Реферати українською » Математика » Теорія ймовірності та її застосування в економіці


Реферат Теорія ймовірності та її застосування в економіці

Страница 1 из 2 | Следующая страница

>Контрольна робота

Здисципліни:Теоріяймовірностей таматематична статистика

>Прізвище,ім’я,по-батькові студента

>Данiщук МирославаЕвгенiївна

>Прізвище таініціаливикладача

СтепахноІринаВасилівна

>Київ 2009рік


>Зміст

>Завдання 1

>Завдання 2

>Завдання 3

>Завдання 4

>Завдання 5

>Завдання 6

>Завдання 7

Списоквикористаноїлітератури


>Завдання 1

У ящика 50 лантух: 36жовтих й 14синіх. З ящиканавманнявиймають однукулю.Визначитиймовірність того, щоця лантуха:

а)жовта; б) синячи.

>Розв’язання:

>Ймовірність того, що із ящиканайманнявиймаютьжовтукулюстановить ставленнякількостіжовтихкульок дозагального числакульок:

а)Рч = 36/50 = 0,72

>Ймовірність того, що із ящиканайманнявиймаютьсинюкулюстановить ставленнякількостісиніхкульок дозагального числакульок:

б)Рс = 14/50 = 0,28.

 

>Відповідь: а) 0,72; б) 0,28.

>Завдання 2

>Імовірністьнесплатиподатку для шкірного із nпідприємцівстановитьp.Визначитиймовірність того і несплатятьподатки не меншеm1 й не понадm2 >підприємців.

>n=300;p=0,05;m1=25;m2=60

>n=500;p=0,05;m1=10;m2=250

>Розв’язання:

>Якщовипадкова величинапопадає вінтервал .

>Позначимошукануімовірність Рn (>m).

Мидоведемо щомаємісценаступна формулаБернуллі:

>Позначимо через У>m >складнаподія, щополягає до того, що в nдосвідахподія Авідбулося точно >m раз.Запис якщоозначати, що впершомудосвідіподія Авідбулося, удругі йтретьому - невідбулися й т.п. Бодосвідипроводяться принезміннихумовах, ті

>Подія У>m можнапредставити увидісумивсілякихподій зазначеного виду,причому вкожнімдоданку літера А безрисизустрічається точно >m раз.Доданки вційсумінесумісні іімовірність шкірногододанкадорівнюєЩобпідрахуватикількістьдоданків,помітимо, що їхнього скільки, стількиєспособів длявибору >m місць длябукви А безриси. Алі >m місць із n длябукви А можнавибрати  способами. Отже,

>Завдання 3

>Задано рядрозподілудобовогопопиту напевний продукт Х.Знайтичислові характеристикицієїдискретноївипадковоївеличини:

А)математичнесподівання М (Х);

Б)дисперсію D (X);

У)середнєквадратичневідхилення Х.

Х 1 3 5 7 11
>p 0,10 0,15 0,42 0,25 0,08

>Розв’язання.

а)Математичнесподіваннявеличинивизначається як:

>Запишеморезультати втаблиці.

Х 1 3 5 7 11
>P 0,10 0,15 0,42 0,25 0,08
>Х*Р 0,10 0,45 2,10 1,75 0,88

б)Дисперсіявизначається як:

Х 1 3 5 7 11
Р (Х) 0,10 0,15 0,42 0,25 0,08
Х - М (Х) -4,28 -2,28 -0,28 1,72 5,72

 (Х - М (Х)) 2

18,32 5, 20 0,08 2,96 32,72

>P (Х) * (Х - М (Х)) 2

1,83 0,78 0,03 0,74 2,62

>Дисперсіяхарактеризуєрозкидзначень відсереднього.

D (Х) =6,00.

в)середнєквадратичневідхилення >x >знаходиться яккоріньквадратний іздисперсії.


>Завдання 4

>Знаючи, щовипадкова величина Хпідпорядковуєтьсябіноміальному законурозподілу із параметрами n,p,записати рядрозподілуцієївеличини йзнайтиосновнічислові характеристики:

А)математичнесподівання М (Х);

Б)дисперсію D (X);

У)середнєквадратичневідхилення Х. >n=3;p=0,5

>Розв’язання.

>Біноміальний законрозподілуописуєтьсянаступнимвиразом:

>Підставившизначенняпараметрів,отримаємо:

>Запишемо рядрозподілуцієївеличини:


>Таблиця 1

>m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>Pn (>m)

>Таблиця 2

Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>Pn (Х)

>1.29E-01 >9.68E-03 >4.84E-04 >1.82E-05 >5.45E-07 >1.36E-08 >2.92E-10 >5.47E-12 >9.12E-14 >1.37E-15

Мал.1.Графікбіноміальногорозподілу

а)Математичнесподіваннявеличинивизначається як:

>Запишеморезультати втаблиці 3.

>Таблиця 3

Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>Pn (Х)

>1.29E-01 >9.68E-03 >4.84E-04 >1.82E-05 >5.45E-07 >1.36E-08 >2.92E-10 >5.47E-12 >9.12E-14 >1.37E-15
>ХP (Х) >1.29E-01 >1.94E-02 >1.45E-03 >7.26E-05 >2.72E-06 >8.17E-08 >2.04E-09 >4.38E-11 >8.21E-13 >1.37E-14

б)Дисперсіявизначається як:


>Таблиця 4

Х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сума
>Х-M (Х) 0.850 1.850 2.850 3.850 4.850 5.850 6.850 7.850 8.850 9.850 53.500

 (>Х-M (Х)) 2

0.723 3.423 8.123 14.823 23.523 34.223 46.923 61.623 78.323 97.023 368.725

>Pn (Х)

0.129 0.010 >4.84E-04 >1.82E-05 >5.45E-07 >1.36E-08 >2.92E-10 >5.47E-12 >9.12E-14 >1.37E-15 0.139

 (>Х-M (Х)) 2>P (>m)

0.093 0.033 >3.93E-03 >2.69E-04 >1.28E-05 >4.66E-07 >1.37E-08 >3.37E-10 >7.14E-12 >1.33E-13 0.131

>Дисперсіяхарактеризуєрозкидзначень відсереднього.

D (Х) =0,131.

в)середнєквадратичневідхилення >x >знаходиться яккоріньквадратний іздисперсії.

>Завдання 5

>Побудуватиграфікфункціїщільностірозподілунеперервноївипадковоївеличини Х, котрамаєнормальний законрозподілу ізматематичнимсподіванням М (Х) =а й проходити череззадані точки.

>a=5

x 1 2 4 5
>f (x) 0,033 0,081 0,081 0,033

>a=2

x 0,5 1 3 3,5
>f (x) 0,13 0,24 0,24 0,13

>Розв’язання.

а) М (Х) =5.

>Нормальний законрозподілуописуєтьсяформулою:

>Знайдемосередньоквадратичневідхилення.

>Дисперсіявизначається як:

,

де М (Х) -математичнесподівання.

>Математичнесподіванняобчислюється заформулою:

>Допоміжнірозрахункипредставлені втаблиці 5.

>Таблиця 5

>Допоміжнірозрахунки

Сума

x 1 2 4 5 12,00
>f (x) 0,033 0,081 0,081 0,033 0,228

16,000 9,000 1,000 0,000 26,000

0,528 0,729 0,081 0,000 5,928

Отже, D (X) = 5,928

>Підставившизначення увираз дляймовірності,отримаємо:

б) М (Х) =2.

>Допоміжнірозрахункипредставлені втаблиці 6.

>Таблиця 6

>Допоміжнірозрахунки

Сума
x 0,5 1 3 3,5 8,00
>f (x) 0,13 0,24 0,24 0,13 0,74

2,25 1 1 2,25 6,50

0,29 0,24 0,24 0,29 1,07

 

Отже, D (X) = 1,07.

>Підставившизначення увираз дляймовірності,отримаємо:


>Завдання 6

>Задановибірку, котрахарактеризуємісячнийприбутокпідприємців (утисячах гривень).

>скластиваріаційний рядвибірки.

>побудуватигістограму таполігон частот,розбившиінтервал начотири-шістьрівнихпідінтервалів.

>обчислити моду,медіану,середнєарифметичне,дисперсію таексцесваріаційного ряду.

>Розв’язання.

>Складемоваріаційний ряд.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
73 68 70 65 73 71 66 69 78 70 67 67 67 76 71 72 68 74 73 70

>Побудуємоінтервальний ряд (4інтервали) ізрівнимиінтервалами.Ширинаінтервалу рядувизначаєтьсяспіввідношенням:

,

де й -відповідномаксимальне тамінімальнезначенняреалізаційвипадкових величин.

; ; n = 4.

.


>Таблиця 7

І ІІ ІІІ >ІV
65,00 - 68,25 68,25 - 71,50 71,50 - 74,75 74,75 - 78,00
65 66 67 67 67 68 68 69 70 70 70 71 71 72 73 73 73 74 76 78
>f=7 6 5 2
>S=7 13 18 20

>Побудуємогістограмурозподілу.

Мал.1.Гістограмарозподілу

>Побудуємополігон частот яклінію, щосполучаєсерединиінтервалів

Рис.2.Полігон частот

3)Обчислимо моду,медіану,середнєарифметичне,дисперсію таексцесваріаційного ряду.

Мода Мпро -найпоширенішезначенняознаки,тобтоваріанта, Яка у низцірозподілумаєнайбільшу частоту.

Модавизначається, як:

,

де xпро та h -відповіднонижня межа та ширинамодальногоінтервалу;

 -частотимодального,передмодального тапіслямодальногоінтервалу.

Зтаблиці 2.1найбільше числореалізаційвеличини ізінтервалу 65,00 - 68,25. Цемодальнийінтервал, ширинаякогоh=3,25,нижня межа x>o=65,00, частотаf>mo=7,передмодальна частотаf>mo-1=0,післямодальна частотаf>mo+1=6.Маємо:

>МедіанаМе -цеваріанта, Якаприпадає на серединуупорядкованого рядурозподілу йділить йогодвірівні заобсягомчастини:

,

деf>me - частотамедіанногоінтервалу;

P.S>fme-1 -кумулятивна частотапередмедіанногоінтервалу:

Уінтервальному рядумедіанним якщозначенняознаки, дляякоїкумулятивна частотаперевищує чидорівнюєполовиніобсягусукупності.

>Кумулятивна частота P.S>me3 = 13, P.S>me2-1 = 7,f>me = 6, xпро = 68,25,h=3,25.

>Підставивши у (2.2), маємо:

>Середнєарифметичне  >обчислюється заформулою:

>Дисперсіяобчислюється заформулою:

Томузнайдемоспочаткусередній квадратзначень.

>ЕксцесEk >характеризує крутизнукривоїрозподілу.

,

де -центральний момент четвертого порядку.

У нашомувипадку:

Отже, криварозподілумаєлівостороннійнахил.

>Результатиобчисленьнаведені утабл.8.

>Таблиця 8

65,00 - 68,25 68,25 - 71,50 71,50 - 74,75 74,75 - 78,00 Сума
x 66.63 69.88 73.13 76.38 286.00

x2

4 438.89 4 882.52 5 347.27 5 833.14 20 501.81
>f 7 6 5 2 20.00
P.S 7 13 18 20 58.00
>dj 0.35 0.30 0.25 0.10 1.00
>xjdj 23.32 20.96 18.28 7.64 70.20
>xj2dj 1 553.61 1 464.75 1 336.82 583.31 4 938.50
 (>xcp-m) 3 -45.69 -0.03 25.03 235.46 214.76
 (>xcp-m)3dj -15.99 -0.01 6.26 23.55 13.80
 (>xcp-m) 4 163.34 0.01 73.20 1 453.94 1 690.50
 (>xcp-m)4dj 57.17 0.00 18.30 145.39 220.87

>Завдання 7

>Перевірити, чисправджуєтьсястатистичнагіпотеза пронормальнийрозподілгенеральноїсукупності заданимивибірки:

xі

2 5 9 11 12 15 18 19 21

>mі

1 2 3 8 19 18 16 13 9

Мал.1.

>Нормальнийрозподілзадаєтьсяфункцією:

>Розрахуємозначеннясередньоквадратичноговідхилення (>таблиця 9.1).

.

>Таблиця 9.1

xі

2 5 9 11 12 15 18 19 21 >Всього

>mі

1 2 3 8 19 18 16 13 9 89

>pй

0,01 0,02 0,03 0,09 0,21 0, 20 0,18 0,15 0,10 1,00

йрй

0,02 0,11 0,30 0,99 2,56 3,03 3,24 2,78 2,12 15,16

 (xй - xпорівн)

-13,16 -10,16 -6,16 -4,16 -3,16 -0,16 2,84 3,84 5,84 -24,42

 (xй - xпорівн) 2

173,11 103,17 37,91 17,28 9,97 0,02 8,08 14,77 34,14 398,46

За методом2->критеріюузгодженостіПірсонапорівнюється ізкритичнимзначеннямвідносна сумаквадратіввідхиленьдослідного числапопадань вкожнийінтервал h>k відтеоретичного їхнього числаfp>k, деp>k ->ймовірністьпопаданнявеличини x вk-йінтервал.

>Теоретичнийрозподіл можнавважатиправдоподібним прирівнязначущості,якщо якщовиконуватисьнерівність:

,

де ->квантиль2->критеріюрозподілуПірсона, щовідповідаєзначенню параметраf=k-3;

>pj=F (b>k - a>k) = -

>теоретичнезначенняпопадання параметру в к-йінтервал

>Параметритеоретичногорозподілувибираємо,виходячи із принципумаксимальноїправдоподібності: .

 

>Таблиця 9.2

>Результатиобчисленьперевіркигіпотези пронормальнийрозподіл

>k >Значення

>p>k

>fj

 (>fj->np>k) />np>k

1 2 0,425 1 0,177
2 5 0, 193 2 1,077
3 9 0,092 3 2,619
4 11 0,073 8 8,971
5 12 0,067 19 22,579
6 15 0,060 18 18,997
7 18 0,066 16 12,523
8 19 0,071 13 8,651
9 21 0,088 9 3,856
Сума 112 1,134 89 79,451

Мал.1.Емпіричніданірозподілу

=== 10,48773.

Ос-кільки 79,45 > 10,4873, тогіпотеза пронормальний законрозподілу несправджується.


Списоквикористаноїлітератури

1.Дідиченко М.П.Теоріяймовірностей таматематична статистика:Навчальнийпосібник длястудентівекономічнихспеціальностей. -Харків, 1996. - 208 з.

2.Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика:Учеб.пособ. длястуд. вузів. - 7. вид., стереотип. - М.: Вищу школу, 2001. - 479 з.

3.Задорожня Т. М., Коляда Ю.В., МамоноваГ.В.Збірник завдань ізтеоріїймовірності таматематичної статистики (длястудентівекономічнихспеціальностей):Навч.посіб. длястуд.вищ.навч.закл. /Державнаподатковаадміністрація України;Академіядерж.податковоїслужби України. -Ірпінь:Академія ДПС України, 2001. - 76 з.

4.Колемаев В.А. Теорія ймовірностей в прикладах та військово-політичні завдання.Учеб. посібник. - М.:ГУУ, 2001. - 87 з.

5.Малайчук В.П., Петренко О.М.,Рожковський В.Ф. Основитеоріїймовірності йматематичної

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація