Реферати українською » Математика » Класи кінцевих груп F, замкнуті про взаємно простих індексів щодо твору узагальнено субнормальних F-підгруп


Реферат Класи кінцевих груп F, замкнуті про взаємно простих індексів щодо твору узагальнено субнормальних F-підгруп

Страница 1 из 3 | Следующая страница

року міністерство освіти Республіки Білорусь у

Заснування освіти

"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"

Математичний факультет

Кафедра алгебри і геометрії

>КЛАССЫКОНЕЧНЫХГРУПП ,ЗАМКНУТЫЕ ПроВЗАИМНО ПРОСТИХИНДЕКСОВОТНОСИТЕЛЬНОПРОИЗВЕДЕНИЯОБОБЩЕННОСУБНОРМАЛЬНЫХ ->ПОДГРУПП

Курсова робота

Виконавець:

Студентка групиМ-53МОКЕЕВА Про. А.

Науковий керівник:

докторф-м наук, професор Семенчук В.М.

Гомель 2009


>Оглавление

>ПЕРЕЧЕНЬУСЛОВНЫХОБОЗНАЧЕНИЙ

Запровадження

1 Деякі базисні леми

2 Критерій приналежності груп,факторизуемих узагальненосубнормальними ->подгруппами, індекси яких взаємно прості, спадково насиченим формаціям

Укладання

Список використаних джерел


Перелік умовних позначень

Розглядаються лише кінцеві групи. Уся термінологія запозичена з [44, 47].

 --- безліч всіх натуральних чисел;

 --- безліч всіх простих чисел;

 --- деяке безліч простих чисел, т. е. ;

--- доповнення до в багатьох всіх простих чисел; зокрема, ;

>примарное число --- будь-яке число виду .

>Буквами позначаються прості числа.

Нехай --- група. Тоді:

 --- порядок групи ;

--- безліч всіх простихделителей порядку групи ;

-група --- група , на яку ;

-група --- група , на яку ;

 ---коммутант групи , т. е. підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи ;

 --- підгрупаФиттинга групи , т. е. твір всіхнильпотентних підгруп групи ;

 --- найбільша нормальна ->нильпотентная підгрупа групи ;

 --- підгрупа Фраттіні групи , т. е. те що всіх максимальних підгруп групи ;

 --- найбільша нормальна -підгрупа групи ;

 --- ->холлова підгрупа групи ;

 ---силовская -підгрупа групи ;

 --- доповнення досиловской -підгрупі групи , т. е. ->холлова підгрупа групи ;

 ---нильпотентная довжина групи ;

 --- -довжина групи ;

 --- мінімальне число що породжують елементів групи ;

 --- цоколь групи , т. е. підгрупа, породжена усіма мінімальними нормальнимиподгруппами групи ;

 --- циклічна група порядку .

Якщо й --- підгрупи групи , то :

 --- є підгрупою групи ;

 --- є власної підгрупою групи ;

 --- є цілком нормальною підгрупою групи ;

--- ядро підгрупи групи , т. е. те що всіх підгруп, пов'язаних із в ;

 --- нормальне замикання підгрупи групи , т. е. підгрупа, породжена усіма сполученими зподгруппами групи ;

 --- індекс підгрупи групи ;

;


 --- нормалізатор підгрупи групи ;

 ---централизатор підгрупи групи ;

 --- взаємнийкоммутант підгруп і ;

 --- підгрупа, породженаподгруппами і .

Мінімальна нормальна підгрупа групи ---неединичная нормальна підгрупа групи , яка містить власнихнеединичних нормальних підгруп групи ;

 --- є максимальної підгрупою групи .

Якщо й --- підгрупи групи , то:

 --- пряме твір підгруп і ;

 ---полупрямое твір нормальної підгрупи і підгрупи ;

 --- і ізоморфні;

 --- регулярне сплетіння підгруп і .

>Подгруппи і групи називаютьсяперестановочними, якщо .

Групу називають:

-замкнутої, якщосиловская -підгрупа групи нормальна в ;

->нильпотентной, якщо ->холлова підгрупа групи нормальна в ;

-можливо розв'язати, якщо є нормальний ряд, чинники якого або -групи, або -групи;

->сверхразрешимой, якщо кожне головний чинник є або -групою, або циклічною групою;

>нильпотентной, якби їїсиловские підгрупи нормальні;

можливо розв'язати, якщо є номер такий, що ;

>сверхразрешимой, якщо вона має головним поруч, все індекси якого є простими числами.

>Монолитическая група ---неединичная група, має єдину мінімальну нормальну підгрупу.

-замкнута група --- група, що має нормальноїхолловской -підгрупою.

-спеціальну групу створювали --- група, що маєнильпотентной нормальноїхолловской -підгрупою.

->разложимая група --- група, що водночас -спеціальної і -замкнутої.

Група Шмідта --- це кінцеваненильпотентная група, все власні групи якоїнильпотентни.

>Добавлением до підгрупі групи називається така підгрупа з , що .

Ланцюг --- це сукупність вкладених один одного підгруп.

Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і через одиницю.

Ряд підгруп називається:

>субнормальним, для будь-якого ;

нормальним, для будь-якого ;

головним, якщо мінімальна нормальної підгрупою в всім .

Клас груп --- сукупність груп, яка містить з кожним своєї групою - і все їй ізоморфні групи.

-група --- група, що належить класу груп .

>Формация --- клас груп, замкнутий щодофакторгрупп іподпрямих творів.

Якщо --- клас груп, то:

 --- безліч всіх простихделителей порядків всіх груп із ;

 --- безліч всіх простих чисел , котрим ;

 --- формація, породжена класом ;

 --- насичена формація, породжена класом ;

 --- клас всіх груп ,представимих як

де , ;

;

 --- клас всіх мінімальних не -груп, т. е. груп котрі належать до , але не всі власні підгрупи яких належать ;

 --- клас всіх -груп товарів із ;

 --- клас всіх кінцевих груп;

 --- клас всіх розв'язаних кінцевих груп;

 --- клас всіх -груп;

 --- клас всіх розв'язаних -груп;

 --- клас всіх розв'язаних -груп;

 --- клас всіхнильпотентних груп;

 --- клас всіх розв'язаних груп знильпотентной довжиною .

Якщо й --- класи груп, то:

.

Якщо --- клас груп, і --- група, то:

 --- те що всіх підгруп з цих, що ;

 --- твір всіх -підгруп групи .

Якщо й --- формації, то:


 --- твір формацій;

 --- те що всіх ->абнормальних максимальних підгруп групи .

Якщо --- насичена формація, то:

 --- істотна характеристика формації .

->абнормальной називається максимальна підгрупа групи , якщо

, де  

--- деяка непорожня формація.

->гиперцентральной підгрупою в називається розв'язна нормальна підгрупа групи , якщо маєсубнормальним поруч таким, що

(1) кожен чинник є групи ;

(2) якщо порядок чинника є ступінь простого числа , то .

 --- ->гиперцентр групи , т. е. твір всіх ->гиперцентральних підгруп групи .


Запровадження

Відомо, що формація всіхсверхразрешимих груп не замкнута щодо твори нормальнихсверхразрешимих підгруп, але замкнута щодо твори нормальнихсверхразрешимих підгруп взаємно простих індексів. У зв'язку з цим можна сформулювати таку проблему.

Проблема.Классифицировать спадкові насичені формації про те властивістю, будь-яка група , що й --- ->субнормальние -підгрупи взаємно простих індексів, належить .

Саме вивченню таких формацій присвячена дана робота. Зокрема, у п'ятому класі кінцевих розв'язаних груп отримано повне розв'язання проблеми.


1 Деякі базисні леми

У розділі доведені леми, які істотно використовуються при доказі основного розділу даної глави.

1.1Лемма [>18-A]. Нехай --- насичена формація, належить і має нормальнусиловскую -підгрупу для деякого простого числа . Тоді справедливі такі затвердження:

1) ;

2) , де --- будь-яке доповнення до в .

Доказ. Оскільки , то , отже, . Оскільки формація насичена, то ми не міститься у . Оскільки --- елементарна група, то теоремі 2.2.16, має -допустимим доповненням в . Тоді , . Якщо , то відрізняється від і, отже, належить . Але тоді, через рівності , маємо

це означає і . Тим самим було доведено, що .

>Докажем твердження 2). Вочевидь, що ->корадикалом й залишається єдиною мінімальної нормальної підгрупою групи , причому . Тому, через теореми 2.2.17,


Вочевидь,

. Якщо , то

звідси . Отже, .Лемма доведено.

І нехай --- довільні класи груп. Дотримуючись [55], позначимо через --- безліч всіх груп, в яких усі -підгрупи належать .

Якщо --- локальний екран, то через позначимо локальну функцію, що має рівністю нічого для будь-якого простого числа .

1.2Лемма [>18-A]. І нехай --- деякі класи груп. Тоді справедливі такі затвердження:

1) --- спадковий клас;

2) ;

3) якщо , то ;

4) якщо , то --- клас всіх груп;

5) якщо --- формація, а --- насиченийгомоморф, то --- формація;

6) якщо , , --- деякі класи груп, і --- спадковий клас, то тому й в тому разі, коли ;

7) як і ---гомоморфи і , то .

Доказ. Доказ тверджень 1), 2), 3) і 4) слід безпосередньо з визначення класу груп .

Нехай , --- нормальна підгрупа групи і --- -підгрупа з . Нехай --- додавання до в . Покажемо, що . Припустимо гидке. Нехай не входить у . Тоді має максимальної підгрупою , не що містить . Тому , отже, , що суперечить визначенню додавання.

Оскільки --- насиченийгомоморф, то . Але тоді навіть . Отже, клас замкнутий щодогомоморфних образів.

Нехай . Нехай --- -підгрупа з . Тоді , отже через визначення класу , маємо

Оскільки --- формація і , то звідси отримуємо, що . Отже, .

>Докажем твердження 6). Нехай , . Не входить у , виходить, кожна -підгрупа з належить , отже, . Отримали протиріччя. Тому .

Покажемо, що . Припустимо, що багатонепусто, і виберемо у ньому групу найменшого порядку. Тоді не входить у . Нехай --- власна підгрупа з . Оскільки класи і --- спадкові класи, то . Через мінімальності маємо . Отже, . Отримали протиріччя. Тому .

>Докажем твердження 7). І нехай --- -підгрупа із групи . Звідси випливає, що , . І це отже, що . Звідси неважко помітити, що . Отже, . Отже, .Лемма доведено.

1.3Лемма [>18-A]. Нехай --- спадкова насичена формація, --- її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді лише тоді ->корадикал будь-який мінімальної не -групи єсиловской підгрупою, коли:

1) ;

2) формація має повний локальний екран такий , що з кожного з .

Доказ. Необхідність. Нехай --- максимальний внутрішній локальний екран формації . Нехай --- довільне просте число з . Оскільки --- насиченийгомоморф, толемме 4.1.2, --- формація.

Нехай --- формація, має локальний екран такий, що з кожного з . Покажемо , що . Відповідно до теоремі 2.2.13, --- спадкова формація нічого для будь-якого з . Звідси неважко помітити, що з кожного з . І це отже, що .

Нехай --- група мінімального порядку з . Оскільки --- спадкова формація, то, очевидно, що --- спадкова формація. І це отже, як і . Покажемо, що --- повний локальний екран, т. е. нічого для будь-якого з . Справді. Нехай --- довільна група . Звідси . Нехай --- довільна -група . Оскільки , то . Звідси . Оскільки --- повний екран, то . І це отже, що . Отже, . Звідси неважко помітити, що . Тепер, відповідно до теоремі 2.2.5, , де --- єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , --- -група і . Оскільки , то . Звідси . Протиріччя. Отже, . Покажемо, що з кожного з . І нехай --- -група. Нехай --- довільна -підгрупа з . Тоді . Звідси . І це отже, що . Протиріччя.

Достатність. Нехай --- довільна мінімальна не -група. Оскільки можна залагодити, то теоремі 2.2.5,

де --- -група, . Відповідно до умові, --- -група. І це отже, що --- -замкнута група. Але тоді, --- -замкнута група. Відповідно долемме 4.1.1, ---силовская підгрупа групи .Лемма доведено.

1.4Лемма [>18-A]. Нехай --- спадкова насичена формація, --- її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді лише тоді будь-яка мінімальна не -групабипримарна і -замкнута, де , коли:

1) ;

2) формація має повний локальний екран такий, як і будь-яка група єпримарной -групою нічого для будь-якого простого з .

Доказ. Необхідність. Нехай --- довільна мінімальна не -група. Відповідно до умові, ---бипримарная -замкнута група, де . Полемме 4.1.1, . Відповідно долемме 4.1.3, формація має повний локальний екран такий, що у будь-якого простого з . Покажемо, будь-яка групапримарна. Припустимо гидке. Тоді є група і . Нехай --- група найменшого порядку така, що . Вочевидь, як і . Цілком ймовірно, як і має єдину мінімальну нормальну підгрупу. Отже, полемме 2.2.18, існує точнийнеприводимий -модуль , де --- полі з елементів.

Нехай . Покажемо, що . Оскільки і , то .

Нехай --- власна підгрупа з . Покажемо, що . Нехай . Якщо , то . Отже, . Нехай . Тоді --- власна підгрупа з . І це отже, як і . Оскільки --- спадкова формація, то . Але тоді навіть , отже, і .

Нехай тепер . Оскільки , те й . Звідси випливає, що . Отже, .Cогласно умові,бипримарна, що організувати неможливо, т. до. .

Достатність. Нехай --- довільна мінімальна не -група. Відповідно до умові, можна залагодити. По теоремі 2.2.5,

де --- -група, .

Відповідно до умові, ---примарная -група. І це отже, що ---бипримарная -замкнута група. Але тоді ---бипримарная -замкнута група.Лемма доведено.


2 Критерій приналежності груп,факторизуемих узагальненосубнормальними ->подгруппами, індекси яких взаємно прості, спадково насиченим формаціям

У розділі у п'ятому класі кінцевих розв'язаних груп отримана класифікація спадкових насичених формацій , замкнутих щодо твори узагальненосубнормальних -підгруп, індекси яких взаємно прості.

2.1 Теорему [>18-A]. Нехай --- спадкова насичена формація, --- її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді такі затвердження еквівалентні:

1) формація містить будь-яку групу , що й --- ->субнормальние -підгрупи і індекси , взаємно прості;

2) будь-яка мінімальна не -група абобипримарная -замкнута група , або група простого порядку;

3) формація має повний локальний екран такий, як і будь-яка група єпримарной -групою нічого для будь-якого простого з .

Доказ. Покажемо, що з 1) слід 2).

Нехай --- довільна мінімальна не -група. Припустимо, що , де --- характеристика формації . Покажемо, що --- група простого порядку. Нехай . Тоді існує просте число , . Оскільки , то , що організувати неможливо. Отже, ---примарная -група. Оскільки , то, очевидно, що .

Нехай тепер . Розглянемо випадок, коли .

Покажемо, що є єдину мінімальну нормальну підгрупу . Припустимо гидке. Тоді містить, по крайнього заходу, дві мінімальні нормальні підгрупи і . Оскільки , то групі знайдуться максимальні підгрупи і ті, що , . Оскільки належать , , , то , . Оскільки --- формація, то . Отримали протиріччя. Отже, , де --- єдина мінімальна нормальна -підгрупа групи .

Покажемо, що ---примарная -група, де . Припустимо, що є прості числа , де . Тоді, у знайдуться максимальні підгрупи і ті, що --- -число, --- -число. Розглянемо підгрупи і . Вочевидь, що індекси і взаємно прості. Оскільки , то . Відповідно долемме 3.1.4, підгрупи і ->субнормальни в . Оскільки --- мінімальна

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація