Реферати українською » Математика » Математична статистика


Реферат Математична статистика

>СОДЕРЖАНИЕ

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Завдання 8

Завдання 9

Завдання 10

Завдання 11

Завдання 12

Завдання 13

Завдання 14

Література


Завдання 1. Досліджувати відповідність рядів:

а)

 

Рішення:

Скористаємося ознакоюДаламбера

Ряд сходиться.

б)

 

Рішення:

Для дослідження цього самого ряду на відповідність зручніше застосувати радикальний ознака Коші:

>p ===

== =5

Оскільки показник Коші низки суворо більше одиниці, то радикальному ознакою Коші ряд розходиться.


Завдання 2. Досліджувати ряд абсолютну і умовну відповідність:

Рішення:

Розглянемо декотрі з модулів:

Порівняємо його із низкою

Ми це зробити відповідно до ознакою порівняння:

Ряд досліджуємо з допомогою інтегрального ознаки:

тобто. ряд розходиться. Отже декотрі з модулів теж розходиться, а нашзнакопеременний ряд не має абсолютноїсходимостью. Але він сходиться умовно відповідно до теоремі Лейбніца

|=

Завдання 3. Знайти область збіжності низки:

Рішення:

Знайдемо інтервал збіжності , де R – радіус збіжності. Знайдемо радіус збіжності R :

Отже, інтервал збіжності низки. Досліджуємо відповідність низки на кінцях інтервалу:

Отриманий ряд є узагальненим гармонійним поруч, у якому

 

Отже, отриманий ряд розходиться.

Отримализнакочередующийся ряд. Використовуємо теорему Лейбніца:

Отже, отриманий ряд сходиться.

>Областью збіжності заданого низки є проміжок .

Завдання 4. Обчислити з точністю

> = 0,001 .

Рішення:

Оскільки 83 є найближчим до 520 кубом цілого числа, то доцільно число 520 у вигляді суми двох доданків:

520 = 83 + 8.

Тоді

 =  = 8 = 8(1+0,001562)1/3 =

=8 =

= 8+ 0,0416-0,0002272+…

Третій член менше ніж 0,001, тому його требаотбрость й наступні його. Отже,

  8 + 0,0416  8,0416

Завдання 5. Знайти три перших, відмінних нуля, члена розкладання в статечної ряд інтеграла диференціального рівняння, задовольняючого наступному початковому умові:

Рішення:

Скористаємося розкладанням

Бо за умові x = 0, то матимемо

Знайдемо коефіцієнти при x:

 ;

 ,  .

Підставляючи знайдені значення формулу, одержимо


Завдання 6. Серед 10 лотерейних квитків 6 виграшних.Наудачу взяли 4 квитка. Визначити можливість, що 2 виграшних.

Рішення:

Визначимося з подією:

А – серед вибраних 4 квитків 2 виграшних.

Така ймовірність події:

Кількість всіх елементарних фіналів п ( кількість усіх комбінацій вибрати з 6 квитків по 2 квитка ) одно числу поєднань:

Кількість елементарних фіналів т,благоприятствующих події А :

Тоді, бажана ймовірність дорівнює:

 


Завдання 7. У партіях 38% і 79% – відсоток доброякісних виробів відповідно.Наудачу вибирають за одним виробу з кожної партії. Яка можливість знайти у тому числі:

але хоча однебракованное;

б) два бракованих;

за однубракованное родовищ і одне доброякісне?

Рішення:

Визначимося із подіями:

А1 – вибір доброякісного вироби з першого партії,

вибір бракованого вироби з першого партії,

А2 – вибір доброякісного вироби з другої партії,

вибір бракованого вироби з другої партії.

Тоді

.

а) А – хоча одне виріббракованное.

б) У – обидва вироби браковані.

.

в) З – одне виріб доброякісне родовищ і одне виріббракованное.


.

Завдання 9. З 1000 ламп пі належитьi-ой партії, і = 1, 2, 3, У першій партії 6%, на другий 5%, у третій 4% бракованих ламп.Наудачу вибирається одна лампа. Визначити можливість, що обрана лампа – бракована.

Рішення:

Оскільки , то

 

Визначимося із подіями:

А – обрано бракована лампа;

обрано лампаi-ой партії, і = 1,2,3.

Знайдемо ймовірності подій Уі :

п = 90 + 690 + 220 = 1000 ,

Знайдемо ймовірності події При умови, що події Bі ( і = 1,2,3 ) настали, тобто. знайдемо ймовірності вибору бракованою лампи за умови, що лампи взяті з1-ой,2-ой,3-ей партій :


За формулою повної ймовірності знайдемо потрібну ймовірність:

Завдання 9. У магазин надходять однотипні вироби із трьох заводів, причомуi-й завод поставляє ті % виробів ( і = 1, 2, 3). Серед виробівi-го заводу nі % першосортних.Куплено одне виріб. Вона виявилася першосортним. Визначити можливість, що куплене виріб випущеноj-им заводом.

.

Рішення:

Визначимося із подіями:

А – куплене виріб першосортне;

виріб випущеноi-им заводом, .

Запишемо ймовірності подій Уі :

Запишемо умовні ймовірності, тобто. ймовірності те, що куплене виріб першосортне за умови, що його випущеноi-им заводом:


Можливість те, що куплене першосортне виріб випущено1-им заводом, обчислимо за такою формулоюБейеса:

Завдання 10. Можливість наступу деякого події у кожному зі ста незалежних випробувань дорівнює р = 0,8. Визначити можливість, що кількість т наступів події задовольняє наступному нерівності:

 

>k1 = 75;

>k2 = 90

Рішення:

Скористаємося інтегральної теоремоюЛапласа :

деФ(х) – функціяЛапласа,

Знайдемо x1 і x2 :


З огляду на, що функціяЛапласа непарний, тобто. , одержимо

.

По таблиці знайдемо :

>Искомая ймовірність

 

Завдання 12.Дискретная випадкова величина Х бере лише два значення x1 і x2 , причому . Відома ймовірність р1 = 0,7 можливого значення x1, математичне очікуванняМ(Х ) = 1,3 і дисперсіяD(X ) = 0,21. Знайти закон розподілу цієї випадкової величини.

 

Рішення:

Сума ймовірностей всіх можливих значеньДСВ дорівнює 1. Звідси можливість, що Х прийме значення x2 дорівнює

р2 = 1 – р1 = 1 – 0,7 = 0,3.

Запишемо закон розподілуДСВ Х :

Х

x1

x2

р 0,7 0,3

Для перебування значень x1 і x2 складемо систему рівнянь і вирішимо її:

 чи ;

 чи

>7x12+ =19 (x 3)

>70x12->182x1+112 = 0

За умовою завдання . Отже, завданню задовольняє лише розв'язання , і шуканий закон розподілу матиме вид:

Х 1 2
р 0,7 0,3

Завдання 12.Непреривная випадкова величина задана функцією розподілу . Потрібна знайти:

а) функцію щільності розподілу ;

б) математичне очікування ;

в)дисперсию ;

р) середнєквадратическое відхилення .

Побудувати графіки функцій і .

 

Рішення:

а) Знайдемо функцію щільності розподілуНСВ Х :

б) Знайдемо математичне очікуванняНСВ Х :

в) ЗнайдемодисперсиюНСВ Х :

р) Знайдемо середнєквадратическое відхиленняНСВ Х :

Графік функції розподілу:

Графік функції щільності розподілу:


Завдання 13.Задано статистичне розподіл вибірки. Потрібна:

а) знайти розподіл відносних частот;

б) побудувати полігон відносних частот;

в) знайти емпіричну функцію і розподілу і побудувати її графік;

р) знайтинесмещенние статистичні оцінки математичного очікування, дисперсії й середньогоквадратического відхилення у генеральній сукупності.

xі

1 3 4 6 7

nі

20 10 14 6 10

 

Рішення:

а) Знайдемо обсяг вибірки:

Відносні частоти визначаємо за такою формулою :

Запишемо розподіл відносних частот :

xі

1 3 4 6 7

wі

0,33 0,17 0,23 0,1 0,17

Контроль:


б) Побудуємо полігон відносних частот:

в) Емпірична функція

де число варіант, менших x ;

п – обсяг вибірки, то, можливо представленій у вигляді:

Тоді, бажана емпірична функція матиме вид :


Будуємо графік функції

р)Несмещенной оцінкою математичного очікування у генеральній сукупності є вибіркова середня:

Знайдемо цієї оцінки:

xв =  (1∙20+3∙10+4∙14+6∙6+7∙10) = = 3,53;

>Несмещенной оцінкою дисперсії у генеральній сукупності є виправлена вибіркова дисперсія:

 

де DB – вибіркова дисперсія.

Знайдемо вибіркову DУ :


=

=  (400+300+784+216+700) – 12,46 = 27,54;

Знайдемо виправленудисперсию, тобтонесмещенную оцінку генеральної дисперсії:

>Несмещенной оцінкою середньогоквадратического відхилення у генеральній сукупності служить виправлене середнєквадратическое відхилення:

.

Знайдемо цієї оцінки:

.


Завдання 14. Знайти вибіркове рівняння прямий лінії регресії Y на Х за даними, наведеним у кореляційної таблиці

Х

Y

7 14 21 28 35 42
10 5 1 - - - -
15 - 6 5 - - -
20 - - 6 35 9 -
25 - - 8 9 2 -
30 - - - 7 1 6

 

Рішення:

Определим частоти , тобто. суми частот появи значень у у кожному рядку таблиці. Аналогічно, знайдемо частоти . Вочевидь, що , тобто. суми частот рівні обсягу вибірки. Через війну одержимо таблицю:

Х

Y

7 14 21 28 35 42

ny

10 5 1 - - - - 6
15 - 6 5 - - - 11
20 - - 6 35 9 - 50
25 - - 8 9 2 - 19
30 - - - 7 1 6 14

nx

5 7 19 51 12 6 >n=100

>Уравнение лінійної регресії Y на Х має вигляд:

,


де вибірковий коефіцієнт кореляції.

Знайдемо значення параметрів вибіркового рівняння лінії регресії:

;

;

;

;

;

;

;

.

>Подставляем отримані значення параметрів в вибіркове рівняння регресії:


.

Тоді вибіркове рівняння регресії прийме остаточний вид:

.


ЛІТЕРАТУРА

1. Піскунов М.С.Дифференциальное і інтегральне обчислення.Т.2. – М.: Наука, 1985. –506с.

2. ДанкоП.Е., Попов О.Г., КожевниковаТ.Я. Вища математика в вправах та військово-політичні завдання.Ч.2. – М.: Вищу школу, 1986. –415с.

3. Доценка А.Д.,Нагулин Н.І. Методичні вказівки до практичним занять за курсом “Вища математика” (Лави). Харків:ХИРЭ, 1992. –38с.

4.Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. – М.: Вищу школу, 2000. –400с.

5.Гмурман В.Є. Керівництво вирішення завдань з теорії ймовірностей і математичної статистиці. – М.: Вищу школу, 2000. –400с.


Схожі реферати:

Навігація