Реферати українською » Математика » Теорія вірогідності


Реферат Теорія вірогідності

>Завдання 1

У ящика 20 лантух: 8зелених й 12синіх. З ящиканавманнявиймають однукулю.Визначитиймовірність того, щоця лантуха:

а) зелена;

б) синячи.

>Розв’язок:

а)Позначимо заподію А ={>вибрана лантуха - зелена}Тоді заозначеннямкласичноїімовірностіімовірністьподії Адорівнюватимевідношеннюкількостісприятливихподій дозагальноїкількостіможливихподій.Кількістьсприятливихподій - 8 (бо 8зелених лантух в ящика),загальнакількістьможливих - 20 (бозагальнакількістькульок - 20).

 -ймовірність того щовийнята лантуха - зелена

б)Позначимо заподію У ={>вибрана лантуха синячи}Тоді заозначеннямкласичноїімовірностіімовірністьподії Удорівнюватимевідношеннюкількостісприятливихподій дозагальноїкількостіможливихподій.Кількістьсприятливихподій - 12 (бо 12синіх лантух в ящика),загальнакількістьможливих - 20 (бозагальнакількістькульок - 20).

 -ймовірність того щовийнята лантуха - синячи

>Завдання 2

>Імовірністьнесплатиподатків у шкірного із nпідприємцівстановить р.Визначитиймовірність того і несплатятьподатки не меншеm1 й не понадm2підприємців.

>n=500;p=0,1;m1= 40;m2 =250.

>Розв’язок:

>q=1-p=0,9

ЗаінтегральноютеоремоюМавра-Лапласа, маємо:

>Завдання 3

>Задано рядрозподілу дробовогопопиту напевний продукт Х.Знайтичислові характеристикицієїдискретноївипадковоївеличини:

а)математичнесподівання М (Х);

б)дисперсію D (X);

в)середнєквадратичневідхиленняХ

Х 10 20 30 40 50
р 0,1 0,15 0,42 0,25 0,08

>Розв’язок:

М (Х) = 0,1*10 + 20*0,15 + 30*0,42 + 40*0,25 + 50*0,08 = 1+3+12,6+10+4 = 30,6; -математичнесподівання

М (Х2) =936,36

Х2 100 400 900 1600 2500
р 0,1 0,15 0,42 0,25 0,08

М (Х2) = 0,1*100+400*0,15+900*0,42+1600*0,25+2500*0,08=1048

>Dx= М (Х2) - М (Х2) =1048-936.36=111.64 -дисперсія

>Х = -середнєквадратичневідхилення

>Завдання 4

>Знаючи, щовипадкова величина Хпідпорядковуєтьсябіноміальному законурозподілу із параметрами n,pзаписати рядрозподілуцієївеличини йзнайтиосновнічислові характеристики:

а)математичнесподівання М (Х);

б)дисперсію D (X);

в)середнєквадратичневідхиленняХ

>n=1;p=0,2

>Розв’язок:

>q=1-p=1-0,2=0,8

М (Х) =>np=1*0.2=0.2 -математичнесподівання

D (X) =>npq=4*0.2*0.8=0.64-дисперсія

>Х = -середнєквадратичневідхилення

>Завдання 5

>Побудуватиграфікщільностірозподілунеперервноївипадковоївеличини Х, котрамаєнормальний законрозподілу ізматематичнимсподіванням М (Х) =а й проходити череззадані точки

a)

>а=3.

x 1 2 4 5
>f (x) 0.05 0.24 0.24 0.05

р)

>а=1.

X -2 -1 3 4
>f (x) 0.075 0.088 0.088 0.075

>Завдання 6

>Задановибірку, котрахарактеризуємісячнийприбутокпідприємців (у тис грн.):

*>Скластиваріаційний рядвибірки.

*>Побудуватигістограму таполігон частот,розбившиінтервал начотири-шістьрівнихпідінтервалів.

*>Обчислити моду,медіану,середнєарифметичне,дисперсіюваріаційного ряду:

6, 10, 12, 11, 11, 14, 6, 8, 12, 10, 14, 8, 9, 11, 7, 7, 12, 10, 13,6.

>Розв’язання:

>Скластиваріаційний рядвибірки.

Ос-кількивибіркаскладається із 20значень, тообсягвибіркиn=20.

>Побудуємоваріаційний рядвибірки:

6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9,10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14.

2.Побудуватигістограму таполігон частот,розбившиінтервал начотири-шістьрівнихпідінтервалів.

Уданійвибірці 9різнихваріант,запишемо їхнічастоти увиглядістатистичногорозподілу:

>Таблиця 1

>хі 6 7 8 9 10 11 12 13 14


>nі 3 2 2 1 3 3 3 1 2

Мал.1.Полігонрозподілу частот.

Дляпобудовигістограми таполігонупобудуємоінтервальнийстатистичнийрозподіл.

>Виберемо P.S= 5інтервалів, адовжинуінтервалуобчислимо заформулою.

>Тобто:

>Складемо шкалуінтервалів. За вушко Першогоінтервалувізьмемо

>Варіанти, котріспівпадають з межамиінтервалів, будемовключати внаступнийінтервал,крімостаннього.

>Побудуємогістограму частот. Для цого наосі ОХнанесемоінтервали, але в ЗУщільності частот для шкірногоінтервалу.

Дляпобудови цогографікавідкладаєтьсякрапка нависоті,відповіднійчастотікожноїваріанти. Заваріантуприймемосерединиінтервалів.Після цогокрапкисполучаютьсявідрізкамипрямих.

3.Обчислити моду,медіану,середнєарифметичне,дисперсію таексцесваріаційного ряду:

>Визначимозначенняемпіричнихпоказників.

>Статистичнийрозподілвибіркивстановлюєзв‘язокміж поручваріант, щозростає чиспадає, йвідповідними частотами.Вінможе бути уявленьтаблицеюрозподілурівновіддаленихваріант,прийнявши заваріантисерединиінтервалівхі.

Дляобчисленьперейдемо відодержаногоінтервальногорозподілу дорозподілурівновіддаленихваріант,прийнявши заваріантисерединиінтервалівхі.Знайдемовибірковусередню,дисперсію,вибірковесередньоквадратичневідхилення за методомдобутку.

>Запишемо:

>варіантихі* впершийстовпчик;

>відповідніваріантамчастоти, вдругийстовпчик;

зауявний нульвиберемоваріанту, котрамаєнайбільшу частоту,тобто З= 19,4;

>одержаніумовніваріантизапишемо втретійстовпчик;

>добуткиniui,niui2 таni (>ui+1) 2запишемо внаступністовпчики.

Контрольпроведемо заформулою

>Маємо: 54+2*22+20=118

118=118

>Обчислимоумовнімоментирозподілу від Першого до четвертогопорядківвключно:

>Маємо:

>Визначимочислові характеристики задопомогоюумовнихмоментіврозподілу

1,1*1,6+19,4=21,2

= =8,3635

>Медіаннимчастиннимінтервалом якщотретійінтервал,оскількицепершийінтервал, дляякого сума частот всіхпопередніхчастиннихінтервалів ізданимвключноперевищує половинуобсягувибірки:

5+5+2=12

Длявизначеннямодиінтервальногостатистичногорозподілунеобхіднознайтимодальнийінтервал,тобтотакийчастиннийінтервал, щомаєнайбільшу частотупояви.

>Модальнимчастиннимінтервалом якщо 2інтервал.

=20,2 =18,6

= 2 = 5

= 1,6 = 1,6

>Ме - 1=1 = 5

= 2

>Використовуючилінійнуінтерполяцію, модуобчислимо заформулою:

>Відповідь: 21,2; 8,3635;

>Завдання 7

>Перевірити, чисправджуєтьсястатистичнагіпотеза пронормальнийрозподілгенеральноїсукупності заданимивибірки.

>хі 1 5 7 9 14 18 23 34 37

>mі 1 2 3 7 12 24 14 1 1

>Розв’язання:

>Розіб‘ємоінтервал [1; 37] натакішістьчастиннихінтервалівдовжиноюh=6:

>хі 1 5 7 9 14 18 23 34 37

>mі 1 2 3 7 12 24 14 1 1

[1;

7), [7; 13), [13; 19), [19; 25), [25; 31), [31; 37].

>новимиваріантами будутьсерединиінтервалів:

>х1= (1+7) /2=4;

>х2= (7+13) /2=10;

>х3= (13+19) /2=16;

>х4= (19+25) /2=22;

>х5= (25+31) /2=28;

>х6= (31+37) /2=34.

якчастотиniваріантхівізьмемо суму частотваріант, котріпотрапили увідповіднийі-тийінтервал.Запишемотакийстатистичнийрозподілрівновіддаленихваріант:

>хі 4 10 16 22 28 34

>ni 3 10 36 14 0 2

>Спочаткузнайдемовибірковесереднє,дисперсію,вибірковесередньоквадратичневідхилення. Зауявний нульвиберемоваріанту, котрамаєнайбільшу частоту,тобто З= 16.

>Обчислимоумовнімоментирозподілу:

>Маємо:

>Визначимочислові характеристики задопомогоюумовнихмоментіврозподілу

0,061*6+16=16,366

= =29,77

>Перевіримогіпотезу пронормальнийрозподілгенеральноїсукупності Х. Для цогонеобхіднознайтитеоретичнічастоти,ураховуючи, щоn=65,h=6 заформулою:

>ЗначеннядиференціальноїфункціїЛапласа.

Упершийстовпчикякоїзапишемо номерінтервалу;

Удругий -варіанти,третійобчислимо заформулою. УчетвертийстовпчикзапишемовідповіднізначенняфункційЛапласа, котрівізьмемо ззначеньтаблиці (u).

Уп‘ятийстовпчикзапишемообчисленітеоретичнічастоти.

>ВикориставшикритерійПірсоназробимовисновок проможливістьрозподілу величин Х згідно ізнормальним законом.

Зтаблицідодатку длякритичнихточокрозподілу Х2, числувільнихстепенів йрівнемзначущості а,заходимокритичні точки.Значеннякритичнихточок прирізних менше, ніжспостереженезначення.

Так як, тоєпідставивідкидатигіпотезу пронормальнийрозподілгенеральноїсукупностіознаки Х,тобтоемпіричні йтеоретичнічастотивідрізняютьсясуттєво, ацеякраз йсвідчить, щоданівибірки неспівпадають ізгіпотезою пронормальнийрозподілгенеральноїсукупності.


Схожі реферати:

Навігація