Реферати українською » Математика » Рішення економічних задач


Реферат Рішення економічних задач

Завдання 1

Підприємству виготовлення наборів ялинкових прикрас необхідно виготовити їх складові - кулю, дзвіночок, мішура. Ці дані представлені у таблиці:

Найменування складових частин Види наборів
1 2 3 4
Куля 5 6 8 10
Дзвіночок 3 4 6 0
Мішура 0 3 5 8

Натомість виготовлення цих складових частин необхідні три виду сировини - скло (м), пап'є-маше (м), фольга (м), потреби у якій відбито у наступному таблиці

Вигляд сировини Складові елементи
Куля Дзвіночок Мішура
Скло 5 0 0
>Папье-маше 0 4 0
>Фольга 3 0 75

Потрібна:

1) визначити потреби у сировину до виконання плану з виготовлення комплектів першого, другого, третього і четвертого виду у кількості відповідно x1, x2, x3 і x4 штук;

2) провести підрахунки для значень x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 і x4=200.

Рішення: складемо умови визначення числа деталей залежно від кількості і виду наборів. Нехай n1, n2 і n3 - число куль, дзвіночків і мішури, відповідно.

Тоді умови виглядатимуть так:

n1 =5x1 +6x2 +8x3 +10x4

n2 =3x1 +4x2 +6x3

n3 =3x2 +5x3 +8x4

 

>Составим умови що визначають потреби у сировину у залежність від виду деталей. Нехай y1, y2 і y3 - потреби у склі, пап'є-маше і фользі, відповідно:

y1 =5n1

y2 =4n2

y3 =3n1 +75n3

Тепер підставимо замість nі - отримані раніше рівності.

y1 = 5· (>5x1 +6x2 +8x3 +10x4) =25x1 +30x2 +40x3 +50x4

y2 = 4· (>3x1 +4x2 +6x3) =12x1 +16x2 +24x3

y3 = 3· (>5x1 +6x2 +8x3 +10x4) + 75· (>3x2 +5x3 +8x4) =15x1 +243x2 +399x3 +630x4

Проведемо підрахунки для значень

x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 і x4=200.

y1 = 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 р.

y2 = 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 р.

y3 = 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 р.

Завдання 2

Нехай a>ij - кількість продукції j, виробленої підприємством і, а bі - вартість всієї продукції підприємства і досліджуваної галузі. Значення a>ij і bі задано матрицями A і У відповідно. Потрібна визначити ціну одиниці виробленої продукції кожного виду, виробленої підприємствами галузі. У виконання завдання необхідно скласти систему рівнянь, відповідну умовам, і розв'язати цю проблему трьома способами (матричний метод, метод Крамера, метод Гаусса).

,

Рішення:

>Составим систему рівнянь:

>Матричное рівняння виглядає так:

A · X = B

>Домножим зліва кожну з двох частин рівняння на матрицю A-1

A-1 · A · X = A-1 · B; E · X = A-1 · B; X = A-1 · B

Знайдемо зворотний матрицю A-1

 

> = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017

;

 =

X =· = =

Вирішимо систему методом Крамера

> = - 1017

>1 = = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153

>2 = = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119

>3 = = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187

x1 =1/> = - 9153/ (- 1017) = 9

x2 =2/> = - 7119/ (- 1017) = 7

x3 =3/> = - 11187/ (- 1017) = 11

Вирішимо систему методом Гаусса

 =>  =>  =>

 =>  => = >

Завдання 3

Знайти приватні похідні першого і другого порядків заданої функції:

Рішення:


Завдання 4

>Задана функція попиту , деp1,p2 - ціни на всі перший і другий товари відповідно. Базуючись на властивості функції попиту, визначити: який товар є досліджуваним, а який альтернативним і еластичність попиту за цінами досліджуваного і альтернативного товарів. У процесі рішення відзначити, якими є дані товари - взаємозамінними чивзаимодополняемими.

Рішення: еластичність попиту за ціною дорівнює першої похідною від функції попиту:

еластичність негативна, отже, перший товар - досліджуваний.

еластичність позитивна, отже, другий товар - альтернативний.

Товари є товарами замінників,т.к зростання ціни альтернативний товар спричиняє зростання попиту.


Завдання 5

У таблиці наведено дані про товарооборот магазину за рік (по місяців). Провести вирівнювання даних із прямий з допомогою методу найменших квадратів.

Скориставшись знайденим рівнянням прямий, спрогнозувати величину товарообігу за півроку і рік.Сопроводить завдання кресленням, у якому необхідно побудувати ламану емпіричних даних, і отриману пряму.

Проаналізувавши креслення, зробіть висновки.

Місяць 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Товарообіг, (тис. р) 18 5,6 30,5 59,3 59,3 42 96,4 72,6 56,8 52 38,6 33

Рішення:

>Рассчитаем параметри рівняння лінійної парній регресії.

Для розрахунку параметрів a і b рівняння лінійної регресії у = а +bx вирішимо систему нормальних рівнянь щодо чи b (вона випливає з методу найменших квадратів):

По вихідним даним розраховуємоSх,Sу,Sух,Sх2,Sу2.

>t y x >yx

x2

y2

1 18,0 1 18 1 324,00 33,662
2 5,6 2 11,2 4 31,36 36,089
3 30,5 3 91,5 9 930,25 38,516
4 59,3 4 237,2 16 3516,49 40,943
5 59,3 5 296,5 25 3516,49 43,37
6 42,0 6 252 36 1764,00 45,797
7 96,4 7 674,8 49 9292,96 48,224
8 72,6 8 580,8 64 5270,76 50,651
9 56,8 9 511,2 81 3226,24 53,078
10 52,0 10 520 100 2704,00 55,505
11 38,6 11 424,6 121 1489,96 57,932
12 33,0 12 396 144 1089,00 60,359
Разом 564,1 78 4013,8 650 33155,51 564,13

;

;

;

;

>Уравнение регресії:

= 31,235 + 2,427 · x

>Рассчитаем у цій рівнянню значення для і запишемо в додатковий стовпець вихідних даних.

Знайдемо прогноз на півроку вперед:

= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тис. крб.

Знайдемо прогноз роком вперед:

= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тис. крб.


Отримані графіки говорять про поганому відображенні вихідних даних рівнянням прямий. Можливо, це пов'язане з наявністю сезонності в товарообігу. Тоді є пряма лінія є рівнянням тренду.

Завдання 6

Досліджувати на екстремум таку функцію:

;

Рішення:

Знайдемо перші приватні похідні і визначимо точки потенційнихекстремумов.

=4x3 +2xy2;4x3 +2xy2 = 0;2x (>2x2 + y2);

>2x = 0 чи (>2x2 + y2) = 0; точка (0, 0)

=4y3 +2x2y;4y3 +2x2y = 0;2y (x2 +2y2);

>2y = 0 чи (x2 +2y2) = 0; точка (0, 0)

Знайдемо другі похідні та його значення точці (0; 0)

=12x2 +2y2; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = А

=2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B

=12y2 +2x2; 12 * 02 + 2 * 02 = 0 = З

> =AC - B2 = 0

Отже, питанняекстремуме залишається питанням відкритим.

Крапка (0; 0) можливий екстремум функції.

Завдання 7

Нехай функція корисності задана як

де x і y - кількість товарів Проте й У, придбаних споживачем, а значення функції корисності чисельно висловлюють міру задоволення покупця. За такої ціні одиниці товарів Проте й У, загальна сума, що виділятимуться покупцем купівлю цих паперів, становить 140 рублів. При якій кількості товарів Проте й У корисність для споживача максимальна. А = 21, У = 37.

Рішення: корисність максимальна за однакової кількості перших похідних:

= ; = ;  = ;  =

Обмеження вартості задається нерівністю21x +37y 140

>Составим систему.

; ; ;

Максимальна корисність буде досягнуто за місячного споживання 2,14 од. Проте й 2,57ед.в.

Завдання 8

>Задани функції попиту й пропозиції залежно кількості товаруQ: і . Під функціями попиту й пропозиції усвідомимо функціональну залежність ціни кількості товару над ринком. Визначити надлишки споживача і надлишки виробника приравновесном стані попиту й пропозиції.

 і ,

Рішення: знайдемо рівноважний стан попиту й пропозиції:

D (>Q) = P.S (>Q); = ; ; -t2 -6t + 300 = 0

>t1 = - 25,12 іt2 = 16,72,t1 - не задовольняє умові

;Q = 279,56 од.

У цьому ціна становитиме: Р = 6 * 16,72 = 100,32ден. од.

Надлишки споживача рівні площі постаті обмеженою згори кривою попиту, знизу рівноважної ціною й зліва нульовим випуском. Знайдемо надлишки споживача:

P.S>потр = - 100,32 · 279,56 = - 28045,46 =

= 300 * 279,56 - 5/14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7

Надлишки виробника рівні площі постаті обмеженою згори рівноважної ціною, зліва нульовим випуском і знизу кривою пропозиції. Знайдемо надлишки виробника:

P.S>произв = 100,32 · 279,56 -  = 28045,46 - =

= 28045,46 - 4 * 16,723 = 9348,6


Література

1.Н.Ш. Кремер. Вища математика для економістів. - М.: Банки біржі,ЮНИТИ, 1997.

2.Н.Ш. Кремер.Практикум з вищої математики для економістів. - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2007.

3. І.А. Зайцев. Вища математика. - М.: Вищу школу, 1998.

4. Математичний аналіз політики та лінійна алгебра. Навчальне методичний посібник. Під ред.Н.Ш. Кремера. -ВЗФЭИ, 2006.


Схожі реферати:

Навігація