Реферати українською » Математика » Графіки та їх функції


Реферат Графіки та їх функції

Страница 1 из 3 | Следующая страница

року міністерство освіти Російської Федерації

>Муниципальное загальноосвітній установа

“Середня загальноосвітньою школою №22”

Графіки та його функції

Виконали:

Учні 9 "Б" класу

Кузнєцов Євген і Руді Олексій

Керівник:

>Зенина Алевтина Дмитрівна,

викладач математики

Тюмень, 2006


>Оглавление

Запровадження. 4

Глава I. Історія виникнення. 5

1.1 Виникнення і поняття функції у старовинному світі. 5

1.2 Виникнення і поняття функції у старовинному Єгипті. 5

1.3 Виникнення і поняття функції у Давньому Вавилоні. 6

1.4 Виникнення і поняття функції у Стародавній Греції. 6

1.5 Графічне зображення залежностей, історія виникнення. 7

1.6 Внесок у розвиток графіків функцій Рене Декартом.. 8

Глава II. Визначення функцій. 9

2.1 Основні поняття про функції. 9

2.2 Способи завдання функцій. 10

Глава III. Дослідження функцій та його графіків. 12

3.1 Найпростіші функції та його графіки. 12

3.2Тригонометрические функції. 18

3.3 Криві другого порядку. 19

Глава IV. Методи побудови графіків функцій. 23

4.1 Паралельний перенесення. 23

4.1.1 Перенесення вздовж осі ординат. 23

4.1.2 Перенесення вздовж осі абсцис. 24

4.2 Віддзеркалення. 24

4.2.1 Побудова графіка функції виду y =f(-x) 24

4.2.2 Побудова графіка функції виду y = -f(x) 25

4.2.3 Побудова графіківчетной інечетной функцій. 25

4.2.4 Побудова графіка зворотної функції. 26

4.3 Деформація. 26

4.3.1 Деформація графіка вздовж осі ординат. 26

4.3.2 Деформація графіка вздовж осі абсцис. 27

4.4Алгебраические операції над графіками функцій. 27

4.4.1 Графік суми (різниці) функцій. 28

4.4.2 Графік твори функцій. 28

4.4.3 Графік функції виду. 28

4.4.4 Графік приватного двох функцій. 29

4.5 Побудова графіків складних функцій. 29

4.5.1 Графік функції у = [>f(x)]k. 29

4.5.2 Графік функції у =af(x) 30

Глава V: Графіки нетрадиційних функцій. 31

Укладання. 37

Список літератури.. 39

Додаток 1. 40

Додаток 2. 41

Додаток 3. 42

Додаток 4. 43

Додаток 5. 44

Додаток 6. 45

Додаток 7. 46

Додаток 8. 47

Додаток 9. 48

Додаток 10. 49

Додаток 11. 50

Додаток 12. 51

Додаток 13. 52

Додаток 15. 54


Запровадження

Вивчення поведінки функцій і його побудова їх графіків є важливим розділом математики. Вільне володіння технікою побудови графіків часто допомагає розв'язати чимало завдань і парою єдиний засобом розв'язання. З іншого боку, вміння будувати графіки функцій представляє великий самостійний інтерес.

Цілі реферату - систематизація методів побудови графіків функцій виходять далеко за межі знань передбачених середньої школою. Також у тому рефераті хотілося б відобразити методи лікування й види розв'язання різноманітних графіків функцій. Основні положення з не традиційним графіком будуть викладені у розділі VI. У цьому головну увагу приділено саме методам побудови графіків, а чи не вивченню їх видів функцій.

Завдання:

систематизація старих знань

напрацювання нових засобів побудови графіків функцій

вивчення нових графіків функцій

Об'єкт дослідження - алгебра.

Предмет дослідження - графіки та його функції.

Матеріал, пов'язаний із побудовою графіків функцій, у неповній середній школі вивчається недостатньо повно з погляду вимог пред'явлених іспитах. Тому завдання на побудова графіків нерідко викликають складне становище у вступників. Базуючись у цьому факті, цю тему є необхідною для докладного розгляду.

Здебільшого при цьому реферату використовувалися математичні довідники і спеціальна література.


Глава I. Історія виникнення

 

1.1 Виникнення і поняття функції у старовинному світі

Поняття функції йде своїм корінням у той далеку епоху, коли вперше зрозуміли, що які оточують явища взаємопов'язані. Вони вміли вважати, але вже настав знали, що, що більше оленів вдасться вбити на полюванні, тим довше плем'я буде вирятуване з голоду, чим більше горить вогнище, тим тепліше буде зацікавлений у печері.

З розвитком скотарства і землеробства, ремесла та обміну збільшилася кількість відомих людям залежностей між величинами. Чимало їх ми виражалися з допомогою чисел. Це дозволило б формулювати їх словами "понад", "менше на", "більше на стільки-то раз". Якщо за одного бика давали 6 овець, то двох биків вимінювали на 12 овець, а трьох биків на 18 овець. Такі розрахунки призвели до поняття про пропорційності величин.

1.2 Виникнення і поняття функції у старовинному Єгипті

Але коли його з'явилися перші цивілізації, утворилися великі (по тодішнім масштабам), армії, почалося будівництво гігантських пірамід, то знадобилися переписувачі, які враховували б вступники податки, визначали кількість цеглин, потрібне для спорудження палаців, підраховували, скільки продовольства треба заготовити для далеких походів. Від однієї покоління переписувачів до іншого переходили правила вирішення завдань, щоб вирішити завдання, треба було знати, як залежать обсяги геометричних постатей від своїх розмірів, вміти враховувати нахил насипу. Деякі єгипетські завдання показують, що на той час вміли навіть обчислити обсяг піраміди


1.3 Виникнення і поняття функції у Давньому Вавилоні

Високого рівня досягла математика у Давньому Вавилоні. Щоб полегшити обчислення, вавілоняни склали таблиці зворотних значень чисел, таблиці квадратів і кубів чисел і навіть таблиці для суми квадратів чисел їх кубів. Говорячи мовою, це булитабличное завдання функцій y =1/x, y =x2, y =x3, y =x2 +x3

Користуючись такими таблицями, вавілоняни могли розв'язувати проблему і зворотні завдання - по заданому обсягу куба знаходити довжину її боку, тобто.Извлекать кубічні коріння. Вони вміли навіть вирішувати рівняння видуx2 +x3 = a. Були в вавилонян і таблиці функцій двох змінних, наприклад таблиці складання і множення. Користуючись різними таблицями, їм було запропоновано виявити й довжину гіпотенузи подлинам катетів, тобто. Знаходити значення функції

Зрозуміло, шлях від появи таблиць аж до створення загального поняття функціональної залежності був дуже довгий, але перші кроки щодо цьому шляху вже було зроблено.

1.4 Виникнення і поняття функції у Стародавній Греції

У Стародавню Грецію наука прийняла інший характер, ніж у Єгипті та у Вавилоні. З'явилися професійні вчені, яких саму математичну науку, займалися суворими логічними висновками одних тверджень з деяких інших. Чимало з те, що робили давньогрецькі математики, також міг призвести до виникнення поняття про функцію. Вони вирішували завдання на колег і дивилися, яких значеннях завдання має рішення, вивчали, скільки рішень може мати це завдання, тощо. Давні греки знайшли багато різних кривих, невідомих переписувачам Єгипту й Вавилона, вивчали залежності між відрізками діаметрів іхорд по колу, еліпсі та інших лініях. І все-таки давньогрецькі математики не створили загального поняття функції.

1.5 Графічне зображення залежностей, історія виникнення

Дослідження загальних залежностей почалося 14 столітті. Середньовічна наука була схоластичної. Аби довести моєму переконанню вчені вдалися немає досвіду, а до цитатами з Аристотеля і Платона або до посилань на біблійні сказання. За такої характері "наукових дискусій" й не залишалося місця вивченню кількісних залежностей, йшлося тільки про якостях предметів та його зв'язках друг з одним. Але навіть серед схоластів виникла школа, що стверджувала, що якості може бути більш-менш інтенсивними (сукню людини, який звалився у ріку, мокріша, ніж в того, хто лише потрапив під дощ)

Французький учений МиколаОресм став зображати інтенсивність довжинами відрізків. Коли він мав ці відтинки перпендикулярно деякою прямий, їх кінці утворювали лінію, названу їм "лінією інтенсивностей" чи "лінією верхнього краю". Сучасний читач відразу дізнається у ній графік відповідної функціональної залежності.Оресм вивчав навіть "площинні" і "тілесні" якості, тобто. функції, залежать від двох чи трьох змінних.

Важливим досягненнямОресма була спроба класифікуватиполучившиеся графіки. Він виділив три типу якостей:Равномерние (із постійною інтенсивністю),равномерно-неравномерние (із постійною швидкістю зміни інтенсивності) інеравномерно-неравномерние (й інші), і навіть характерні властивості графіків таких якостей.

ІдеїОресма набагато обігнали тодішній рівень науки. Щоб розвивати їх далі, потрібно було вміти висловлювати залежності між величинами як графічно, але й допомогою формул, а буквеної, алгебри тоді немає. Тільки після того, як протягом 16 століття стояла поступово створена літерна алгебра, вдалося зробити такий крок у розвитку поняття функції.

1.6 Внесок у розвиток графіків функцій Рене Декартом

Щоб створити математичний апарат з вивчення графіків функцій, знадобилося поняття перемінної величини. Це впровадили науку французьким філософом і математиком Рене Декартом (1596-1650). Саме Декарт дійшов ідеям про єдність алгебри і геометрії і ролі змінних величин, він зруйнував прірву, що лежала з часів давньогрецької математики, між геометрією і арифметикою.

Щоб звільнити алгебру від невластивого їй геометричного мови, Декарт ввів фіксований одиничний відтинок і став розглядати ставлення інших відрізків щодо нього.

При записи залежностей між величинами Декарт став застосовувати літери. У цьому операціями над величинами відповідали операції над літерами. Нині вже для перетворення однієї залежності у іншу зайве було громіздких пропорцій, вивчати подібні трикутники і перетворювати геометричні фігури. Досить було з твердо, встановленим правилам робити алгебраїчні перетворення, причому всі ці перетворення проводилися загалом, вигляді.

Отже, графіки функцій весь час свого існування пережили ряд фундаментальних перетворень, що призвели їх до того що виду, куди ми звикли. Кожен етап чи щабель розвитку графіків функцій - невід'ємний елемент історії сучасної алгебри і геометрії.


Глава II. Визначення функцій

2.1 Основні поняття про функції

>Величини, що у тому ж явище, може бути взаємопов'язані, отже зміна одних їхвлечет у себе відповідну зміну інших. Наприклад, збільшення (чи зменшення) радіуса кола веде обов'язкової збільшення (чи зменшенню) його площі. У разі кажуть, що перемінними величинами існує функціональна залежність, причому одну величину називають функцією, чи залежною перемінної (її часто позначають буквою у), а іншу - аргументом, чи незалежної перемінної (її позначають буквою x).Функциональную залежність між x і в прийнято позначати символомy=f(x). Якщо значенням x відповідає більше, ніж одне значення у. така функція називається багатозначній. Дослідження багатозначних функцій зазвичай зводиться до дослідження однозначних.

>Переменная величина у є функція аргументу x, тобто.y=f(x), якщо кожному можливого значенням x відповідає одне певний значення у.

>Графиком функції називається сукупність всіх точок на площині, прямокутні координати яких x і в задовольняють рівняннюy=f(x).Горизонтальную вісь Ой називають віссю абсцис, вертикальну вісьОу - віссю ординат. Графічне зображення функції має важливого значення його вивчення. На графіці функції часто безпосередньо видно такі її особливості, які можна було б можливості встановити лише з допомогою тривалих обчислень. Якщо між величинами x і в існує функціональна зв'язок, то байдуже, яку з цих величин вважати аргументом, а яку - функцією.


2.2 Способи завдання функцій

Функціональна залежність, що встановлює відповідність між значеннями аргументу x і функції у, то, можливо в різний спосіб:

1).Табличний спосіб. У цьому способі окремих значень аргументух1,х2, …,хk і відповідні йому окремих значень функціїу1,у2, …,уk задаються як таблиці. Попри простоту, такий спосіб завдання функції має істотним недоліком, бо дає повного уявлення про характер функціональної залежності між x і в не є наочним.

2). Словесний спосіб. Зазвичай цей спосіб завдання ілюструють прикладом функціїДирихле у = D (x): якщо x - раціональне число, ті значення функції D (x) одно 1, і якщо число x - ірраціональне, ті значення функції D (x) одно нулю. Отже, щоб знайти значення D (>x0) при заданому значенні x =х0, необхідно яким - або способом встановити, раціонально чи ірраціонально числох0.

3).Графический спосіб. Функціональна залежність то, можливо задана з допомогою графіка функції у =f (x). Перевагою такого способу завдання є наочність, що дозволяє встановити важливі риси поведінки функції. Недолік графічного способу залежить від неможливості застосування математичного апарату ще детального дослідження функції.

4). Аналітичний спосіб. При аналітичному способі завдання відома формула, через яку по заданому значенням аргументу x можна знайти відповідне значення функції у. У математиці найчастіше використовується саме аналітичний спосіб завдання функцій. Перевагами такого способу завдання є компактність, можливість підрахунку значення у незалежно від значенні x і можливість застосування математичного апарату ще детального дослідження поводження функції. Проте аналітичного способу завдання функції властива недостатня наочність і можлива труднощі обчислення значень функції.

Короткий розгляд різних способів завдання функції показує, що з докладного вивчення її поведінки найкраще поєднувати дослідження аналітичного висловлювання функції з побудовою її графіка.

Нарешті, вкотре підкреслимо таке: з визначення функції випливає, що з її завдання і її вказати закон відповідності між величинами x і в. Спосіб ж завдання цього закону має значення.


Глава III. Дослідження функцій та його графіків

3.1 Найпростіші функції та його графіки

>Пропорциональние величини. Якщо перемінні величини у і x (прямо) пропорційні, то функціональна залежність з-поміж них виражається рівнянням y =kx, деk є певна стала величина (коефіцієнт пропорційності). Графік прямий пропорційності є прямий лінія (див. додаток 1), через початок координат і утворює з віссю абсцис кут, тангенс, якого дорівнює постійноїk;tg =k. Тому коефіцієнт пропорційностіk називається також кутовим коефіцієнтом.

>Линейная функція.Линейной називається функція виду: y =kx + b, в аналітичне вираз, якої перемінні x і в входить у першого ступеня. Графік лінійної функції представляє пряму лінію (див. додаток 2),располагающеюся щодо координатних осей по-різному, залежно від постійних коефіцієнтів,k і b, яких можуть прибирати позитивні чи негативні значення або бути рівним нулю. Для побудови графіка лінійної функції можна скористатися геометричних змістом коефіцієнтівk і b чи знайти дві точки прямий на площині, наприклад, точки перетину з осями координат.

Властивості функції y =kx+b:

>D(f) = (-+);

Зростає, якщоk >0, убуває, якщоk<0;

Не обмежена ні згори, ні знизу;

Немає жодного найбільшого, ні найменшого значень;

Функція безупинна;

>E(f) = (-+);

Зворотний пропорційність. Якщо перемінні величини у і x назад пропорційні, то

Страница 1 из 3 | Следующая страница

Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Графічне зображення даних
    >ГРАФИЧЕСКОЕ >ИЗОБРАЖЕНИЕ >СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАНИХ 1. >ПОНЯТИЕ Про >СТАТИСТИЧЕСКОМ >ГРАФИКЕ. >ЭЛЕМЕНТЫ
  • Реферат на тему: Графічне рішення рівнянь
    Графічне рішення рівнянь Розквіт, 2009 Запровадження Необхідність вирішувати квадратні рівняння
  • Реферат на тему: Графи
    Зміст Запровадження 1. >Графи, >орграфи, дерева 2. Операції над графами 3. Збереження графів в ЕОМ
  • Реферат на тему: Графи і частково впорядковані множини
    >Графи і лише частково впорядковані безлічі Обидві ці структури є приватними випадками бінарних
  • Реферат на тему: Графи. Основні поняття
    Міністерство освіти і науки Російської Федерації Курський державний технічний університет Кафедра

Навігація