Реферати українською » Математика » Особливі точки рівняння


Реферат Особливі точки рівняння

>Міністерствоосвіти й науки України

>Дніпропетровськийнаціональнийуніверситет ім. Олеся Гончара

>КОНТРОЛЬНАРОБОТА

іздисципліни „>Диференціальнірівняння"

на задану тему „>Особливі точки”

>Виконавець: студенткагрупи

Назаренко Олеся

>Перевірив:

м.Дніпропетровськ 2010 р.


>Зміст

1.Особливі точки

2. Завдання 1

3. Завдання 2

4. Завдання 3.

5. Завдання 4


1.Особливі точки

>Особливоюточкоюсистеми

 (1)

чирівняння

 (2)

дефункції інеперервнодиференційовані,називається така точка, вякій .

Длядослідженняособливої точкисистеми

 (3)

чирівняння

 (4)

>требазнайтирозв’язокхарактеристичногорівняння

 (5)

>Якщорозв’язки дійсна,різні і одного знаку , тоособлива точка - >вузол (мал.1, а),причому >стійкий,якщо і >нестійкий,якщо .

>Вузолхарактеризується тім, що усітраєкторії,крімоднієї II,мають уточці (0,0)загальнудотичну I, що самаєтраєкторією.Прямі I й IIспрямованівздовжвласнихвекторівматриці , котрівідповідають й ,причому пряма Iвідповідаєменшому за модулем із й .

Привузолєстійкоюточкоюспокою. Нарис.1астрілками показаньнапрямок рухувздовжтраєкторії призростанні увипадкустійкоговузла.Якщо , товузолнестійкий йстрілкизаміняються напротилежні.

Мал.1.Типовітраєкторії [2]

>Якщорозв’язки дійсна,різні ірізнихзнаків , тоособлива точка - >сідло (мал.1, б).Сідлоє >нестійкоюточкоюспокою.

>Сідлохарактеризуєтьсянаявністю двохтраєкторій I й II, щопроходять через (0,0)також у напрямівласнихвекторів. Пряма Iєасимптотою дляіншихтраєкторій при , а IIєасимптотою при .Прямолінійнатраєкторія Iрозташована занапрямкомвласного вектора, щовідповідаєдодатньому , апрямолінійнатраєкторія II занапрямкомвласного вектора, щовідповідаєвід‘ємному .Прямі I й IIназиваються >сепаратрисамисідла. Нарис.1бстрілками показаньнапрямок рухувздовжтраєкторії призростанні .Сепаратриса IIєєдиноютраєкторією,якійвідповідаєрозв’язок, щопрямує до 0 при .Тількидвітраєкторії I й IIєпрямолінійними.Іншітраєкторіїкриволінійні ізізростаннямйдуть з в .Сепаратриси I й IIрозділяютьфазовуплощину на виборах 4області, у які лежатикриволінійнітраєкторії.

>Якщорозв’язкикомплексні іздійсноючастиною ,відмінною від нуля, тоособлива точка - фокус (мал.1, в),причому >стійкий,якщо і >нестійкий,якщо . Нарис.1встрілками показаньнапрямок руху призростанні увипадкустійкого фокусу.

>Зауваження. Увипадку фокусутраєкторіїможуть бутизакрученінавколо (0,0) урізнихнапрямках. А,щобвизначитинапрямокзакручування,доситьобчислити векторшвидкості вякій-небудьточці,наприклад, в (0,1).Аналогічнодосліджуєтьсянапрямок руху в центру івиродженоговузла.

>Якщорозв’язкикомплексні сутомнимі (), тоособлива точка - центр (мал.1, р). Центрєстійкою, але й неасимптотичностійкоюточкоюспокою.

>Якщорозв’язкирівні іненульові (>тобто ), тоособлива точкаможе бути >виродженимвузлом (мал.1, буд) чи >дикритичнимвузлом (мал.1, е),причомудикритичнийвузолмаємісце лише увипадкусистеми (чирівняння ), а й у всіхіншихвипадках приособлива точкаєвиродженимвузлом. Увипадкувиродженоговузла усітраєкторіїдотикаютьсяоднієїпрямої,спрямованоївздовжєдиноговласного вектора, щовідповідає .Дикритичнийвузолможе бутистійким йнестійким .

>Якщо ж один чиобидварозв’язкирівняння (5)дорівнюють нулю, то , й,отже,дріб управійчастинірівняння (4)скорочується.Рівняннянабуваєвигляду , йрозв’язок наплощиніXOYзображуютьсяпаралельнимипрямими.

 

2. Завдання 1

 

>Дослідитиособливі точкирівняння.Накреслитиінтегральнікриві наплощиніXOY:

 

 

>Розв’язання.

Длядослідженняособливої точкирівняння

>требазнайтирозв’язокхарактеристичногорівняння

В Україні , , , .Складаємохарактеристичнерівняння

йрозв’язуємо йоговідносно

>Розв’язкихарактеристичногорівняння дійсна імаютьрізні знаки.

Отже, >особлива точка (0,0) -сідло. >Сідлоєнестійкоюточкоюспокою.

1. першийспосібпобудовиінтегральнихкривих.

>Власний вектор , щовідповідаєвласному числу ,знаходимо,підставляючи врівняння

>значення .Маємо

>Власний вектор (1; 1/2)матрицікоефіцієнтівданоїсистеми,відповідаєвласному числу .

>Далі,власний вектор , щовідповідаєвласному числу ,знаходимо,підставляючи врівняння

>значення .Маємо

>Власний вектор (1; - 1)матрицікоефіцієнтівданоїсистеми,відповідаєвласному числу .

Наплощинібудуємопрямі,спрямованівздовжвласнихвекторів (1; 1/2) й (1; - 1), апотімбудуємогіперболи.

2. Іншийспосібпобудовиінтегральнихкривих.

>Знайдемосепаратрисисідла,тобтопрямі, щорозділяютьгіперболирізнихтипів, котрієфазовимикривимисистеми (>тобтоасимптотицихгіпербол).

>Прямі, щопроходять черезособливу точку (0,0),шукаємо увигляді .Підставляючи увихіднерівняння

,

>одержуєморівняння длявизначеннякоефіцієнта

Таким чином, маємодвішуканіпрямі

, .

3.Напрямок руху потраєкторіях. Дляз'ясування напрямі руху потраєкторіяхдоситьпобудувати вякій-небудьточці векторшвидкості .Наприклад, у точках та векторшвидкостідорівнює

, ,

у точках та векторшвидкостідорівнює

, ,

у точках та векторшвидкостідорівнює

, ,

у точках та векторшвидкостідорівнює

, .

>Приблизний видсім’їінтегральнихкривихзображено на малюнку 2.

Рис.2.Положеннярівноваги іінтегральнікриві [6]

 

3. Завдання 2

 

>Дослідитиособливі точкирівняння.Накреслитиінтегральнікриві наплощиніXOY:

 

 

>Розв’язання. Длядослідженняособливої точкирівняння

>требазнайтирозв’язокхарактеристичногорівняння

В Україні , , , .Складаємохарактеристичнерівняння

йрозв’язуємо йоговідносно

>Розв’язкихарактеристичногорівняння дійсна,різні і одного знака.

Отже, >особлива точка (0,0) -стійкийвузол ().

1. першийспосібпобудовиінтегральнихкривих.

>Власний вектор , щовідповідаєвласному числу ,знаходимо,підставляючи врівняння

>значення .

>Власний вектор (2;

1)матрицікоефіцієнтівданоїсистеми,відповідаєвласному числу .

>Далі,власний вектор , щовідповідаєвласному числу ,знаходимо,підставляючи врівняння

>значення .

>Власний вектор (1; - 1)матрицікоефіцієнтівданоїсистеми,відповідаєвласному числу .

Наплощинібудуємопрямі,спрямованівздовжвласнихвекторів (2;

1) й (1; - 1), апотімбудуємопараболи івказуємонапрямок руху потраєкторіях.

2. Іншийспосібпобудовиінтегральнихкривих.

>Прямі, щомістятьфазовікривісистеми,шукаємо увигляді .

>Підставляючи увихіднерівняння

,

>одержуєморівняння длявизначеннякоефіцієнта :

>Виходить, що й -шуканіпрямі.

>Фазовікриві -частини парабол, щодотикаються на початку координатпрямої .Параболидотикаютьсясамепрямої ,оскількивласний вектор (2;

1)матрицікоефіцієнтівданоїсистеми, щовідповідаєвласному числу ,паралельнийпрямій .

3.Напрямок руху потраєкторіях.

Дляз'ясування напрямі руху потраєкторіяхдоситьпобудувати вякій-небудьточці векторшвидкості .Наприклад, уточці векторшвидкостідорівнює

,

аточці векторшвидкості

.

>Приблизнийвиглядсім’їфазовихкривихзображений на малюнку 3.

>Рис.3.Положеннярівноваги іінтегральнікриві [6]

 

4. Завдання 3.

 

>Дослідитиособливі точкисистеми.Накреслитиінтегральнікриві наплощиніXOY:

 

>Розв’язання.

Длядослідженняособливої точкисистеми

>требазнайтирозв’язокхарактеристичногорівняння

В Україні , , , .Складаємохарактеристичнерівняння

йрозв’язуємо йоговідносно

>Розв’язкихарактеристичногорівняннякомплексні ірізні.

Отже, >особлива точка (0,0) -стійкий фокус ().

>Напрямок руху потраєкторіях.

Дляз'ясування напрямізакручуванняінтегральнихкривих (>спіралей)будуємо векторшвидкості вточці (1,0):

Отже,спаданнювідповідає рух поспіралях над перебігомгодинниковоїстрілки. Прирусі над перебігомгодинниковоїстрілкиінтегральнікривінаближаються до початку координат (0,0).

>Приблизнийвиглядсім’їінтегральнихкривихзображено на малюнку 4.

>Рис.4.Положеннярівноваги іінтегральнікриві [6]

 

5. Завдання 4

 

>Дослідитиособливі точкисистеми.Накреслитиінтегральнікриві наплощиніXOY:

>Розв’язання.

Длядослідженняособливої точкисистеми

>требазнайтирозв’язокхарактеристичногорівняння

В Україні , , , .Складаємохарактеристичнерівняння

йрозв’язуємо йоговідносно

>Розв’язкихарактеристичногорівняння дійсна імаютьрізні знаки. Отже, >особлива точка (0, 0) -сідло. >Сідлоєнестійкоюточкоюспокою.

1. першийспосібпобудовиінтегральнихкривих.

>Власний вектор , щовідповідаєвласному числу ,знаходимо,підставляючи врівняння

>значення .Маємо

>Власний вектор (1,1)матрицікоефіцієнтівданоїсистеми,відповідаєвласному числу .

>Власний вектор , щовідповідаєвласному числу ,знаходимо,підставляючи врівняння

>значення .Маємо

>Власний вектор (0, )матрицікоефіцієнтівданоїсистеми,відповідаєвласному числу .

Наплощинібудуємопрямі,спрямованівздовжвласнихвекторів (1;

1) й (0, ), апотімбудуємогіперболи.

2. Іншийспосібпобудовиінтегральнихкривих.

>Знайдемосепаратрисисідла,тобтопрямі, щорозділяютьгіперболирізнихтипів, котрієфазовимикривимисистеми (>тобтоасимптотицихгіпербол).Розділивши одномурівняннявихідноїсистеми на першерівняння,одержуємо

 чи

>Прямі, щопроходять черезособливу точку (0,0)шукаємо увигляді (атакож ).Підставляючи востаннєрівняння,одержуємо

>Виходить, що й -шуканіпрямі.

3.Напрямок руху потраєкторіях.

Дляз'ясування напрямі руху потраєкторіяхдоситьпобудувати вякій-небудьточці векторшвидкості .Наприклад, уточці векторшвидкостідорівнює

,

уточці векторшвидкості

,

уточці векторшвидкості

,

уточці векторшвидкості

.

>Рис.5.Положеннярівноваги іінтегральнікриві [6]


Списоквикористанихджерел

1. Боярчук О.К., Головач Г.П.Дифференциальние рівняння в прикладах та військово-політичні завдання. Довідкове посібник з вищої математики. - М.:ЭдиториалУРСС, 2001. - 384 з.

2. Васильєва Г.Б., МедведєвГ.Н., Тихонов Н.А.,УразгильдинаТ.А.Дифференциальние і інтегральні рівняння, варіаційне літочислення в прикладах та військово-політичні завдання. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 432 з.

3.Немицкий В.В., Степанов В.В. Якісна теорія диференційних рівнянь. - М.: Державне виданнятехникотеоретической літератури, 1947. - 448 з.

4. Самойленко А.М., Кривошея С.А.,Перестюк Н.А.Дифференциальние рівняння: приклади і завдання.Учеб. посібник. -2е вид., перераб. - М.:Висш. шк., 1989. - 383 з.: мул.

5. ФіліпповА.Ф. Збірник завдань із диференційним рівнянням. -Ижевск, НДЦ "Регулярна і хаотична динаміка", 2000. - 176 з.


Схожі реферати:

Навігація