Реферати українською » Математика » Зародження і створення теорії дійсного числа


Реферат Зародження і створення теорії дійсного числа

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Зародження й створення теорії дійсного числа

 


Зміст

1. Зародження та розвитку поняття числа

2. Проблеманесоизмеримих чи Перший криза під аркушами математики

2.1 Наслідки першого кризи і їх подолання

3. Становлення теорії краю

4. Створення теорії дійсного числа

4.1 КарлВейерштрасс

4.2 ГеоргКантор

4.3 РіхардДедекинд

Укладання


1 Зародження та розвитку поняття числа

У основі математики лежить поняття числа, одне з ранніх і абстрактних. Воно виник як узагальнення рахунки окремих предметів. Рахунок притаманний як людині, а й, у певній формі, і тваринам, наприклад кішці, яка відчуває наявність при всіх своїх кошенят.

Найбільш рання форма рахунки носитьконкретно-чувственний характер. Такий рахунок можна знайти в первісних покупців, безліч у тварин. Але не можна упевнено сказати, що тільки людина спроможна до абстрактному рахунку. Є даних про здібності приматів до символізації рахунки «>Примати здатні розпізнавати і узагальнювати ознака «число елементів», встановлювати відповідність між цим духовним ознакою й раніше нейтральними їм стимулами — арабськими цифрами. Оперуючи цифрами як символами, вони можуть ранжирувати числа й упорядкувати їх за ознакою «число», і навіть здійснювати число дій, відповідне цифрі. Нарешті, вони здатні до виконання операцій, ізоморфних додаванню, але це потребує точнішихисследований.»[12]. Саме там відзначається висока спроможність до символізації і узагальненні за ознакою «кількості» увранових.

Перехід від «почуттєвого рахунки» до абстрактному здійснюється за допомогоювзаимооднозначного відповідності між двома множинами, одна з яких пізніше приймається хіба що за еталон.Взаимооднозначное відповідність по початку носить такожконкретно-чувственнийхарактер(например, розташування елементів один одного). У такий спосіб користуються навіть сучасні люди, коли вважають щось загинаючи пальці. Вважається, що став саме рахунок пальцями є основою десяткової системи обчислення, прийнятої у європейських народів [10, стор. 11]. Аналізуючи цей етап узагальнення з'являється знакове позначення числа. Спочатку що це спогади дереві, кістках, вузлики на мотузках, кількість яких збігалося багатозначно числа.Конкретно-чувственное походження чисел вихлюпнеться у мові. «Спочатку рахунок проводився з допомогою підручнихсредств:пальцев каменів, ялинових шишок і т.д. Сліди цього збереглися в назві математичних числень:calculus, що має латинське походження і означає: рахуноккамешками»[11, стор. 17]. З розвитком культури та суспільства виникає потреба використання більш великих чисел, так з'являються різноманітні числові системи. Сучасна десяткова система з'явилася результаті розвитку древніх систем числення. До систем числення попереднім десяткової ставляться:

•Иероглифическиенепозиционние системи. До неї належить Римська система. У ньому числа формується з набору вузлових чисел позначених ієрогліфами. Кількість утворюється від цього набору шляхом дописування справа чи зліва вузлового числа інших вузлових чисел. Значення числа обчислюється поаддитивному чисубстрактивному принципу.

•Алфавитние системи числення. Тут числа записуються з допомогою літер. Щоб відрізнити літери від чисел, кожною літерою приписується відмітний ознака. Букви використовувані для записи чисел беруться до груп по 9 штук. Для записи одиниць десятків і сотень використовують різні групи літер, що ускладнює її використання.

•Позиционниенедесятичние системи числення.

Майже одночасно з рахунком зароджуються математичні операції складання івичитания(когда зменшуване більшевичитаемого). Пізніше з'являється множення, як повторне складання. Розподіл з'являється значно пізніше, ніж множення, хоча ставлення до простих дробах () з'являється порівняно рано. Поняття натуральних числах, як і справу нескінченному наборі чисел, виникло не відразу. Уявлення про незлічимо великих числах збереглися у мові, наприклад, у російському словами «пітьма», «багато». Найбільш чітке уявлення про безмежному продовженні низки натуральних чисел виявлено в грецьких математиків. УXII-VII століттях е. (часи Гомера) найбільшим числом буломириада (1000), яке стала позначати 10000. У III в е. Архімед у своїй праці «>Исчиление піщин» спростував будувати як завгодно велика кількість.

Однак у математиці Стародавню Грецію був єдиного уявлення, що така кількість. Так було в школі Піфагора і Платона вважали одиницю не числом, а «ембріоном числа». Слід зазначити, що міфологічне свідомість давньогрецького суспільства ще остаточно сприймало математичні і філософські абстракції. «Найменш доступні розумінню широкого загалу були числа, ці найбільш абстрактні елементи науки тоговремени»[7, стор. 83]. За цією та інших причин математика, її методи лікування й результати виглядали містично. Найбільш розвинений і філософськи обгрунтованим містичним поглядом на числа булипифагорейство інеопифагорейство.Упрощая, можна сказати, щопифагореизм основу гармонії світу бачив число, дляпифагореизма все числа мали містичний сенс. Такі погляди можна зустріти і сьогодні. Проте можна припустити, що насичення філософію понять математики найчастіше було плідним. Як приклад можна навести категорію «Кількість» у філософії Канта й у діалектичній логіці, і навіть парадокси теорії множин.

Хоча аксіоматично спочатку будується багато натуральних чисел, потім цілі числа, і потім вже раціональні, історично раціональні числа з'явилися раніше негативних чисел і нуля.

Спочатку поняття нуля виникла ролі позначення нульового розряду у запису чисел. Перша достовірна використання нуля виявлено таки в Індії і належить до IX віці. Проте точне походження цифри нуль в позиційних системах невідомо. «Одніисследователи(Г.Фреуденталь) припускають, що нуль був запозичено вгреков...Другие(Дж.Нидем), навпаки, вважають, що нуль прийшов у Індію звостока»[10, стор. 183]. У Індії найбільш зрозуміло і повно досліджували питання про застосування до 0 арифметичних операцій, математикомБхаскара навіть досліджувався питання розподілі на на 0.

Також у індійської математиці було б найбільш чітке уявлення про негативні числах. «Індійські математики, починаючи зБрахмагунти(VII ст. н.е.), систематично користувалися негативними числами і трактували позитивне число як майно, а негативне якдолг»[10, стор. 190], хоча ми можемо стверджувати, негативні числа вперше з'явилися торік у Індії. Встановлено, що квадрат негативного числа — число позитивне, також ставилися питання наявності квадратного кореня з негативного числа. Діям негативним числами присвячено цілу главу у творіБхаскари «>Виджаганита».

Менш ясні уявлення про негативні числах виникали і в китайців. Їх поява було з завданнями, які сьогодні називаються системи лінійних рівнянь. «Оскільки обчислення, зокрема і перетворення матриці, проводилися на лічильної дошці, то тут для позначення негативних чисел застосовувалися лічильні палички іншого кольору чи форми, а разі записи застосовувалися ієрогліфи різнихцветов»[11,стр.84].Юшкевич висловлює те, що вистава про негативні числах мавДиофант [10, стор. 145].

Хоча ідея запровадити позначення для «нічого» виникла математиці досить давно, але, як число нуль довгий час не сприймався. Тим паче повноправними числами не сприймалися негативні числа, думка, що є щось менш як «ніщо» багатьом здавалася абсурдною. «...щеКардано називає негативні числа «фіктивними» [10, стор. 315].

Інтерпретація негативного числа як «боргу» у індусів запозичили араби, використання негативних чисел є у роботах арабського математикаАбу-л-Вафи. Вважається, термін борг був позичений математиком Середньовіччя ЛеонардоПизанским(ок.1170-после 1250, відомий як Фібоначчі) у арабів. Крім «боргу» існував термін «менше, ніж ніщо». Зачатки геометричній інтерпретації негативних чисел з'являється у роботі М.Штифеля «Повна арифметика», однак тільки після робіт Ферма і Декарта ставлення до негативним числам кардинально змінилося. Застосування негативних чисел і нуля зіграло значної ролі у математиці, дозволило узагальнити багато завдань, спростити деякі обчислення і формалізувати багато алгоритми.

Як відзначалося раніше, дробу з'явилися набагато раніше, ніж цілі числа () і навіть за ніж операція розподілу. Вони виникли із потреби ділити ціле на частини, і навіть висловлювати величину через її частки.Дроби виду звані частками відомі людству з часів зародження математичного знання. Так єгиптяни мали позначення для дробів виду (поодинокі), і навіть для , та якщо їм зустрічалися дробу іншого виду, вони розкладали їх у суму одиничних дробів. Одиничні дробу використовувалися на ранніх етапах греками ішумерами.Дроби загального виду з'являються у Греції, хоча спочатку не приймаються як числа. Греки вперше побудували, за нашими поняттям групу позитивних раціональних чисел. «Тільки Греції почали оперувати з дробами виду , причому вміли випускати з ними всі дії арифметики про те обмеженням, що вичитати можна було з більшогоменьшее»[10, стор. 71].

>Дроби також були здавна відомі у Індії, згадування про таких дробах як ставляться до середині II тисячоліття е. Причому індійці записували їх способом, нагадує сучасний: чисельник над знаменником, але не матимуть розділової риси. Також указувалися правила роботи з такими об'єктами, аналогічні сучасним правилам роботи з дробами.

Кілька слів про треба сказати про походження десяткових дробів. Прообразом для десяткових дробів послужилишестидесятиричние дробу, використовувані вавілонянами. Вона нагадувала сучасний спосіб записи дробів тим, яка дозволяла записувати цілю і дробову частина однотипово, значно спрощувало обчислення. Поступово, виникаютьдогадки,что це зручність не пов'язаний із якимись особливими властивостями число 60. «Назріває думка, що у основу системи таких дробів може бути й течисло...Понимание цієї думки можна побачити вже у підручнику арифметики середини XII в., приписуваному ІвануСевильскому. ЙорданНемораррий(XIII в.) дає навіть спеціальну назву таким систематичнимдробям, аналогічнимшестидесятеричним»[6, стор. 240]. Ідея десяткових дробів використовувалася деякими математиками, але до чотирнадцятого суворого їх побудови був. У XIV в. французький математикБонфис спробував розвинути ідею десяткового числа. Проте його робота носила ескізний характері і була опублікована.

У першій половині XV теорію десяткового числа побудував самаркандський математикДжемшидГияседдиномал-Каши. Він описав десяткову записи числа і описав правила роботи з десятковими дробами. Однакал-Каши залишалися невідомими до середини ХХ століття.

У Європі десяткові дробу з'явилися завдяки інженеру СимонуСтевину(1548-1620). Він об'єднав окремі концепції та уявлення про десяткових дробах і полум'яно їх пропагував. Велике зацікавленняматетиков викликали періодичні дробу. Вони повинні були вперше виявлено арабськимматетикомал-Марадини в XV в. У Європі запитання про періодичних дробах був серйозно розглянутийВаллисом в 1676 у своєму трактаті з алгебри. Питаннями періодичних дробів займалися також Ляйбніц, Ламберт,Эйлер, Бернуллі, Гаусс та інших.


2 Проблеманесоизмеримих чи Перший криза під аркушами математики

Як очевидно з попереднього історичного екскурсу, твердого розуміння що така кількість довгий час був. З погляду античних греків, числом були лише натуральне число більше одиниці. Трохи більше прогресивна система числення була ввавлонян,использущихшестидесятиричние дробу. Вавилоняни знали теорему Піфагора і зіштовхувалися з проблемою вилучення коренів з чисел які мають точного квадрата. Проте, немає даних у тому, розглядали вони це запитання теоретично. «Володінняподобной[шестидесятиричной] системою та яке випливає звідси упевненість у числових розрахунках неминуче призводили до «наївному» поняттю дійсного числа, майже що з тим, що у наші дні можна натрапити у елементарних підручниках математики (що з десяткової системою числення) або в фізиків і інженерів. Це не піддається точному визначенню, але можна висловити, сказавши, що кількість сприймається як певне завдяки можливості здобувати його наближені значення й вводити ввичисления.»[2, стор. 146]. Той самий прагматичний підхід до ірраціональним числам був поширений у Індії, та Китаї.

Попри недосконалу систему числення, строгість і теоретичність грецької математики розвитку поглядів на числі. Як відзначалося вище, кожне число греки бачили як сукупність одиниць. Одиниця була котра утворює кожного числа, проте числа перебували вимірювалися одиницею. Той самий підхід був до геометричних об'єктах. У основі теорії сумірності лежала ідея у тому, що є єдина одиниця виміру всіх відрізків, така кожен відрізок можна ототожнити з натуральним числом, за кількістю у ньому одиничних відрізків. Звідси природним чином слід було, причетне двох відрізків можна було описати двома цілими числами, чи, як кажуть, раціональним числом. Такі погляди поширено у грецькій філософії; так, піфагорійці вважали, під все можна підвести число, Фалес намагався обґрунтувати розмаїття світу з одного початку.

Проте завдяки теоремі Піфагора відкрита ірраціональність, що була серйозним ударом вченню піфагорійців. Школою Піфагора було встановлено, причетне діагоналі квадрата для її боці може бути раціональним числом. Доказ цьому факту є у «>Началах» Евкліда. Вважають, що і єпифагорейское доказ [10, стор. 73]. Наведемо їх у сучасноїтрактовке[10, стор. 73].

Нехай — діагональ квадрата, а — його сторона. Тоді їхнє ставлення одно відношенню цілих чисел.Виберем такі числа, щоб буливзаимопростими.

>Возведем цю дріб в квадрат . По теоремі Піфагора , отже

(1)

Звідси випливає, що - парне число. З властивостей парних і непарних чисел слід, як і парне, отже . Підставляючи в (1), маємо

З чого слід що, парне число, отже, і n парне, що організувати неможливот.к.m і nвзамопростие.

Це чудовим прикладом те, що математики називають гарним доказом, деякі дослідники вважають, що це перша історія доказ «відпротивного»[1,стр.235]. Можливо, доведенню цієї теореми передували спроби знайти практично загальну міру цих двохвеличин[7, стор. 92].

Це відкриття вразило греків. «...проблема несумірності отримала гучну популярність серед широкого загалу освіченихлюдей»[10, стор. 73]. Є легенда у тому, що Піфагор на подяку богам приніс жертву стобиков[7, стор. 91]. Можливо було й думка що це результат має залишитисятайним[1,стр.235].

Неспівмірність вони мали геометричного осмислення. Це назвали «>алогон», не піддається осмисленню. Термін «ірраціональність» є латинським перекладом цьогослова[7,стр.91]. У історії математики катастрофапифагорейской арифметики називають Першим кризою математики.

Після відкриттям ірраціональності було відкриття ірраціональності чисел , зробленеТеодором(Феодором) зКирени. Учень ТеодораТеетет(начало IV в. е.) довів кілька теорем і критеріїв несумірності, зокрема запропонував метод як доказиррациональностей виду .Теетет класифікував ірраціональності, також його вважають творцем загальної теорії подільності.

2.1 Наслідки першого кризи і їх подолання

Відкриття несумірності справило величезний впливом геть грецьку думку. «Саме з відкриттямнесоизмеримих величин в грецьку математику проникло поняттябесконечности»[1, стор. 235]. Річ у тім, щодо відкриття несумірності греки знаходили загальну міру з допомогою алгоритму Евкліда. Але разінесоизмеримих відрізків алгоритм переставав бути кінцевим. Це спонукав греків до розгляду нескінченності. Проте

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Схожі реферати:

Навігація