Реферати українською » Математика » Фігури постійної ширини. Трикутник Рело


Реферат Фігури постійної ширини. Трикутник Рело

Страница 1 из 3 | Следующая страница

>Гомелькая науково-практична конференція учнів по природно-науковим напрямам "Пошук"

Державне установа освіти

"Гімназія імені Я. Купали"


Навчально-дослідницька робота

Постаті постійної ширини. ТрикутникРело


Учня 11 класу

>Гимназии іменіЯ.Купали

>Кутуева Володимира В'ячеславовича

Науковий керівник – вчитель

математики вищої категорії

>Гимназии іменіЯ.Купали

>Чак Олена Миколаївна

Мозир


>Оглавление

Запровадження

1. Діаметр постаті

2. Постаті постійної ширини

3. Криві постійної ширини і їхні властивості

4. ТрикутникРело

4.1 Історичні відомості

4.2Очертаниечетирехугольника

4.3 Рух вершини і центру трикутникаРело

4.4 Площа трикутникаРело

5. Застосування трикутникаРело

5.1 Застосування у деяких механічних пристроях

5.2 Застосування в автомобільних двигунах

5.3 Застосування альтернативних видів паливаРПД

5.4 Застосування трикутникаРело вгрейферном механізмі вкинопроекторах

Укладання

Література

 


Запровадження

Питання розгляду і дослідження характерних крапок і ліній трикутників виникла, що з наукового цікавості, що з суто практичних цілей. Якщо давні часи найширше застосовувався практично прямокутний трикутник Піфагора, то час найбільше зацікавлення викликають незвичних властивостей трикутникаРело (>ReuleauxFranz, 1829–1905).

Моя робота присвячена розгляду основних властивостей постатей постійної ширини. Взагалі, далеко не всі знає, що таке діаметр, ширина постаті. Може скластися враження, що коло єдина опуклої постаттю, що має ширина у напрямку сама й той самий: вона дорівнює діаметру кола. Але це негаразд: є безліч постатей постійної ширини, тобто. таких опуклих постатей, які мають за всіма напрямами ширина однакова.Простейшим прикладом є трикутникРело. У своїй роботі я доводжу, що із усіх постатей постійної ширини трикутникРело має найменшу площа.

Мета моєї роботи - вивчити основні властивості постатей постійної ширини, історію винаходи, розглянути області застосування постатей постійної ширини і Польщу вивчити їх властивості, довести, що із усіх постатей постійної ширини трикутникРело має найменшу площа.

І тому поставлені такі завдання.

> Познайомитися з історією винаходи;

> Розглянути і Польщу вивчити властивості постатей постійної ширини;

> Довести, що із усіх постатей постійної ширини трикутникРело має найменшу площа;

> Виявити і розглянути відкриті існують, та завдання, пов'язані з трикутникомРело;

> З'ясувати області застосування трикутникаРело.

Задля реалізації цілі й завдань дослідження я використовував такі методи: Теоретичний аналіз літератури з досліджуваної темі. Доказ, що із усіх постатей постійної ширини трикутникРело має найменшу площа. Розглянути практичне технічне застосування постатей постійної ширини.

Тепер докладніше про трикутникуРело. Але ця постаті є спільні властивості з, але присутні і свої, наприклад, обрисчетирехугольника. Траєкторії руху крапки над окружності і крапки над вершині трикутникаРело різні, хоча в обох присутній циклоїда. Траєкторія геометричного центру трикутника теж пряма, атрохоида.

ТрикутникРело знайшов своє використання усверлеУаттса,висверливающем квадратне отвір, вгрейферном механізмі першого кінопроектора. За підсумками трикутникаРело Ф.Ванкель сконструювавроторно-поршневой двигун. Цей двигун має безліччю переваг перед звичайним двигуном внутрішнього згоряння, хоча і свої мінуси. Перший автомобіль із цим двигуном випустили (NSUPrince) випустили у середині 1960-х років, і теперроторно-поршневой двигун встановлюють певні моделі Mazda. У теж розроблялироторно-поршневие двигуни, але в нас не отримали розвитку з багатьох причин. У Великобританії має форму кривою постійної ширини, побудованої насемиугольнике.


1. Діаметр постаті

 

Розглянемо коло діаметра >d. Відстань між будь-якими двома точками М іN цього кола (мал.1) не перевершує >d. У той самий час можна знайти дві точки А і У нашого кола, віддалені друг від друга з точністю на відстань >d.

Розглянемо тепер, замість кола якусь іншу постать. Що назвати "діаметром" цієї фігури?

Сказане тут викликає думку назвати діаметром постаті найбільше з відстаней між її точками. Інакше висловлюючись, діаметром постаті F (рис. 2) називається таке відстань >d, що, по-перше, відстань між будь-якими двома точками М і N постаті не перевершує >d, і, по-друге, можна знайти у біблійній постаті F хоча б одну пару точок А, У, відстань між якими точності одно >d.

Нехай, наприклад, постать F єполукруг (рис.3).

Означимо через А і У кінці яка обмежує його півкола. Тоді ясно, що діаметром постаті F є довжина відрізка АВ. Взагалі, якщо постать F є сегмент, обмежений дугою l іхордой а в разі, коли дуга l не перевершує півкола, діаметр постаті F дорівнює а (тобто. довжині хорди); і у випадку, коли дуга l більше півкола, діаметр постаті F збігаються з діаметром всього кола.

Зрозуміло, що й F є багатокутник, його діаметром є найбільше з відстаней між вершинами. Зокрема, діаметр будь-якого трикутника дорівнює довжині його найбільшої боку. Наведене визначення діаметра постаті неявно передбачає, кожна розглянута "постать" є замкнутий безліч (тобто. до зараховуються її граничні точки). Наприклад, якщо F — відкритий коло діаметра >d (тобто. коло, якого не зараховуються точки яка обмежує його окружності), то точна верхня грань відстаней між двома точками постаті F дорівнює >d; однак цьому разі існує двох точок постаті F, відстань між якими точності одно >d. Якщо ж ми прилічимо до F все граничні точки (тобто. розглядатимемо замкнуте коло), ця верхня грань досягатиметься: знайдуться дві точки А і У, відстань між якими одно >d.


2. Постаті постійної ширини

 

Нехай F — обмежена опуклі постать художника-монументаліста та l — деяка пряма. Проведемо до F дві опорні прямі, паралельні l (опорна пряма — пряма, має хоча б одну загальну точку з особою F і весь постать F розташована з одного боку від l).

Відстань h між двома опорними прямими називається шириною постаті F у бік l.

 

Неважко укласти, що висота рівностороннього трикутника є його найменшої шириною, яке сторона — найбільшої шириною. У кола ширина у напрямку сама й той самий: вона дорівнює діаметру кола.

Існує безліч постатей постійної ширини, тобто. таких опуклих постатей, які мають за всіма напрямами ширина однакова.Простейшим прикладом такий постаті є трикутникРелло, зображений на див. мал.6. Він є те що трьох кіл радіуса h, центри яких у вершинах рівностороннього трикутника зі стороною h.

Взагалі, якщо F — правильний багатокутник з непарною числом вершин і h — довжина найбільшої з його діагоналей, то, поєднуючи кожні дві сусідні його вершини дугою окружності радіуса h з центром на протилежному вершині, ми маємо постать постійної ширини h (див. мал.7).


Це побудова проходить у тому разі, якщо багатокутник діаметра h з непарною числом сторін є правильною, але з кожної його вершини виходять дві діагоналі довжини h (див. мал.8).

Насамперед, відзначимо, що діаметр постаті постійної ширини дорівнює її ширині: >d=h. Через кожнуграничную точку постаті постійної ширини >d проходить хоча б тільки діаметр цієї фігури (тобто. хорда, має довжину >d). Кордон постаті постійної ширини >d не можна розбити на частини меншого діаметра.

Всякі два діаметра постаті постійної ширини завжди перетинаються (або всередині постаті, або їхньому кордоні, див. мал.8, 9). У цьому, якщо два діаметра АВ і АС мають загальнуграничную точку А, то дуга ЗС радіуса >d з центром у точці А повністю лежить на жіночих кордоні постаті (>рис.10).

Нарешті, відзначимо, що й F — постать постійної ширини і АВ — її діаметр, то прямі l1 і l2, які відбуваються через точки А і У і перпендикулярні до відтинку АВ, є опорними прямими постаті F (>рис.11).

3. Криві постійної ширини і їхні властивості

Наші предки використовували колесо, круглібревна однакового діаметра для переміщення величезних каменів, плит, масивних скульптур, куди ставили пласку платформу із вантажем. Такий спосіб може бути оскільки коло – постать постійної ширини. Але коло не єдина постать постійної ширини. Понад те, таких постатей нескінченно багато. Це може бути симетричні постаті, побудовані з урахуванням правильнихмногоугольников, і несиметричні постаті, одне з них – трикутникРело.

Усі криві даної постійної ширини мають однакову периметр.Окружность і трикутникРело виділяються з усього набору кривих даної ширини своїми екстремальними властивостями.Окружность обмежує максимальну площа, а трикутникРело — мінімальну у п'ятому класі кривих даної ширини.

Ще одна з дивних властивостей у тому, що це криві однієї їм тієї ж ширини мають однакові периметри. Оскільки окружність належить до кривих постійної ширини, периметр будь-який кривою постійної шириниd дорівнює довжині окружності діаметраd, тобто величиніd. Уявімо каток постійної шириниd, який котиться безпроскальзивания між паралельними прямими a і b. Вважатимемо пряму a нерухомій, а пряму b що просувалася із постійною швидкістю v. Зробивши один оборот, каток переміститься на відстань l, де l – довжина кривою, яка обмежує перетин ковзанки, тобто. довжина кривою постійної шириниd. Час повного обороту ковзанки позначимо буквоюt. Упродовж цього терміну пряма b переміститься стосовно катку на відстань l і, отже, стосовно нерухомій прямий a - на відстань2l, тому2l =vt. З іншого боку, у кожний час рух ковзанки можна як обертання навколо точки, у якій каток спирається безпосередньо a. Якщо кутова швидкість обертання ковзанки дорівнює, то швидкість v руху прямий b, дорівнюєd. Отже,2l =dt. Алеt є кут, який повернувся каток під часt, тобто.t = 2. Отже,2l =2d,l =d.

Несиметричні криві є майже довільні постаті. Розглянемо будь-якої набір від перетинання прямих. Розглянемо одне із секторів.Проведем дугу окружності довільного радіуса з центром у точці перетину прямих, визначальних цим сегментом. Візьмемо сусідній сектор, і з центром у точці перетину прямих, які його, проведемо окружність. Радіус підбирається такий, аби намальований шматок кривою безупинно тривав. Будемо так робити далі. Виявляється, в такому побудові кривазамкнется і матиме постійну ширину.

Також є тривимірні аналоги кривих постійної ширини – тіла постійної ширини. Сфера — не єдине тіло, що може обертатися всередині куба, постійно торкаючись всіх шести його граней. Цим самим властивістю мають все тіла постійної ширини.Простейшим прикладомнесферического тіла постійної ширини може бути тіло,образующееся під час обертання трикутникаРело навколо одній з його осей симетрії. Існує нескінченно багато та інших тіл постійної ширини. Ті, які мають найменший обсяг при даної ширині, виходять з правильного тетраедра, як і трикутникРело — з рівностороннього трикутника (див. мал.7).

>Рис.12 Тіла постійної ширини.


4.  ТрикутникРело

 

4.1 Історичні відомості

 

Розглянемо докладніше найбільш відому постать - трикутникРело, під назвою під назвою котрий придумав його механіка ФранцаРело – німецькогоученого-инженера, який живс1829 по 1905 рр.. У 1852 закінчив політехнікум в Карлсруе, з 1856 професор Політехнічного інституту, у Цюріху, в 1864—96 професор Промислового інституту (пізніше — Вища технічна школа) у Берліні. У 1875 вперше чітко сформулював і виклав основні питання структури та кінематики механізмів, які раніше були у неявній формі на роботах П. Л. Чебишева та інших..Рело дав визначеннякинематической пари,кинематической кайдани й посадили механізму яккинематической ланцюгапринужденного руху; запропонував спосіб перетворення механізмів шляхом зміни стійки і шляхом зміни конструкцій кінематичних пар. Пов'язав теорію механізмів і машин з вадами конструювання, наприклад, вперше поставив і намагався покінчити з проблемою естетичності технічних об'єктів. З огляду на цей напрям його найкращих робіт, сучасникиРело його називали поетом у техніці. ТворчістьРело справила значний вплив на наступні дослідження з теорії механізмів.

Ця постать має частиною найважливіших властивостей кола. Побудувати це трикутник просто.Начертим рівносторонній трикутник.Заменим її боку дугами окружностей, центрам яких є вершини, а радіусами – боку трикутника (будь-якою правильномунечетномn-угольнике можна побудувати криву постійної ширини за тією ж схемою, як і трикутникРело). Насправді ця постать перестав бути трикутником. ТрикутникРело має постійну ширину, рівну боці вихідного трикутника. Його теж можна використовувати як ковзанки при переміщенні поверхні, та його набагато складніше виготовити, ніж коло.

Побудуємо пару паралельних прямих, що стосуються трикутникаРело.Проведем ще пару дотичних, перпендикулярних першої парі. Постать виявиться "мешкає" в квадраті і стосуватиметься кожної з його сторін. При обертанні фігур у квадраті вона постійно прилягати всім сторонам квадрата.

 

4.2Очертаниечетирехугольника

Найвідоміше властивість трикутникаРело – обрисчетирехугольника складеним обертанням цього трикутник (див. мал.8).

Якщо крутити трикутник А1У1З1 навколо центру Про1 описаної навколо неї окружності з радіусом Про1А1, а центр трикутника Про1 крутити у протилежний бік втричі швидше навкруг з центром N, то трикутник окреслить постать, яка не надто різниться відчетирехугольника. Як-от, за оборот центру Про1 направо навкруг з радіусом Про1N два кутачетирехугольника буде оформлено вершиною А трикутникаРело й поодинці – вершинами У і З, тобто. через кожну чверть обороту навколо центру N трикутникаРело перебуватиме у становищі А2У2З2, А3У3З3 >иА4У4З4.

Вжиті малюнку побудови показують невелику кривизну сторінчетирехугольника, яку також зазначають інженери. За даними, найбільше відхилення боку від ідеальної прямий має місце всередині боку. ТрикутникРело під час обертання контактує до точки D серединою свого боку.

Означимо через R- радіус, описаного близько трикутникаРело кола,r=О1N. Тоді

А1У12У23У34У4=R,

>ND=rR+R

З трикутника А1>NА4 отримуємо

А1>N=rR,NЕ=

З рівностіDE=ND=NE слід, що

>DE=r – R + R,

>DE=R(1)+r(1)0,025R+0,293r.

>Вичислив кривизну, отримуємо:

>DE ~0.025R +0.293r

Отже, відхиленняDE боку квадрата від зробленою прямий залежить, насамперед, від радіусаr не може бути усунуто, оскільки R іr що неспроможні рівнятися нулю.

4.3  Рух вершини і центру трикутникаРело

Спробуємо побудувати траєкторії руху двох характерних точок трикутникаРело прикачении його за пласкою горизонтальній поверхні. Такими точками будуть одне з вершин трикутника та її геометричний центр. Моделювання одного повного обороту трикутникаРело показано малюнку.

>Рис.14

На постатях 2, 6, 10 трикутник котиться поверхнею окружності, на постатях 4, 8, 12 трикутник перевалюється через вершину, інших постатях відбувається зміна характеру руху трикутника зкачения на перевалювання і навпаки. Розглянемо рух вершини трикутника. На постатях 1, 2, 3 позначений вершина рухається лінійно, по прямий (>Рис. 10). Фактично позначений вершина є центром обертання окружності, елементом якої є поверхню боку трикутникаРело. На фігурі 3 позначений вершина

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація