходиться, але з сходиться абсолют-

але, то називатимемо його умовносходящимся.

Теорему 2.3 (>Вейерштрасс). Нехай функціїf, g: [а; +) R,интегрируеми поРиману на [а; А] незалежно від А > а всіх суб'єктів та сходиться. І тоді сходиться до того ж абсолютно.

Доказ. Оскільки сходиться, то критерію Коші


 

Але тоді при А’, А” > маємо:

З отриманої оцінки, з критерію Комі, випливає і відповідність й абсолютна відповідність інтеграла відf(x) •

Зауваження 2.1. Нерівність формулюванні теореми може виконуватися тільки до , деb>a. Це випливає речей, що можна уявити

Перший інтеграл у цій виставі не особливий, а до другого можна застосувати доведену теорему.

Приклад 2.2 Розглянемо інтеграли

Рішення. Оскільки а сходиться, якщо р> 1 (>пример2.1) те й сходиться, до того ж абсолютно, при р > 1. Другий інтеграл розглядається аналогічно.

Теорему 2.4 (>Дирихле) Нехай функціїf, g: іинтегрируеми поРиману на [а; А] незалежно від А > а. Тоді сходиться, якщо виконані такі дві умови:


1) обмежений на [а; +);

2) функціяg(x) монотонно котиться до нуля при

Доказ. З першого умові існує стала М така, що .

За другим умові таке, що з А > виконуватиметься нерівність . За другим ж умові функціюg(x) вважатимутьсянеотрицательной. Візьмемо і вживають щодоинтегралу другу теорему про середньому значенні (формулуБонне), за якою знайдеться таке, що

Але тоді, оскільки

справедлива оцінка

для будь-яких А’, А” > . За критерієм Коші інтеграл сходиться.


Теорему 2.5 (Абель) Нехай функціїf, g : [а; +)R іинтегрируеми поРиману на [а; А] незалежно від А > а. Тоді сходиться, якщо виконані такі дві умови:

1) сходиться;

2) функціяg(x) монотонна і обмежена на [а; +).

Доказ. З огляду на другого умови існує.

Тоді

Перший із з дитинства інтегралів справа сходиться за ознакоюДирихле, оскільки

монотонно котиться до нуля при x+, а другий сходиться з умови 1 доказуваної теореми.

Зауваження 2.2 При доказі теореми Абеля було використане очевидне властивість

>несобственних з дитинства інтегралів: якщо сходяться інтеграли і , то сходиться і навіть =+

Приклад 2.3 Повернімося до розглянутим вище прикладів  

Рішення. По ознакоюДирихле ці інтеграли сходяться при р > 0, оскільки цьому умови дріб 0, а інтеграли очевидно, обмежені.

Приклад 2.4 Розглянемо

Рішення. Цей інтеграл сходиться за ознакою Абеля. Справді, відповідність інтеграла встановлена у попередньому прикладі, а

функціяarctg x монотонна і обмежена. Несобственние інтеграли другого роду

Нехай функціяf : (а; b] R, необмежена на околиці точки а, алеинтегрируема поРиману на [а +, b] незалежно від0<<b-a.

Формальне вираз назвемо невласним інтегралом другого роду.

Визначення 2.4Несобственний інтеграл другого роду назвемосходящимся, якщо є

І тут говоритимемо, що кількість I є значенням інтеграла і писати

Якщо ж зазначений межа дорівнює нескінченності чи взагалі немає, то говоритимемо, що інтеграл розходиться. Аналогічно визначається


якщо функціяf визначено на [а; b),интегрируема на [а;b-] незалежно від0<<b-a і необмежена на околиці точки b.

Якщо ж функціяf визначено на [а;b]{c}, а < з < b, необмежена на околиці точки з, алеинтегрируема на відтинках [а;с-] і [>с-; b] незалежно від допустимому позитивному, то визначимо

Приклад 2.5 сходиться прир<1 і розходиться при р.

Теорему 2.6 (критерій Коші) Якщо функціяf: (a;b]R, необмежена на околиці точки а, алеинтегрируема поРиману на [а +, b] незалежно відО<<-a, то сходиться тоді й тільки тоді, коли така, що а’, а” : а <а’, а” < а +. Використовуватиметься умова

Це твердження доводиться як і, як і аналогічне твердження длянесобственних з дитинства інтегралів першого роду. Також вводиться поняття абсолютна і умовної збіжності і встановлюється співвідношення з-поміж них. Також формулюється і доводиться ознака збіжностіВейерштрасса.Интеграли себто головного значення

Визначення 2.5 Нехай функціяf: R R,интегрируема поРиману будь-якою кінцевому відрізку, аленесобственний інтеграл немає. Тоді, якщо є ,мо вона називається інтегралом себто головного значення й позначається символом


(>p.)

Визначення 2.6 Нехай функціяf: [>а;b ]{з} R, а <з < b, необмежена на околиці точки з,интегрируема поРиману на відтинках

[а; з —] і [з +; b] незалежно від> 0, але з існує. Тоді, якщо є він називається інтегралом себто головного значення звобозначаемся символом (>p.)

Приклад 2.6 Розглянемо

Рішення. Це — розходиться інтеграл другого роду, оскільки показник ступеняp =1. Проте

Отже, аналізований інтеграл існує у сенсі головного значення й

(>p.)

Приклад 2.7 Розглянемо

Рішення. Цей інтеграл розходиться, оскількиподинтегральная функціяf(х)~.


Але

Отже, цей інтеграл існує у сенсі головного значення й (>p.)

Власні інтеграли, залежать від параметра

Нехайf: [а; b] x Y R, де [а; b] R, Y- будь-яке безліч,

а [а; b] x Y = {(x, у): x [а; b],уY}. Припустимо, що функціяfинтегрируема поРиману на відрізку [а; b].

Визначення 2.7 Функцію

    (2.1)

певну на безлічі Y при описаних вище умовах, називатимемо власним інтегралом, залежать від параметра.Изучим властивості цього інтеграла, обмежившись найпростішим випадком:

У = [з;d] R, і запровадивши позначення

П [а b] x [з;d] = {(x, у): x [а; b], у [з;d]}.

Теорему 2.7 Нехай функціяf безупинна на прямокутнику П. Тоді функціяI(у) безупинна на відрізку [а; b].

Доказ. Функція безупинна на безлічі, якщо вона безупинна у кожному точці безлічі. Візьмемо, тому, будь-яке [з;d] і

будь-яке > 0 і покажемо, що знайдеться > 0 таке, що якщо в [з;d] і

, він виконуватися нерівністьПрямоугольник П — компактне безліч в , тому по теоремі

Кантора функціяf рівномірно безупинна на П, отже, по обраному >0 можна вказати таке > 0, що й

він виконуватися нерівність

Поклавши x' = x"= x, у' = у, у" =. Тоді

Отримана оцінка доводить як безперервність, а й рівномірну (оскільки залежить від ) безперервність функціїI(у) на відрізку [а; b].

Теорему 2.8 Нехай функціяf безупинна на прямокутнику П. Тоді функціяI(у)интегрируема на відрізку [з;d] і безсторонньо рівність

        (2.2)

Доказ.ИнтегрируемостьI(у) випливає з попередньої теореми і теореми проинтегрируемости безперервних функцій. Рівність ж 2.2 випливає з теореми про зведенні кратного інтеграла до повторному. для безупинної на прямокутнику П функції існує , що може бути зведений до повторному у кожному порядку.


Теорему 2.9 Якщо функціяf безупинна і має безперервну приватну похідну на прямокутнику П, то функціяI(у)дифференцируема на відрізку [з;d] і безсторонньо рівність

                (2.3)

Доказ. Оскільки безупинна на П, то, використовуючи попередню теорему, нічого для будь-якого у [з;d] можемо написати рівність

        (2.4)

>Упростим ліву частина рівності 2.4 з допомогою формулиНьютона-Лейбница.

Означимо черезJ() внутрішній інтеграл у правій частині рівності (2.4). Тоді рівність (2.4) набуде вигляду:

       (2.5)

По теоремі 2.7J() — безперервна на [з;d] функція. Але тоді з теоремі про похідною інтеграла зі змінним верхнім межею права частина рівності (3.5) (отже, і ліва)дифференцируема на відрізку [з;d]. З тієї ж теоремі з рівності (3.5) отримуємо:


що потрібно було. Розглянемо тепер більш загальний випадок, коли лишеподинтегральная функція, а й межі інтегрування залежить від параметра. Отже, нехай функціяf(x, у) визначено на прямокутнику П =[а;Ь] x [з;d],интегрируема по x на відрізку [а; b] кожному за у [з;d], функції а (у) іb(у) задано на відрізку [з;d] і [з;d] виконується а а(у) b(у) b. Розглянемо інтеграл

 (2.6)

Теорему 2.10 Нехай функціяf(x, у) безупинна на П, а функціїа(у),b(у) безупинні на [з;d]. Тоді функціяI(у), певна рівністю (>2.6),непреривна на [з;d].

Доказ. Нехай y [з;d]. Покажемо, що І томуразобьем інтеграл втричі доданків, використовуючи властивістьаддитивности інтеграла.

 (2.7)

Тут інтеграли є такі гаразд прямування. Розглянемо кожен із новачків окремо. Перший із з дитинства інтегралів — інтеграл з постійними межами виду 2.1, його безупинність доведено в теоремі 2.7. Тому  


Займемося другим інтегралом. Функціяf(x, у) безупинна на П, отже, обмежена. Тому існує стала М така, що

П.

Але тоді

Оскільки функціяb(у) безупинна на [з;d], то, при , тому  

Цілком аналогічно доводиться, як і

Отже,

що потрібно було довести.

Теорему 2.11 Нехай функціяf безупинна на прямокутнику П і

тримає в ньому безперервну приватну похідну , а функціїа(у) і

>b(у)дифференцируеми на відрізку [з;d]. Тоді функціяI(у), обумовлена рівністю (2.6),дифференцируема на відрізку [з;d] і її похідна то, можливо обчислена за такою формулою

 (2.8)


Доказ. Оскількидифференцируемость на проміжку єдифференцируемость у кожному точці проміжку, то візьмемо на відрізку [з;d] і покажемо, щоI(у)дифференцируема у точці , та (що як правій частині формули (2.8). І тому скористаємося поданнямI(у) як (2.7) і покажемо, що кожен складова

правій частині (2.7)дифференцируемо і обчислимо його похідну. Перший із з дитинства інтегралів у правій частині (2.7) має постійні межі

інтегрування. Йогодифференцируемость встановлена у теоремі 2.9.

Тому

 (2.9)

Тепер доведемодифференцируемость і обчислимо похідну другого доданка у правій частині (2.7). (Зазначимо, що .) За визначенням похідною

 

Оскількиподинтегральная функція безупинна (по x), то властивості

певного інтеграла знайдеться з =с(у), , таке, що

.


Але тоді

 

бо перший межа існує у теоремі про трьох функціях і з безперервності функціїf на прямокутнику П, а другий — з

>дифференцируемости функціїb(у). Отже,

. (2.10)

Цілком аналогічно доводиться, що третє складова в (2.7)дифференцируемо І що

. (2.11)

Отже, все три доданків у правій частині рівності (2.7)дифференцируеми у точці , отже, й третя функціяI(у)дифференцируема у точці і . (2.12)

>Подставив сюди значення похідних (формули (2.9), (2.10), (2.11)), одержимо уявлення (2.8) у точці .

Зауваження 2.3 Умови теорем 2.7 — 2.11 є достатніми.

декларовані в теоремах властивості можуть виконуватися і за порушення умов цих теорем. Але бути впевненим у виконанні у разі порушення умов теорем не можна. Розглянемо відповідні приклади.

Приклад 2.8 Розглянемо

Рішення.Подинтегральная функція на прямий у = x терпить розрив.

Проте, зрозумівши інтеграл, переконаємося, що він становить безперервну функцію від усієї речовинної прямий.

1. Нехай у 0. ;

>2.Пусть про< у <1.I(у)=

>3.Пусть у 1. Неважко переконатися, що функція ‚I(у) має однакові межі

зліва і правих в точках у = 0 і в = 1, тому безупинна. Приклад 2.9 Розглянемо

Рішення.Подинтегральная функція терпить розрив голосів на точці (0; 0), проте, зрозумівши інтеграл, переконаємося, що воно являє собоюинтегрируемую

на відрізку [0; 1] функцію.

>несобственний інтеграл параметр безперервність

тому

Проте спробапроинтегрировать за найважливішим параметром під знаком інтеграла призведе до іншому результату.


Приклад 2.10 Розглянемо

Рішення. Легко бачити, що інтеграл задовольняє умовам теореми 2.11 будь-якого відрізку [з;d].Найдем похіднуI’(y), використовуючи формулу 2.8.

 

>Несобственние інтеграли, залежать від параметра

Нехай Y — довільне безліч,f: [а; +) x Y R. Припустимо, що кожного у сходиться .

Тоді на безлічі

Y визначено функція

 (2.13)

яку називатимемо невласним інтегралом першого роду, залежать від параметра.

>Равномерная відповідність

Поняття рівномірної збіжності длянесобственних з дитинства інтегралів, залежать від параметра, так само важливо, як й у функціональних рядів.

Визначення 2.8 Говоритимемо, що інтеграл (2.13) сходиться рівномірно на безлічі Y, якщо його залишок рівномірно котиться до нуля у цьому безлічі, тобто, коли таке, що виконується нерівність

   (2.14)

Теорему 2.12 (критерій Коші) у тому, щоб інтеграл (2.13) сходився рівномірно на безлічі Y, необхідне й досить виконання наступного умови (умова Коші): , залежне

тільки від , таке, що виконуватися нерівність

   (2.15)

Доказ. Нехай інтеграл (2.13) сходиться рівномірно на безлічі Y. Тоді, узявши будь-яке > 0, підберемо те щоб для

будь-яких А>

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація