Реферати українською » Математика » Криві другого порядку. Квадратичні форми


Реферат Криві другого порядку. Квадратичні форми

Вища математика

Криві другого порядку

>Квадратичние форми


Зміст

1. Поняттяквадратичной форми і знаходять способи її записи

2.Знакоопределенностьквадратичних форм

3. Критерії позитивної й негативнимопределенностей

Література


1. Поняттяквадратичной форми і знаходять способи її записи

 

>Квадратичной формою j (x1, x2, …, xn) n дійсних змінних x1, x2, …, xn називається сума виду

,(1)

де a>ij – деякі числа, звані коефіцієнтами. Не обмежуючи спільності, вважатимуться, що a>ij = a>ji.

>Квадратичная форма називається дійсною, якщо a>ijГR. Матрицеюквадратичной форми називається матриця, що складалася з її коефіцієнтів.Квадратичной формі (1) відповідає єдина симетрична матриця

тобто АТ = А. Отже, квадратична форма (1) то, можливо записана в матричному вигляді j (x) = xТО, де

xТ = (x1 x2 … xn). (2)


І, навпаки, будь-якої симетричній матриці (2) відповідає єдина квадратична форма з точністю до позначення змінних.

>Рангомквадратичной форми називають ранг її матриці.Квадратичная форма називаєтьсяневирожденной, якщоневирожденной є його матриця А. (нагадаємо, що матриця А називаєтьсяневирожденной, коли його визначник не нульовий). Інакше квадратична форма євирожденной.

Приклад 1.

Записати матрицюквадратичной форми

j (x1, x2, x3) = –6х1x2 –8х1x3 + +4х2x3

і знайти її ранг.

Рішення.

>r(A) = 3

квадратична форманевирождена.

2.Знакоопределенностьквадратичних форм

 

>Квадратичная форма (1) називається позитивно певної (чи суворо позитивної), якщоj(х) > 0, нічого для будь-якого x = (x1, x2, …, xn), крім x = (0, 0, …, 0).

Матриця А позитивно певноїквадратичной формиj(х) також називається позитивно певної. Отже, позитивно певноїквадратичной формі відповідає єдина позитивно певна матриця і навпаки.

>Квадратичная форма (1) називається негативно певної (чи суворо негативною), якщоj(х) < 0, нічого для будь-якого x = (x1, x2, …, xn), крім x = (0, 0, …, 0).

Аналогічно як і від, матриця негативно певноїквадратичной форми також називається негативно певної.

Отже, позитивно (негативно) певна квадратична формаj(х) сягає мінімального (максимального) значенняj(х*) = 0 при x* = (0, 0, …, 0).

Зазначимо, що більшістьквадратичних форм перестав бутизнакоопределенними, тобто вони є ні позитивними, ні негативними. Такіквадратичние форми звертаються до 0 у початку системи координат, а й у інших точках.

Приклад 2.

Визначитизнакоопределенность наступнихквадратичних форм.

1)

>

т. е. квадратична форма є позитивно певної.


2)

>

т. е. квадратична форма є негативно певної.

3)

>

дана квадратична форма перестав бутизнакоопределенной, оскільки він дорівнює 0 переважають у всіх точках прямий x1 = –x2, Не тільки на початку системи координат.

Коли n > 2 потрібні спеціальні критерії для перевіркизнакоопределенностиквадратичной форми. Розглянемо їх.

Головнимиминорамиквадратичной форми називаються мінори:


тобто, це мінори порядку 1, 2, …, n матриці А, які працюють у лівому верхньому розі, останній із них збігаються з визначником матриці А.

3. Критерій позитивної і різко негативною визначеності

 

Критерій позитивної визначеності (критерій Сильвестра)

Щоб квадратична форма j (x) = xТО була позитивно певної, необхідне й досить, що це головні мінори матриці А були позитивні, тобто:

М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0.

Критерій негативною визначеності

Щоб квадратична форма j (x) = xТО була негативно певної, необхідне й досить, щоб їх головні мінори парного порядку були позитивні, а непарного – негативні, тобто:

М1 < 0, M2 > 0, М3 < 0, …, (–1)n Mn > 0.

Приклад 3.

При яких значеннях й у квадратична форма буде позитивно певної?

j (x1, x2, x3) =

Рішення.

Побудуємо матрицю Проте й знайдемо її головні мінори.


 М1 = 1 > 0,

 = а – 1 > 0 а > 1.

= ав – а – в > 0 в > .

Відповідь:

а > 1, в > .

Приклад 4.

При яких значеннях й у квадратична форма буде негативно певної?

j (x1, x2, x3) =

Рішення.


 М1 = –1 < 0,

 = –а – 1 > 0 а < –1.

= –ав – а – в < 0 в > – .

Відповідь

а < –1, в > –.

Приклад 5.

Довести, що квадратична форма

j (x1, x2, x3) =  

позитивно визначено.

Рішення.

Скористаємося критерієм Сильвестра. Побудуємо матрицю Проте й знайдемо головні мінори матриці А.


М1 = 6 > 0, = 26 > 0, М3 = А = 162 > 0

> j (x1, x2, x3)

позитивно певна квадратична форма.


Література

1. Гусак А. А. Аналітична геометрія і лінійна алгебра.–Мн.:Тетрасистемс, 1998.

2.Овсеец М. І., Світла Є. М. Збірник завдань із вищу математику. Навчальне видання.–Мн.:ЧИУиП, 2006.– 67 з.


Схожі реферати:

Навігація