Реферати українською » Математика » Теорія ймовірностей та математична статистика


Реферат Теорія ймовірностей та математична статистика

>КОНТРОЛЬНАРОБОТА

іздисципліни

">Теоріяймовірностей таматематична статистика”


>Завдання 1

 

Двастрільцінезалежно один від одногороблять за однимпострілу помішені.Ймовірністьвлучення Першого – 0,8, а іншого – 0,4.Відомо, щоєодневлучення.Знайтиймовірність того, щовлучивдругийстрілець.

>Розв’язання

>Позначимовипадковіподії:

 >Х1:”>влучивпершийстрілець”,

 Х2:”>влучивдругийстрілець”,

 Y: “>єодневлучення умішень”,

 Z: “>влучивдругий, аперший невлучив”

>Апріорнаймовірність того, що при одномупострілівлучитьдругийстрілець й невлучитьперший, (>подія Z)визначаємо якймовірністьперерізу (>добутку)подій :”>перший невлучив” й Х2:”>другийвлучив”.

Заумовою

>Ймовірністьподії Yдорівнює (згідно із теоремамимноження йдодавання):

З огляду нанезалежностіподій >Х1 та Х2, йвраховуючи, щоймовірністьподії Z –цеумовнаймовірністьподії Х2 приумовіподії ,знаходимо


Зіншого боці,подію Z можна податі якперерізподії Y таподії Х2 приумові, щоподія Yздійснилася.Згідно ізтеоремоюмноження

,

де –апостеріорнаймовірність того, щонаявнеодневлучення умішеньзроблено іншимстрільцем.

>Звідсизнаходимошукануймовірність того, щовлучивдругийстрілець приумові, щоєоднепопадання:

>Завдання 2

>Ймовірністьнастанняподії А укожному із 18незалежнихвипробуванняхдорівнює 0,2.Знайтиймовірністьнастанняцієїподіїпринаймнідвічі.

>Розв’язання

>Задані взадачівипробуванняєвипробуваннямиБернуллі.Ймовірністьпоявиподії А укожномуокремомувипробуванністановить

>р=Р(А)=0,2,

аймовірність >їїнепояви

>q=P()=1->P(A)=1-0,2=0,8.


>Ймовірність того, щоподія А >відбудеться Доразів усерії із N іспитіввизначається заформулоюБернуллі:

,

де – числосполучень із Nелементів по K.

>Ймовірність того, щоподія А >відбудетьсяпринаймні 2 рази (>тобто 2 чи понад)дорівнює

 Дляспрощеннярозрахунківперейдемо допротилежноїподії (>появаподії А менше 2разів,тобто 0 чи 1 раз):

>Завдання 3

>Випадкова величина Х задана поручрозподілу

Х >х1 >х2 >х3 >х4
Р >р1 >р2 >р3 >р4

>Визначитиневідому р й.Знайтифункціюрозподілувипадковоївеличини

>F(Х) тапобудуватиїїграфік.Обчислитиматематичнесподівання >М(Х), >дисперсію >D(Х) тасереднєквадратичневідхиленнявипадковоївеличини Х.


Х 11 13 15 19
Р 0,18 0,32 0,4 ?

 

>Розв’язання

>Згідно ізумовоюнормуваннярозподілуймовірностейвипадковоївеличини

>Звідсизнаходимо :

>Функціюрозподілузнаходимо наосновіозначенняфункціїрозподілу:

>Графікфункціїрозподілузображено на мал.1.

>Математичнесподівання:

>Дисперсія:


>Середнєквадратичневідхилення

>Завдання 4

1.Записативибірку увигляді:

-варіаційного ряду;

-статистичного ряду частот;

-статистичного рядувідносних частот.

2.Побудуватиполігон,гістограму такумуляту длявибірки,поданої увиглядітаблиці частот.

3.Обчислитичислові характеристикиваріаційного рядурозподілу:

-середнєарифметичнезначення;

- моду;

-медіану;

-дисперсію;

-середнєквадратичневідхилення;

-коефіцієнтваріації.

4.Пояснитизмістобчисленихчислових характеристик.

>Вибірка:

 

7 8 4 0 4 6 5 4 3 2 4 8 6 2 2 5 3 6 6 5 5 3 5 6 7 8 9 5 2 5 4 5

 6 6 3 6 5 3 4 5 10 3 7 5 3 3 3 7 5 3 4 9 2 1 4 4 4 2 4 3 4 4 5 5

 3 7 5 3 2 6 2 4 4 4 0 6 1 3 4 4 5 4 8 3 5 4 11 9 9


>Розв’язання

 

1:

a)Варіаційний ряд –цепослідовністьваріант (>спостережуванихзначень),розташованих узростаючому порядку.

>Заданавибірка увиглядіваріаційного ряду:

 0 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 11.

б)Статистичний ряд частот –цеперелікзначеньваріантвибірки,розташованих у порядкузростання, ізвідповідними їхнього частотами (>тобто числомповторень шкірногозначення увибірці).

>Заданавибірка увиглядістатистичного ряду частот (Хй –значенняваріанти, n>s – частота):

Хй

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nі

2 2 8 15 20 17 10 5 4 4 1 1

в)Статистичний рядвідносних частот –цеперелікзначеньваріантвибірки,розташованих у порядкузростання, ізвідповідними їхнівідносними частотами.Відносна частота –це ставленнячастотиданогозначення дооб’ємувибірки.

>Об’ємвибіркистановить 89 (>вибіркамістить 89варіант).

 >Заданавибірка увиглядістатистичного рядувідносних частот (Хй –значенняваріанти,P>s –відносна частота):

Хй

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

>Pі

2/89 2/89 8/89 15/89 20/89 17/89 10/89 5/89 4/89 4/89 1/89 1/89

 


2:

а)Полігон частот –целамана,відрізкиякоїз’єднують точки (Хй, Рй) щовідповідаютьелементамстатистичного ряду частот.Полігон частотзображено на мал.1.Полігонпобудовано задопомогоюпроцесораелектроннихтаблиць MS Excel (>інструментмайстердіаграм).

б)Побудуємо длязаданоївибіркигістограму частот.

>Гістограма частот –цеступінчастафігура, Якаскладається ізпрямокутників, основами якієчастковіінтервалишириною h, на котрірозбитоінтервалзміниспостережуваноївеличини Х, ависотадорівнюєвідношеннючастотиінтервалу nі дошириниінтервалу h (nі/h).Висотапрямокутникамаєзмістгустиничастоти.

Дляпобудовигістограмивізьмемо ширинучастковихінтерваліврівною 1 (тодівисотипрямокутників будутьрівнимичастотізначеньваріант).

>Полігон частотзображено на мал.2.Полігонпобудовано задопомогоюпроцесораелектроннихтаблиць MS Excel.

в)Побудуємокумуляту частот длязаданоївибірки.

>Кумулятаявляє собоюграфікстатистичного рядунагромадженої (>кумулятивної)частоти.Кумулятивна частота для шкірногозначенняваріантидорівнюєсумі частот всіхпопередніх (>менших)значеньваріант.

Дляпобудовикумулятипобудуємостатистичний ряднагромадженоїчастотиданоївибірки:

Хй

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 >11

nі

0 2 4 12 27 47 64 74 79 83 87 88 89

>Кумулятузображено на рис. 3.

3:

>Обчисленнячислових характеристикваріаційного рядурозподілу.

>Середнєарифметичнезначення (>вибірковесереднє)


де xй –і-тезначенняваріанти, nі – частота цогозначення, N –об’ємвибірки.

Мода –цезначення, якумаєнайбільшу частоту увибірці. Зстатистичного ряду частотвибираємоваріанту, котрамаєнайбільшу частоту. Цеваріантах=4, котрамає частоту 20. МодаМod(X)дорівнює

>Mod(X)=4

>Медіана –цеваріанта, котраділитьваріаційний ряд надвічастини,рівні за числомваріант. Ос-кільки числоелементіввибіркинепарне (>N=89), томедіаноюєваріанта, Якамає номер

Зваріаційного рядузнаходимомедіану

>Дисперсіявизначається заформулою

йдорівнює


>Cереднєквадратичневідхиленнядорівнює

 

>Коефіцієнтваріації R

 4:

>Середнєарифметичне (>вибірковесереднє)єнайкращоюоцінкоюматематичногоочікуваннявеличини Х (>їїсередньогозначення).

Мода ймедіанатакожєоцінкамиістиногозначеннявеличини.Вонихарактеризуютьсяменшою, ніжсереднєарифметичнечутливістю добрутальнихпромахів.

>Дисперсіяєміроюмінливостіспостережуваноївеличини.Чимбільшадисперсія, тімбільшамінливістьвеличини,їїрозсіюваннянавколосередньогозначення.Одиницявимірюваннядисперсії – квадратодиницівимірюваннясамоївеличини.

>Середнєквадратичневідхиленнятакожєхарактеристикоюмінливостівеличини,їївідхилення відматематичногоочікування.Одиницівимірювання – тих ж, щосамоївеличини.

>Коефіцієнтваріації дляпорівняння величинрозсіюваннявідносновибірковогосереднього двохваріаційнихрядів.


Списоквикористаноїлітератури

 

1.Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика.Учеб. посібник для вузів. – М.: Вищу школу, 2001. – 479 з.

2. ГорбаньС.Ф.,Снижко Н.В. Теорія ймовірностей і математична статистика:Учеб. посібник. – До.: МАУП, 1999. – 168 з.

3.ГоркавийВ.К.,Ярова В.В.Математична статистика:Навчальнийпосібник. – До.:ВД «>Професіонал», 2004. – 384 з.

4.ЖлуктечкоВ.І.,НаконечнийС.І.,СавінаС.С.Теоріяймовірностей йматематична статистика:Навч.-метод.посібник: У2-х год. –Ч.П.Математична статистика. – До.:КНЕУ, 2001. – 336 з.

5.ІванютаІ.Д.,РибалкаВ.І.,Рудоміно-ДусятськаІ.А.Елементитеоріїймовірностей таматематичної статистики. – До.: Слово, 2003. – 272 з.

6. Савчук М. В. Програму ізнавчальноїдисципліни «>Теоріяймовірностей таматематична статистика» дляспеціальності 6.050200 «Менеджменторганізацій» - До.:ІПКДСЗУ, 2006. – 16 з.

7.ШефтельЗ.Г.Теоріяймовірностей:Підручник. – До.Вища школа, 1994. – 192 з.


Схожі реферати:

Навігація