Реферати українською » Математика » Дослідження функцій та побудова їх графіків


Реферат Дослідження функцій та побудова їх графіків

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Тема 1. Межа функції

Кількість А називається межею функції при , хто прагне до , для будь-якого позитивного числа (>0) знайдеться таке позитивне число >0 (залежне у випадку від ), що з всіх , не рівних i задовольняють умовіxx<, виконується нерівністьxА x<.

Для краю функції вводиться позначення =А.

Межі функцій мають такими основними властивостями:

Функція неспроможна мати більше краю.

Якщо = З (стала), то З.

Якщо існує Бо нічого для будь-якого числа вірно:

Якщо існують Проте й У, то = АВ, і якщоВ0, то

.

Операція граничного переходуперестановочна з операцією обчислення безупинної функції, т. е. справедлива формула

Якщо функція безупинна у точці , то шуканий межа дорівнює значенням функції у цій точці, тобто. він перебуває безпосередньої підстановкою граничного значення перемінної замість аргументу :

Функція ( називається нескінченно малою величиною при , коли його межа нульовий: Функція називається нескінченно великою при , якщо

Приклад 1. 9.

Приклад 2. .

У розглянутих прикладах межа перебував відразу: як числа чи символу (нескінченність). Але найчастіше при обчисленні меж ми зустрічаємося із невизначеностями, коли результат перебування краю незрозумілий, наприклад, у разі відносини двох нескінченно малих функцій (умовне позначення ) чи нескінченно великих ().Крім названих зустрічаються невизначеності виду

Для розкриття невизначеностей використовуються спеціальні прийоми і двоє наступних краю, котрі грають особливу роль математики й тому називаються чудовими:

- перший чудовий межа

-другий чудовий межа (числоЭйлера).


Приклад 3. .

Рішення. Безпосередньою підстановкою переконуємося, що маємо працювати з невизначеністю виду :

.

Для розкриття невизначеності розкладемо чисельник і знаменник на множники. Знайдемо коріння багаточлена, який стояв у чисельнику. І тому складемо рівняння другого ступеня і знайдемо його прийняти рішення:

 

Тоді для квадратноготрехчлена справедливо розкладання на множники

.

Аналогічні дії виконаємо для багаточлена, який стояв у знаменнику.

>Уравнение має розв'язання

 


і знаменник представляється як:

>Сократим дріб на множник і обчислимо її за

Приклад 4.  

Рішення. Безпосередньою підстановкою переконуємося, що виникає невизначеність виду . Для розкриття невизначеності помножимо чисельник і знаменник висловити , що єсопряженним до знаменника

= .

Приклад 5. .

Рішення. Маємо невизначеність виду .Разделим чисельник і знаменник на (на більш загальному разі, коли чисельник і знаменник представляють багаточлени різних ступенів, ділять на з найбільшим показником ступеня чисельника і знаменника). Використовуючи властивості меж, одержимо:


.

Приклад 6. .

Рішення. При маємо невизначеність виду . Уявімо , розділимо і помножимо чисельник і знаменник на числа 2, 5 і , тоді межа перетвориться до виду:

.

Користуючись властивостями меж й першим чудовим межею, далі маємо:

.

Приклад 7. .

Рішення. Маємо невизначеність виду [], оскільки


, а .

Виділимо у дробу цілу частина

.

>Введем нову зміну і висловимо звідси через : . Тоді

 

Зауважимо, що з змінна . Тепер, переходячи до нової перемінної і використовуючи другий чудовий межа, одержимо:

=.

>Неопределенности виду шляхом алгебраїчних перетворень наводяться до виду .Неопределенности виду , можна розкрити, попередньопрологарифмировав відповідну функцію.Неопределенности виду можна виключити, використовуючи правилоЛопиталя, яке викладено наприкінці теми 2.

Приклад 8. Початковий внесок у банк становив грошових одиниць. Банк виплачує щорічно % річних. Необхідно відшукати розмір вкладу через років при безупинному нарахуванні відсотків. Вирішити завдання при =10, =5%, =20 років.

Рішення. При % річних розмір вкладу щорічно збільшуватися в

 раз, тобто. .

Якщо нараховувати відсоток за вкладами кілька разів на рік, а раз, то розмір вкладу за років при нарахуваннях становитиме

.

Тоді розмір вкладу за років при безупинному нарахуванні відсотків () зводиться до пошуку краю

.

Тут за рішенні використовувався другий чудовий межа.

Підставляючи вихідні числові ці завдання, отримуємо


 (>ден. одиниць).

Питання для самоперевірки

Дайте визначення краю функції у точці.

Назвіть основні властивості меж функцій.

Які види невизначеностей зустрічаються під час перебування меж?

Які межі називаються чудовими?

Які функції називають нескінченно малими?

Завдання для самостійної роботи

Знайти межі наступних функцій:

Номер варіанта А) Б)
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Таблиця 1.

Тема 2.Производная функції

>Приращением функції у точці , відповідним збільшенню аргументу , називається число .

>Производной функції у точці називається межа відносини збільшення функції до збільшенню аргументу при , коли цей межа існує, і позначається:

.

Перебування похідною функції називаєтьсядифференцированием цієї функції. Якщо функція має у точці кінцеву похідну, то функція називаєтьсядифференцируемой у цій точці.

Найважливішими правилами диференціювання є такі.

>Производная постійної дорівнює нулю: .

Постійний множник виноситься за знак похідною

.

>Производная суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій


.

>Производная твори двохдифференцируемих функцій дорівнює твору похідною першогосомножителя другого плюс твір першогосомножителя на похідну другого

.

>Производная приватного двохдифференцируемих функцій перебувають розслідування щодо формулі

.

Нехай змінна є функція від перемінної (наприклад, ), а змінна , своєю чергою, є функція від незалежної перемінної (), інакше задана складна функція .

Якщо й -дифференцируемие функції від своїх аргументів, то похідна складної функції є і дорівнює похідною даної функції проміжного аргументу , помноженою на похідну самого проміжного аргументу по незалежної перемінної :

Якщо функція, похідну якій теж потрібне знайти, представляє з себе комбінацію елементарних функцій, то тут для обчислення похідною застосовуються правила диференціювання і таблиця похідних елементарних функцій, наведена нижче.

Таблиця 2.

функція похідна функція похідна
1

 

 

7

 

 1/

2

 

 

8

 

 -1/

3

 

 1/

9

 

 1/()

4

 

 

10

  

 -1/()

5

 

 

11

 

 1/(1+)

6

 

 -

12

 

 -1/(1+)

 

Приклад 1. Знайти похідну функції

.

Рішення. Уявімо її як складну функцію. Нехай , тоді навіть . Знайдемо похідну проміжним аргументу як статечної функції

.

Натомість, проміжний аргумент представляється як суми двох статечних функцій мінус стала, тому, використовуючи правила1-3,по-лучим

=.


Звідси похідна шуканої функції

.

Приклад 2. Знайти похідну функції

.

Рішення. Означимо, . Тоді й бажана похідна перебуває з формули .

>Производную знаходимо з таблиці похідних елементарних функцій

.

Другий множене представляє похідну від статечної функції

Нарешті, остання похідна перебувають розслідування щодо правилам диференціювання приватного

==.

У результаті отримуємо потрібну похідну

.

Приклад 3.Наити похідну

.

Рішення.Производная суми двох функцій є не сума їхніх похідних

.

Для перебування похідною першого доданка позначимо , .

Тоді ,

=


>Производную другого доданка знайдемо за правилом диференціюваннястепенно-показательной функції.Прологарифмируем функцію :Дифференцируем ліву праву частина отриманого рівності

Звідси

Нарешті, знаходимо похідну шуканої функції

Приклад 4. За підсумками досвідчених даних побудована математична модель попиту населення в певний товар залежно від ціни :

.

Визначити еластичність попиту при (в умовних грошових єдиний.).

Рішення.Эластичностью попиту називають межа відносини відносного збільшення попиту відносного збільшенню ціни при :


.

Якщо >1, то попит називають еластичним, при <1 –нееластичним, а при нейтральним.

Знайдемо похідну

.

Тоді

.

>Определим еластичність попиту при :. Отже, за такої ціни маємо нееластичний попит.

ПравилоЛопиталя. При перебування меж функцій (тема 1) невизначеності виду можна виключити, застосовуючи правилоЛопиталя: межа відносини двох нескінченно малих чи нескінченно великих функцій дорівнює межі відносини їх похідних, якщо існує, т. е.


Якщо (чи ), то правилоЛопиталя можна використовувати вдруге, тобто.

У випадку правилоЛопиталя можна використовувати неодноразово.

Приклад 5. Знайти

Рішення. Для розкриття невизначеності застосуємо правилоЛопиталя.

Невизначеність виду як і зберігається.Применим правилоЛопиталя вкотре:

Питання для самоперевірки

Дайте визначення похідною функції у точці.

Яка функція називаєтьсядифференцируемой у точці?

Назвіть найважливіші правила диференціювання.

Як перебуває похідна складної функції?

Сформулюйте правилоЛопиталя.

Завдання для самостійної роботи

Знайти похідні наступних функцій:

Таблиця 3.

Номер варіанта А) Б) У)
1 >y=(3x4-4x(-1/4)+2)5 >y=arccos2x+(1-4x2)1/2 >y=2tgx+xsin(2x
2 >y=(5x2+4x(5/4)+3)3 >y=arctg(x2-1)1/2 >y=e3x-2xtg(3x)
3 >y=(0.25x8+8x(3/8)-1)3 >y=arccos(1-x2)1/2 >y=3cosx-xsin(2x)
4 >y=(0.2x5-3x(4/3)-4)4 >y=arctg(x-1)1/2

5 >y=(3x8+5x(2/5)-3)5 >y=arctg(2/(x-3))

6 >y=(5x4-2x(-3/2)+3)4 >y=arccos(1-x)1/2

7 >y=(4x3+3x(-4/3)-2)5 >y=arcctg(x-1)1/2

8 >y=(7x5-3x(5/3)-6)4 >y=arcsin3x-(1-9x2)1/2 >y=etgx-x1/2cos(2x).
9 >y=(3x4-4x(-1/4)-3)5 >y=arctg(1/(x-1)) >y=xtg3x+2x-2
10 >y=(8x3-9x(-7/3)+6)5 >y=arcsin((1-x)1/2)

Тема 3. Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях

>Дифференциалом функції у точці називається головна, лінійна щодо збільшення аргументу частина збільшення функції , рівна твору похідною функції у точці на прирощення незалежної перемінної:

.


Звідси прирощення функції відрізняється від неї диференціала на нескінченно малу величину й досить малих значеннях можна вважати або

.

Наведена формула використовують у наближених обчисленнях.

Приклад. Обчислити наближено

Рішення. Розглянемо функцію . Це статечний функція і його похідна знайдеться:

Як потрібно взяти число, що задовольнить умовам:

- значення відомо чи достатньо просто обчислюється;

- число має бути близькими до числу 33,2, тобто. прирощення має бути якнайменше.

У нашому випадку наведеним вимогам задовольняє число = 32, котрій = 2, = 33,2 -32 = 1,2.

Застосовуючи формулу, знаходимо дані число:

 + .


Питання для самоперевірки

1. Дайте визначення диференціала функції у точці.

2. Чому формула, використовувана для обчислень, є наближеною?

3. Яким умовам має задовольняти число , яке у наведеній формулі?

Завдання для самостійної роботи

Обчислитиприближенное значення , замінивши у точці прирощення функції її диференціалом.

Таблиця 4.

Номер варіанта

1 3 502 512
2 4 267 256
3 5 234 243
4 6 685 729
5 7 142 128
6 3 349 343
7 4 605 625
8 5 255 243
9 6 773 729
10 7 156 128

Тема 4. Дослідження функцій й модульна побудова їх графіків

Якщо функція однієї перемінної задана як формули , то областю її визначення називають б таку силу-силенну значень аргументу , у якому визначено значення функції.

Приклад 1. Значення функції визначено лишенеотрицательних значень перемінної : . Звідси область визначення функції будеполуинтервал [4;).

Приклад 2. Функція

 

не визначено при таких значеннях аргументу , коли або знаменник нульовий (), абоподкоренное вираз негативно (<3). Тоді областю визначення служить безліч, що є об'єднанням інтервалів (3;4)(4;5) (5;).

Приклад 3. Функція визначено лише з відрізку [-1;1], оскільки значення тригонометричної функції задовольняють нерівності: -11.

Функція називаєтьсячетной, для будь-яких значень в галузі її визначення виконується рівність

,

інечетной, якщо справедливо інше співвідношення: . За інших випадках функцію називають функцією загального виду.

Приклад 4. Нехай . Перевіримо:

.

Отже, цю функцію єчетной.

Для функції вірно: . Звідси цю функцію непарний.

Їх сума є функцією загального виду, бо дорівнює і .

>Асимптотой графіка функції називається пряма, що має тим властивістю, що відстань від точки (;) площині до цієї прямий котиться до нуля при необмеженому видаленні точки графіка з початку координат. Розрізняють вертикальні (а), горизонтальні (б) і похилі (в)асимптоти.

                                                                                                                    

                                                                                                                                                       

                                2

                                                                              

                                                                                                                   

              а) б)


                                                                                                                     

                                                                                                                     

                                                            в)


Вертикальніасимптоти функції слід шукати або у точках розриву другого роду (хоча один із односторонніх меж функції дорівнює у точці нескінченності або існує), або на кінцях її ділянці визначення (>a,b), якщоa,b –кінцеві числа.

Якщо функція визначено на числової осі і є кінцевий межа , або , то пряма, що задається рівнянням , є правобічній горизонтальнійасимптотой, а пряма - лівосторонньої горизонтальнійасимптотой.

Якщо існують кінцеві межі

 і ,

то пряма є похилійасимптотой графіка функції.Наклоннаяасимптота також може бути правобічної () чи лівосторонньої ().

Функція називається зростаючій на безлічі , для будь-яких , таких, що >, виконується нерівність: > (убутній, при цьому:

<).

Безліч у разі називають інтервалом монотонності функції.

Справедливо таке достатня умова монотонності функції: якщо похіднадифференцируемой функції всередині безлічі позитивна (негативною), то функція зростає (убуває) у цьому безлічі.

Приклад 5. Дана функція . Знайти її інтервали зростання і зменшення.

Рішення. Знайдемо її похідну . Вочевидь, що >0 при >3 і <0 при <3. Звідси функція убуває на інтервалі (;3) зростає на (3;).

Крапка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції , тоді як деякою околиці точки виконується нерівність

 ().

Значення функції у точці називається максимумом (мінімумом). Максимум і мінімум функції об'єднуються загальним назвою екстремум функції.

А, щоб функція мала екстремум у точці необхідно, щоб їх похідна у цій точці дорівнювала нулю () або існувала.

Крапки, у яких похідна функції дорівнює нулю, називаються стаціонарними точками функції. У стаціонарній точці необов'язково може бути екстремум функції. Для перебуванняекстремумов потрібно додатково досліджувати стаціонарні точки функції, наприклад, шляхом

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація