Реферат Комплексні числа

Страница 1 из 2 | Следующая страница

>РЕФЕРАТ

ізВищої математики

на задану тему „>Комплексні числа”


1.Комплексні числа

Убагатьохрозділах математики таїїзастосуванняхнеможливообмежетисьрозглядомлишедійсних чисел.Вжедосить давно под годинурозв’язуваннярізних завданьвиникла потребадобуватиквадратний корінь ізвід’їмних чисел. Алі чисел, котріпіднесені до квадратудаютьвід’ємні числа, тоді було невідомо й томувважали, щоквадратнікорені ізвід’ємних чисел неіснують,тобтозадачі, котрі перед тимприводять, немаютьрозв’язків. В частности, так було б под годинурозв’язуванняквадратнихрівнянь ізвід’ємнимдискримінантом,наприклад:

>х -4х + 10 = 0х,=2±-6.

Тому природнопостало запитання пророзширеннямножинидійсних чисел,прєданням донеї нових то врозширеніймножинікрімчотирьохарифметичнихдій –додавання,віднімання,множення йділення (завийняткомділення на нуль), можна було бвиконуватидіюдобуваннякореня. Це запитання було буспішнорозв’язанолише у ХІХсторіччі.Відповідно доприйнятих вматематиціпринципіврозширенняпоняття числа прирозширеннімножинидійсних чиселмаютьзадовільнятисятаківимоги:

1)озачення нових чиселмуситьспиратися напоняттядійсного числа, й новамножинамаємістити усі дійсна числа;

2) для нових чиселповинівиконуватисьп’ять законівпрямихарифметичних чисел (>пригадайтецізакони);

3) уновійчисловіймножинімусить матіррозв’язокрівняннях=-1.

Ос-кількиіснуєвимога,щоб уновійчисловіймножинірівняннях=-1 малорозв’язок,необхідно внестидеякенове число,вважаючи йогорозв’язком цогорівняння. Кількість, квадратякогодорівнює –1,позначаютьбуквою й йназиваютьуявноюодиницею (й –перша літералатинського словаimaginarius –уявний).Підкреслимо, щорівністьі=-1приймається заозначенням й не доводитися. Доновоїмножинимаютьналежати числа видуb (>добутокдійсного числа науявнуодиницю) й числа виду a +b (сумадійсного числа a тадобутокдійсного числа b науявнуодиницю).

Отже, новамножинамножина чиселповинамістити усі числа виду a +b.Числа виду a +b, де a й b –довільні дійсна числа,а –уявнаодиницяназиваютькомплексними. Слово “>комплексний”означаєскладений. Кількість aназиваютьдійсноючастиною числа a +b , авиразb –уявною.

Кількістьназиваютькоефіцієнтом приуявнійчастині.Наприклад, учислі 6 +7дійсначастина 6,уявна 7.Коефіціент приуявнійчастинідорівнює 7.Дійсноючастиною числа 0 +3є число нуль, ауявною –вираз3;коефіцієнт приуявнійчастинідорівнює 3.Числа виду a +0ототожнюються іздійсними числами, асамевважають, що a +0=a. Таким чиномвиконуєтьсяобов’язкова для чи –якогорозширенняпоняття числавимога,щобпопереднійчисловий “запас”входив доновоїчисловоїмножини якїїчастина.Множинадійсних чиселєчастиною (>підмножиною)множиникомплексних чисел.Відповідно довимог, щоставляться при чи –якомурозширенняпоняття числа, припобудовімножиникомплексних чиселтреба впровадитиозначеннямумовурівностіцих чисел й правилавиконанняпрямихдій –додавання ймноження.

Двакомплексних числа a +b й з +dрівніміж собою тоді й лише тоді, коли a = з йb=d,тобто колирівні їхні дійсначастини йкоефіцієнти приуявнихчастинах.

>Поняття “понад” й “менше” длякомплексних чисел немаєсмислу.Ці числа за межі непорівнюють. Тому не можна,наприклад,сказати, яку із двохкомплексних чисел понад10 чи3,2+5 чи5+2.

>Важливимєпоняття проспяженікомплексні числа.Числа a +b й a -b, дійсначастини якірівні, акоефіцієнти приуявихчастинахрівні за модулем, але йпротилежні за знаком,називаютьспряженими.Можнасказатипростіше: числа a +b й a -b, котрівідрізняютьсялише знакомуявноїчастини,називаютьспряженими.

>Наприклад,спряженимиєкомплексні числа4+3 та4-3;2- та2+; ->8+7 та –>8-7;-5- та –>5+.Якщодане число6, тоспряженим доньогоє –>6. До числа 11спряженим якщо 11,бо11+0=11-0.

2.Дії надкомплексними числами

а)додаваннякомплексних чисел

>Означення:сумою двохкомплексних чисел a +b й з +dназиваєтьсякомплексне число (a + з) + (b +d),дійсначастинаякого йкоефіцієнт приуявнійчастинідорівнюютьвідповідносумідійснихчастин йкоефіцієнтів приявнихчастинахдодатків,тобто (a +b) + (з +d) = (a + з) + (b +d).

>Приклади.Виконатидодаваннякомплексних чисел:

1) (>3+2) + (->1-5) = (3-1) + (>2-5) =2-3

2) (>4-5) + (>2-) = (4+2) + (->5-1) =6-6

3) (>2+3) + (>6-3) = (2+6) + (>3-3)= 8

4) (10 –3) + (->10+3) = (10-10) + (->3+3) = 0

Знаведенихприкладіввипливає, щододаваннякомплексних чисел мивиконуємо за правиломдодаваннямногочленів. Умножинідійсних чисел справедливарівність a + 0 = a. Умножинікомплексних чисел нулемє число 0 +0.Справді, яку б не було б число , справедливарівність

(a +b) + (>0+0) = (a +0) + (b +>0) = a +b

Зааналогією іздійсними числами, длякомплексних чисел вводитисяпоняття пропротилежні числа: два числа a +b та -a -b, сума якідорівнює 0,називаютьпротилежними.

>Додаваннякомплекснихчилелпідлягаєпереставному тасполучному законам.Доведемо,наприклад,справедливістьпереставного законудодаваннякомплексних чисел.Нехай,z = a +b,z= з +d.Тодіz+z = (a +b) + (з +d) = (a + з) + (>b+d )> ,z+z = (з +d) + (a +b) = (з + a) + (>d+b). Ос-кільки длядодаваннядійсних чиселсправджуєтьсяпереставний закон,тобто a + з = з + a;b+d =d+b,тобто (a + з) + (>b+d) = (з + a) + (>d+b) , тоz +z =z+z, що ітреба було б довести.Означеннясумикомплексних чиселпоширюється й навипадоктрьох й понаддоданків.

б)відніманнякомплексних чисел

>Відніманнякомплексних чиселозначають якдію,обернену дододавання, коли заданоюсумою і одним іздоданківзнаходятьдругий,невідомийдоданок.

>Означення.Різницею двохкомплексних чиселz= a +b йz = з +dназиваєтьсятакекомплексне числоz=x+y , яку всуммі ізzдаєz.

Отже,z-z=z,якщоz +z=z.можливість діївідніманнякомплексних чисел таїїоднозначністьпотребуєдоведення.

>Доведемо, що для чи – якікомплексних чиселz= a +b йz = з +dрізницяz-zвизначена й доти ж однозначно.Доведемо, щоіснує, й доти жєдине,комплексне числоz=x+y, яку всумі ізzдаєz.

Заозначенням діївіднімання, (з +d) + (>x+y) = a +b.виконавшидодавання влівійчастинірівності,дістанемо:

(з + x) + (>d +y) = a +b (1).

Зумовирівності двохкомплексних чисел маємо:

з + x = a

>d + y = b

>Ця системамаєрозвиток, й доти ж Єдиний: x = a - з, y = b –d. Отже,існує , й доти жєдина, парадійсних чисел (x, y), Яказадовільняєрівняння (1), що йтреба було б довести. Здоведеноговипливає, щовідніманнякомплексних чиселвиконують за таким правилом:


(a +b) – (з +d) = (a - з) + (b –d)

>Приклади:Виконативідніманнякомплексних чисел.

1) (>3+4) – (>1+2) = (3-1) + (>4-2) = 2 +2;

2) (->5+2) – (>2+) = (-5-2) + (>2-1) = ->7+;

3) (>6+7) – (>6-5) = (6-6) + (>7+5) =12;

4) (>0,3+2,5) – (->0,75+1,5) = (>0,3+0,75) + (>2,5-1,5) =1,05+;

5) (>2-2) – (>2+3) = (>2-2) + (->2-3) = ->5;

6)      1+1/2) – (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.

в)Множеннякомплексних чисел

>Означення.Добутком двохкомплексних чисел a +b й з +dназиваєтьсякомплексне число (>ac -bd) + (ad +bc) . Суть йдоцільністьцьгоозначення станізрозумілою,якщовзяти доуваги, щоцейдобутокутворений так, яквиконуєтьсямноженнядвочленів іздійснимикоефіцієнтами, асаме (a +b)( з +d) =ac +ad +bc +bd =ac + (ad +bc) +bd.Замінюючи, заозначенням,на –1,дістанемо:bd = ->bd .Відокремившидійснучастину відуявної, остаточноматимемо:

(a +b)( з +d) = (>ac -bd) + (ad +bc) (2)

Формулу (2) несліднамагатисямеханічнозапам’ятати.Під годинумноженнякомплексних чиселтребакористуватисьвідомим правиломмноженнядвочленів a +b й з +d ізнаступноюзаміноюна –1.

>Приклади:Виконитимноженнякомплексних чисел.

         1) (>4-5)(3+2) =12+8 ->15 ->10=12+10-7 =>22-7;

>2)(3-)(2+5) =6-2+15-5= (>6+5) + (>15-2);

>3)8х3х3 = ->243;

>4)(2-)(-5) = ->10+5;

>5)(-4-3)(-6) = ->18+24.

діямноженнякомплексних чиселпідлягаєосновним законаммноження,встановленим длядійсних чисел:переставному йсполучному.

>Знайдемодобуток двохспряженихкомплексних чисел.Маємо: (a +b)( a -b) =a - (>b) =a ->b =a +b,тобто (a +b)( a -b) =a +b.

>Приклади:Обчислитидобуток.

1) (>3+5)(3-5) = 9+25 = 34;

2) (>2+)(2-) = 4+1 = 5;

3) (>4+3)(4-3) = 16+3 = 19;

4) (>х+у)(х-у) =х+у;

5) (>3/4+2/5)(3/4-2/5) = 9/16+4/25 = 289/400.

>Читаючирівність (a +b)( a -b) =a +b справа ліворуч,робимовисновок, що сумуквадратів чи – які двох чисел можна податі увиглядідобутку комплексно –спряженихмножників.

>Приклади:Розкласти намножникидвочлени.

1)а+9 = (>а+3)(а-3);

2)16m+25n = (>4m+5n)(4m-5n);

3) 49+36 = (>7+6)(7-6);

4)а+16 = (>а+4)(а-4);

5)в+7 = (>в+7)(в-7).

р)Діленнякомплексних чисел.

>Діленнякомплексних чиселозначають якдію,обернену до діїмноження, коли заданимдобутком й одним ізмножниківзнаходятьдругий,невідомиймножник.Причому вмножинікомплексних чиселзалишаєтьсявимога,щобдільник буввідмінним від нуля.

>Означення.Часткоюкомплексних чиселz = a +b таz = з +dназивеєтьсятакекомплексне числоz=x+y, яку примноженні наzдаєz.

>Можливістьділеннякомплексних чисел й йогооднозначністьпотребуєдоведення.

>Доведемо, щочасткакомплексних чиселz = a +b таz = з +dвизначена й доти ж однозначно,якщо з +d0+0. Отже,доведемо, що заумовиіснує, й доти жєдине,комплексне числоz=x+y, яку примноженні наzдаєz. Заозначенням діїділення, (з +d)(x+y) = a +b.Виконавши влівійчастиніцієїрівностідіюмноження,дістанемо: (з x -dy) + (>cy +>dx) = a +b.

Зумовирівності двохкомплексних чиселвипливає:

з x -dy= a

>cy +>dx=b

Системамає Єдинийрозв’язок:

x= (a з +>bd)(c+d);

y = (>bc- ad)(c+d).

Здоведеннявипливає, щоділенняккомплексних чиселвідбувається за таким правилом:

(a +b)( з +d) = (a з +>bd)(c+d) + (>bc-ad)(c+d).

>Цей результат можнадістати,помножившиділене йдільник на число,спряжене додільника.Покажемоце:

(a +b)( з +d) = (a +b)( з -d)( з +d)( з -d) = ((a з +>bd) + (>bc-ad) )(c+d) = (a з +>bd)(c+d ) + ((>bc-ad))(c+d).

>Цим принципомкористуються под годинурозв’язуваннявправ наділеннякомплексних чисел.

>Приклади.Знайтичасткукомплексних чисел.

а) (>2+5)/(3-2) = (>2+5)(3+2)/(3-2)(3+2) = (->4+19)/13 = ->4/13+19/13;

б) (>3+)/ = (>3+)(-)/ =1-3;

буд)піднесеннякомплексних чисел достепеня.

Заозначенням, =,= - 1.

>Користуючисьрівністю= - 1,визначекокількапослідовнихступенівуявноїодиниці:

> =>= -1= ->; = = ->= 1;==;==-1;==-;=-=1.

Ос-кільки=1, тозначеннястепенівперіодичноповторюються ззбільшеннямпоказника на виборах 4. Так,= =-1,= =->, => =1і так далі.

>Означення.Щобпіднести число достепеня ізнатуральнимпоказником n,требапоказниксепеняподілити на виборах 4 йпіднести достепеня,показникякогодорівнюєостачі відділення.

>Приклади.Піднести достепеня:

а) = => = =-> ;

б) = = == -1;

в) => = = ->.

Правилапіднесення достепеняуявноїодиницізастосовується припіднесенні достепенякомплексних чисел.

>Приклади.Піднести достепенядвочлени:

1) (>2+5) =4+20 +>25 = ->21+20;

2) (>3+2) =27+54 +>36+8 = ->9+36;

3) (>1+) =1+2 +=2;

4) (>1-) =1-2 += ->2;

5) (>1-) = (>1-2 +>) = (->2) =4 = -4;

6) (>1+) = ((>1+)) = (>2) =8 = -8;

7) (>1-) = ((>1-)) = (->2) = ->32 = ->32.

>Рівності(1+) =1+2 +=2, (>1-) =1-2 += ->2кориснозапам’ятати,бо їхнього частовикористовують.

3.Геометричнаінтерпретаціякомплексних чисел

>Вивчаючикомплексні числа, можнавикористовуватигеометричнутермінологію йгеометричніміркування,яякщовстановитивзаємнооднозначнувідповідністьміжмножиноюкомплексних чисел ймножиноюточоккоординатноїплощини.Цювідповідність можнавстановити так.Кожному комплексному числу a +bпоставимо увідповідність точкуМ(a;b)координатноїплощини,тобто точку,абсцисаякоїдорівнюєдійснійчастині комплексного числа, а ордината –коефіцієнтууявнойчастини.КожнійточціМ(a;b)координатноїплощинипоставимо увідповідністькомплексне число (>малюнок 1).

>Малюнок 1

Вочевидь, що такавідповідністьєвзаємнооднозначною.Вонадаєможливістьінтерпретуватикомплексні числа як точкидеякоїплощини, наякійвібрано систему координат.Координатнуплощинуназивають при цьомукомплексною,вісьабсцис –дійсноювіссю,бо нанійрозміщені точки, щовідповідаютькомплексним числам a +0,тобтовідповідаютьдійсним числам.Вісь ординатназиваютьуявноювіссю – наній лежати точки, котрівідповідаютьуявнимкомплексним числам 0+b.

>Зручноюєтакожінтерпритація комплексного числа як вектораОМ (>дивітьсямалюнок 2)


>Малюнок 2

>Поставимо увідповідністькожному комплексному числу вектор ізпочатком уточціО(0;0) йкінцем уточціМ(a;b). Візнаєте, щотакий векторназиваютьрадіус – вектором, а йогопроекції наосіє координатами вектора. Отже, можнасказати, щогеометричнизображенням комплексного числаz = a +bєрадіус – вектор із координатами a й b.Відповідністьміжмножиноюкомплексних чисел, із одного боці, ймножиноюточок чивекторівплощини, ізіншого,даєзмогукомплексні числаназивати векторамиаьо точками й говорити,наприклад, про вектор a +b чи про точку a +b.

Намалюнку 2векториОА,OB,OC,ODєвідповіднимигеометричнимизображеннямикомплексних чиселz=2+2;z = ->3+4;z = ->4-3;z =4-2.

>Протилежнимкомплексним числамвідповідаютьпротилежнівектори.


>Малюнок 3

Намалюнку 3зображенодві паріпротилежнихвекторівOA іOC,OB іOD, щовідповідають парампротилежних чисел3+4 та –>3-4; ->2+3 та2-3.

>Геометричнезображеннясуми йрізниці двохкомплексних чисел.

Згеометричноїінтерпретаціїкомплексних чисел увиглядівекторіввипливаєможливістьгеометричногозображеннядодаваннякомплексних чисел.Вонознаходиться дознаходження торб двохвекторів завідомим правиломпаралелограма.

>Нехай дано двакомплексних числаz = a +b таz = a +b,якимвідповідаютьрадіус –векториОА йОА (>малюнок 4).Побудуємо нацих вектори як на сторонипаралелограм.Тодізображеннямсумикомплексних чиселz йz якщо вектор ВВ (>діагональпаралелограма)справді, придодаваннівекторів їхнівідповіднікоординатидодають. Тому,якщо векторОАмаєкоординати (>a;b), а векторОА (>а;b), то їхнього сума – вектор ВВ –матикекоординати (>а+а;b+b). Вектор ВВвідповідає комплексному числу (>а+а) + (>b+b), якуєсумою чиселz йz.

 


>Малюнок 4

>Нехай,наприклад,требазнайтигеометричнезображеннярізниціz -zкомплексних чиселz =2+3 таz = ->3+2.Будуємо векторОА, щоєзображенням числаz, йдодаємо донього вектор ВВ,якийзображує числоz = ->3+2,протилежневід’ємнику (>малюнок 5).Шуканурізницюзображують вектором ОС, щоєсумоювекторівОА й ВВ.Йомувідповідаєкомплексне число5+.

>Малюнок 5

 

4.Тригонометрична формазаписукомплексних чисел

>Запис числаz увигляді a +bназиваєтьсяалгебраїчноюформоюзапису комплексного числа.Крімалгебраїчноїформивикористовують ііншіформизаписукомплексних чисел –тригонометрична йпоказникова.Розглянемотригонометричну формузапису, а цоговведемопоняття про модуль й аргумент комплексного числа.

а) Модуль комплексного числа.

 

>Побудуєморадіус – векторОА, щоєгеометричним чином комплексного числаz = a +b (>малюнок 6).

>Модулем комплексного числаz = a +bназиваєтьсязначенняa +b. Кількістьr =>a +bперетворюється на нуль лише за умів a =0, b =0.

Модуль комплексного числа a +bпозначається символом a +b. Отже, a +b =a +b.

>Якщокомплексні числамають один й тієїсамий модуль, токінцівекторів, котрізображуютьці числа, лежати наколі із центром у початку координат йрадіусом, щодорівнює їхнього модулю.

>Приклади:знайтимодуліданихкомплексних чисел.

1)5+7 =25+49 =74;

2) –>2-3 =4+9 =13;

3)8+0=64 = 8;

4)5= 5.

Б) аргументкомплесного числа.

>Нехайрадіус – векторОАзображуєкомплексне числоz = a +b (>дивітьсямалюнок 6).Позначимо кут,якийутворює векторОА іздодатнимнапрямомосі x.Числовезначеннякута,виміряного врадіанах,називається аргументом комплексного числа a +b.Якщокомплексне числодорівнює нулю, то векторОАперетворюється в точку (нуль – вектор), й говорити про йогонапрям немаєсенсу. Томувважають, що число нуль немає аргументу.Кожневідмінне від нулякомплексне числомаєнескінченнумножинузначень аргументу, котрівідрізняються один від одного націле числоповнихобертів,тобто на величину2n, де n –довільнеціле число.Значення аргументу,взяте вмежах Першого кола,тобто від 0 до2,називаєтьсяголовним.Головнезначення аргументу комплексного числа можнавизначити ізрівностіtg =b/a.Справді, за знаками a і b можнавстановити, вякійчетвертіміститься кут, й завеличиноюtg,використовуючитаблиці,знайти величинукута.

>Приклади:знайтиголовнезначення аргументуданихкомплексних чисел.

1)z =1+;

>Маємо:tg = 1. Ос-кільки a = 1 та b = 1,радіус – вектор,якийвідповідаєданому комплексному числу,належить Ічверті й тому -гострий кут. Отже, =/4.

2)z = ->2+23;

>Маємо:tg =23/(-2) = -3. Тут а = -2, b =23,тобторадіус – вектор,якийвідповідаєданому комплексному числу,належить ІІчверті. Отже, = 2/3.

3)z = ->1-;

>Маємо:tg = 1.Радіус – вектор, щовідровідаєданому комплексному числу,належить ІІІчверті. Отже, = 5/4.

4)z =1-3;

>Маємо:tg = ->3. Тут а = 1, b = ->3.Радіус – вектор, щовідповідаєданому комплексному числу,належить IVчверті. Отже, = 5/3.

в)тригонометрична форма комплексного числа.

>Нехай векторОАєгеометричнимзображенням комплексного числаz = a +b (>дивітьсямалюнок 7), модульякогодорівнюєr, а аргумент. УпрямокутномутрикутникуАОС а =rcos,d =rsin.Підставляючи узапис комплексного числазамість а таdїхнізначення,виражені через модуль й аргумент,дістанемо :

Z =rcos +rsin =r(cos +sin).

>Виразr(cos +sin)називаєтьсятригонометричноюформою комплексного числа. Будь – яку число a +b,дане валгебраїчнійформі, можна податі втригонометричнійформі. Модульrзнаходимо заформулоюr =>a +b, а кутвизначаємо ззалежностіtg =>ba, котравипливає із формулcos =ar,sin =br.

>Приклади:

а)z = ->1-3;

>Маємо:r =(-1)+(-3) = 2;tg =3; =4 +n, nє Z.

Через ті, щорадіус – вектор,якийзображує числоz = a +b,розміщений у ІІІчвертікомплексноїплощини, то "за аргументберемо =4 +n. Отже, ->1-3 =2(соs4 +Sin4).

б)z =;

Тут а = 0, b = 1,отже,r = 1. Вектор, щозображує число,утворює ізвіссю абсцис кут (>пояснітьчому). Отже, =cos +sin.

в)z = 3.

Тут а = 3, b = 0,отже,r = 3.

3 =3(cos 0 +sin 0).

>Розглянемоприклади переходь відтригонометричноїформи комплексного числа доалгебраїчної.

>Приклади:

а)2(cos+sin) =2(1+3 ) = 1 +>3;

б)4(cos2 +sin2) =4(-1+3 ) = -2 +23.

р)Множення йділеннякомплексних чисел,записаних втригонометричнійформі.

>Тригонометрична формазаписукомплексних чиселвиявляєтьсядужезручною под годинумноження йділення чисел.НехайZ=r(cos +sin),Z=r(cos +sin) – два числа, щозаписані втригонометричнійформі.Тоді

Z Z=rr(coscos -sinsin +sincos +sincos), чи Z Z=rr(cos (> +) +sin (> +)).

Отже,справедливимєтвердження: под годинумноженнякомплексних чисел утригонометричнійформімодулі їхньогоперемножуються, ааргументидодаються. Длязнаходженнячасткимножимочисельник йзнаменник на число,спряжене дознаменника:

>ZZ=r(cos +sin)(cos -sin)r(cos +sin)(cos -sin) =rrх(cos (> -) +sin (> -))(cos +sin)=r(cos (> -) +sin (> -))r.

Отже, под годинуділеннякомплексних чисел їхньогомодуліділяться, ааргументивіднімаюьтся.

>Приклади.Виконатимноження йділеннякомплексних чисел,записаних утригонометричнійформі.

а)Z=3(cos 7° +sin 7°);Z=8(cos 15° +sin 15°);

буд)Подаємо бездоведення правилапіднесення достепеня комплексного числа, записаного втригонометричнійформі.

При чи –якому натуральному n

(>cos +sin) =cosn +sinn.

ЦетвердженняназиваєтьсяформулоюМуавра.

>Приклади.Виконати діїпіднесення доступеняданого комплексного числа.

>Z=3-.Обчислити Z.

Модульданого числадорівнює(3)+1 = 2, аргумент = ->,отже модуль числа Zдорівнює 2, аргумент9 = ->9 = ->3. Таким чином,

(>3-) = 2 (>cos (->3)+sin(-3)) =512.

>є)добуваннякореня із комплексного числа.

>Корінь n – гоступеня із числаZ=r(cos +sin)обчислюють заформулою

> =r(cos ((> + 2к)n) +sin ((> + 2к)n)),

де до –деякеціле число (доє Z).

>Підставляючизамість дозначення 0, 1,2…n – 1,дістанемо nрізнихзначенькореня. Так,якщо n = 2, до = 2матимемоsin ((> + 4) =sin й так далі.

>Приклади.Знайти усізначення1

Ос-кільки 1 =1(cos 0 +sin 0), то

>1(cos 0 +sin 0) =1(cos ((0 + 2к)) +sin ((0 + 2к)), до = 0, 1, 2, 3, 4.Надаючи допослідовнозначень 0, 1, 2, 3, 4,видповиднодистанемо:

Z= 1,якщо до = 0;

Z=cos2 +sin2,якщо до = 1;

Z=cos4 +sin4,якщо до = 2;

Z=cos6 +sin6,якщо до = 3;

Z=cos8 +sin8,якщо до = 4.

>Цікавийтакий факт.Модулі всіхцихзначень1дорівнюють

Страница 1 из 2 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація