Реферати українською » Математика » Диференціювання в лінійних нормованих просторах


Реферат Диференціювання в лінійних нормованих просторах

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Міністерство освіти і науки Російської Федерації

Федеральне агентство за освітою

Державне освітнє установа вищого професійної освіти

>Тюменский державний університет

Інститут математики комп'ютерних наук

Кафедра інформатики, і математики

>КУРСОВАЯ РОБОТА

По дисципліни «Математичний аналіз»

на задану тему:

>Дифференцирование в лінійних нормованих просторах

Виконала: студентка 393 грн.

Жукова І.А.

Перевірив: доцент кафедриМиИ

>СалтановаТ.В.

Тюмень 2010


>Оглавление

Запровадження

Основні поняття

Сильний диференціал (диференціалФреше)

Слабкий диференціал (диференціалГато)

Формула кінцевих збільшень

Зв'язок між слабкій економіці та сильноїдифференцируемостью

>Дифференцируемиефункционали

Абстрактні функції

Інтеграл

Похідні вищих порядків

>Дифференциали вищих порядків

Формула Тейлора

>Заключение1

Список літератури:


 

Запровадження

Функціональний аналіз — розділ математики, у якому вивчаютьсябесконечномерние простору й їх відображення.

Поняття нормованого простору – одне з основних понять функціонального аналізу. Теорія нормованих просторів було побудовано, переважно, З. Банахом в 20-х роках 20 століття. Функціональний аналіз протягом останніх через два десятиліття настільки розрісся, настільки і "глибоко проник майже в усі математиці, що сьогодні навіть важко сказати самий предмет цієї дисципліни. Однак у функціональному аналізі кілька великих «традиційних» напрямів, що й донині значною мірою визначають обличчя. До до їх числа належить диференціювання лінійних нормованих просторів.


Основні поняття

Визначення 1.Непустое безліч називається лінійним простором, коли вона задовольняє наступним умовам:

>Й. Для будь-яких двох елементів однозначно визначено елемент , званий їх сумою, причому

1. (>коммутативность)

2. (асоціативність)

У існує такий елемент 0, що з всіх

4. До кожного існує такий елемент , що .

II. Для будь-якого числа і жодного елемента визначено елемент , причому

5.

6.

III. Операції складання і множення пов'язані між собоюдистрибутивними законами:

7.

8.

Визначення 2.Линейное простір називається нормованим, якби ньому задананеотрицательная функція , звана нормою, яка задовольнить умовам:


 

нічого для будь-якого і жодного числа ;

 

для будь-яких (нерівність трикутника).

Визначення 3. Оператором називається відображення

,

де - це лінійні простору.

Визначення 4. Оператор називається лінійним, для будь-яких елементів і будь-яких чисел R виконується рівність:

Визначення 5. Нехай - лінійні нормовані простору,

 – лінійний оператор,

Лінійний оператор безперервний у точці , коли з те, що

 слід, що .

Визначення 6. Лінійний оператор безперервний, коли він безперервний у кожному точці .

Визначення 7. Лінійний оператор називається обмеженим, якщо

  

Твердження. Для лінійного нормованого простору безперервність лінійного оператора рівносильна його обмеженості.

>Определение8. Найменша з констант M таких, що , називається нормою оператора Проте й позначається .

Зокрема, виконується

Справедливо таке твердження: нічого для будь-якого обмеженого лінійного оператора

 

Сильний диференціал (диференціалФреше)

Нехай X і У — два нормованих простору й F — відображення, чинне з XX ст Y і певний на деякому відкритому підмножині Про простору X. Ми назвемо це відображеннядифференцируемим у цій точці, якщо є такий обмежений лінійний оператор Lxж (X, Y), що з будь-якого е> 0 можна знайти буд > 0, у якому з нерівності ||h||< буд слід нерівність


||F(x +h)-F(x)-Lxh ||<>е||h|| (1)

Це ж скорочено записують так:

>А(ч +р)-А(ч)-Дгодр =щ(р)ю(2)

З (I) слід, щодифференцируемое у точці x відображення безупинно у цій точці. Вислів Lxh (що було, очевидно, при кожномуhX елемент простору У) називається сильним диференціалом (чи диференціаломФреше) відображення F у точці x. Сам лінійний оператор Lx називається похідною, точніше, сильної похідною відображення F у точці x. Ми будемо позначати цю похідну символомF'(x).

Якщо відображення Fдифференцируемо у точці, то відповідна похідна визначається єдиним чином. У насправді, рівність

||L1h — L2h|| =o(h) для операторів

Lі ж (X, У), і = 1, 2,

можливо, тільки якщо L1= L2.

>Установим тепер деякі елементарні факти,непоcредственно які з визначення похідною.

ЯкщоF(x) = y0 =const, тоF'(x) = Про (т. е.F'(х)

у разі є нульової оператор).

>Производная безперервного лінійного відображення L є саме ця відображення:


L '(>x)=L (3)

Справді, з визначення маємо

>L(x +h)-L(x) =L(h).

3. (>Производная складної функції). Нехай X, У, Z — три нормованих простору,U(x0)—окрестность точки x0Х, F — відображення цієї околиці в У, у0 =F(x0),V(y>o) — околиця точки у0 У і G — відображення цієї околиці в Z. Тоді, якщо відображення Fдифференцируемо у точці xпро, a Gдифференцируемо у точці упро, то відображення М =GF (визначене у певній околиці точки x0)дифференцируемо у точці xпро і

H' (x0)=G' (y0)F' (x0) (4)

Справді, з зроблених припущень

>А(ч0 +про) =А(ч0) +Ае (год0) про +про1 (про ) і

G (упро + із) = G (упро) + G' (упро) із + про2 (із).

Але F'(x0) і G'(y>o) — обмежені лінійні оператори. Тому

H (x0 + про) = G (упро + F' (x0) про + про1 про ) = G (упро) + G' (у0) (F' (x0) про + +про1 про)) +

+про2 (F' (x0) про + про1 (про )) = G (у0) + G' (>уо) F' (x0) про + про3 (про).

Якщо F, G і М — числові функції, то формула (4) перетворюється на відоме правило диференціювання складної функції.

4. Нехай F і G — два безперервних відображення, діючих з XX ст Y. Якщо F і Gдифференцируеми у точці x0, те й відображення F + G іaF (а — число) теждифференцируеми у цій точці, причому

(F +G)'(х0) =F'(х0) +G'(х0) (5)

(>aF)'(x0) =aF'(x0).(6)

Справді, з визначення суми операторів і твори оператора на число відразу отримуємо, що

(>F+G)(x0 + h) =F(x0 + h) +G(x0 + h) = F (x0) + G (x0) + F' (x0) h +

+G' (x0) h +o1 (h) і

>aF (x0 + h) =aF (x0) +aF' (x0) h +o2 (h),

звідки йдуть рівності (5) і (6).

 

Слабкий диференціал (диференціалГато)

Нехай знову F є відображенням, чинне з XX ст У. Слабкою диференціалом чи диференціаломГато відображення F у точці x (приприращении h) називається межа

>DF(x,h)=>t=0=,

де відповідність тлумачать як відповідність за нормою у просторі У.

Іноді, слідуючиЛагранжу, виразDF(x,h) називають першої варіацією відображення F у точці x.

Слабкий диференціалDF(x,h) може і нелинеен по h. Якщо така лінійність має місце, т. е. якщо


>DF (x, h) = F'з (x) h,

де F'з (x) — обмежений лінійний оператор, цей оператор називається слабкої похідною (чи похідноюГато).

Зауважимо, що з слабких похідних теорема продифференцировании складної функції, власне кажучи, неправильна.

Формула кінцевих збільшень

Нехай Про — відкрите безліч в X і нехай відрізок [x0, x] повністю міститься у Про. Нехай, нарешті, F є відображенням XX ст У, визначене Про і має слабку похідну F'з у кожному точці відрізка [x0, x]. ПоклавшиДх = x — xпро та взявши довільний функціонал У*, розглянемо числову функцію

>f(t) = (>F(x0+>tДх)),

певну при .Ця функціядифференцируема поt. Справді, у натуральному вираженні

можна можливість перейти до межі під знаком безперервного лінійного функціоналу. У результаті дістаємо

>F'(t) = (F'з(x0+>tДx)Дx)


Застосувавши до функціїf на відрізку [0, 1] формулу кінцевих збільшень, одержимо

>f(l) =f(0) +f'(и), де 0< і <1,

(>F(x)-F(x0))= ( F'з(x0+ іДx)Дx)(7)

Це рівність має місце нічого для будь-якого функціоналу У* (величина і, зрозуміло, від). З (7) отримуємо

|(>F(x)-F(x0))| || F'з(x0+ іДx)|| ||Дx|| (8)

>Виберем тепер ненульовий функціонал отже

 (F (x) - F (x0)) = ||||  || F (x) - F (>хо) ||

(такий функціонал існує у силу слідства 4 теореми Хана — Банаха (див. п. 3 § 1 гол. IV)). У цьому з (8) отримуємо

||(F (x) - F (x)||  || F'з(x0+ іДx)|| ||>Дx|| (>Дx =x-x0) (9)

Це нерівність можна як аналог формули кінцевих збільшень для числових функцій. Застосувавши формулу (9) до відображенню

x —Ю А (x) —Аес (xпро)Дч

одержимо наступне нерівність:

||>F(x-F(xпро)->F'c (xпро) >Дx ||   || F'з(x>o+>иДx) -F'з(x0) |||| >Дx || (10)


 

Зв'язок між слабкій економіці та сильноїдифференцируемостью

Сильна і слабкадифференцируемость є різні поняття навіть тодіконечномерних просторів. Справді, з аналізу ж добре відомо, що з числової функції

>f(x) =f(x1,…,xn)

при n 2 з існування похідною

незалежно від фіксованому h = (>f1,...,>fn) ще сліддиф-ференцируемость цієї функції, т. е. можливість уявити її прирощенняf(x+h)-f(x) як суми лінійної (по h) частини й члена перевершує перший порядку дрібниці щодо h.

>Простейшим прикладом тут може бути функція двох змінних

(11)

Ця функція безупинна скрізь на площині, включаючи точку (0,0). У точці (0,0) її слабкий диференціал є і дорівнює 0, оскільки

Разом про те цей диференціал перестав бути головною лінійної частиною збільшення функції (11) у точці (0,0). Справді, якщо покласти h2=h12, то

Але якщо відображення F має сильну похідну, воно має і слабку, причому дужа й слабка похідні збігаються. Справді, для сильнодифференцируемого відображення маємо

>А(ч +ер) — А (год) =Ае (год) (>ер) + про (>ер) =еАе (>ч)р +про (>ер) і

З'ясуємо де умови, у яких з слабкоїдифференцируемости відображення F слід його сильнадифференцируемость.

Теорему 1. Якщо слабка похідна F'з (x) відображення F існує у деякою околиці U точки x0 і становить у цій околиці (>операторную) функцію від x, безперервну в x0, то точці x0 сильна похіднаF'(x0) є і збігається з слабкої.

Доказ. Пое>0 знайдемод>0 те щоб при ||h||< будбвиполнялось нерівність:

|| F'з(x>o +h)-F'з(x>o) || е

Застосувавши до відображенню F формулу (10), одержимо:

 

||F(x0 +h)-F (xпро) - F'з (xпро) h || ||F'з(x>o +иh)- F'з(x>o)||

||h||е||h||


Тим самим було має місце теорема 1, т. е. доведено як існування сильної похідноюF'(xпро), і її збіг зі слабкою похідною.

 

>Дифференцируемиефункционали

Ми запровадили диференціал відображення F, чинного вже з нормованого простору XX ст інше нормоване простір У.ПроизводнаяF'(х) такого відображення при кожному x — це лінійний оператор з XX ст У, т. е. елемент просторуо(X, У). Зокрема, якщо У — числова пряма, то F — приймаюча числові значення функція на X, т. е. функціонал. У цьому похідна функціоналу F у точці x0 є лінійний функціонал (залежить від x0), т. е. елемент простору X*.

Приклад. Розглянемо в дійсномугильбертовом просторі М функціоналF(x) = ||x||2. Тоді

||x + h||2-||x||2 =2(x, h) + || h ||2;

величина2(x,h) є головну лінійну (по h) частину акцій цього висловлювання, отже,

F' (x) = F'з(x) =2х.

 

Абстрактні функції

Припустимо тепер, що числової прямий зводиться простір аргументів X. ВідображенняF(x),сопоставляющее числу x елемент деякогобанахова простору У, називається абстрактної функцією.ПроизводнаяF'(х) абстрактної функції (якщо вони існують) є (при кожному x) елемент простору У — дотичний вектор до кривоюF(x). Для абстрактної функції (що є функцію одного числового аргументу) слабкадифференцируемость збігаються з сильної.

 

Інтеграл

Нехай F — абстрактна функція дійсного аргументуt зі значеннями вбанаховом просторі У. Якщо F задана на відрізку [а, b], можна визначити інтеграл функції F по відтинку [>а,b]. Цей інтеграл тлумачать як межа інтегральних сум

,

відповідальнихразбиениям

ф = е0>Бе1БюююБет =иб прол>хел>бе>л+1>ъб

за умови, щоmax(t>k+1->t>k) 0. Інтеграл (що становить, собою, очевидно, елемент з Y) позначається символом

Розмірковування, значною мірою аналогічні проведених для функцій, приймаючих скалярні значення, показують, що інтеграл від функції, безупинної на відрізку, існує; цьому він має властивостями звичайногориманова інтеграла.

 

 

Похідні вищих порядків

Нехай F —дифференцируемое відображення, чинне з XX ст У. Його похіднаF'(x) при кожному xX є елементом з про (X, У), т. е. F' є відображенням простору XX ст простір лінійних операторів про (Х, У). Якщо це відображеннядифференцируемо, його похідна називається другий похідною відображення F і позначається символом F". Отже,F"(x) є елементом простору про (Х, про (Х, У)) лінійних операторів, діючих з XX ст про (X, У). Покажемо, що елементи цього простору допускають зручніший і наочну інтерпретацію як пробилинейних відбиття.

Ми говоримо, що поставленобилинейное відображення простору XX ст простір У, якщо кожної упорядкованим парі елементів x, x' з X поставлене відповідність елементу=В(х, x') У отже виконані такі умови:

1. для будь-яких з X і будь-яких чисел мають місце рівності:

У (x1 + x2, ) =У (,)+У (x2, ),

У (x1, +) = У (,)+>В(x1, );

2. існує позитивне число М, що

||>В(х, x') ||M||x||||x’|| (17)

попри всі x, x' X.

Перше з цих умов означає, що відображення У лінійно з кожного з своїх аргументів; неважко показати, друге умова рівносильне безперервності У за сукупністю аргументів.

Найкоротший з чисел М, які відповідають умові (17), називається нормоюбилинейного відображення У і позначається ||У||.

Лінійні операції надбилинейнимиотображениями визначаються звичайним способом й володіють звичайними властивостями.

Отже,билинейние відображення простору XX ст простір У самі утворюють лінійне нормоване простір, яку ми позначимоВ(Х2, У). При повноті У повно іВ(Х2, У).

Кожному елементу А з просторуо(Х,о(Х,У)) можна експортувати відповідність елемент зВ(Х2, У), поклавши

>В(х, x') = (>Ах)х'.(18)

Вочевидь, що це відповідність лінійно. Покажемо, що вона також іизометрично і відображає простіро(X,о(Х,У)) попри всі простірB(X2,Y). Справді, якщоу=В(х, x') = (>Ах)х', то

||>y||||Ax||||x’||||A||||x||||x’||,

звідки

||>B||||A||(19)

З іншого боку, якщо поставленобилинейное відображення У, то, при фіксованому xXвідображення

x' (>Ах)х' =В(х, x')

є лінійне відображення простору XX ст У.

Отже, кожному xX ставлять у відповідність елемент О просторуо(X, У); очевидно, що О лінійно залежить від x, т. е.билинейное відображення У визначає певний елемент А просторуо(Х,о(Х, У)). У цьому ясно, що відображення У відновлюється по При допомоги формули (18) і

||О||= ||(>Ax)x'||= ||>В(х,x') ||B|| ||x||,

Звідки

||>A||||B||(20)

Зіставляючи (19) і (20),получаем||A|| = ||У||. Отже, відповідність міжB(X2,Y) іо{X,о(X,Y)), обумовлений рівністю (18), лінійно іизометрично, отже, взаємно однозначно. У цьому образ просторуо(Х,о(Х, У)) є всіВ(Х2, У).

Нами з'ясовано, що друга похіднаF"(x) є елементом просторуо(X, про (X, У)). Відповідно до хіба що сказаним ми можемо вважатиF"(x) елементом просторуВ(Х2, Y).

Очевидним чином можна запровадити поняття третьої, четвертої і взагаліп-й похідною відображення F, чинного з XX ст Y, визначившип-ю похідну як похідну від похідною (>п—1)-го порядку. У цьому, очевидно,п-я похідна є елементом просторуо(Х,о(Х, ...,о(X, У))). повторюючи міркування, проведені для другий похідною, можна кожному елементу цього простору природним чином експортувати відповідність елемент просторуN(Хп, У)n-линейних відбиття

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація