Реферати українською » Математика » Прямі методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь


Реферат Прямі методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

>Реферат із курсу “Введення у чисельні методи

Тема: “>ПРЯМЫЕ МЕТОДИ РІШЕННЯ СИСТЕМЛИНЕЙНЫХАЛГЕБРАИЧЕСКИХУРАВНЕНИЙ”

 


Зміст

 

1. Метод послідовних наближень

2. МетодГаусса-Зейделя

3. Метод звернення матриці

4.Триангуляция матриці

5. МетодХалецкого

6. Метод квадратного кореня

Література

 


1. Метод послідовних наближень

Найпоширенішими методами стосовно великим системам єитерационние методи, використовують розкладання матриці у сумі матриць, іитерационние методи, використовуютьфакторизацию матриці, тобто. подання до вигляді твори матриць.

Проста ітерація: рівняння наводиться до виду , наприклад, так:

 ,

що й містять довільну матрицю коефіцієнтів, наскільки можна бажано близьку до .

Якщо вибрати >A=H+Q те щоб у позитивно певної H легко перебувала , тоді вихідна система наводиться ось до чого зручного для ітерацій виду:

 .

І тут, при симетричній матриці A і позитивно певної >Q >итерационний процес сходиться незалежно від початковому .

Якщо взяти H як діагональної матриці D= , у якій тільки головною діагоналі розташовані ненульові компоненти, цей окреме питання називаєтьсяитерационним методом Якобі.

2. МетодГаусса-Зейделя

МетодГаусса-Зейделя особливий тим, що вихідна матриця представляється сумою трьох матриць:


.

>Подстановка у і нескладні еквівалентні перетворення призводять до наступнійитерационной процедурі:

 .

Розрізняють дві модифікації: одночасну підстановку і послідовну. У першій модифікації чергова підстановка виконується тоді, якщо будуть враховано все компоненти нового вектора. У другій модифікації чергова підстановка вектора виконується на той час, якщо буде обчислена чергова компонента поточного вектора. Увекторно-матричной формі записи послідовна підстановка методуГаусса-Зейделя така:

 .

Друга форма вимагає істотно менше ітерацій.

3. Метод звернення матриці

>Эквивалентние перетворення матриці у твір простіших, що призводять до рішенню чи які полегшують його отримання, розпочнемо з розгляду методу звернення матриці. Позаяк у загальному вигляді рішення системи представляється через зворотний матрицю як , то припустимо, що

 ,


тоді, помноживши справа рівність на матрицю A , одержимо

 .

Звідси можна дійти невтішного висновку, що матриці повинні послідовно зводити матрицю A до одиничної. Якщо перетворюючу матрицю вибрати те щоб лише одне її стовпець відрізнявся від одиничнихвекторов-столбцов, тобто. , товектор-столбец можна сформувати таким, щоб за множенні на поточну перетворюється матрицю у вищій і->тий стовпець перетворився на одиничний . І тому беруть

 і тоді .

Фактично, це матричне твір перетворює все компоненти проміжної матриці по формулам, що застосовуються у методі винятку Гаусса. Особливість цього процесу у цьому, що діагональні елементи вихідної і лідери всіх проміжних матриць нічого не винні бути нульовими.

Крім зворотної матриці, рівної твору всіх T-матриць, тепер можна одержувати і рішення рівнянь нічого для будь-якого вектора у правій частині.


4. >Триангуляция матриці

Розпад вихідної матриці на твір двох трикутних матриць (тріангуляція матриці) перестав бути однозначної. Відповідно до цим є кілька різних методів, привабливих з тим чи іншого боку.

Сам спосіб формування рівнянь чи формул для обчислення елементів трикутних матриць у різних методах практично однаковий: це метод невизначених коефіцієнтів.

Відмінності виникають на стадії вибору умов дозволу отриманих рівнянь. Нехай

 ,

де –

нижня трикутна матриця,

 –

верхня трикутна матриця.

Виконуючиперемножения трикутних матриць і прирівнюючи отримувані елементи відповідним елементам вихідної матриці нескладно для >k-тієї рядки - і >m-того шпальти записати

 .

Отримана система складається з рівнянь і має невідомих коефіцієнтів. за рахунок зайвих n невідомих існує свободу вибору, завдяки якому і є розмаїтість методів розкладання.

5. МетодХалецкого

Якщо , то розкладання і наступне рішення системи з цих двохвекторно-матричних рівнянь з трикутними матрицями називається методомХалецкого.

Елементи трикутних матриць L і U послідовно будуть обчислюватися за такими формулам:

Якщо вихідна матриця симетрична, або від трикутних матриць можна зажадати, щоб були друг до другатранспонированними, тобто., наприклад, і  отже . І тут елементи трикутних матриць перебувають у співвідношенні і, отже, число невідомих зменшується вдвічі. Через війну елементи трикутною матриці можуть обчислюватися за такими формулам:


6. Метод квадратного кореня

Використання розкладання на взаємнотранспонированние трикутні матриці під час вирішення систем алгебраїчних рівнянь називається метод квадратного кореня.

Метод розкладання натранспонированние трикутні матриці має модифікацію, яка полягає в виділення творі діагональної матриці D із елементами на діагоналі . Отже, для вихідної матриці, яка може бутиермитовой (симетричній і комплексно пов'язаною), розшукується твір трьох матриць: .

Кожне >km->тое рівняння, визначається твором >k-тоговектора-строки лівої трикутною матриці на діагональну матрицю, помноженій на >m->тий стовпець правої трикутною матриці, і має вигляд:

 .

Для однозначного розкладання, враховуючи комплексну спряженість симетричних елементів трикутних матриць, у першому рівнянні (і=1), що має вид , вважають . І тут

 .

Аналогічно, відділяючи знак діагонального елемента діагональної матриці з його модуля, можна отримати роботу формули для обчислення :


 


Література

 

1.Хеннер Є. До.,Лапчик М. П.,Рагулина М. І.Численние методи. Вид-во: ">Академия/Academia", 2004. –384c.

2.Бахвалов І. У.Численние методи.БИНОМ, 2008. –636c.

3.Формалев У. Д.,Ревизников Д. Л.Численние методи. Вид-во:ФИЗМАТЛИТ®, 2004. –400c.


Схожі реферати:

Навігація